高中平面解析几何全一册

第二章圆锥曲线

第二单元圆

一、教法建议

【抛砖引玉】

本单元共有两小节，主要研究圆的标准方程和圆的一般方程。

在初中平面几何我们已经学习了圆的定义和性质，在这里我们根据圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹，建立了圆的标准方程：(x －a ) 2 + (y －b ) 2 = r 2，它是由在直角坐标第中圆心的坐标(a 、b ) 和半径r 所确定的方程，又根据平面几何中所学圆的切线的定义和性质，由圆的标准方程研究了圆的切线方程，并由圆的标准方程解决了一些实际问题。

由于圆的标准方程实际上是一个二元二次方程，我们又研究了一般的二元二次方程与圆的方程的关系，得到了圆的一般方程，最后又研究了用待定系数法求圆的方程。

【指点迷津】

这一单元的重点是圆的标准方程和圆的一般方程，要求学生能由圆心坐标和半径长熟练地写出圆的标准方程，并能由圆的标准方程准确地写出它的圆心坐标和半径长。对于圆的一般方程，要求学生掌握它的特点，会用配方法把一般方程化为标准方程。

由于圆是平面几何中重点学习的图形，学习了圆的很多性质，特别是和圆有关的直线和线段（直线的一部分）的性质，如圆的切线，割线，弦等的性质在这一单元都会用到，教师可

概括学习内容适当地复习有关性质，并启发学生在解题中运用性质，可以顺利解决有关问题。

圆的切线也是这个单元的重要内容，它主要研究了过圆上一点的圆的切线，过圆外一点的圆的切线，已知斜率的圆的切线，要求学生掌握求各种条件下切线的方法，在此基础上也可以总结出一些带规律性的东西，适当记忆，加快解题速度，特别是解选择题和填空题，如：

过圆x 2 + y 2 = r 2上一点(x 1，y 1) 的切线方程是x 1x + y 1y = r 2

过圆(x －a ) 2 + (y －b ) 2 = r 2上一点(x 1、y 1) 的切线方程是(x 1－a )(x －a ) + (y 1－b )(y －b ) = r 2

圆x 2 + y 2 = r 2的斜率为k 的切线的方程是y =kx ±r 1+k 2

对于圆的一般方程应要求学生明确掌握，二元二次方程的一般形式 A x 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Dy + F = 0必须满足如下三个条件： (1)x 2和y 2项的系数相同，且不等于零，即A ＝C ≠0 (2)不含xy 项，即B = 0 (3)D2 + E2－4F > 0 才能表示一个圆。

也就是说条件(1)、(2)、(3)总合起来才是二元二次方程表示圆的充要条件。而只具有(1)、(2)两条件是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。

由于圆的标准方程和圆的一般方程中都含有三个独立的参变数，因此确定一个圆需要三个独立条件。用待定系数法求圆的方程时，就要把三个条件转化为三个方程（含a 、b 、r 三个未知数或含D 、E 、F 三个未知数）通过解三元方程组求出未知数而得出圆的方程，一般来说，条件中和圆心有关时用圆的标准方程比较简单。

二、学海导航

【思维基础】

本单元的知识比较单一，它主要研究的就是圆的标准方程和一般方程，因此熟练掌握圆的方程的两种形式是很重要的。而解题又有一定的综合性，它要用到平面几何中有关圆的知识，前一章的直线方程中的有关知识，所以学好本单元还要掌握一定解题方法。

1. 求圆的方程

和求直线方程类似，求圆的方程一般也是两种方法，一种是已知或求出圆心坐标和半径长，直接代入圆的标准方程，另一种是用待定系数法：

根据下列条件求圆的方程

1. 已知直径的两端点是A （－3，5）和B （1，－3） 2. 圆心在A （3，－5）且与直线x －7y + 2 = 0相切 3. 经过点A （2、2）和B （4，－2），圆心在y 轴上

显然，根据条件很容易求出它们的圆心坐标和半径，代入圆的标准方程即可。

1. 圆心为AB 中点C （－1，1）半径r =|AB |=2，圆的方程是(x + 1)2 + (y －1) 2 = 20 2. 半径r 是圆心A （3、－5）到直线x －7y + 2 = 0的距离42，圆的方程是(x －3) 2 + (y + 5) 2 = 32

3. 圆心是线段AB 的垂直平分线与y 轴交点，AB 的垂直平分线是x －2y －3 = 0，圆心是C （0、－），半径|AC| =

1365

65，圆的方程是x 2+(y +) 2=

242

而第3个题也可以用待定系数法，解法是设圆心是（0、b ），圆的方程是x 2 + (y －b ) 2 = r 2因为经过点A （2、2）和B （4、－2），所以有

222

⎧⎪2+(2-b ) =r

⎨222

⎪4+(-2-b ) =r ⎩

解方程组得 b =-，r 2=

265 4

D E

，又由于，-）

此题也可设圆的方程是x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0，它的圆心坐标为（-圆心在y 轴上，故-

= 0，即D = 0，圆的方程化为： 2

x 2 + y 2 + Ey + F = 0

因为经过点A （2，2）和B （4，－2），所以有

22⎧⎪2+2+2E +F =0

⎨22

⎪⎩4+(-2) +(-2)E +F =0

解方程组得：E = 3，F =－14 圆的方程是x 2 + y 2 + 3y －14 = 0 配方得x 2+(y +) 2=

65 4

2. 求圆的切线的方程

圆的切线是直线和圆的一种重要位置关系，初中平面几何中已经学习了它的定义，判定和性质，在这里我们利用已经学过的知识，求圆的切线的方程，在第一部分教法建议中已指出了在几种不同条件下切线方程的写法，并不要求死记硬背，重要的是掌握求圆的切线方程的方法，切线是直线，因此求切线方程就是求直线方程，要用切线的性质找出列直线方程的条件。

例如：已知圆x 2 + y 2 = 1求此圆斜率是－1的切线的方程：设切线方程是y =－x + b即x + y－b = 0

根据圆心到切线的距离等于圆的半径知，圆x 2 + y 2 = 1的圆心（0，0）到切线x + y－b =0的距离等于1，即

|0+0-b |+1

=1b =±2

切线方程是x +y +=0与x +y -=0

3. 圆与直线的问题

圆与直线的位置关系，在解析几何中一般由它们的方程组成的方程组的解的情况来研究，是否可以用其他方法呢？

如判断圆x 2+y 2-2x +4y +1=0和直线3x －4y + 5 = 0的位置关系。除解方程组外还可以用圆心到直线的距离d 与半径r 的关系来判定，若d r，则直线和圆相离。

x 2+y 2-2x +4y +1=0配方得

(x －1) 2 + (y + 2)2 = 4

它的圆心是(1、－2) 半径r = 2

d =

|3+8+5|32+(-4) 2

161=3>2 55

所以直线和圆相离

4. 两个圆的位置关系

我们知道两个圆有五种不同位置关系：即外离、外切、相交、内切、内含，用解方程组的方法讨论时，只能判定相离，相切或相交，但分不出内切还是外切，外离还是内含，若用圆心距与两圆半径之间的关系就能判断出准确的位置关系：如果圆心距用d 表示，两圆半径分别是R ，r （R > r），若d R－r ，则两圆相交；若d = R－r ，则两圆相内切；若d

如：已知两圆的方程分别是x 2 + y 2 = 4和x 2+y 2-6x +8y -24=0。试判断它们的位置关系。

圆x 2 + y 2 = 4的圆心是（0，0），半径r = 2

圆x 2+y 2-6x +8y -24=0，配方化为

，半径为R = 7 (x -3) 2+(y +4) 2=49，圆心为（3，－4）圆心距d = 5，又R －r = 5 即d = R－r

所以两圆相内切

【学法指要】

例1. 求圆心是C （2、－1），且截直线x －y －1 = 0所得弦长是22的圆的方程。

分析：此题的圆心是已知，列圆的方程只须求出半径长，怎样求半径长呢？如图，弦心距、弦的和半径构成直角三角形，若求出弦心距，可求出半径。解：如图：圆心C （2，－1）到直线x －y －1 = 0的距离是

|CD|=

|2+1-1|+(-1)

∵|AB|=2∴|AD|=2

∴半径r =|AC|=2+|AD|2=4 所求圆的方程是(x -2) 2+(y +1) 2=4

例2. 已知一个圆的圆心在直线l 1:x －y －1 = 0上，该圆和直线l 2:4x + 3y + 14 = 0相切，并且直线l 3:3x + 4y + 10 = 0截圆所得弦长为6，试求此圆的方程。

