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考点33 空间几何体的结构及其三视图和直观图、
空间几何体的表面积与体积
一、选择题
1. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ9）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T7) 相同
一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是
(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时, 以zOx 平面为投影面, 则得到正视图可以为 (
)
【解析】选A. 由题意可知, 该四面体为正四面体, 其中一个顶点在坐标原点, 另外三个顶点分别在三个坐标平面内, 所以以zOx 平面为投影面, 则得到的正视图可以为选项A 中的图.
2. （2013·山东高考文科·Ｔ4）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，
其正（主）视图如图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是（ ）A.
B.
C. 1), D. 8,8
- 1 -
8
383
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【解题指南】本题考查空间几何体的三视图及表面积和体积公式.
【解析】选B. 由图知，此棱锥高为2，底面正方形的边长为2，V =⨯2⨯2⨯2=,
⎫
侧面积需要计算侧面三角形的高h =22+12=，S 侧=4⨯⎛ ⨯2⨯5⎪=45.
⎭
1
⎝2
1383
3. （2013·广东高考文科·Ｔ6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）
A ． B ．
11632
C ． D ．1
3
【解题指南】本题考查空间想象能力，要能由三视图还原出几何体的形状. 【解析】选D. 由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2， 则V =⨯⨯1⨯1⨯2=.
4. （2013·广东高考理科·Ｔ5）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）
1132
13
- 2 -
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A ．4 B ．
1416
C ． D ．6 33
【解题指南】本题考查空间想象能力与台体体积公式，应首先还原出台体形状再计算.
【解析】选B. 四棱台的上下底面均为正方形，两底面边长和高分别为1, 2, 2
，
1114
V 棱台=S 上+S 下h =1+42=.
333
5. （2013·辽宁高考文科·Ｔ10）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ10）相同已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若
AB =3, AC =4, AB ⊥AC , AA 1=12, ，则球O 的半径为（ ）
A .
B . C .
132
D .
【解题指南】对于某些简单组合体的相接问题，通过作出截面，使得有关的元素间的数量关系相对集中在某个平面图形中。
【解析】选C. 由题意，结合图形，经过球心O 和三棱柱的侧棱中点的大圆，与三棱柱的侧棱垂直，三棱柱的底面三角形ABC 为直角三角形，其外接圆的圆心
O '为其斜边BC 的中点，连接OA , OO ', O 'A , 由勾股定理，OA 2=O 'O 2+O 'A 2
其中OA =R , OO '=AA 1=6, O 'A =BC =, 所以球O
的半径为OA =R ==
12125213. 2
6. （2013·重庆高考理科·Ｔ5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(
)
- 3 -
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A.
560580
B. C. 200 D. 240 33
【解题指南】直接根据三视图还原成原来的几何体, 然后再根据体积公式求解. 【解析】选C. 由三视图可知, 该几何体为一个放倒的四棱柱, 底面为梯形, 由三视图可知该四棱柱的底面积为⨯(2+8)⨯4=20. 高为10. 故体积为20⨯10=200.
7. （2013·湖南高考理科·Ｔ7）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ） ．．．A ．1 B
C
．
D
． 22
1
2
【解题指南】由俯视图可知该正方体是水平放置的, 则正视图有许多种可能, 但最小面应是一个侧面, 最大面应是一个垂直于水平面的对角面.
【解析】选C. 由于俯视图是一个面积为1的正方形, 所以正方体是平放在水平面上, 所以正视图最小面积是一个侧面的面积为1,
最大面积为一个对角面的面积为
，而
＜1，所以答案C 不正确. 2
8. （2013·重庆高考文科·Ｔ8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表
面积为( )
A. 180 B. 200 C. 220 D. 240
【解题指南】根据三视图可还原原来的几何体, 然后求出该几何体的表面积. 【解析】选D. 由三视图可知该几何体为底面为梯形的直四棱柱.
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底面积为2⨯(8+2) ⨯4=40, 由三视图知, 梯形的腰为32+42=5, 梯形的周长为
8+2+5+5=20, 所以四棱柱的侧面积为20⨯10=200. 表面积为240.
12
9. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ6）如图, 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高8cm, 将一个球放在容器口, 再向容器内注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为6cm, 如果不计容器的厚度, 则球的体积为 (
)
A.
500π
cm 3 3
B.
866π
cm 3 3
1372π2048πC. cm 3 D. cm 3
3
3
【解题指南】结合截面图形, 构造直角三角形, 利用勾股定理列出关于球半径的方程, 求出球半径, 再利用V =πR 3求出球的体积.
