二次函数精选
1、如图，等腰梯形ABCD 中，AB =4，CD =9，∠C =60°，动点P 从点C 出发沿CD 方向向点D 运动，动点Q 同时以相同速度从点D 出发沿DA 方向向终点A 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求AD 的长；
（2）设CP =x ，问当x 为何值时△PD Q 的面积达到最大，并求出最大值；
（3）探究：在BC 边上是否存在点M 使得四边形PD Q M 是菱形？若存在，请找出点M ，并求出BM 的长；不
存在，请说明理由.
2、我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格20元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．
（1）设x 到后每千克该野生菌的市场价格为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式．
（2）若存放x 天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P 元，试写出P 与x 之间的函数关系式．
（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W 元？ （利润＝销售总额－收购成本－各种费用）
3、王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x （单位：分钟）与学习收益量y 的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间x （单位：分钟）与学习收益量y 的关系如图乙所示（其中OA 是抛物线的一部分，A 为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．
（1）求王亮解题的学习收益量y 与用于解题的时间x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）求王亮回顾反思的学习收益量y 与用于回顾反思的时间x 之间的函数关系式； （3）王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？ （学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）
4、如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。 ⑴求抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标; 若不存在，请说明理由;
⑶若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。
5、如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线x =2与x 轴相交于点
，连结OA ，抛
2
物线y =x 从点O 沿OA 方向平移，与直线x =2交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动．
（1）求线段OA 所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M 的横坐标为m ,
①用m 的代数式表示点P 的坐标； ②当m 为何值时，线段PB 最短；
（3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA
的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若 不存在，请说明理由．
（第24题）
6. （2008年大连）如图18，点C 、B 分别为抛物线C 1：y 1=x +1，抛物线C 2：y 2=a 2x +b 2x +c 2的顶点．分别过点B 、C 作x 轴的平行线，交抛物线C1、C2于点A 、D ，且AB = BD． ⑴求点A 的坐标；
22
⑵如图19，若将抛物线C 1：“y 1=x +1”改为抛物线
“y 1=2x +b 1x +c 1”．其他条件不变，求CD 的长和a 2的值． 附加题：如图19，若将抛物线C 1：“y 1=x +1”改为抛物线 “y 1=a 1x +b 1x +c 1”，其他条件不变，求b 1+b 2的值．
2
2
2
2
2
7. 如图10，直线y =x +m 和抛物线y =x +bx +c 都经过点A(1，0) ，B(3，2) ． ⑴求m 的值和抛物线的解析式；
⑵求不等式x +bx +c >x +m 的解集(直接写出答案) ．
2
8. 如图（1），已知在 ABC 中，AB=AC=10，AD 为底边BC 上的高，且AD=6。将 ACD 沿箭头所示的方向平移，得到 A CD 。如图（2），A D 交AB 于E ，A C 分别交AB 、AD 于G 、F 。以D D 为直径作 O ，设BD 的长为x ， O 的面积为y 。
（1）求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围； （2）连结EF ，求EF 与 O 相切时x 的值；
（3）设四边形ED DF 的面积为S ，试求S 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，S 的值最大，最大值
/
/
/
/
////
是多少？
9. 在平面直角坐标系中给定以下五个点A (-3，，0) B (-1，，4) C (0，，3) D ⎪，E (1，0) ． （1）请从五点中任选三点，求一条以平行于y 轴的直线为对称轴的抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴，并画出草图； （3）已知点F -1⎪在抛物线的对称轴上，直线y =
⎛17⎫
⎝24⎭
⎛⎝15⎫4⎭17⎛17⎫
过点G -1⎪且垂直于对称轴．验证：以
4⎭4⎝
E (1，0) 为圆心，EF 为半径的圆与直线y =
17⎛17⎫
相切．请你进一步验证，以抛物线上的点D ⎪为圆心4⎝24⎭
DF 为半径的圆也与直线y =
17
相切．由此你能猜想到怎样的结论． 4
x
10. 如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC ，O 为原点，点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，点B 坐标
为(m （其中m >0），在BC 边上选取适当的点E 和点F ，将△OCE 沿OE 翻折，得到△OGE ；再将△ABF 沿AF 翻折，恰好使点B 与点G 重合，得到△AGF ，且∠OGA =90．
（1）求m 的值；
（2）求过点O ，G ，A 的抛物线的解析式和对称轴； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△OPG 是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，．．．直接答出所有满足条件的点P 的坐标（不要求写出求解过程）．
．．．．
⎛b 4ac -b 2⎫b
【提示：抛物线y =ax +bx +c (a ≠0) 的对称轴是x =-，顶点坐标是 -⎪】
2a 4a 2a ⎝⎭
2
11、一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600
元(不含套餐成本) ．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x(元) 取整数，用y(元) 表示该店日净．．
收入．(日净收入＝每天的销售额－套餐成本－每天固定支出) (1)求y 与x 的函数关系式；
(2)若每份套餐售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低于多少元？ (3)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？
12、如图, 抛物线y =x +4x 与x 轴分别相交于点B 、O , 它的顶点为A , 连接AB, 把AB 所的直线沿y 轴向上平移, 使它经过原点O, 得到直线l , 设P 是直线l 上一动点.