分析：此题直接求圆心坐标和半径比较困难。一般应选择待定系数法求圆的方程，设标准方程还是一般程呢？因为已知条件与圆心有关，设标准方程比较好，我们知道三个独立条件确定一个圆的方程，以下的问题是如何将题目中已知的三个条件转化为三个含a 、b 、r 的方程。

解：如图：

设所求圆的圆心是（a 、b ），半径是r ，圆的方程是(x －a ) 2 + (y －b ) 2 = r 2 由于圆心（a 、b ）在直线x －y －1 = 0上，有a －b －1 = 0 (1) 由于圆与直线4x + 3y + 14 = 0相切，有

|4a +3b +14|3+4

=r (2)

由l 3:3x + 4y + 10 = 0截圆所得弦长为6，有圆心到l 3

的距离

是r 2-32

|3a +4b +10|32+42

=r 2-3 (3)

解由方程(1)、(2)、(3)组成的方程组得 a = 2，b = 1，r = 5 所求圆的方程是

(x -2) 2+(y -1) 2=25

例3. 已知圆x 2 + y 2－2x －3 = 0，求过点A （5，0）的圆的切线方程

分析：首先应判定点A 在圆上还是在圆外。想一想，若点在圆上可以有几条切线？若点在圆外有几条切线？怎么求它们的切线方程呢？切线是直线，现已知过一个点，若能求出斜率或直线上另一点即可求出方程，也可用待定系数法求。

解法一：如图

圆x 2 + y 2－2x －3 = 0的圆心是（1、0），半径是2 点（5、0）在圆外，设切线方程是 y = k(x －5) 即kx －y －5k = 0

因为圆心（1、0）到切线的距离等于半径2

所以

|k -5k |k +1

解得k =±

3 3

所求圆的切线是：

35353x -y -=0和-x -y +=0 3333

化简得

x -3y -5=0和x +3y -5=0

为所求切线方程解法二：如图：

圆x 2 + y 2－2x －3 = 0的圆心是C （1、0）半径是2。点A （5，0）在圆外。设切点为P （x 1、y 1）直线AP 的斜率为∵AP ⊥CP ∴

y 1y

⋅1=-1 x 1-5x 1-1

y 1y

。CP 的斜率为1 x 1-5x 1-1

即x 1+y 1-6x 1+5=0 (1)

∵切点P （x 1、y 1）在圆上

22∴x 1+y 1-2x 1-3=0 (2)

解(1)、(2)组成的方程组，得两组解

⎧x 1=2⎧x 1=2

即有两个切点和⎨⎨

⎪⎩y 1=3⎪⎩y 1=-3P 1(2 , 和 P 2(2 , -3)

则两条切线的斜率分别为-所求切线方程是

y =-

和，

(x -5) 和y =(x -5) 33

化简得x +y -5=0和x -3y -5=0

说明：当求出切点后也可以用两点式写出切线方程

例4. 圆x 2 + y 2 = 4，求经过点P （0，－4）且与圆相交的直线的斜率k 的取值范围。分析：经过点P （0，－4）的直线有多少条？它们的斜率k 的取值范围是什么？它们与圆的位置关系有哪几种情况？k 取什么样的值时，直线才能和圆相交？下面我们用两种方法解此题。

解法一：

设过点P （0，－4）的直线是y = kx－4 解方程组

⎧y =kx -4⎨22

⎩x +y =4

(1) (2)

把(1)代入(2) 得

(k 2+1) x 2-8kx +12=0∆=(-8k ) 2-4(k 2+1) ⨯12 =16k 2-48

因为直线和圆相交，所以△= 16k 2－48 > 0 解得k 3

解法2：

设过点P （0，－4）的直线是y = kx－4即kx －y －4 = 0 圆x 2 + y 2 = 4的圆心是（0，0），半径是2，圆心到直线的距离

d =

|k ⨯0-0-4|k +(-1)

4k +1

因为直线与圆相交，所以d

k 3

4k +1

【思维体操】

例1. 求经过点A （－2，3），并与直线4x + 3y －26 = 0相切于点B （5，2）的圆的方程解法一：

设所求圆的方程是(x －a ) 2 + (y －b ) 2 = r 2

直线4x + 3y = 26的斜率为－

经过切点B （5，2）与已知切线垂直直线的斜率为，直线方程是y －2 =(x －5) 即 3x －4y －7 = 0

根据题意：

⎧3a -4b -7=0⎪222⎨(5-a ) +(2-b ) =r ⎪222⎩(-2-a ) +(3-b ) =r

(1) (2) (3)

3434

解得：a = 1，b =－1，r = 5

所求圆的方程是(x －1) 2 + (y + 1)2 = 25

说明：方程(1)也可由如下方法得到，切线4x + 3y = 26的斜率为-过切点B （5，2）的半径的斜率为，即

b -23

=整理得3a -4b -7=0 a -54

4， 3

解法二：

同解法一，过切点B （5，2）与切线垂直的直线方程是3x －4y －7 = 0

线段AB 的中点是（，），AB 的斜率是k 1=7，方程是y -

2522-31

=-，AB 垂直平分线的斜率是k = 5+27

=7(x -) 即7x －y －8 = 0，解方程组： 22

⎧x =1

得:⎨

⎩y =-1

图

⎧3x -4y -7=0⎨

⎩7x -y -8=0

所以所求圆心为C （1，－1）半径r = |AC| =

(1+2) 2+(-1-3) 2=5

所求圆的方程是(x －1) 2 + (y + 1)2 = 25 解法三：

设圆的方程是x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 圆心是C （-

D E ，-） 22

同解法一，过切点B （5，2）与切线垂直的直线方程是3x －4y －7 = 0

根据题意：

D E ⎧3(-) -4(-) -7=0⎪22⎪⎪22

⎨(-2) +3-2D +3E +F =0 ⎪225+2+5D +2E +F =0⎪⎪⎩

解得：D =－2，E = 2，F =－23

所求圆的方程是：x 2+ y2－2x + 2y + 23 = 0 即(x －1) 2+ (y + 1)2 = 25

评析：此题的三种解法中的解法一和解法三用的都是待定系数法。区别是所设方程一个是标准式，一个是一般式，标准式中明确表示了圆心和半径，而一般式经配方后可知其圆心

为(-

D E 1，-) ，半径为r =D 2+E 2-4F ，记住了可以简化计算，解法二是利用几何性质222

直接求出圆心和半径。由于我们对圆的性质掌握的比较多，用几何性质解决有关圆的问题也是常用的方法，不可忽视，还要注意的是，求圆的方程要有三个独立条件，此题的条件中与直线4x + 3y =26相切于点B （5，2）实际是两个条件，一为切线，二为切点，学生作此题时勿认为是一个条件。

例2. 已知圆x + y －2x －4y + 1 = 0，求经过点P （3，6）的圆的切线的方程。解：经判断点P （3，6）是圆外一点。

设所求切线的方程是y －6 = k (x －3) 即 kx －y －3k + 6 = 0 圆x + y －2x －4y + 1 = 0的圆心为（1，2）半径r =

(-2) 2+(-4) 2-4

因为圆心到切线的距离等于半径

所以

|k -2-3k +6|

k +1|2-k |=k 2+1k =

解得

由于过圆外一点的圆的切线有两条，其中一条与x 轴垂直。所以所求圆的切线是y -6=(x -3) 即3x -4y +15=0和x =3

评析：前面我们已经给出了求过圆外一点圆的切线的方法，一种是先求出切点。此题同学可以自己用这一方法求，但无论哪种方法都用到了切线的斜率，从图中可知一条切线与x 轴垂直，斜率不存在，通过计算方法是不可能得到的。计算结果只能得到一条切线，这显然不全面，就必须根据图形补上一条。

例3. 求经过点P （6，1），且斜率K =的直线被圆x 2 + y 2 = 4所截得的弦长。

解法一：如图，根据题意直线为y -1=(x -6) 即x -2y -4=0 解方程组

8⎧x =2⎪⎧x -2y -4=0⎧x 1=0⎪5 得⎨⎨⎨12

⎩x 2+y 2

=4⎩y 1=-2⎪⎩

y 2=-6

⎪5即直线与圆的交点是A （0，－2），B （85，所得弦长是

|AB| =(8-0) 2+(-6+2) 2=45

解法二：

同解法一，解方程组

⎧⎨x -2y -4=0(1) ⎩x 2+y 2

=4(2)

