函数图象变换

函数图象的四种变换

云南省普洱市名族中学---李忠学

摘要:数中寻图,图中觅数是高中数学讲、练、考最常用的方法,为了帮助数学爱好者和高中学子积累数学知识,本文总结归纳了利用变换的规律如何做出函数图像的四种方法,即平移变换、对称变换、伸缩变换和翻折变换。

关键词:函数 图像 平移 对称 伸缩 翻折 变换

函数是中学数学的重要内容,如初中的一次函数、二次函数、反比例函数;高中的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等,函数思想贯穿于整个中学数学,它是中学数学的主线,特别是高中数学,作为主线的函数可以把整个高中数学内容攒起来。函数是历年高考的热点、重点、难点。这以前已经整理了有关函数的一些知识,今天在这里整理一点有关函数图象变换的知识,仅供数学爱好者和高中的同学参考。

一、 理论回顾 (一)平移变换 1、左右平移变换

函数y=f(x+a)的图像可由y=f(x)图像向左(a>0)或向右(a

2、上下平移变换

函数y=f(x)+b的图像可由y=f(x)图像向上(b>0)或向下(b

(二)对称变换

对于函数y=(x)在y=f(-x)有意义的前提下

1、y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y 轴对称; 2、y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x 轴对称; 3、y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称;

4、若y=f(x)与y=g(x)互为反函数,则他们的图象关于直线y=x对称。 (三)翻折变换

y=|f(x)|的图象可将y=f(x)的图形在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方,其余部分不变而得到。 (四)伸缩变换

1、x 轴方向的伸缩变换

y=f(ax)(a>0)的图象,可将y=f(x)的图象所有的点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变而得到。

2、y 轴方向的伸缩变换

y=af(x)(a>0)的图象,可将y=f(x)的图象所有的点的纵坐标变为原来的a 倍,横坐标不变而得到。

二、实战演练

x +2

的图象 。 x -1

3

解:可把原函数化为f (x ) =1+。其图像

x -1

1

可通过以下变换而得到(1)画反比例函数y =

x

1

的图像;(2)把y =图像向右平移1个单位得

x

11

到y =图像;(3)保持y =图像的横坐

x -1x -1

3

标不变纵坐标变为原来的3倍得到y =的图

x -1

33

像;(4)把y =图像的向上平移1个单位得到y =1+的图像

x -1x -1

1

a

例1、作出函数 f (x ) =

例2、作函数y=|sinx|的图象 解、(1)作y=sinx的图像;

(2)把y=sinx图像在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方,得到y=|sinx|的图象。

例3、如何有y=sinx的图象得到y =2sin(2x +) 图象。

3

π

解、【法一】先变周期后变相位:

(1)y=sinx图像的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的一半得y=sin2x的图像;

(2)y=sin2x图像的纵坐标保持不变,图像整体向左平移

π

个单位的6

π

3

y =sin(2x +

) 的图像;

(3)y =sin(2x +) 图像的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍得

3

π

y =2sin(2x +

π

3

) 得图像。

【法二】先变相位后变周期:

(1)y=sinx图像的纵坐标保持不变,图像整体向左平移

y =sin(x +

π

个单位的3

π

3

) 的图像;

(2)y =sin(x +) 图像的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的一半得

3

y =sin(2x +

π

π

3

) 得图像;

(3)重复法一的(3)即可完成此题。 例4、方程2-|x -1|=m 有两个解,求m 的取值范围。

g (

x ) =m . 解、(1)设函数f (x ) =2-|x -1|;

(2)做出f (x ) =2-|x -1|的图像,则0

f (x ) =2-|x -1|与

g (x ) =m 的图像有两个交点,所以0

以上内容仅仅是本人的一点见解,仅供数学爱好者何高中学者参考。以下题目仅供尝试。

三、高考中的图象变换题型

(一)平移型

1、要得到函数y =sin(2x -) 的图象,只需将函数y =sin2x 的图象(D )