【解析】选A. 设球的半径为R, 由勾股定理可知， R 2=(R -2) 2+42, 解得R =5 ，所以球的体积V =πR 3=π⨯53=
4
3
43
500π
(cm 2) . 3
43
10. (2013·浙江高考文科·T5) 已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示, 则该几何体的体积是 (
)
A.108cm 3 B.100cm 3 C.92cm 3 D.84cm 3 【解题指南】根据几何体的三视图, 还原成几何体, 再求体积.
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【解析】选B. 由三视图可知原几何体如图所示
,
所以V =V ABCD -A B C D -V M -A D N =6⨯6⨯3-⨯⨯3⨯4⨯4=100.
1111
11
1132
11. （2013·湖南高考文科·Ｔ7）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1
的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ） A ．
1 B.1
C.
22
【解题指南】根据面积关系得出，侧视图就是正方体的一个对角面，则正视图也是一个对角面
【解析】选D ，根据条件得知正视图和侧视图一样，是正方体的一个对角面，故面积相等
12. （2013·四川高考理科·Ｔ3）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）
【解题指南】本题考查的是几何体的三视图，在判断时要结合三种视图进行判断，特别要注意虚线的标注.
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【解析】选D. 根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致，并且俯视图是两个圆，可知只有选项D 合适，故选D.
13. （2013·四川高考文科·Ｔ2）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
A 棱柱 B 棱台 C 圆柱 D 圆台
【解题指南】本题考查的是几何体的三视图，在判断时要结合三种视图进行判断.
【解析】选D ，根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致且为梯形，并且俯视图是两个圆，可知只有选项D 合适，故选D.
14. （2013·湖北高考理科·Ｔ8）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1， V 2， V 3，V 4，若上面两个几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ） A. V1 ＜V 2＜V 4 ＜V 3 B. V1 ＜V 3＜V 2＜V 4
C. V2＜V 1＜V 3＜V 4 D. V2＜V 3
＜V 1＜V 4
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【解题指南】计算V 1, V 2, V 3, V 4. 的大小，然后作比较. 【解析】选
C. V 1=
17π4ππ=, 7
8; 33
128V 4=416=>9; 从而V 2
33
()
()
15. （2013·江西高考文科·Ｔ8）一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为（ ）
A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π
【解题指南】观察三视图得出几何体的结构特征，再代入体积公式进行计算. 【解析】选A. 由三视图知该几何体是一个组合体，上部是半圆柱，底面半径为3，高为2；下部为长方体，长、宽、高分别为10,4,5. 所以此几何体的体积为
1
π⨯32⨯2+10⨯4⨯5=200+9π. 2
16. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ11）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ8）相同
某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 ( )
A.16+8π B.8+8π
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C.16+16π D.8+16π
【解题指南】观察三视图，根据三视图确定几何体的构成，利用圆柱及长方体的体积公式求解.
【解析】选A. 由三视图可知, 该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,
所以体积为×π×22×4+2×2×4=16+8π. 二、填空题
17. （2013·辽宁高考文科·Ｔ13）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ13）相同某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_______.
1
2
【解题指南】由三视图知该几何体是一个简单的组合体，一个圆柱的内部被挖去一个长方体。
【解析】圆柱的底面半径为2，母线长4，其体积V 1=sh =π⨯22⨯4=16π; 被挖去一个底面是边长为2的正方形，侧棱长4的长方体，其体积V 2=22⨯4=16. 故该几何体的体积是V =V 1-V 2=16π-16. 【答案】16π-16
18. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ15）已知H 是球O 的直径AB 上一点，
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AH:HB=1:2,AB⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为_______.
【解析】因为α截球O 所得截面的面积为π，所以截面α的半径为1. 设球的半径为R , 则AH =
92
2R 4R R 9, BH =, 由勾股定理得12+() 2=R 2, 解得R 2=. 所以球O 的表面3338
积为4πR 2=π. 【答案】π.
19. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ16）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ16）相同
已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，
3
则球O 的表面积等于 . OK =，且圆O 与圆K 所在的平面所成角为60 ，
2
92
【解题指南】解决本题要明确球大圆是指球的切面过圆心的圆. 根据题意画出图形，确定圆O 与圆K 所在平面的二面角，构造直角三角形求出半径长. 【解析】如图，
设公共弦MN =R , E 为MN 的中点，则OE ⊥MN ，KE ⊥MN
∠OEK 为圆O 与圆K 所在平面的二面角.