由(1)x = 2y + 4 代入(2)得

5y 2+16y +12=0则

y 161+y 2=-5

y 121y 2=

(y -4y 161-y 22) =(y 1+y 2) 21y 2=25

由x =2y +4得

x 1-x 2=2(y 1-y 2) (x 1-x 2) 2=4(y 1-y 22) =

6425

-6

）

因为直线与圆的交点是A (x 1⋅y 1) ，B (x 2⋅y 2) 所以弦长为|AB| =(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2=

4 5

解法三：

同解法一，直线方程为x －2y －4 = 0 圆x 2 + y 2 = 4的圆心为（0、0），半径r = 2，圆心到直线的距离是

|OC |=

|0-2⨯0-4|2+(-2) 2

=44

) 5

|AB |=2|AC |=2OA |2-|OC |2=222-(

=45

评析：此题是一个比较简单的问题，在前一单元我们也介绍过求弦长的方法，解法一和解法二都是前面介绍过的方法，解法一和解法二都是前面介绍过的方法。在交点坐标比较简单时，可直接求出交点坐标，再求两点距离得到弦长。若交点坐标比较繁杂时，或采用解法二的方法。而解法三用了圆的性质，解法比较简单，这里又一次提醒大家，解圆的有关问题，一定要考虑是否可用圆的性质。

三、智能显示

【心中有数】

本单元应掌握知识的重点是圆的标准方程和圆的一般方程。要求已知圆的标准方程时，能准确地写出圆心坐标和半径长。要求能把圆的一般方程熟练准确地化为标准方程，还有二元二次方程的一般形式表示圆的充要条件。

另一重点是应掌握一些解题的基本方法，如用待定系数法求圆的方程；根据不同条件求圆的切线的方程及圆和直线的有关问题等。这些方法也为后面学习其他圆锥曲线打下良好的

基础

【动脑动手】

解答下列各题： 1. 选择题

(1)方程x 2 + y 2－x + y + m = 0，则m 的取值范围是：

112211

C. m ＜ D. m ≤

A. m ＞ B. m ＜

(2)自点P （－1，4）向圆x 2 + y 2－4x －6y + 12 = 0引切线，则切线长是： A. 3 B.

D. 5

2. 求和圆x 2 + y 2 + 2x = 0相外切，并且和直线x -3y =0相切于点A （－3，－）的圆的方程。

3. 求与圆x 2 + y 2－4y + 3 = 0相外切，且与x 轴相切的圆的圆心P 的轨迹方程。 4. 求圆上与直线4x + 3y －12 = 0的距离最小的点的坐标，圆的方程是x 2 + y 2 = 4 解

1.(1) C (2) A

2. 解：设所求圆的圆心为B （a 、b ），半径为r ，方程为(x －a ) 2 + (y －b ) 2 = r 2（如图）已知圆x 2 + y 2 + 2x = 0的圆心是C （－1，0），半径是1。

所求的圆的切线x -y =0的斜率为－），B （a 、b ）

所以

b +3

=-3 a +3

，过切点的半径AB 的斜率为－3，又A （－3、3

得 b =-a -43

(1)

因为A （－3、－3）是所求圆上的点，得 (－3－a ) 2 + (－－b ) 2 = r 2 (2) 因为所求圆与已知圆相外切，得 |BC| = r + 1

(a +1) 2+b 2=r +1 (3) 解(1)，(2)，(3)组成的方程组得

⎧a 1=-4⎪

⎨b 1=0⎪r =2⎩1

⎧a 2=0⎪

⎨b 2=-43 ⎪r =6⎩2

所求圆的方程是：

(x +4) 2+y 2=4和x 2+(y +4) 2=36

3. 解：如图

已知圆x 2 + y 2－4y + 3 = 0的圆心是C （0，2）半径是1。设点P 的坐标为（x 、y ）根据题意y > 0 根据题意：|CP| = |y | + 1

把坐标代入，得(x -0) 2+(y -2) 2=|y |+1 整理化简得x 2－6y + 3 = 0

4. 解：

直线4x + 3y －12 = 0的斜率为－。与其垂直直线的斜率是。过圆x 2 + y 2 = 4的圆心（0，0）与已知直线垂直的直线方程是y =

x ，即3x －4y = 0 4

88⎧⎧x =x =-⎧x +y =4⎪⎪⎪15⎪25 解方程组⎨ 得 ⎨⎨

⎩3x -4y =0⎪y 1=6⎪y 2=-6

⎪⎪55⎩⎩8686

得到直线与圆交于点A （，），B （－，－）

5555

点A 到直线4x +3y －12 = 0的距离是

+3⨯-12|

2d 1==542+32

点B 到直线4x +3y -12=0的距离是

|4(-) +3(-) -12|

255d 2==4542+32

|4⨯

所以所求距离最小点的坐标是（，）

565

【创新园地】

1. 与圆x 2 + y 2－2x + 4y + 1 =0关于直线x －y + 2 =0对称的圆的方程。 2. 求经过点A （3，2）和两圆x 2 + y 2 = 1，x 2 + y 2 + 2x = 0的交点的圆。

3. 求经过两圆x 2 + y 2 + 6x －5 = 0和x 2 + y 2 + 6y －7 = 0的交点，且圆心在直线x －y －4 = 0上的圆的方程。

创新园地解答

1. 解：

圆x 2 + y 2－2x + 4y + 1 = 0的圆心是C （1，－2）半径r = 2

圆心C （1，－2）关于直线x －y + 2 = 0的对称点是C ′（－4，3）（过程略）所求圆的方程是

(x + 4) + (y －3) = 4，即 x 2 + y 2 + 8x －6y + 21 = 0 2. 解法一：解方程组

22⎧⎪x +y =1

⎨22

⎪⎩x +y +2x =0

得两圆交点为B （-，

设所求圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 因为圆经过点A （3，2），B （-，D =-

2419，E =0，F =- 77

12313），C （-，-） 222

31），C （-，-）用待定系数法求得222

所求圆的方程是

2419

x -=0即77

7x 2+7y 2-24x -19=0x 2+y 2-

解法二：

可以证明，经过两圆x 2+ y 2－1 = 0和x 2+ y 2+ 2x = 0的交点的圆的方程可以写成 x 2 + y 2 + 2x + λ(x 2 + y 2－1) = 0 (λ≠－1) 这个方程不包括圆x 2 + y 2－1 = 0 因为圆经过点A （3，2）

所以9 + 4 + 6 + λ(9 + 4－1) = 0 λ=－

19 12

所求圆的方程为

x 2 + y 2 + 2x －

7x 2 + 7y 2－24x －19 = 0

说明：这一解法比解法一要简单，有的题目交点坐标不易求出，用此法则简单的多，若作选择题或填空题，用此法解很易得出结果，下面第3题，交点不易求出，用此法求要简单的多。

3. 解

设所求经过两圆x 2 + y 2 + 6x －5 = 0和x 2 + y 2 + 6y －7 = 0的交点的圆为 x 2 + y 2 + 6x －5 +λ(x 2 + y 2 + 6y －7) = 0(λ≠－1) 化为：

66λ7λ+5

x 2 + y 2 + x +y -=0

1+λ1+λ1+λ33λ

圆心是(-，-)

1+λ1+λ

因为圆心在直线x －y －4 = 0上，

33λ

所以- +－4 = 0解得

1+λ1+λ λ=－7 所求圆的方程是

x 2 + y 2 + 6x －5－7(x 2 + y 2 + 6x －7) = 0化简得 3x 2 + 3y 2－3x －21y －22 = 0

四、同步题库

一、选择题

1．以点(2,-1)和(2,3)为直径的两个端点的圆的方程是( )

2222

(A) x+y-4x+2y+1=0 (B) x+y-4x-2y+1=0

2222

192

(x + y 2－1) = 0整理得 12

2. 直线4x-3y+11=0与圆(x+2)+(y-1)=10的位置关系是( ) (A)相切 (B)相离 (C)过圆心 (D)相交但不过圆心

222

3.圆(x-a)+(y-b)=r(r>0)与x 轴相切的充要条件是( )

(A)a=r (B)b=r (C)|a|=r (D)|b|=r

4. 若圆x +y+Dx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，则系数D 、E 、F 满足（） (A)F=0D=0，E=0 (B)F=0，D=0，E ≠0 (C)F=0，D ≠0，E=0 (D)F≠0，D=0，E ≠0

222

5．若方程x +y+4mx-2y+8m+m+1=0表示圆，则m 的取值范围是（）

(A)0

(B)-

(D)-4

6. 两圆x +y-6x=0和x +y-6x-4y-12=0的位置关系是（） (A)相交 (B)外离 (C)内切 (D)外切

7. 圆x +y+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0 的距离等于2的点共有( )

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

222

8. 当圆x +y+2x+ky+k=0的面积最大时, 圆心的坐标是( )

(A)(0,-1) (B)(1,0) (C)(1,-1) (D)(-1,1)

9. 若直线x+2y-1=0与圆x +y-4x+6y+3=0相交于A 、B 两点, 则|AB|等于( )

(A ) 5

(B ) 25

(C ) 5(D ) 10

10. 动圆x +y-2mx+(4m+6)y+5m+12m=0的圆心的轨迹方程是( ) (A)2x-y-3=0 (B)2x-y+3=0 (C)2x+y+3=0 (D)2x+y-3=0 二、填空题

1. 在x 轴上的截距是-1和7, 且半径是5的圆的方程是 2. 直线x=3被圆(x-a)+y=4截得的弦长为23, 则a 的值等于

3. 圆心是(1,-2)且与直线3x-4y=1=0相切的圆的方程是 .