(1) 求点A 的坐标;
(2) 以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中, 有菱形、等腰梯形、直角梯形,
请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;
(3) 设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S, 点P 的横坐标为x,
当4+≤S ≤6+, 求x 的取值范围.
2
(第28题）
13、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花
卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y 1与投资量x 成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润y 2与投资量x 成二次函数关系，如图12-②所示（注：利润与投资量的单位：万元）
（1）分别求出利润y 1与y 2关于投资量x 的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是
多少？
（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．
14、（2008山东潍坊）一家化工厂原来每月利润为120万元，从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），一方面改善了环境，另一方面大大降低原料成本. 据测算，使用回收净化设备后的1至x 月（1 ≤x ≤12）的利润的月平均值w （万元）满足w=10x+90,第二年的月利润稳定在第1年的第12个月的水 平。
（1）设使用回收净化设备后的1至x 月（1≤x ≤12）的利润和为y, 写出y 关于x 的函数关系式，并求前几个月的利润和等于700万元？
（2）当x 为何值时，使用回收净化设备后的1至x 月的利润和与不安装回收净化设备时x 个月的利润和相等？
（3）求使用回收净化设备后两年的利润总和。
15、(2008年福建省福州市) 如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s，点Q 运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；
（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？
（第21题）
16、(2008年福建省福州市)
如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处．
（1）直接写出点E 、F 的坐标；
（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛．．．物线的解析式；
（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
（第22题）
17、（2008年广东茂名市）我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场
（
1）把上
表中x 、y 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；（4分）
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总
价-成本总价）（4分）
（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元
/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销．．
该工艺品每天获得的利润最大？（2分）
解：
18、（2008年广东茂名市）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－
22
x +b x +c 3
经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2-x 1=5．
（1）求b 、c 的值；（4分）
（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；（3分）
相关链接 :
若x 1, x 2是一元二次方程
ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两
b c
根，则x 1+x 2=-, x 1x 2=.
a a
（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，
并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）
解：
x
19、(2008年广东梅州市) 如图10所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点， EF ⊥DE 交BC 于点F ．
（1）求证： ∆ADE ∽∆BEF ；
（2）设正方形的边长为4，
AE =x ，BF =y ．当x 取什么值时， y 有最大值? 并求出这个最大值．
20、(2008年广东梅州市) 如图11所示，在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ， AD ⊥DB ，AD =DC =CB ，AB =4．以AB 所在直线为x 轴，过D 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．
（1）求∠DAB 的度数及A 、D 、C 三点的坐标；
（2）求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L ．
（3）若P 是抛物线的对称轴L 上的点，那么使∆PDB 为等腰三角形的点P 有几个? （不必求点P 的坐标，只需说明理由）
21、(2008年广东湛江市) 如图11所示，已知抛物线y =x -1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标．
（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．
（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴
于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似． 若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．
2
22. （08东营）在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？
（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，
并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
图 1
B
D 图 2
P 图 3
B
23. （08中山）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边
AB 重合，直角边不重合，已知
AB=8，BC=AD=4，AC 与BD 相交于点E ，连结CD ． (1)填空：如图9，
，；四边形ABCD 是. (2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.
(3)如图10，若以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴建立如图10的平面直角坐标
系，保持ΔABD 不动，将ΔABC 向x 轴的正方向平移到ΔFGH 的位置，FH 与BD 相交于点P ，设AF=t，ΔFBP 面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值值范围.