所以∠OEK =60 ，又∆OMN 为等边三角形， 所以OE =
3
R . 又因为OK =, OK ⊥EK ， 22
- 10 -
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所以OE ⋅sin 600=，即
323R 33⋅=. 222
解得R =2，所以S =4πR 2=16π. 【答案】16π
20. （2013·天津高考文科·Ｔ10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为9π, 则正方体的棱长为 .
2
【解题指南】先根据球的体积求出半径，再根据球的直径与其内接正方体对角线的相等关系求其棱长.
【解析】设球半径为R ，因为球的体积为4πR 3=9π，所以R=3，又由球的直径
3
2
2
与其内接正方体对角线的相等知正方体的对角线长为3
21. (2013·浙江高考理科·T12) 若某几何体的三视图(单位:cm ) 如图所示, 则此几何体的体积等于 cm 3
.
【解题指南】先由三视图, 画出几何体, 再根据几何体求解. 【解析】由三视图可知原几何体如图所示,
- 11 -
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所以V =V ABC -A B C -V M -ABC
111
1111
=S ABC ⋅5-S ABC ⋅3=⨯3⨯4⨯5-⨯⨯3⨯4⨯3=30-6=24.
3232
【答案】24
22. （2013·上海高考理科·T13）在xOy 平面上，将两个半圆弧(x -1) 2+y 2=1(x ≥1) 和
(x -3) 2+y 2=1(x ≥3) 、两条直线y =1和y =-1围成的
封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y
轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0, y )(|y |≤1) 作Ω
的水平截面，所得截面面积为
4π8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积
值为__________
【解析】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积
8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的
截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为π⋅12⋅2π+2⋅8π=2π2+16π． 【答案】2π2+16π
23. （2013·上海高考文科·T10）已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r,O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上的两个不同的点，BC 是母线，如图. 若直线OA 与BC 所成角的大小为，则=
.
π
6
l r
- 12 -
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【解析】由题知，tan 【答案】3
24. (2013·江苏高考数学科·T8) 如图, 在三棱柱A 1B 1C 1ABC 中,D,E,F 分别是AB,AC,AA 1的中点, 设三棱锥F ADE 的体积为V 1, 三棱柱A 1B 1C 1ABC 的体积为V 2, 则V 1∶V 2=
.
π
6=
r 3l
=⇒=3 l 3r
【解析】设三棱柱的底面ABC 的面积为S, 高为h, 则其体积为V 2=Sh.因为D,E 分别为AB,AC 的中点, 所以△ADE 的面积等于S , 又因为F 为AA 1的中点, 所以三棱锥F-ADE 的高等于h , 于是三棱锥F-ADE 的体积
11111
V 1=⨯S ⋅h =Sh =V 2 , 故V 1∶V 2=1∶24.
3422424
1
2
14
【答案】1∶24
25. (2013·福建高考理科·T12) 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体, 如果该组合体的正视图、俯视图均如图所示, 且图中的四边形是边长为2的正方形, 则该球的表面积是 .
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【解题指南】如果考球, 我们只要清楚一个结论, 外接球的直径就是长方体的对角线.
【解析】球是棱长为2的正方体的外接球,
则球的直径d ==所以球的表面积为S=4πR 2=πd 2=12π. 【答案】12π
26. (2013·北京高考理科·T14) 如图, 在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点, 点P 在线段D 1E 上, 点P 到直线CC 1的距离的最小值为
.
【解析】如图，
过P 作PH 垂直上底面A 1B 1C 1D 1, 过E 作EE 1垂直上底面A 1B 1C 1D 1,E 1在线段B 1C 1上,P 到线段CC 1的距离为HC 1. 当点P 在线段ED 1上运动时,P 到直线CC 1距离的最小值为C 1到线段D 1E 1的高, 所以最小值就是△C 1D 1E 1
【答案】
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27. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ15）已知正四棱锥O -
ABCD 的体积为O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________。 【解题指南】利用正四棱椎的性质，求得OA 的长，即可得球的表面积. 【解析】设正四棱锥的高为h
，则⨯2h =
=
OA =4π2=24π.
，
2
13，解得高h =，则底面正方
22
=
所以球的表面积为【答案】24π
28. （2013·陕西高考理科·Ｔ12）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .
【解题指南】根据空间几何体的三视图推导出该几何体为半个圆锥，代入圆锥的体积公式求解.
【解析】立体图为半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2。所以体积
11π
⋅⋅π⋅12⋅2= 323
π
【答案】.
3V =
29. （2013·陕西高考文科·Ｔ12）某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 .