4. 过点P(-3,2)且与圆x +y=13相切的直线方程是 .

5.过点A(-2,2)的直线与圆x +y=2有公共点, 则直线l 的倾斜角a 的取值范围是

2222

6. 两圆x +y-6x+2y+1=0和x +y+2x-4y-11=0的位置关系是 . 三、解答题

1.求过0(0,0),A(3,1),B(-1,3)三点的圆关于点M(2,4)对称的圆的方程.

2.已知圆x +y-2x+4y+2=0内一点P(2,-1),求过P 点的弦中最短的弦所在的直线的方程, 并求这个弦长. 3.如果圆C 经过点P(2,-1),圆心在直线y=-2x上, 又与直线x-y-1=0相切, 求圆C 的方程. 4.求圆x +y-2ax+2ay+3a-2a-1=0当半径最大时，截直线y =-【参考答案】动脑动手

1.(1)C; (2)(A)

2. 解:设所求圆的圆心为

222

B(a,b),半径为r, 方程为(x-a)+(y-b)=r(如图)

已知圆x +y+2x=0的圆心是 C(-1,0)半径是1.

所求的圆的切线x -y =0斜率为

x 所得的弦长。 2

, 3

过切点的半径AB 的斜率为-3 又A(-3,- 3),B(a,b)

所以

b +=- a +3

得b =-a -4 ①

因为A(-3,3) 是所求圆上的点

得(-3-a)+(3-b) =r ②

因为所求圆与已知圆相外切, 得|BC|=r+1

(a +1) 2+b 2=r +1 ③

解①、②、③, 组成的方程得

⎧a 1=-4⎪

⎨b 1=0⎪r =2⎩1

所求圆的方程是:

⎧a 2=0⎪

⎨b 2=-4 ⎪r =6⎩2

(x+4)+y=4和x +(y+4) =36

3. 解:如图

已知圆x +y-4y+3=0的圆心是C(0,2),半径是1。设点P 的坐标为(x,y)根据题意,y>0 根据题意,|CP|=|y|+1

把坐标代入, 得(x -0) +(y -2) =|y |+1

整理化简得x -6y+3=0. 4. 解:直线4x+3y-12=0的斜率为- 斜率是

. 与其垂直直线的 3

4. 3

过圆x +y=4的圆心(0,0)与已知直线垂直的直线方程是y=

x, 即3x=4y=0解方程组

⎧x 2+y 2=4⎨

⎩3x -4y =0

得

8⎧x =⎪⎪15⎨

⎪y =61⎪5⎩8⎧

x =-⎪⎪25

⎨

6⎪y =-2⎪5⎩

8686

得到直线与圆交于点A (, ), B (-, -)

5555

点A 到直线4x +3y -12=0的距离是

864⨯+3⨯-1255

42+32

点B 到直线4x +3y -12=0的距离是

4(-) +3(-) -12

42+32

d 1=

d 2=

所以所求距离最小点的坐标是(, ).

创新园地

1. 解:圆x +y-2x+4y+1=0的圆心是C(1,-2)半径r=2

圆心C(1,-2)关于直线x-y+2=0,的对称点是C(-4,3)(过程略) 所求圆的方程得

(x+4)+(y-3)=4,即 22

x+y+8x-6y+21=0 2.解法一: 解方程组

22⎧⎪x +y =1⎨22⎪⎩x +y +2x =0

131得两圆交点为B (-, ), C (-, -) 2222设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =01313因为圆经过点A (3, 2) B (-, ), C (-, -)

2222

用特定系数法求得D =-所求圆的方程是

2419, E =0, F =- 77

2419

x -=0即

7x 2+7y 2-24x -19=0. x 2+y 2-

解法二:

2222

可以证明, 经过两圆x +y-1=0和x +y+2x=0的交点的圆的方程可以写成 x +y +2x +λ(x +y -1) =0(λ≠-1) 这个方程不包括圆x +y-1=0 因为圆经过点A(3,2) 所以9+4+6+λ(9+4-1)=0 λ=-

2222

19 12

192

(x +y 2-1) =0整理得 12

所求圆的方程为

x +y +2x -

7x+7y-24x-19=0

【说明】

这一解法比解法一要简单, 有的题目交点坐标不易求出, 用此法则简单的多, 若作选择题或填空题, 用此法解很易得出结果, 下面第3题, 交点不易求出, 用此求要简单的多.

2222

3. 解:设所求经过两圆x +y+6x-5=0和x +y+6y-7=0的交点的圆为

x 2+y 2+x -5+λ(x 2+y 2+6y -7) =0(λ≠-1) 化为:

66λ7λ+5+y +=01+λ1+λ1+λ33λ

圆心是(-, -)

1+λ1+λ

因为圆心在直线x -y -4=0上,

33λ

所以-, --4=0上

1+λ1+λλ=-7x 2+y 2+

所求圆的方程是 2222

x +y+6x-5-7(x+y+6y-7)=0 22

3x +3y-3x-21y-22=0 同步题库一、选择题

1.(B)提示:圆心是已知直径的中点(2,1),半径为2的圆的方程(x-2)+(y-1)=4化简后得. 2.(C)提示:已知圆的圆心是(-2,1),它满足直线方程4x-3y+11=0,所以直线经过圆心.

3.(D)提示:若圆与x 轴相切, 则圆心(a,b)到x 轴(y=0)的距离等于r, 即|b|=r,反之, 若 |b|=r,说明圆心到x 轴的距离等于半径r, 则圆与x 轴相切。

4.(B)提示:因为圆x +y+Dx+Ey+F=0与x 轴相切于原点, 所以圆必过原点, 且圆心与y 轴上(除去原点), 因此F=0,D=0, E≠0.

222

5.(B)提示:因为圆x +y+4mx-2y+8m+m+1=0 经过配方后得

(x+2m)+(y-1)=-4m-m, 因为方程表示圆，所以-42-m>0解得-

6.(C)提示:两圆分别配方后化为(x-3)+y=9和(x-3)+(y-2)=1，圆心分别是O 1(0,3)和O 2(3,2)半径分

别是r 1=3,r2=1,圆心距|O1O 2|=2,r1-r 2=2,而圆相内切.

7.(C)提示:圆的方程配方后得(x+1)+(y+2)=8,因此圆心是C(-1,-2),半径为R=22, 圆心到直线

x+y+1=0的距离d=2是半径长的

, 因此与直线x+y+1=0垂直的半径的外端点及与直线平行的直径的2

两个端点到这直线的距离都是2, 除此三点外圆上没有其他点满足条件.

8.(B)提示:圆x 2+y+2x+ky+k=0经配方后得(x +1) +(y +

123

k ) =1-k 2, 因为方程表示圆, 所以半24

径r =+

k , 由于k 2≥0, 所以k=0时r 有最大值, 当k=0时, 圆心为(-1,0). 4

9.(B)提示:把圆的方程配方后得到圆心为C(2,-3),半径r =, 圆心C(2,-3)到直线x+2y-1=0的距离是

|2-6-1|+2

=，在弦心距半径和弦长的一半组成的直角三角形中，根据勾股定理，弦长等于

2() 2-(5) 2=25.

10.(C)提示:根据动圆的方程可知动圆的圆心为(m,-2m,-3),即动圆圆心的横纵坐标满足.

⎧x =m ⎨

⎩y =-2m -3所以x =-

y +32

⎧m =x ⎪即⎨y +3m =-⎪2⎩

整理得

2x +y +3=0.