3

π

ππ33ππ

(C)向左平移个单位 (D)向右平移个单位

66

1

2、函数) y =-的图象是(C )

x -1

(A)向左平移个单位 (B)向右平移个单位

3、如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位,再沿y 轴正方向平移1个单位后,又回到原来的位置,那么直线l 的斜率是(A)。 (A)- (B)-3 (C) (D)3

(二)对称型

4、设函数y =tanx 的图象沿又轴正方向平移2个单位,所得到的图象为C ,又设图象C' 与C 关于原点对称,那么C' 所对应的函数是(D )

(A)y=-tan(x-2);(B)y=tan(x-2);(C)y=-tan(x+2);(D)y=tan(x+2)。 5、将y =2x 的图象(D )

(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位

1

313

(C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下平行移动1个单位 再作关于直线y =x 对称的图象,可得到y =log 2(x +1) 的图象。 (三)伸缩型

6、函数y =tan(-) 在一个周期内的图象是( A )

3x 2

π

7、函数y =cos 2x +移和伸缩变换得到。

12

3

sin x cos x +1的图象可由y=sinx的图象经过怎样的平2

分析:所给函数可变形为y =sin(2x +) +,故其图象可由y=sinx的图象

6

12

π

54

依此进行如下变换得到

(1)把函数y=sinx的图象向左平移,得到函数y=sin(x+ ) 的图象。 (2)把得到的图象上各点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 倍,得到函数y=(2x+) 图象。

(3)把得到的图象上各点的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的倍,得到函数y=sin (2x+) 图象。

(4)把得到的图象向上平移个单位,得到函数y =sin(2x +) +的图象。

6

5

4

12

1212

π6π6

π6

π6

12

π

54

综上就得到函数y =cos 2x +

123

sin x cos x +1的图象。 2

说明:以上变换中的第(1),(2)步也可用如下变换替换(注意二者的区别)

(1)把y=sinx的图象上各点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的倍,得到函数y=sin2x的图象。 (2)把得到的函数的图象向左平移的图象。

(3),(4)不变。 (四)翻折变换

8、利用翻折变换做出函数f (x ) =x 2+5x +6的图像。 参考书目:1、高中数学教材新课标人教A 版;

2、2012年甘肃教育出版社出版《课堂新坐标--高考大一轮361°全程复习--数学》;

3、2007至2012高考新课标全国卷--数学

πππ

,得到函数y=sin[2(x+ )]=sin(2x+) 12126

1

2

函数图象的四种变换

云南省普洱市名族中学---李忠学

摘要:数中寻图,图中觅数是高中数学讲、练、考最常用的方法,为了帮助数学爱好者和高中学子积累数学知识,本文总结归纳了利用变换的规律如何做出函数图像的四种方法,即平移变换、对称变换、伸缩变换和翻折变换。

关键词:函数 图像 平移 对称 伸缩 翻折 变换

函数是中学数学的重要内容,如初中的一次函数、二次函数、反比例函数;高中的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等,函数思想贯穿于整个中学数学,它是中学数学的主线,特别是高中数学,作为主线的函数可以把整个高中数学内容攒起来。函数是历年高考的热点、重点、难点。这以前已经整理了有关函数的一些知识,今天在这里整理一点有关函数图象变换的知识,仅供数学爱好者和高中的同学参考。

一、 理论回顾 (一)平移变换 1、左右平移变换

函数y=f(x+a)的图像可由y=f(x)图像向左(a>0)或向右(a

2、上下平移变换

函数y=f(x)+b的图像可由y=f(x)图像向上(b>0)或向下(b

(二)对称变换

对于函数y=(x)在y=f(-x)有意义的前提下

1、y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y 轴对称; 2、y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x 轴对称; 3、y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称;

4、若y=f(x)与y=g(x)互为反函数,则他们的图象关于直线y=x对称。 (三)翻折变换

y=|f(x)|的图象可将y=f(x)的图形在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方,其余部分不变而得到。 (四)伸缩变换

1、x 轴方向的伸缩变换

y=f(ax)(a>0)的图象,可将y=f(x)的图象所有的点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变而得到。