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【解题指南】根据空间几何体的三视图推导出该几何体为半个球体，代入球的表面积公式求解.
【解析】综合三视图可知，立体图是一个半径r=1的半个球体。其表面积 =
1
⋅4πr 2+πr 2=3π 2
【答案】3π
30. （2013·湖北高考文科·Ｔ16）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸.
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） 【解题指南】先求出水的体积, 再除以天池盆盆口的面积, 得出平地降雨量. 【解析】圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为
π
(102+10⨯6+62) ⨯9
=3(寸）.
π⨯14
2
【答案】3
31. （2013·北京高考文科·Ｔ10）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________.
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【解题指南】由三视图可判断出此几何体是底面是正方形，高为1的四棱锥，再代入体积公式求体积。
【解析】此棱锥底面是边长为3的正方形，高为1，所以体积为⨯32⨯1=3。 【答案】3 三、解答题
32. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ19）如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA =CB ，
AB =AA 1，∠BAA 1=60
.
13
（Ⅰ）证明AB ⊥A 1C ;
（Ⅱ）若AB=CB=2, A1C=, 求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积 【解题指南】（Ⅰ）取AB 的中点O ，利用线面垂直证明线线垂直；
（Ⅱ）求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积，先确定线面垂直，找到三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高.
【解析】（Ⅰ）取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .
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又S ∆ABC =AB ⋅OC =3，故三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V =S ∆ABC ⨯OA 1=3⨯=3. 33. （2013·上海高考文科·T19）如图，正三棱锥O-ABC 的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积。
2
【解析】由已知条件可知, 正三棱锥O-ABC 的底面△ABC 是边长为2的正三角形, 经计算得底面△ABC 的面积为. 所以该三棱锥的体积为××1=.
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设O' 是正三角形ABC 的中心. 由正三棱锥的性质可知,OO ' ⊥平面ABC. 延长AO ' 交BC 于D, 连接OD, 得
AD=, O' D=. 又因为OO '=1, 所以正三棱锥的斜高OD=. 故侧面积为3××2
12
所以该三棱锥的表面积为+2=3, 因此, 所求三棱锥的体积为, 表面积为3. 34. (2013·福建高考文科·T18) 如图, 在四棱柱P
ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,AB ∥DC,AB ⊥
AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.
(1)当正视方向与向量AD 的方向相同时, 画出四棱锥P
ABCD 的正视图(要求标
出尺寸, 并写出演算过程).
(2)若M 为PA 的中点, 求证DM ∥平面PBC. (3)求三棱锥D
PBC 的体积.
【解题指南】先求出各棱长, 画正视图时, 先投射底面, 然后连结P 的投影即可; 结合中点找中位线, 证明线面平行; 求体积时, 要注意表达, 要说明哪个线段是高. 【解析】方法一:(1)在梯形ABCD 中, 过点C 作CE ⊥AB, 垂足为E, 由已知得, 四边形ADCE 为矩形,AE=CD=3, 在Rt △BEC 中, 由BC=5,CE=4,依勾股定理得:
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BE=3,从而AB=6.又由PD ⊥平面ABCD 得,PD ⊥AD, 从而在Rt △PDA 中, 由AD=4,∠PAD=60°, 得
PD=正视图如图所示:
(2)取PB 中点N, 连结MN,CN,
在△PAB 中,M 是PA 中点,
所以MN ∥AB,MN=1AB=3,又CD ∥AB,CD=3,
2
所以MN ∥CD,MN=CD,
所以四边形MNCD 为平行四边形, 所以DM ∥CN. 又因为DM ⊄平面PBC,CN ⊂平面PBC, 所以DM ∥平面PBC. (3)VD
PBC =V
P
1=S △DBC ·PD, DBC
3所以
又因为S △DBC
=6,PD=方法二:(1)同方法一
V D PBC
=(2)取AB 的中点E, 连结ME,DE,
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(2)取AB 的中点E, 连结ME,DE,
在梯形ABCD 中,BE ∥CD, 且BE=CD,
所以四边形BCDE 为平行四边形,
所以DE ∥BC, 又DE ⊄平面PBC,BC ⊂平面PBC, 所以DE ∥平面PBC.
在△PAB 中,ME ∥PB,
ME ⊄平面PBC,PB ⊂平面PBC,
所以ME ∥平面PBC. 又因为DE ∩ME=E,
所以平面DME ∥平面PBC, 又因为DM ⊂平面DME, 所以DM ∥平面PBC.