A
图9
B
图10
24. （08海南）如图13，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A , 它的对称轴x =2 与x 轴交于点C ，直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2, m ) ，且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、E . （1）求m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB =CE ；② D 是BE 的中点；
P , 使得PB =PE , 若存在，试求出所有符
25. （08兰州）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图16所示），拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离
均为5m ．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图17所示），求抛物线的解析式； （2）求支柱EF 的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．
x
图16 26. （08兰州）如图19-1，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA =5，OC =4．
（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D ，E 两点的坐标； （2）如图19-2，若AE 上有一动点P （不与A ，E 重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒（0
（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A ，M ，E 为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M 的坐标．
27. （2008徐州）已知二次函数的图象以A （－1，4）为顶点，且过点B （2，－5） ①求该函数的关系式；
②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A 、B 两点随图象移至A ′、B ′， 求△O A′B ′的面积.
28、（2008扬州）红星公司生产的某种时令商品每件成本为20 元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的 日销售量（件）与时间（天）的关系如下表：
未来40天内，前
20天每天的价格y 1（元
/件）与t 时间（天）的函数关系式为：y 1=1/4t+25（1≤t ≤20且t 为整数）；后20天每天的价格y 2（原/件）与t 时间（天）的函数关系式为：y 2= —1/2t+40（21≤
t ≤40且t 为整数）。下面我们来研究 这种商品的有关问题。
（1）认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；
（2）请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润（a ＜ 4）给希望工程，公司通过销售记录发现，前20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大， 求a 的取值范围。
29. （2008义乌）如图1所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上. 过点B 、C 作直线l ．将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ．
（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t (t ≥0) ，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部
份）为s ，s 关于t 的函数图象如图2所示， OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为4． ①求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积； ②当2
（2）在第（1）题的条件下，当直线l 向左或向右平移时（包括l 与直线BC 重合），在直线上是否．．AB ．．
存在点P ，使∆P 请直接写出所有满足条件的点P 的坐标; 若不存在，D E 为等腰直角三角形? 若存在，请说明理由．
答案
1、（1）解法一：如图25-1
过A 作AE ⊥CD ，垂足为E .
9-45
=. 22
DE 5
在Rt △ADE 中，AD ==⨯2=5.
cos 60︒2
依题意，DE =
解法二：如图25-2
过点A 作AE ∥BC 交CD 于点E ，则CE =AB =4 . ∠AED =∠C =60°. 又∵∠D =∠C =60°，
∴△AED 是等边三角形 . ∴AD =DE =9－4=5 . （2）解：如图25-1
∵CP =x ，h 为PD 边上的高, 依题意，△PD Q 的面积S 可表示为： S=
图25-2 1
PD ·
h 2
=
(9－) ··sin60° 2
2
(9x －x ) 4
39281(x －) ＋. 4162
8139
时（满足0≤x ≤5），S 最大值=.
162
=
=－
由题意，知0≤x ≤5 . 当x =
（3）证法一：如图25-3
假设存在满足条件的点M ，则PD 必须等于D Q .
于是9－x =x ，x =
9
. 2
此时，点P 、Q 的位置如图25-3所示，连Q P .
△PD Q 恰为等边三角形 .
过点Q 作Q M ∥DC ，交BC 于M ，点M 即为所求.
连结MP ，以下证明四边形PD Q M 是菱形 .
易证△MCP ≌△Q DP ，∴∠D=∠3 . MP =PD ∴MP ∥Q D , ∴四边形PD Q M 是平行四边形 . 又MP =PD , ∴四边形PD Q M 是菱形 . 所以存在满足条件的点M ，且BM =BC －MC =5－ 证法二：如图25-4
假设存在满足条件的点M ，则PD 必须等于D Q .
于是9－x =x ，x =
图25-3
91=. 22
9. 2
此时，点P 、Q 的位置如图25-4所示，△PD Q 恰为等边三角形 .
过点D 作DO ⊥P Q 于点O ，延长DO 交BC 于点M ，连结PM 、Q M ，则DM 垂直平分P Q ，∴ MP=M Q . 易知∠1=∠C . ∴P Q ∥BC .
又∵DO ⊥P Q ， ∴MC ⊥MD ∴MP =
1
CD =PD 2
即MP =PD =D Q=QM ∴四边形PD Q M 是菱形
所以存在满足条件的点M ，且BM =BC －MC =5－
91
= 22
2、解：①由题意得y 与x 之间的函数关系式y=x+30（1≤x ≤160，且x 为整数） ②由题意得P 与X 之间的函数关系式 P =(x +30)(1000-3x ) =-3x +910x +30000 ③由题意
2
w =(-3x 2+910x +300000) -30⨯1000-310x 得 =-3(x -100) 2+30000
二次函数精选
1、如图，等腰梯形ABCD 中，AB =4，CD =9，∠C =60°，动点P 从点C 出发沿CD 方向向点D 运动，动点Q 同时以相同速度从点D 出发沿DA 方向向终点A 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求AD 的长；
（2）设CP =x ，问当x 为何值时△PD Q 的面积达到最大，并求出最大值；
（3）探究：在BC 边上是否存在点M 使得四边形PD Q M 是菱形？若存在，请找出点M ，并求出BM 的长；不
存在，请说明理由.