二、填空题

2222

1．x +y-6x-6y-7=0,提示：设圆的方程为(x-a)+(y-b)=25,因为圆经过点(-1,0)和(7,0),所以

⎧⎪(-1-a ) +b =25 ⎨ 22

⎪⎩(7-a ) +b =25

解方程组得

a=3,b=3,也可以画出图由圆的几何性质得出圆心坐标为(3,3)

2.2或4. 提示：把x=3代入圆的方程得(3-a)+y=4,y=4-(3-a), 解得y =±4-(3-a ) , 由于直线x=3

垂直到x 轴, 所以 24-(3-a ) =23解得a 1=2,a2=4

3.x2+y2-2x+4y+1=0.提示：圆的半径是点(1,-2)到直线3x-4y-1=0的距离，r =

|3+8-1|

=2, 圆的5

方程是(x-1)++(y+2)=4即x +y-2x+4y+1=0.

2222

4.3x-2y+13=0,提示:因为点(-3,2)在圆x +y=13上, 所以过点(-3,2)与圆x +y=13相切的直线方程是-3x+2y=13,即3x-2y+13=0.

π5π22

≤a ≤. 提示:如图:圆x +y=2的圆心在(0,0),半径为2, |AO |=22, 若AB,AC 是圆的两条1212

切线, 切点分别是B 、C, 则|OB|=|OC|=2, 且OB ⊥AB , OC ⊥AC , Rt∆ABO ≌Rt ∆ACO, ∠AOB=∠AOC=60︒, 又

, 切线AC 的倾斜角∠12

5ππ5π, 因此过点A(-2,2)与圆x 2+y2=2有公共点的直线l 的倾斜角的范围是

≤a ≤. CEO=75︒=121212

OA 是第三象限角平分线，所以∠BOD=75︒，∠BDO=15︒，切线AB 的倾斜角a=15︒=

222222

6. 相交, 提示:两圆标准方程为(x-3)+(y+1)=3和(x+1)+(y-2)=4,d=5, r 1+r2=3+4=7,d

三、解答题

1. 解:设过已知三点的圆的方程是x +y+Dx+Ey+F=0

圆过点(-0, 0), A (3, 1), B (-1, 3) ⎧F =0⎪

∴⎨9+13D +E +F =0 ⎪

⎩1+9-D +3E +F =0

解得

⎧D =-2⎪

⎨E =-4⎪F =0⎩

所以过已知三点的圆是x 2+y 2-2x -4y =0配方后得(x -1) 2+(y -2) 2=5

圆心为C (1, 2) 半径r =,

设点C(1,2)关于点M(2,4)的对称点是C '(x0,y 0), 则

1+x 02+y 0

=2, =4, 42

∴x 0=3, y 0=6, 即C '点的坐标是C '(3, 6) ∴所求圆的方程是(x -3) 2+(y -6) 2=5.

2.解:已知圆x +y-2x+4y+2=0,配方后得(x-1)+(y+2)=3,它的圆心在C(1,-2),半径 R=3.

过点P(2,-1)的弦中以P(2,-1)为中点的弦AB 最短, 此时CP ⊥

-1+2

∴k AB =-1

2-1

AB 所在直线的方程是y +1=-(x -2) 即x +y -1=0 k CP =

|CP |=(2-1) 2+(-1+2) 2=2|AC |=∴|AB |=2(|CA |2-|CP |2) =2.

3. 解:设所求圆的圆心为C(a,b),半径为r, 圆的方程为(x-a)+(y-b)=r 根据题意

⎧

⎪(2-a ) 2+(-1b ) 2=r 2⎪⎪

⎨b =-2a ⎪|a -b -1|⎪=r ⎪2⎩ 解得

⎧a =1⎧a =9⎪⎪b =-2或⎨⎨b =-18⎪⎪r =2⎩⎩r =2所求圆的方程是(x -1) 2+(y +2) 2=2

或(x-9)+(y+18)=338

222222

4. 解:圆x +y-2ax+2ay+3a-2a-1=0配方后得(x-a)+(y+a)=-a+2 a+1 其半径为r =

-a 2+2a +1.

∵当a=1时,-a +2a+1有最大值是2 ∴半径r 的最大值是2, 此时圆的方程为

(x-1)+(y+1)=2,即 22

x+y-2x+2y=0 解方程组

⎧x 2+y 2-2x -2y =0⎪ ⎨ 1⎪y =-x

2⎩

⎧x 1=0

⎨

⎩y 1=0

12⎧x =⎪⎪25⎨

⎪y =-62⎪5⎩

126

, -) 55

即直线与圆的交点坐标是(0, 0), (∴弦长=(

122665) +(-) 2=. 555

高中平面解析几何全一册

第二章圆锥曲线

第二单元圆

一、教法建议

【抛砖引玉】

本单元共有两小节，主要研究圆的标准方程和圆的一般方程。

【指点迷津】

概括学习内容适当地复习有关性质，并启发学生在解题中运用性质，可以顺利解决有关问题。

过圆x 2 + y 2 = r 2上一点(x 1，y 1) 的切线方程是x 1x + y 1y = r 2

过圆(x －a ) 2 + (y －b ) 2 = r 2上一点(x 1、y 1) 的切线方程是(x 1－a )(x －a ) + (y 1－b )(y －b ) = r 2

圆x 2 + y 2 = r 2的斜率为k 的切线的方程是y =kx ±r 1+k 2

也就是说条件(1)、(2)、(3)总合起来才是二元二次方程表示圆的充要条件。而只具有(1)、(2)两条件是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。

二、学海导航

【思维基础】

1. 求圆的方程

和求直线方程类似，求圆的方程一般也是两种方法，一种是已知或求出圆心坐标和半径长，直接代入圆的标准方程，另一种是用待定系数法：

根据下列条件求圆的方程

1. 已知直径的两端点是A （－3，5）和B （1，－3） 2. 圆心在A （3，－5）且与直线x －7y + 2 = 0相切 3. 经过点A （2、2）和B （4，－2），圆心在y 轴上

显然，根据条件很容易求出它们的圆心坐标和半径，代入圆的标准方程即可。

3. 圆心是线段AB 的垂直平分线与y 轴交点，AB 的垂直平分线是x －2y －3 = 0，圆心是C （0、－），半径|AC| =

1365

65，圆的方程是x 2+(y +) 2=

242

而第3个题也可以用待定系数法，解法是设圆心是（0、b ），圆的方程是x 2 + (y －b ) 2 = r 2因为经过点A （2、2）和B （4、－2），所以有

222

⎧⎪2+(2-b ) =r

⎨222

⎪4+(-2-b ) =r ⎩

解方程组得 b =-，r 2=

265 4

D E

，又由于，-）

此题也可设圆的方程是x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0，它的圆心坐标为（-圆心在y 轴上，故-

= 0，即D = 0，圆的方程化为： 2

x 2 + y 2 + Ey + F = 0

因为经过点A （2，2）和B （4，－2），所以有

22⎧⎪2+2+2E +F =0

⎨22

⎪⎩4+(-2) +(-2)E +F =0

解方程组得：E = 3，F =－14 圆的方程是x 2 + y 2 + 3y －14 = 0 配方得x 2+(y +) 2=

65 4

2. 求圆的切线的方程

例如：已知圆x 2 + y 2 = 1求此圆斜率是－1的切线的方程：设切线方程是y =－x + b即x + y－b = 0

根据圆心到切线的距离等于圆的半径知，圆x 2 + y 2 = 1的圆心（0，0）到切线x + y－b =0的距离等于1，即

|0+0-b |+1

=1b =±2

切线方程是x +y +=0与x +y -=0

3. 圆与直线的问题

圆与直线的位置关系，在解析几何中一般由它们的方程组成的方程组的解的情况来研究，是否可以用其他方法呢？

如判断圆x 2+y 2-2x +4y +1=0和直线3x －4y + 5 = 0的位置关系。除解方程组外还可以用圆心到直线的距离d 与半径r 的关系来判定，若d r，则直线和圆相离。

x 2+y 2-2x +4y +1=0配方得

(x －1) 2 + (y + 2)2 = 4

它的圆心是(1、－2) 半径r = 2

d =

|3+8+5|32+(-4) 2

161=3>2 55

所以直线和圆相离

4. 两个圆的位置关系

如：已知两圆的方程分别是x 2 + y 2 = 4和x 2+y 2-6x +8y -24=0。试判断它们的位置关系。

圆x 2 + y 2 = 4的圆心是（0，0），半径r = 2

圆x 2+y 2-6x +8y -24=0，配方化为

，半径为R = 7 (x -3) 2+(y +4) 2=49，圆心为（3，－4）圆心距d = 5，又R －r = 5 即d = R－r

所以两圆相内切

【学法指要】

例1. 求圆心是C （2、－1），且截直线x －y －1 = 0所得弦长是22的圆的方程。

|CD|=

|2+1-1|+(-1)