(3)同方法一.
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考点33 空间几何体的结构及其三视图和直观图、
空间几何体的表面积与体积
一、选择题
1. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ9）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T7) 相同
一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是
(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时, 以zOx 平面为投影面, 则得到正视图可以为 (
)
【解析】选A. 由题意可知, 该四面体为正四面体, 其中一个顶点在坐标原点, 另外三个顶点分别在三个坐标平面内, 所以以zOx 平面为投影面, 则得到的正视图可以为选项A 中的图.
2. （2013·山东高考文科·Ｔ4）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，
其正（主）视图如图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是（ ）A.
B.
C. 1), D. 8,8
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【解题指南】本题考查空间几何体的三视图及表面积和体积公式.
【解析】选B. 由图知，此棱锥高为2，底面正方形的边长为2，V =⨯2⨯2⨯2=,
⎫
侧面积需要计算侧面三角形的高h =22+12=，S 侧=4⨯⎛ ⨯2⨯5⎪=45.
⎭
1
⎝2
1383
3. （2013·广东高考文科·Ｔ6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）
A ． B ．
11632
C ． D ．1
3
【解题指南】本题考查空间想象能力，要能由三视图还原出几何体的形状. 【解析】选D. 由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2， 则V =⨯⨯1⨯1⨯2=.
4. （2013·广东高考理科·Ｔ5）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）
1132
13
- 2 -
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A ．4 B ．
1416
C ． D ．6 33
【解题指南】本题考查空间想象能力与台体体积公式，应首先还原出台体形状再计算.
【解析】选B. 四棱台的上下底面均为正方形，两底面边长和高分别为1, 2, 2
，
1114
V 棱台=S 上+S 下h =1+42=.
333
5. （2013·辽宁高考文科·Ｔ10）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ10）相同已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若
AB =3, AC =4, AB ⊥AC , AA 1=12, ，则球O 的半径为（ ）
A .
B . C .
132
D .
【解题指南】对于某些简单组合体的相接问题，通过作出截面，使得有关的元素间的数量关系相对集中在某个平面图形中。
【解析】选C. 由题意，结合图形，经过球心O 和三棱柱的侧棱中点的大圆，与三棱柱的侧棱垂直，三棱柱的底面三角形ABC 为直角三角形，其外接圆的圆心
O '为其斜边BC 的中点，连接OA , OO ', O 'A , 由勾股定理，OA 2=O 'O 2+O 'A 2
其中OA =R , OO '=AA 1=6, O 'A =BC =, 所以球O
的半径为OA =R ==
12125213. 2
6. （2013·重庆高考理科·Ｔ5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(
)
- 3 -
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A.
560580
B. C. 200 D. 240 33
【解题指南】直接根据三视图还原成原来的几何体, 然后再根据体积公式求解. 【解析】选C. 由三视图可知, 该几何体为一个放倒的四棱柱, 底面为梯形, 由三视图可知该四棱柱的底面积为⨯(2+8)⨯4=20. 高为10. 故体积为20⨯10=200.
7. （2013·湖南高考理科·Ｔ7）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ） ．．．A ．1 B
C
．
D
． 22
1
2
【解题指南】由俯视图可知该正方体是水平放置的, 则正视图有许多种可能, 但最小面应是一个侧面, 最大面应是一个垂直于水平面的对角面.
【解析】选C. 由于俯视图是一个面积为1的正方形, 所以正方体是平放在水平面上, 所以正视图最小面积是一个侧面的面积为1,
最大面积为一个对角面的面积为
，而
＜1，所以答案C 不正确. 2
8. （2013·重庆高考文科·Ｔ8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表
面积为( )
A. 180 B. 200 C. 220 D. 240
【解题指南】根据三视图可还原原来的几何体, 然后求出该几何体的表面积. 【解析】选D. 由三视图可知该几何体为底面为梯形的直四棱柱.
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底面积为2⨯(8+2) ⨯4=40, 由三视图知, 梯形的腰为32+42=5, 梯形的周长为
8+2+5+5=20, 所以四棱柱的侧面积为20⨯10=200. 表面积为240.
12
9. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ6）如图, 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高8cm, 将一个球放在容器口, 再向容器内注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为6cm, 如果不计容器的厚度, 则球的体积为 (
)
A.
500π
cm 3 3
B.
866π
cm 3 3
1372π2048πC. cm 3 D. cm 3
3
3
【解题指南】结合截面图形, 构造直角三角形, 利用勾股定理列出关于球半径的方程, 求出球半径, 再利用V =πR 3求出球的体积.