2、我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格20元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．
（1）设x 到后每千克该野生菌的市场价格为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式．
（2）若存放x 天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P 元，试写出P 与x 之间的函数关系式．
（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W 元？ （利润＝销售总额－收购成本－各种费用）
3、王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x （单位：分钟）与学习收益量y 的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间x （单位：分钟）与学习收益量y 的关系如图乙所示（其中OA 是抛物线的一部分，A 为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．
（1）求王亮解题的学习收益量y 与用于解题的时间x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）求王亮回顾反思的学习收益量y 与用于回顾反思的时间x 之间的函数关系式； （3）王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？ （学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）
4、如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。 ⑴求抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标; 若不存在，请说明理由;
⑶若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。
5、如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线x =2与x 轴相交于点
，连结OA ，抛
2
物线y =x 从点O 沿OA 方向平移，与直线x =2交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动．
（1）求线段OA 所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M 的横坐标为m ,
①用m 的代数式表示点P 的坐标； ②当m 为何值时，线段PB 最短；
（3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA
的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若 不存在，请说明理由．
（第24题）
6. （2008年大连）如图18，点C 、B 分别为抛物线C 1：y 1=x +1，抛物线C 2：y 2=a 2x +b 2x +c 2的顶点．分别过点B 、C 作x 轴的平行线，交抛物线C1、C2于点A 、D ，且AB = BD． ⑴求点A 的坐标；
22
⑵如图19，若将抛物线C 1：“y 1=x +1”改为抛物线
“y 1=2x +b 1x +c 1”．其他条件不变，求CD 的长和a 2的值． 附加题：如图19，若将抛物线C 1：“y 1=x +1”改为抛物线 “y 1=a 1x +b 1x +c 1”，其他条件不变，求b 1+b 2的值．
2
2
2
2
2
7. 如图10，直线y =x +m 和抛物线y =x +bx +c 都经过点A(1，0) ，B(3，2) ． ⑴求m 的值和抛物线的解析式；
⑵求不等式x +bx +c >x +m 的解集(直接写出答案) ．
2
8. 如图（1），已知在 ABC 中，AB=AC=10，AD 为底边BC 上的高，且AD=6。将 ACD 沿箭头所示的方向平移，得到 A CD 。如图（2），A D 交AB 于E ，A C 分别交AB 、AD 于G 、F 。以D D 为直径作 O ，设BD 的长为x ， O 的面积为y 。
（1）求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围； （2）连结EF ，求EF 与 O 相切时x 的值；
（3）设四边形ED DF 的面积为S ，试求S 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，S 的值最大，最大值
/
/
/
/
////
是多少？
9. 在平面直角坐标系中给定以下五个点A (-3，，0) B (-1，，4) C (0，，3) D ⎪，E (1，0) ． （1）请从五点中任选三点，求一条以平行于y 轴的直线为对称轴的抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴，并画出草图； （3）已知点F -1⎪在抛物线的对称轴上，直线y =
⎛17⎫
⎝24⎭
⎛⎝15⎫4⎭17⎛17⎫
过点G -1⎪且垂直于对称轴．验证：以
4⎭4⎝
E (1，0) 为圆心，EF 为半径的圆与直线y =
17⎛17⎫
相切．请你进一步验证，以抛物线上的点D ⎪为圆心4⎝24⎭
DF 为半径的圆也与直线y =
17
相切．由此你能猜想到怎样的结论． 4
x
10. 如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC ，O 为原点，点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，点B 坐标
为(m （其中m >0），在BC 边上选取适当的点E 和点F ，将△OCE 沿OE 翻折，得到△OGE ；再将△ABF 沿AF 翻折，恰好使点B 与点G 重合，得到△AGF ，且∠OGA =90．
（1）求m 的值；
（2）求过点O ，G ，A 的抛物线的解析式和对称轴； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△OPG 是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，．．．直接答出所有满足条件的点P 的坐标（不要求写出求解过程）．
．．．．
⎛b 4ac -b 2⎫b
【提示：抛物线y =ax +bx +c (a ≠0) 的对称轴是x =-，顶点坐标是 -⎪】
2a 4a 2a ⎝⎭
2
11、一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600
元(不含套餐成本) ．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x(元) 取整数，用y(元) 表示该店日净．．
收入．(日净收入＝每天的销售额－套餐成本－每天固定支出) (1)求y 与x 的函数关系式；
(2)若每份套餐售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低于多少元？ (3)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？
12、如图, 抛物线y =x +4x 与x 轴分别相交于点B 、O , 它的顶点为A , 连接AB, 把AB 所的直线沿y 轴向上平移, 使它经过原点O, 得到直线l , 设P 是直线l 上一动点.