∵|AB|=2∴|AD|=2

∴半径r =|AC|=2+|AD|2=4 所求圆的方程是(x -2) 2+(y +1) 2=4

例2. 已知一个圆的圆心在直线l 1:x －y －1 = 0上，该圆和直线l 2:4x + 3y + 14 = 0相切，并且直线l 3:3x + 4y + 10 = 0截圆所得弦长为6，试求此圆的方程。

解：如图：

|4a +3b +14|3+4

=r (2)

由l 3:3x + 4y + 10 = 0截圆所得弦长为6，有圆心到l 3

的距离

是r 2-32

|3a +4b +10|32+42

=r 2-3 (3)

解由方程(1)、(2)、(3)组成的方程组得 a = 2，b = 1，r = 5 所求圆的方程是

(x -2) 2+(y -1) 2=25

例3. 已知圆x 2 + y 2－2x －3 = 0，求过点A （5，0）的圆的切线方程

解法一：如图

圆x 2 + y 2－2x －3 = 0的圆心是（1、0），半径是2 点（5、0）在圆外，设切线方程是 y = k(x －5) 即kx －y －5k = 0

因为圆心（1、0）到切线的距离等于半径2

所以

|k -5k |k +1

解得k =±

3 3

所求圆的切线是：

35353x -y -=0和-x -y +=0 3333

化简得

x -3y -5=0和x +3y -5=0

为所求切线方程解法二：如图：

圆x 2 + y 2－2x －3 = 0的圆心是C （1、0）半径是2。点A （5，0）在圆外。设切点为P （x 1、y 1）直线AP 的斜率为∵AP ⊥CP ∴

y 1y

⋅1=-1 x 1-5x 1-1

y 1y

。CP 的斜率为1 x 1-5x 1-1

即x 1+y 1-6x 1+5=0 (1)

∵切点P （x 1、y 1）在圆上

22∴x 1+y 1-2x 1-3=0 (2)

解(1)、(2)组成的方程组，得两组解

⎧x 1=2⎧x 1=2

即有两个切点和⎨⎨

⎪⎩y 1=3⎪⎩y 1=-3P 1(2 , 和 P 2(2 , -3)

则两条切线的斜率分别为-所求切线方程是

y =-

和，

(x -5) 和y =(x -5) 33

化简得x +y -5=0和x -3y -5=0

说明：当求出切点后也可以用两点式写出切线方程

解法一：

设过点P （0，－4）的直线是y = kx－4 解方程组

⎧y =kx -4⎨22

⎩x +y =4

(1) (2)

把(1)代入(2) 得

(k 2+1) x 2-8kx +12=0∆=(-8k ) 2-4(k 2+1) ⨯12 =16k 2-48

因为直线和圆相交，所以△= 16k 2－48 > 0 解得k 3

解法2：

设过点P （0，－4）的直线是y = kx－4即kx －y －4 = 0 圆x 2 + y 2 = 4的圆心是（0，0），半径是2，圆心到直线的距离

d =

|k ⨯0-0-4|k +(-1)

4k +1

因为直线与圆相交，所以d

k 3

4k +1

【思维体操】

例1. 求经过点A （－2，3），并与直线4x + 3y －26 = 0相切于点B （5，2）的圆的方程解法一：

设所求圆的方程是(x －a ) 2 + (y －b ) 2 = r 2

直线4x + 3y = 26的斜率为－

经过切点B （5，2）与已知切线垂直直线的斜率为，直线方程是y －2 =(x －5) 即 3x －4y －7 = 0

根据题意：

⎧3a -4b -7=0⎪222⎨(5-a ) +(2-b ) =r ⎪222⎩(-2-a ) +(3-b ) =r

(1) (2) (3)

3434

解得：a = 1，b =－1，r = 5

所求圆的方程是(x －1) 2 + (y + 1)2 = 25

说明：方程(1)也可由如下方法得到，切线4x + 3y = 26的斜率为-过切点B （5，2）的半径的斜率为，即

b -23

=整理得3a -4b -7=0 a -54

4， 3

解法二：

同解法一，过切点B （5，2）与切线垂直的直线方程是3x －4y －7 = 0

线段AB 的中点是（，），AB 的斜率是k 1=7，方程是y -

2522-31

=-，AB 垂直平分线的斜率是k = 5+27

=7(x -) 即7x －y －8 = 0，解方程组： 22

⎧x =1

得:⎨

⎩y =-1

图

⎧3x -4y -7=0⎨

⎩7x -y -8=0

所以所求圆心为C （1，－1）半径r = |AC| =

(1+2) 2+(-1-3) 2=5

所求圆的方程是(x －1) 2 + (y + 1)2 = 25 解法三：

设圆的方程是x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 圆心是C （-

D E ，-） 22

同解法一，过切点B （5，2）与切线垂直的直线方程是3x －4y －7 = 0

根据题意：

D E ⎧3(-) -4(-) -7=0⎪22⎪⎪22

⎨(-2) +3-2D +3E +F =0 ⎪225+2+5D +2E +F =0⎪⎪⎩

解得：D =－2，E = 2，F =－23

所求圆的方程是：x 2+ y2－2x + 2y + 23 = 0 即(x －1) 2+ (y + 1)2 = 25

为(-

D E 1，-) ，半径为r =D 2+E 2-4F ，记住了可以简化计算，解法二是利用几何性质222

例2. 已知圆x + y －2x －4y + 1 = 0，求经过点P （3，6）的圆的切线的方程。解：经判断点P （3，6）是圆外一点。

设所求切线的方程是y －6 = k (x －3) 即 kx －y －3k + 6 = 0 圆x + y －2x －4y + 1 = 0的圆心为（1，2）半径r =

(-2) 2+(-4) 2-4

因为圆心到切线的距离等于半径

所以

|k -2-3k +6|

k +1|2-k |=k 2+1k =

解得

由于过圆外一点的圆的切线有两条，其中一条与x 轴垂直。所以所求圆的切线是y -6=(x -3) 即3x -4y +15=0和x =3

例3. 求经过点P （6，1），且斜率K =的直线被圆x 2 + y 2 = 4所截得的弦长。

解法一：如图，根据题意直线为y -1=(x -6) 即x -2y -4=0 解方程组

8⎧x =2⎪⎧x -2y -4=0⎧x 1=0⎪5 得⎨⎨⎨12

⎩x 2+y 2

=4⎩y 1=-2⎪⎩

y 2=-6

⎪5即直线与圆的交点是A （0，－2），B （85，所得弦长是

|AB| =(8-0) 2+(-6+2) 2=45

解法二：

同解法一，解方程组

⎧⎨x -2y -4=0(1) ⎩x 2+y 2

=4(2)

由(1)x = 2y + 4 代入(2)得

5y 2+16y +12=0则

y 161+y 2=-5

y 121y 2=

(y -4y 161-y 22) =(y 1+y 2) 21y 2=25

由x =2y +4得

x 1-x 2=2(y 1-y 2) (x 1-x 2) 2=4(y 1-y 22) =

6425

-6

）

因为直线与圆的交点是A (x 1⋅y 1) ，B (x 2⋅y 2) 所以弦长为|AB| =(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2=

4 5

解法三：

同解法一，直线方程为x －2y －4 = 0 圆x 2 + y 2 = 4的圆心为（0、0），半径r = 2，圆心到直线的距离是

|OC |=

|0-2⨯0-4|2+(-2) 2

=44

) 5

|AB |=2|AC |=2OA |2-|OC |2=222-(

=45

三、智能显示

【心中有数】

基础

【动脑动手】

解答下列各题： 1. 选择题

(1)方程x 2 + y 2－x + y + m = 0，则m 的取值范围是：

112211

C. m ＜ D. m ≤

A. m ＞ B. m ＜

(2)自点P （－1，4）向圆x 2 + y 2－4x －6y + 12 = 0引切线，则切线长是： A. 3 B.