【解析】选A. 设球的半径为R, 由勾股定理可知， R 2=(R -2) 2+42, 解得R =5 ，所以球的体积V =πR 3=π⨯53=
4
3
43
500π
(cm 2) . 3
43
10. (2013·浙江高考文科·T5) 已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示, 则该几何体的体积是 (
)
A.108cm 3 B.100cm 3 C.92cm 3 D.84cm 3 【解题指南】根据几何体的三视图, 还原成几何体, 再求体积.
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【解析】选B. 由三视图可知原几何体如图所示
,
所以V =V ABCD -A B C D -V M -A D N =6⨯6⨯3-⨯⨯3⨯4⨯4=100.
1111
11
1132
11. （2013·湖南高考文科·Ｔ7）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1
的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ） A ．
1 B.1
C.
22
【解题指南】根据面积关系得出，侧视图就是正方体的一个对角面，则正视图也是一个对角面
【解析】选D ，根据条件得知正视图和侧视图一样，是正方体的一个对角面，故面积相等
12. （2013·四川高考理科·Ｔ3）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）
【解题指南】本题考查的是几何体的三视图，在判断时要结合三种视图进行判断，特别要注意虚线的标注.
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【解析】选D. 根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致，并且俯视图是两个圆，可知只有选项D 合适，故选D.
13. （2013·四川高考文科·Ｔ2）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
A 棱柱 B 棱台 C 圆柱 D 圆台
【解题指南】本题考查的是几何体的三视图，在判断时要结合三种视图进行判断.
【解析】选D ，根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致且为梯形，并且俯视图是两个圆，可知只有选项D 合适，故选D.
14. （2013·湖北高考理科·Ｔ8）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V 1， V 2， V 3，V 4，若上面两个几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ） A. V1 ＜V 2＜V 4 ＜V 3 B. V1 ＜V 3＜V 2＜V 4
C. V2＜V 1＜V 3＜V 4 D. V2＜V 3
＜V 1＜V 4
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【解题指南】计算V 1, V 2, V 3, V 4. 的大小，然后作比较. 【解析】选
C. V 1=
17π4ππ=, 7
8; 33
128V 4=416=>9; 从而V 2
33
()
()
15. （2013·江西高考文科·Ｔ8）一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为（ ）
A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π
【解题指南】观察三视图得出几何体的结构特征，再代入体积公式进行计算. 【解析】选A. 由三视图知该几何体是一个组合体，上部是半圆柱，底面半径为3，高为2；下部为长方体，长、宽、高分别为10,4,5. 所以此几何体的体积为
1
π⨯32⨯2+10⨯4⨯5=200+9π. 2
16. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ11）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ8）相同
某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 ( )
A.16+8π B.8+8π
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C.16+16π D.8+16π
【解题指南】观察三视图，根据三视图确定几何体的构成，利用圆柱及长方体的体积公式求解.
【解析】选A. 由三视图可知, 该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,
所以体积为×π×22×4+2×2×4=16+8π. 二、填空题
17. （2013·辽宁高考文科·Ｔ13）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ13）相同某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_______.
1
2
【解题指南】由三视图知该几何体是一个简单的组合体，一个圆柱的内部被挖去一个长方体。
【解析】圆柱的底面半径为2，母线长4，其体积V 1=sh =π⨯22⨯4=16π; 被挖去一个底面是边长为2的正方形，侧棱长4的长方体，其体积V 2=22⨯4=16. 故该几何体的体积是V =V 1-V 2=16π-16. 【答案】16π-16
18. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ15）已知H 是球O 的直径AB 上一点，
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AH:HB=1:2,AB⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为_______.
【解析】因为α截球O 所得截面的面积为π，所以截面α的半径为1. 设球的半径为R , 则AH =
92
2R 4R R 9, BH =, 由勾股定理得12+() 2=R 2, 解得R 2=. 所以球O 的表面3338
积为4πR 2=π. 【答案】π.
19. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ16）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ16）相同
已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，
3
则球O 的表面积等于 . OK =，且圆O 与圆K 所在的平面所成角为60 ，
2
92
【解题指南】解决本题要明确球大圆是指球的切面过圆心的圆. 根据题意画出图形，确定圆O 与圆K 所在平面的二面角，构造直角三角形求出半径长. 【解析】如图，
设公共弦MN =R , E 为MN 的中点，则OE ⊥MN ，KE ⊥MN
∠OEK 为圆O 与圆K 所在平面的二面角.