(1) 求点A 的坐标;
(2) 以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中, 有菱形、等腰梯形、直角梯形,
请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;
(3) 设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S, 点P 的横坐标为x,
当4+≤S ≤6+, 求x 的取值范围.
2
(第28题）
13、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花
卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y 1与投资量x 成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润y 2与投资量x 成二次函数关系，如图12-②所示（注：利润与投资量的单位：万元）
（1）分别求出利润y 1与y 2关于投资量x 的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是
多少？
（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．
14、（2008山东潍坊）一家化工厂原来每月利润为120万元，从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），一方面改善了环境，另一方面大大降低原料成本. 据测算，使用回收净化设备后的1至x 月（1 ≤x ≤12）的利润的月平均值w （万元）满足w=10x+90,第二年的月利润稳定在第1年的第12个月的水 平。
（1）设使用回收净化设备后的1至x 月（1≤x ≤12）的利润和为y, 写出y 关于x 的函数关系式，并求前几个月的利润和等于700万元？
（2）当x 为何值时，使用回收净化设备后的1至x 月的利润和与不安装回收净化设备时x 个月的利润和相等？
（3）求使用回收净化设备后两年的利润总和。
15、(2008年福建省福州市) 如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s，点Q 运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；
（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？
（第21题）
16、(2008年福建省福州市)
如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处．
（1）直接写出点E 、F 的坐标；
（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛．．．物线的解析式；
（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
（第22题）
17、（2008年广东茂名市）我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场
（
1）把上
表中x 、y 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；（4分）
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总
价-成本总价）（4分）
（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元
/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销．．
该工艺品每天获得的利润最大？（2分）
解：
18、（2008年广东茂名市）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－
22
x +b x +c 3
经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2-x 1=5．
（1）求b 、c 的值；（4分）
（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；（3分）
相关链接 :
若x 1, x 2是一元二次方程
ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两
b c
根，则x 1+x 2=-, x 1x 2=.
a a
（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，
并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）
解：
x
19、(2008年广东梅州市) 如图10所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点， EF ⊥DE 交BC 于点F ．
（1）求证： ∆ADE ∽∆BEF ；
（2）设正方形的边长为4，
AE =x ，BF =y ．当x 取什么值时， y 有最大值? 并求出这个最大值．
20、(2008年广东梅州市) 如图11所示，在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ， AD ⊥DB ，AD =DC =CB ，AB =4．以AB 所在直线为x 轴，过D 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．
（1）求∠DAB 的度数及A 、D 、C 三点的坐标；
（2）求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L ．
（3）若P 是抛物线的对称轴L 上的点，那么使∆PDB 为等腰三角形的点P 有几个? （不必求点P 的坐标，只需说明理由）
21、(2008年广东湛江市) 如图11所示，已知抛物线y =x -1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标．
（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．
（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴
于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似． 若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．
2
22. （08东营）在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？
（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，
并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
图 1
B
D 图 2
P 图 3
B
23. （08中山）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边
AB 重合，直角边不重合，已知
AB=8，BC=AD=4，AC 与BD 相交于点E ，连结CD ． (1)填空：如图9，
，；四边形ABCD 是. (2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.
(3)如图10，若以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴建立如图10的平面直角坐标
系，保持ΔABD 不动，将ΔABC 向x 轴的正方向平移到ΔFGH 的位置，FH 与BD 相交于点P ，设AF=t，ΔFBP 面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值值范围.