D. 5

2. 求和圆x 2 + y 2 + 2x = 0相外切，并且和直线x -3y =0相切于点A （－3，－）的圆的方程。

1.(1) C (2) A

2. 解：设所求圆的圆心为B （a 、b ），半径为r ，方程为(x －a ) 2 + (y －b ) 2 = r 2（如图）已知圆x 2 + y 2 + 2x = 0的圆心是C （－1，0），半径是1。

所求的圆的切线x -y =0的斜率为－），B （a 、b ）

所以

b +3

=-3 a +3

，过切点的半径AB 的斜率为－3，又A （－3、3

得 b =-a -43

(1)

因为A （－3、－3）是所求圆上的点，得 (－3－a ) 2 + (－－b ) 2 = r 2 (2) 因为所求圆与已知圆相外切，得 |BC| = r + 1

(a +1) 2+b 2=r +1 (3) 解(1)，(2)，(3)组成的方程组得

⎧a 1=-4⎪

⎨b 1=0⎪r =2⎩1

⎧a 2=0⎪

⎨b 2=-43 ⎪r =6⎩2

所求圆的方程是：

(x +4) 2+y 2=4和x 2+(y +4) 2=36

3. 解：如图

已知圆x 2 + y 2－4y + 3 = 0的圆心是C （0，2）半径是1。设点P 的坐标为（x 、y ）根据题意y > 0 根据题意：|CP| = |y | + 1

把坐标代入，得(x -0) 2+(y -2) 2=|y |+1 整理化简得x 2－6y + 3 = 0

4. 解：

直线4x + 3y －12 = 0的斜率为－。与其垂直直线的斜率是。过圆x 2 + y 2 = 4的圆心（0，0）与已知直线垂直的直线方程是y =

x ，即3x －4y = 0 4

88⎧⎧x =x =-⎧x +y =4⎪⎪⎪15⎪25 解方程组⎨ 得 ⎨⎨

⎩3x -4y =0⎪y 1=6⎪y 2=-6

⎪⎪55⎩⎩8686

得到直线与圆交于点A （，），B （－，－）

5555

点A 到直线4x +3y －12 = 0的距离是

+3⨯-12|

2d 1==542+32

点B 到直线4x +3y -12=0的距离是

|4(-) +3(-) -12|

255d 2==4542+32

|4⨯

所以所求距离最小点的坐标是（，）

565

【创新园地】

1. 与圆x 2 + y 2－2x + 4y + 1 =0关于直线x －y + 2 =0对称的圆的方程。 2. 求经过点A （3，2）和两圆x 2 + y 2 = 1，x 2 + y 2 + 2x = 0的交点的圆。

3. 求经过两圆x 2 + y 2 + 6x －5 = 0和x 2 + y 2 + 6y －7 = 0的交点，且圆心在直线x －y －4 = 0上的圆的方程。

创新园地解答

1. 解：

圆x 2 + y 2－2x + 4y + 1 = 0的圆心是C （1，－2）半径r = 2

圆心C （1，－2）关于直线x －y + 2 = 0的对称点是C ′（－4，3）（过程略）所求圆的方程是

(x + 4) + (y －3) = 4，即 x 2 + y 2 + 8x －6y + 21 = 0 2. 解法一：解方程组

22⎧⎪x +y =1

⎨22

⎪⎩x +y +2x =0

得两圆交点为B （-，

设所求圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 因为圆经过点A （3，2），B （-，D =-

2419，E =0，F =- 77

12313），C （-，-） 222

31），C （-，-）用待定系数法求得222

所求圆的方程是

2419

x -=0即77

7x 2+7y 2-24x -19=0x 2+y 2-

解法二：

所以9 + 4 + 6 + λ(9 + 4－1) = 0 λ=－

19 12

所求圆的方程为

x 2 + y 2 + 2x －

7x 2 + 7y 2－24x －19 = 0

3. 解

设所求经过两圆x 2 + y 2 + 6x －5 = 0和x 2 + y 2 + 6y －7 = 0的交点的圆为 x 2 + y 2 + 6x －5 +λ(x 2 + y 2 + 6y －7) = 0(λ≠－1) 化为：

66λ7λ+5

x 2 + y 2 + x +y -=0

1+λ1+λ1+λ33λ

圆心是(-，-)

1+λ1+λ

因为圆心在直线x －y －4 = 0上，

33λ

所以- +－4 = 0解得

1+λ1+λ λ=－7 所求圆的方程是

x 2 + y 2 + 6x －5－7(x 2 + y 2 + 6x －7) = 0化简得 3x 2 + 3y 2－3x －21y －22 = 0

四、同步题库

一、选择题

1．以点(2,-1)和(2,3)为直径的两个端点的圆的方程是( )

2222

(A) x+y-4x+2y+1=0 (B) x+y-4x-2y+1=0

2222

192

(x + y 2－1) = 0整理得 12

2. 直线4x-3y+11=0与圆(x+2)+(y-1)=10的位置关系是( ) (A)相切 (B)相离 (C)过圆心 (D)相交但不过圆心

222

3.圆(x-a)+(y-b)=r(r>0)与x 轴相切的充要条件是( )

(A)a=r (B)b=r (C)|a|=r (D)|b|=r

4. 若圆x +y+Dx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，则系数D 、E 、F 满足（） (A)F=0D=0，E=0 (B)F=0，D=0，E ≠0 (C)F=0，D ≠0，E=0 (D)F≠0，D=0，E ≠0

222

5．若方程x +y+4mx-2y+8m+m+1=0表示圆，则m 的取值范围是（）

(A)0

(B)-

(D)-4

6. 两圆x +y-6x=0和x +y-6x-4y-12=0的位置关系是（） (A)相交 (B)外离 (C)内切 (D)外切

7. 圆x +y+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0 的距离等于2的点共有( )

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

222

8. 当圆x +y+2x+ky+k=0的面积最大时, 圆心的坐标是( )

(A)(0,-1) (B)(1,0) (C)(1,-1) (D)(-1,1)

9. 若直线x+2y-1=0与圆x +y-4x+6y+3=0相交于A 、B 两点, 则|AB|等于( )

(A ) 5

(B ) 25

(C ) 5(D ) 10

10. 动圆x +y-2mx+(4m+6)y+5m+12m=0的圆心的轨迹方程是( ) (A)2x-y-3=0 (B)2x-y+3=0 (C)2x+y+3=0 (D)2x+y-3=0 二、填空题

1. 在x 轴上的截距是-1和7, 且半径是5的圆的方程是 2. 直线x=3被圆(x-a)+y=4截得的弦长为23, 则a 的值等于

3. 圆心是(1,-2)且与直线3x-4y=1=0相切的圆的方程是 .

4. 过点P(-3,2)且与圆x +y=13相切的直线方程是 .

5.过点A(-2,2)的直线与圆x +y=2有公共点, 则直线l 的倾斜角a 的取值范围是

2222

6. 两圆x +y-6x+2y+1=0和x +y+2x-4y-11=0的位置关系是 . 三、解答题

1.求过0(0,0),A(3,1),B(-1,3)三点的圆关于点M(2,4)对称的圆的方程.

1.(1)C; (2)(A)

2. 解:设所求圆的圆心为

222

B(a,b),半径为r, 方程为(x-a)+(y-b)=r(如图)

已知圆x +y+2x=0的圆心是 C(-1,0)半径是1.

所求的圆的切线x -y =0斜率为

x 所得的弦长。 2

, 3

过切点的半径AB 的斜率为-3 又A(-3,- 3),B(a,b)

所以

b +=- a +3

得b =-a -4 ①

因为A(-3,3) 是所求圆上的点

得(-3-a)+(3-b) =r ②

因为所求圆与已知圆相外切, 得|BC|=r+1

(a +1) 2+b 2=r +1 ③

解①、②、③, 组成的方程得

⎧a 1=-4⎪

⎨b 1=0⎪r =2⎩1

所求圆的方程是:

⎧a 2=0⎪

⎨b 2=-4 ⎪r =6⎩2

(x+4)+y=4和x +(y+4) =36

3. 解:如图

已知圆x +y-4y+3=0的圆心是C(0,2),半径是1。设点P 的坐标为(x,y)根据题意,y>0 根据题意,|CP|=|y|+1

把坐标代入, 得(x -0) +(y -2) =|y |+1

整理化简得x -6y+3=0. 4. 解:直线4x+3y-12=0的斜率为- 斜率是

. 与其垂直直线的 3

4. 3

过圆x +y=4的圆心(0,0)与已知直线垂直的直线方程是y=

x, 即3x=4y=0解方程组

⎧x 2+y 2=4⎨

⎩3x -4y =0

得

8⎧x =⎪⎪15⎨

⎪y =61⎪5⎩8⎧

x =-⎪⎪25

⎨

6⎪y =-2⎪5⎩

8686

得到直线与圆交于点A (, ), B (-, -)

5555

点A 到直线4x +3y -12=0的距离是

864⨯+3⨯-1255

42+32

点B 到直线4x +3y -12=0的距离是

4(-) +3(-) -12

42+32

d 1=

d 2=

所以所求距离最小点的坐标是(, ).