所以∠OEK =60 ，又∆OMN 为等边三角形， 所以OE =
3
R . 又因为OK =, OK ⊥EK ， 22
- 10 -
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所以OE ⋅sin 600=，即
323R 33⋅=. 222
解得R =2，所以S =4πR 2=16π. 【答案】16π
20. （2013·天津高考文科·Ｔ10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为9π, 则正方体的棱长为 .
2
【解题指南】先根据球的体积求出半径，再根据球的直径与其内接正方体对角线的相等关系求其棱长.
【解析】设球半径为R ，因为球的体积为4πR 3=9π，所以R=3，又由球的直径
3
2
2
与其内接正方体对角线的相等知正方体的对角线长为3
21. (2013·浙江高考理科·T12) 若某几何体的三视图(单位:cm ) 如图所示, 则此几何体的体积等于 cm 3
.
【解题指南】先由三视图, 画出几何体, 再根据几何体求解. 【解析】由三视图可知原几何体如图所示,
- 11 -
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所以V =V ABC -A B C -V M -ABC
111
1111
=S ABC ⋅5-S ABC ⋅3=⨯3⨯4⨯5-⨯⨯3⨯4⨯3=30-6=24.
3232
【答案】24
22. （2013·上海高考理科·T13）在xOy 平面上，将两个半圆弧(x -1) 2+y 2=1(x ≥1) 和
(x -3) 2+y 2=1(x ≥3) 、两条直线y =1和y =-1围成的
封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y
轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0, y )(|y |≤1) 作Ω
的水平截面，所得截面面积为
4π8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积
值为__________
【解析】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积
8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的
截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为π⋅12⋅2π+2⋅8π=2π2+16π． 【答案】2π2+16π
23. （2013·上海高考文科·T10）已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r,O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上的两个不同的点，BC 是母线，如图. 若直线OA 与BC 所成角的大小为，则=
.
π
6
l r
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【解析】由题知，tan 【答案】3
24. (2013·江苏高考数学科·T8) 如图, 在三棱柱A 1B 1C 1ABC 中,D,E,F 分别是AB,AC,AA 1的中点, 设三棱锥F ADE 的体积为V 1, 三棱柱A 1B 1C 1ABC 的体积为V 2, 则V 1∶V 2=
.
π
6=
r 3l
=⇒=3 l 3r
【解析】设三棱柱的底面ABC 的面积为S, 高为h, 则其体积为V 2=Sh.因为D,E 分别为AB,AC 的中点, 所以△ADE 的面积等于S , 又因为F 为AA 1的中点, 所以三棱锥F-ADE 的高等于h , 于是三棱锥F-ADE 的体积
11111
V 1=⨯S ⋅h =Sh =V 2 , 故V 1∶V 2=1∶24.
3422424
1
2
14
【答案】1∶24
25. (2013·福建高考理科·T12) 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体, 如果该组合体的正视图、俯视图均如图所示, 且图中的四边形是边长为2的正方形, 则该球的表面积是 .
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【解题指南】如果考球, 我们只要清楚一个结论, 外接球的直径就是长方体的对角线.
【解析】球是棱长为2的正方体的外接球,
则球的直径d ==所以球的表面积为S=4πR 2=πd 2=12π. 【答案】12π
26. (2013·北京高考理科·T14) 如图, 在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点, 点P 在线段D 1E 上, 点P 到直线CC 1的距离的最小值为
.
【解析】如图，
过P 作PH 垂直上底面A 1B 1C 1D 1, 过E 作EE 1垂直上底面A 1B 1C 1D 1,E 1在线段B 1C 1上,P 到线段CC 1的距离为HC 1. 当点P 在线段ED 1上运动时,P 到直线CC 1距离的最小值为C 1到线段D 1E 1的高, 所以最小值就是△C 1D 1E 1
【答案】
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27. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ15）已知正四棱锥O -
ABCD 的体积为O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________。 【解题指南】利用正四棱椎的性质，求得OA 的长，即可得球的表面积. 【解析】设正四棱锥的高为h
，则⨯2h =
=
OA =4π2=24π.
，
2
13，解得高h =，则底面正方
22
=
所以球的表面积为【答案】24π
28. （2013·陕西高考理科·Ｔ12）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .
【解题指南】根据空间几何体的三视图推导出该几何体为半个圆锥，代入圆锥的体积公式求解.
【解析】立体图为半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2。所以体积
11π
⋅⋅π⋅12⋅2= 323
π
【答案】.
3V =
29. （2013·陕西高考文科·Ｔ12）某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 .