A
图9
B
图10
24. （08海南）如图13，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A , 它的对称轴x =2 与x 轴交于点C ，直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2, m ) ，且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、E . （1）求m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB =CE ；② D 是BE 的中点；
P , 使得PB =PE , 若存在，试求出所有符
25. （08兰州）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图16所示），拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离
均为5m ．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图17所示），求抛物线的解析式； （2）求支柱EF 的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．
x
图16 26. （08兰州）如图19-1，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA =5，OC =4．
（1）在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D ，E 两点的坐标； （2）如图19-2，若AE 上有一动点P （不与A ，E 重合）自A 点沿AE 方向向E 点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t 秒（0
（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，以A ，M ，E 为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M 的坐标．
27. （2008徐州）已知二次函数的图象以A （－1，4）为顶点，且过点B （2，－5） ①求该函数的关系式；
②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A 、B 两点随图象移至A ′、B ′， 求△O A′B ′的面积.
28、（2008扬州）红星公司生产的某种时令商品每件成本为20 元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的 日销售量（件）与时间（天）的关系如下表：
未来40天内，前
20天每天的价格y 1（元
/件）与t 时间（天）的函数关系式为：y 1=1/4t+25（1≤t ≤20且t 为整数）；后20天每天的价格y 2（原/件）与t 时间（天）的函数关系式为：y 2= —1/2t+40（21≤
t ≤40且t 为整数）。下面我们来研究 这种商品的有关问题。
（1）认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；
（2）请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润（a ＜ 4）给希望工程，公司通过销售记录发现，前20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大， 求a 的取值范围。
29. （2008义乌）如图1所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上. 过点B 、C 作直线l ．将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ．
（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t (t ≥0) ，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部
份）为s ，s 关于t 的函数图象如图2所示， OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为4． ①求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积； ②当2
（2）在第（1）题的条件下，当直线l 向左或向右平移时（包括l 与直线BC 重合），在直线上是否．．AB ．．
存在点P ，使∆P 请直接写出所有满足条件的点P 的坐标; 若不存在，D E 为等腰直角三角形? 若存在，请说明理由．
答案
1、（1）解法一：如图25-1
过A 作AE ⊥CD ，垂足为E .
9-45
=. 22
DE 5
在Rt △ADE 中，AD ==⨯2=5.
cos 60︒2
依题意，DE =
解法二：如图25-2
过点A 作AE ∥BC 交CD 于点E ，则CE =AB =4 . ∠AED =∠C =60°. 又∵∠D =∠C =60°，
∴△AED 是等边三角形 . ∴AD =DE =9－4=5 . （2）解：如图25-1
∵CP =x ，h 为PD 边上的高, 依题意，△PD Q 的面积S 可表示为： S=
图25-2 1
PD ·
h 2
=
(9－) ··sin60° 2
2
(9x －x ) 4
39281(x －) ＋. 4162
8139
时（满足0≤x ≤5），S 最大值=.
162
=
=－
由题意，知0≤x ≤5 . 当x =
（3）证法一：如图25-3
假设存在满足条件的点M ，则PD 必须等于D Q .
于是9－x =x ，x =
9
. 2
此时，点P 、Q 的位置如图25-3所示，连Q P .
△PD Q 恰为等边三角形 .
过点Q 作Q M ∥DC ，交BC 于M ，点M 即为所求.
连结MP ，以下证明四边形PD Q M 是菱形 .
易证△MCP ≌△Q DP ，∴∠D=∠3 . MP =PD ∴MP ∥Q D , ∴四边形PD Q M 是平行四边形 . 又MP =PD , ∴四边形PD Q M 是菱形 . 所以存在满足条件的点M ，且BM =BC －MC =5－ 证法二：如图25-4
假设存在满足条件的点M ，则PD 必须等于D Q .
于是9－x =x ，x =
图25-3
91=. 22
9. 2
此时，点P 、Q 的位置如图25-4所示，△PD Q 恰为等边三角形 .
过点D 作DO ⊥P Q 于点O ，延长DO 交BC 于点M ，连结PM 、Q M ，则DM 垂直平分P Q ，∴ MP=M Q . 易知∠1=∠C . ∴P Q ∥BC .
又∵DO ⊥P Q ， ∴MC ⊥MD ∴MP =
1
CD =PD 2
即MP =PD =D Q=QM ∴四边形PD Q M 是菱形
所以存在满足条件的点M ，且BM =BC －MC =5－
91
= 22
2、解：①由题意得y 与x 之间的函数关系式y=x+30（1≤x ≤160，且x 为整数） ②由题意得P 与X 之间的函数关系式 P =(x +30)(1000-3x ) =-3x +910x +30000 ③由题意
2
w =(-3x 2+910x +300000) -30⨯1000-310x 得 =-3(x -100) 2+30000