创新园地

1. 解:圆x +y-2x+4y+1=0的圆心是C(1,-2)半径r=2

圆心C(1,-2)关于直线x-y+2=0,的对称点是C(-4,3)(过程略) 所求圆的方程得

(x+4)+(y-3)=4,即 22

x+y+8x-6y+21=0 2.解法一: 解方程组

22⎧⎪x +y =1⎨22⎪⎩x +y +2x =0

131得两圆交点为B (-, ), C (-, -) 2222设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =01313因为圆经过点A (3, 2) B (-, ), C (-, -)

2222

用特定系数法求得D =-所求圆的方程是

2419, E =0, F =- 77

2419

x -=0即

7x 2+7y 2-24x -19=0. x 2+y 2-

解法二:

2222

19 12

192

(x +y 2-1) =0整理得 12

所求圆的方程为

x +y +2x -

7x+7y-24x-19=0

【说明】

2222

3. 解:设所求经过两圆x +y+6x-5=0和x +y+6y-7=0的交点的圆为

x 2+y 2+x -5+λ(x 2+y 2+6y -7) =0(λ≠-1) 化为:

66λ7λ+5+y +=01+λ1+λ1+λ33λ

圆心是(-, -)

1+λ1+λ

因为圆心在直线x -y -4=0上,

33λ

所以-, --4=0上

1+λ1+λλ=-7x 2+y 2+

所求圆的方程是 2222

x +y+6x-5-7(x+y+6y-7)=0 22

3x +3y-3x-21y-22=0 同步题库一、选择题

1.(B)提示:圆心是已知直径的中点(2,1),半径为2的圆的方程(x-2)+(y-1)=4化简后得. 2.(C)提示:已知圆的圆心是(-2,1),它满足直线方程4x-3y+11=0,所以直线经过圆心.

3.(D)提示:若圆与x 轴相切, 则圆心(a,b)到x 轴(y=0)的距离等于r, 即|b|=r,反之, 若 |b|=r,说明圆心到x 轴的距离等于半径r, 则圆与x 轴相切。

4.(B)提示:因为圆x +y+Dx+Ey+F=0与x 轴相切于原点, 所以圆必过原点, 且圆心与y 轴上(除去原点), 因此F=0,D=0, E≠0.

222

5.(B)提示:因为圆x +y+4mx-2y+8m+m+1=0 经过配方后得

(x+2m)+(y-1)=-4m-m, 因为方程表示圆，所以-42-m>0解得-

6.(C)提示:两圆分别配方后化为(x-3)+y=9和(x-3)+(y-2)=1，圆心分别是O 1(0,3)和O 2(3,2)半径分

别是r 1=3,r2=1,圆心距|O1O 2|=2,r1-r 2=2,而圆相内切.

7.(C)提示:圆的方程配方后得(x+1)+(y+2)=8,因此圆心是C(-1,-2),半径为R=22, 圆心到直线

x+y+1=0的距离d=2是半径长的

, 因此与直线x+y+1=0垂直的半径的外端点及与直线平行的直径的2

两个端点到这直线的距离都是2, 除此三点外圆上没有其他点满足条件.

8.(B)提示:圆x 2+y+2x+ky+k=0经配方后得(x +1) +(y +

123

k ) =1-k 2, 因为方程表示圆, 所以半24

径r =+

k , 由于k 2≥0, 所以k=0时r 有最大值, 当k=0时, 圆心为(-1,0). 4

9.(B)提示:把圆的方程配方后得到圆心为C(2,-3),半径r =, 圆心C(2,-3)到直线x+2y-1=0的距离是

|2-6-1|+2

=，在弦心距半径和弦长的一半组成的直角三角形中，根据勾股定理，弦长等于

2() 2-(5) 2=25.

10.(C)提示:根据动圆的方程可知动圆的圆心为(m,-2m,-3),即动圆圆心的横纵坐标满足.

⎧x =m ⎨

⎩y =-2m -3所以x =-

y +32

⎧m =x ⎪即⎨y +3m =-⎪2⎩

整理得

2x +y +3=0.

二、填空题

2222

1．x +y-6x-6y-7=0,提示：设圆的方程为(x-a)+(y-b)=25,因为圆经过点(-1,0)和(7,0),所以

⎧⎪(-1-a ) +b =25 ⎨ 22

⎪⎩(7-a ) +b =25

解方程组得

a=3,b=3,也可以画出图由圆的几何性质得出圆心坐标为(3,3)

2.2或4. 提示：把x=3代入圆的方程得(3-a)+y=4,y=4-(3-a), 解得y =±4-(3-a ) , 由于直线x=3

垂直到x 轴, 所以 24-(3-a ) =23解得a 1=2,a2=4

3.x2+y2-2x+4y+1=0.提示：圆的半径是点(1,-2)到直线3x-4y-1=0的距离，r =

|3+8-1|

=2, 圆的5

方程是(x-1)++(y+2)=4即x +y-2x+4y+1=0.

2222

4.3x-2y+13=0,提示:因为点(-3,2)在圆x +y=13上, 所以过点(-3,2)与圆x +y=13相切的直线方程是-3x+2y=13,即3x-2y+13=0.

π5π22

≤a ≤. 提示:如图:圆x +y=2的圆心在(0,0),半径为2, |AO |=22, 若AB,AC 是圆的两条1212

切线, 切点分别是B 、C, 则|OB|=|OC|=2, 且OB ⊥AB , OC ⊥AC , Rt∆ABO ≌Rt ∆ACO, ∠AOB=∠AOC=60︒, 又

, 切线AC 的倾斜角∠12

5ππ5π, 因此过点A(-2,2)与圆x 2+y2=2有公共点的直线l 的倾斜角的范围是

≤a ≤. CEO=75︒=121212

OA 是第三象限角平分线，所以∠BOD=75︒，∠BDO=15︒，切线AB 的倾斜角a=15︒=

222222

6. 相交, 提示:两圆标准方程为(x-3)+(y+1)=3和(x+1)+(y-2)=4,d=5, r 1+r2=3+4=7,d

三、解答题

1. 解:设过已知三点的圆的方程是x +y+Dx+Ey+F=0

圆过点(-0, 0), A (3, 1), B (-1, 3) ⎧F =0⎪

∴⎨9+13D +E +F =0 ⎪

⎩1+9-D +3E +F =0

解得

⎧D =-2⎪

⎨E =-4⎪F =0⎩

所以过已知三点的圆是x 2+y 2-2x -4y =0配方后得(x -1) 2+(y -2) 2=5

圆心为C (1, 2) 半径r =,

设点C(1,2)关于点M(2,4)的对称点是C '(x0,y 0), 则

1+x 02+y 0

=2, =4, 42

∴x 0=3, y 0=6, 即C '点的坐标是C '(3, 6) ∴所求圆的方程是(x -3) 2+(y -6) 2=5.

2.解:已知圆x +y-2x+4y+2=0,配方后得(x-1)+(y+2)=3,它的圆心在C(1,-2),半径 R=3.

过点P(2,-1)的弦中以P(2,-1)为中点的弦AB 最短, 此时CP ⊥

-1+2

∴k AB =-1

2-1

AB 所在直线的方程是y +1=-(x -2) 即x +y -1=0 k CP =

|CP |=(2-1) 2+(-1+2) 2=2|AC |=∴|AB |=2(|CA |2-|CP |2) =2.

3. 解:设所求圆的圆心为C(a,b),半径为r, 圆的方程为(x-a)+(y-b)=r 根据题意

⎧

⎪(2-a ) 2+(-1b ) 2=r 2⎪⎪

⎨b =-2a ⎪|a -b -1|⎪=r ⎪2⎩ 解得

⎧a =1⎧a =9⎪⎪b =-2或⎨⎨b =-18⎪⎪r =2⎩⎩r =2所求圆的方程是(x -1) 2+(y +2) 2=2

或(x-9)+(y+18)=338

222222

4. 解:圆x +y-2ax+2ay+3a-2a-1=0配方后得(x-a)+(y+a)=-a+2 a+1 其半径为r =

-a 2+2a +1.

∵当a=1时,-a +2a+1有最大值是2 ∴半径r 的最大值是2, 此时圆的方程为

(x-1)+(y+1)=2,即 22

x+y-2x+2y=0 解方程组

⎧x 2+y 2-2x -2y =0⎪ ⎨ 1⎪y =-x

2⎩

⎧x 1=0

⎨

⎩y 1=0

12⎧x =⎪⎪25⎨

⎪y =-62⎪5⎩

126

, -) 55

即直线与圆的交点坐标是(0, 0), (∴弦长=(

122665) +(-) 2=. 555

高中平面解析几何 全一册

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