初一数学教学中的数形结合
丰城市淘沙初级中学
李小凯
数形结合是数学学科学习中一种极为重要的思想方法。我国著名数学家华罗庚先生指出：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”初一学生虽然在第二学期才开始接触系统的几何知识，但抓住教学契机及时渗透数形结合的思想、解题观，对于他们思维的发展、思路的拓展及解题能力的提高，无疑是有很大帮助的。
在小学的知识基础上，初一学生开始从代数和几何两个角度来系统地学习数学知识。在此期间，数形结合主要体现在两个方面：一、利用几何图形解代数题，尤其是利用数轴来解决有关问题；二、利用代数方法解几何题，最常见的是用方程来进行计算。下面我就从这两个方面结合自己在将近一年的教学工作中运用数形结合思想来指导教学的一点体会。
一、 利用几何图形解代数题
《代数》第一章告诉学生代数学的主要内容与主要手段——用字母表示数，紧随其后的第二章在初步认识正、负数后，立即进行了数轴这一知识点的教学。意在让学生进行数形结合思想的渗透。此后又以数轴为重要载体讲解相反数与绝对值概念，为学生学习有理数的加、减、乘、除、乘方等运算打下基础。因此，数轴不仅是解题工具，更成了联系直观与抽象的纽带，帮助学生更加深刻地认识有理数的有关知识。作为几何图形，首先要细致周到地指导学生画好数轴，培养仔细认真的作图习惯，其次更要帮助学生在头脑中建立起数形结合的直观表象，便捷迅速地解决一些代数问题。
如比较两个有理数的大小，一旦学生能在头脑中形成数轴及这两个有理数的左右位置关系，那么根据“左小右大”的原则，数的大小判断易如反掌。
又如解一元一次不等式组时，只有在数轴上找出各个不等式解集的公共部分，才能避免凭空想象时混淆不清的许多错误概念，把某个区间或无解等情形直观表示出来。
【例一】 利用数轴比较下列有理数的大小，并用“
１１
-3－，4，-1.5，2－，0，1，8，-2． ２２
分析：先在数轴上标出各数，再根据数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，立即可以得出结论。
１１
-3－ -2 -1.5 0 1 2－ 4
8 ２２
１１
∴-3－
２２
【例二】 若a 、b 均为有理数，且a>0,b
和-b 四数。
分析：要用“
个数的位置，其大小顺序也就能排列得一清二楚了。
解：∵a>0，
∴在数轴上易于表示出a 和-a 相对应的两点 ∵b
∴b 应位于原点的左侧。 又∵a+b
∴b 在数轴上所对应的位置应位于表示-a 的点的左侧
因而四个数a 、-a 、b 、-b 用“
b
以上两个例题由浅入深、从直观到抽象地应用数轴来比较有理数的大小，对于接触负数概念不久的初一年级学生，理解并掌握这种方法不是难事。
二、 利用代数方法解几何题
在初一开始学习几何后，由于所掌握的知识有限，对学生的要求不能一下子提得太高，不可能要求他们严格地按照推理证明过程来完成一些较复杂的计算题。此时，可以在几何教学中灌输代数思想，用代数方法解决一些几何问题。
【例三】已知，如图，点C 分线段AB 为5∶7，点 D分线段AC 为1∶4，CD=4cm，
则AB= cm。
分析：由5∶7与1∶4联想到比例问题，此时可用代数方法解几何计算题。设AD=x cm，则问题可迎刃而解。
解：设AD=xcm，则CD=4xcm，AC=5xcm，BC=7xcm，AB=12xcm，根据题意，得
4x=4．
解这个方程，得 x=1． ∴12x=12． 答：AB 长为12cm ．
【例四】一个角的余角的3倍比这个角的补角大18º，求这个角的度数。
分析：此题的关键在于理解互余与互补的定义，可直接根据几何语言的文字叙述转化为代数方程。
解：设该角为x º，则其余角为（90-x ）º，补角为（180-x ）º，根据题意，
得
3（90-x ）-（180-x ）=18， 解这个方程，得 x=36． 答：这个角为36º.
【例五】如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠
AOC ，且∠AOD-∠AOE=60º，求∠AOD 的度数。
分析：这里出现了角度之差∠AOD-∠AOE=60º形式的条件，学生可能会计算结果，但难以说明道理。应引导他们从其它已知条件中推出∠AOD 与∠AOE 的另一关系，再通过代数方法计算求解。
解：∵OE 平分∠AOC ，（已知）
∴∠COE=∠AOE. （角平分线定义）
又∵∠AOD+∠AOE +∠COE =180º, （平角定义） ∴∠AOD +2∠AOE =180º. （等量代换）
{ x-y=60,
设∠AOD 为x º，∠AOE 为y º，根据题意，得
x+2y=180.
解这个方程组，得 x=100,
y=40.
∴∠AOD 为100º.