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【解题指南】根据空间几何体的三视图推导出该几何体为半个球体，代入球的表面积公式求解.
【解析】综合三视图可知，立体图是一个半径r=1的半个球体。其表面积 =
1
⋅4πr 2+πr 2=3π 2
【答案】3π
30. （2013·湖北高考文科·Ｔ16）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸.
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） 【解题指南】先求出水的体积, 再除以天池盆盆口的面积, 得出平地降雨量. 【解析】圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为
π
(102+10⨯6+62) ⨯9
=3(寸）.
π⨯14
2
【答案】3
31. （2013·北京高考文科·Ｔ10）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________.
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【解题指南】由三视图可判断出此几何体是底面是正方形，高为1的四棱锥，再代入体积公式求体积。
【解析】此棱锥底面是边长为3的正方形，高为1，所以体积为⨯32⨯1=3。 【答案】3 三、解答题
32. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ19）如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA =CB ，
AB =AA 1，∠BAA 1=60
.
13
（Ⅰ）证明AB ⊥A 1C ;
（Ⅱ）若AB=CB=2, A1C=, 求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积 【解题指南】（Ⅰ）取AB 的中点O ，利用线面垂直证明线线垂直；
（Ⅱ）求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积，先确定线面垂直，找到三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高.
【解析】（Ⅰ）取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .
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又S ∆ABC =AB ⋅OC =3，故三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V =S ∆ABC ⨯OA 1=3⨯=3. 33. （2013·上海高考文科·T19）如图，正三棱锥O-ABC 的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积。
2
【解析】由已知条件可知, 正三棱锥O-ABC 的底面△ABC 是边长为2的正三角形, 经计算得底面△ABC 的面积为. 所以该三棱锥的体积为××1=.
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设O' 是正三角形ABC 的中心. 由正三棱锥的性质可知,OO ' ⊥平面ABC. 延长AO ' 交BC 于D, 连接OD, 得
AD=, O' D=. 又因为OO '=1, 所以正三棱锥的斜高OD=. 故侧面积为3××2
12
所以该三棱锥的表面积为+2=3, 因此, 所求三棱锥的体积为, 表面积为3. 34. (2013·福建高考文科·T18) 如图, 在四棱柱P
ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,AB ∥DC,AB ⊥
AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.
(1)当正视方向与向量AD 的方向相同时, 画出四棱锥P
ABCD 的正视图(要求标
出尺寸, 并写出演算过程).
(2)若M 为PA 的中点, 求证DM ∥平面PBC. (3)求三棱锥D
PBC 的体积.
【解题指南】先求出各棱长, 画正视图时, 先投射底面, 然后连结P 的投影即可; 结合中点找中位线, 证明线面平行; 求体积时, 要注意表达, 要说明哪个线段是高. 【解析】方法一:(1)在梯形ABCD 中, 过点C 作CE ⊥AB, 垂足为E, 由已知得, 四边形ADCE 为矩形,AE=CD=3, 在Rt △BEC 中, 由BC=5,CE=4,依勾股定理得:
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BE=3,从而AB=6.又由PD ⊥平面ABCD 得,PD ⊥AD, 从而在Rt △PDA 中, 由AD=4,∠PAD=60°, 得
PD=正视图如图所示:
(2)取PB 中点N, 连结MN,CN,
在△PAB 中,M 是PA 中点,
所以MN ∥AB,MN=1AB=3,又CD ∥AB,CD=3,
2
所以MN ∥CD,MN=CD,
所以四边形MNCD 为平行四边形, 所以DM ∥CN. 又因为DM ⊄平面PBC,CN ⊂平面PBC, 所以DM ∥平面PBC. (3)VD
PBC =V
P
1=S △DBC ·PD, DBC
3所以
又因为S △DBC
=6,PD=方法二:(1)同方法一
V D PBC
=(2)取AB 的中点E, 连结ME,DE,
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(2)取AB 的中点E, 连结ME,DE,
在梯形ABCD 中,BE ∥CD, 且BE=CD,
所以四边形BCDE 为平行四边形,
所以DE ∥BC, 又DE ⊄平面PBC,BC ⊂平面PBC, 所以DE ∥平面PBC.
在△PAB 中,ME ∥PB,
ME ⊄平面PBC,PB ⊂平面PBC,
所以ME ∥平面PBC. 又因为DE ∩ME=E,
所以平面DME ∥平面PBC, 又因为DM ⊂平面DME, 所以DM ∥平面PBC.
(3)同方法一.
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