通过以上三例的解答，学生对于用代数方法解决几何计算题的思路已基本掌握，很快就能触类旁通地用类似方法解决许多问题。数形结合的优越性又一次得到了体现。
对于一个几何问题，能不能通过代数计算而求得解决，关键就在于几何问题中的数量关系能不能较方便地表示成适应代数计算的表达式，因而我们在解题分析时既要善于发现直接或间接存在于各相关元素中的数量关系，又要能够从几何性质出发，将所探索到的数量关系代数化，从而在代数计算中完成推理而求得问题的结论。
{
数学家拉格朗日曾这样说过：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门学科结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。”在教学中不拘泥于代数与几何的界限，尽量使它们结合在一起发挥出更大的作用，可使学生体会到数学的无穷奥妙，诱发出他们学习数学的浓厚兴趣，对教学活动无疑是有很大帮助的。
初一数学教学中的数形结合
丰城市淘沙初级中学
李小凯
数形结合是数学学科学习中一种极为重要的思想方法。我国著名数学家华罗庚先生指出：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”初一学生虽然在第二学期才开始接触系统的几何知识，但抓住教学契机及时渗透数形结合的思想、解题观，对于他们思维的发展、思路的拓展及解题能力的提高，无疑是有很大帮助的。
在小学的知识基础上，初一学生开始从代数和几何两个角度来系统地学习数学知识。在此期间，数形结合主要体现在两个方面：一、利用几何图形解代数题，尤其是利用数轴来解决有关问题；二、利用代数方法解几何题，最常见的是用方程来进行计算。下面我就从这两个方面结合自己在将近一年的教学工作中运用数形结合思想来指导教学的一点体会。
一、 利用几何图形解代数题
《代数》第一章告诉学生代数学的主要内容与主要手段——用字母表示数，紧随其后的第二章在初步认识正、负数后，立即进行了数轴这一知识点的教学。意在让学生进行数形结合思想的渗透。此后又以数轴为重要载体讲解相反数与绝对值概念，为学生学习有理数的加、减、乘、除、乘方等运算打下基础。因此，数轴不仅是解题工具，更成了联系直观与抽象的纽带，帮助学生更加深刻地认识有理数的有关知识。作为几何图形，首先要细致周到地指导学生画好数轴，培养仔细认真的作图习惯，其次更要帮助学生在头脑中建立起数形结合的直观表象，便捷迅速地解决一些代数问题。
如比较两个有理数的大小，一旦学生能在头脑中形成数轴及这两个有理数的左右位置关系，那么根据“左小右大”的原则，数的大小判断易如反掌。
又如解一元一次不等式组时，只有在数轴上找出各个不等式解集的公共部分，才能避免凭空想象时混淆不清的许多错误概念，把某个区间或无解等情形直观表示出来。
【例一】 利用数轴比较下列有理数的大小，并用“
１１
-3－，4，-1.5，2－，0，1，8，-2． ２２
分析：先在数轴上标出各数，再根据数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，立即可以得出结论。
１１
-3－ -2 -1.5 0 1 2－ 4
8 ２２
１１
∴-3－
２２
【例二】 若a 、b 均为有理数，且a>0,b
和-b 四数。
分析：要用“
个数的位置，其大小顺序也就能排列得一清二楚了。
解：∵a>0，
∴在数轴上易于表示出a 和-a 相对应的两点 ∵b
∴b 应位于原点的左侧。 又∵a+b
∴b 在数轴上所对应的位置应位于表示-a 的点的左侧
因而四个数a 、-a 、b 、-b 用“
b
以上两个例题由浅入深、从直观到抽象地应用数轴来比较有理数的大小，对于接触负数概念不久的初一年级学生，理解并掌握这种方法不是难事。
二、 利用代数方法解几何题
在初一开始学习几何后，由于所掌握的知识有限，对学生的要求不能一下子提得太高，不可能要求他们严格地按照推理证明过程来完成一些较复杂的计算题。此时，可以在几何教学中灌输代数思想，用代数方法解决一些几何问题。
【例三】已知，如图，点C 分线段AB 为5∶7，点 D分线段AC 为1∶4，CD=4cm，
则AB= cm。
分析：由5∶7与1∶4联想到比例问题，此时可用代数方法解几何计算题。设AD=x cm，则问题可迎刃而解。
解：设AD=xcm，则CD=4xcm，AC=5xcm，BC=7xcm，AB=12xcm，根据题意，得
4x=4．
解这个方程，得 x=1． ∴12x=12． 答：AB 长为12cm ．
【例四】一个角的余角的3倍比这个角的补角大18º，求这个角的度数。
分析：此题的关键在于理解互余与互补的定义，可直接根据几何语言的文字叙述转化为代数方程。
解：设该角为x º，则其余角为（90-x ）º，补角为（180-x ）º，根据题意，
得
3（90-x ）-（180-x ）=18， 解这个方程，得 x=36． 答：这个角为36º.
【例五】如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠
AOC ，且∠AOD-∠AOE=60º，求∠AOD 的度数。
分析：这里出现了角度之差∠AOD-∠AOE=60º形式的条件，学生可能会计算结果，但难以说明道理。应引导他们从其它已知条件中推出∠AOD 与∠AOE 的另一关系，再通过代数方法计算求解。
解：∵OE 平分∠AOC ，（已知）
∴∠COE=∠AOE. （角平分线定义）
又∵∠AOD+∠AOE +∠COE =180º, （平角定义） ∴∠AOD +2∠AOE =180º. （等量代换）
{ x-y=60,
设∠AOD 为x º，∠AOE 为y º，根据题意，得
x+2y=180.
解这个方程组，得 x=100,
y=40.
∴∠AOD 为100º.
通过以上三例的解答，学生对于用代数方法解决几何计算题的思路已基本掌握，很快就能触类旁通地用类似方法解决许多问题。数形结合的优越性又一次得到了体现。
对于一个几何问题，能不能通过代数计算而求得解决，关键就在于几何问题中的数量关系能不能较方便地表示成适应代数计算的表达式，因而我们在解题分析时既要善于发现直接或间接存在于各相关元素中的数量关系，又要能够从几何性质出发，将所探索到的数量关系代数化，从而在代数计算中完成推理而求得问题的结论。
{
数学家拉格朗日曾这样说过：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门学科结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。”在教学中不拘泥于代数与几何的界限，尽量使它们结合在一起发挥出更大的作用，可使学生体会到数学的无穷奥妙，诱发出他们学习数学的浓厚兴趣，对教学活动无疑是有很大帮助的。