2、y 轴方向的伸缩变换

y=af(x)(a>0)的图象,可将y=f(x)的图象所有的点的纵坐标变为原来的a 倍,横坐标不变而得到。

二、实战演练

x +2

的图象 。 x -1

3

解:可把原函数化为f (x ) =1+。其图像

x -1

1

可通过以下变换而得到(1)画反比例函数y =

x

1

的图像;(2)把y =图像向右平移1个单位得

x

11

到y =图像;(3)保持y =图像的横坐

x -1x -1

3

标不变纵坐标变为原来的3倍得到y =的图

x -1

33

像;(4)把y =图像的向上平移1个单位得到y =1+的图像

x -1x -1

1

a

例1、作出函数 f (x ) =

例2、作函数y=|sinx|的图象 解、(1)作y=sinx的图像;

(2)把y=sinx图像在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方,得到y=|sinx|的图象。

例3、如何有y=sinx的图象得到y =2sin(2x +) 图象。

3

π

解、【法一】先变周期后变相位:

(1)y=sinx图像的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的一半得y=sin2x的图像;

(2)y=sin2x图像的纵坐标保持不变,图像整体向左平移

π

个单位的6

π

3

y =sin(2x +

) 的图像;

(3)y =sin(2x +) 图像的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍得

3

π

y =2sin(2x +

π

3

) 得图像。

【法二】先变相位后变周期:

(1)y=sinx图像的纵坐标保持不变,图像整体向左平移

y =sin(x +

π

个单位的3

π

3

) 的图像;

(2)y =sin(x +) 图像的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的一半得

3

y =sin(2x +

π

π

3

) 得图像;

(3)重复法一的(3)即可完成此题。 例4、方程2-|x -1|=m 有两个解,求m 的取值范围。

g (

x ) =m . 解、(1)设函数f (x ) =2-|x -1|;

(2)做出f (x ) =2-|x -1|的图像,则0

f (x ) =2-|x -1|与

g (x ) =m 的图像有两个交点,所以0

以上内容仅仅是本人的一点见解,仅供数学爱好者何高中学者参考。以下题目仅供尝试。

三、高考中的图象变换题型

(一)平移型

1、要得到函数y =sin(2x -) 的图象,只需将函数y =sin2x 的图象(D )

3

π

ππ33ππ

(C)向左平移个单位 (D)向右平移个单位

66

1

2、函数) y =-的图象是(C )

x -1

(A)向左平移个单位 (B)向右平移个单位

3、如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位,再沿y 轴正方向平移1个单位后,又回到原来的位置,那么直线l 的斜率是(A)。 (A)- (B)-3 (C) (D)3

(二)对称型

4、设函数y =tanx 的图象沿又轴正方向平移2个单位,所得到的图象为C ,又设图象C' 与C 关于原点对称,那么C' 所对应的函数是(D )

(A)y=-tan(x-2);(B)y=tan(x-2);(C)y=-tan(x+2);(D)y=tan(x+2)。 5、将y =2x 的图象(D )

(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位

1

313

(C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下平行移动1个单位 再作关于直线y =x 对称的图象,可得到y =log 2(x +1) 的图象。 (三)伸缩型

6、函数y =tan(-) 在一个周期内的图象是( A )

3x 2

π

7、函数y =cos 2x +移和伸缩变换得到。

12

3

sin x cos x +1的图象可由y=sinx的图象经过怎样的平2

分析:所给函数可变形为y =sin(2x +) +,故其图象可由y=sinx的图象

6

12

π

54

依此进行如下变换得到

(1)把函数y=sinx的图象向左平移,得到函数y=sin(x+ ) 的图象。 (2)把得到的图象上各点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 倍,得到函数y=(2x+) 图象。

(3)把得到的图象上各点的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的倍,得到函数y=sin (2x+) 图象。

(4)把得到的图象向上平移个单位,得到函数y =sin(2x +) +的图象。

6

5

4

12

1212

π6π6

π6

π6

12

π

54

综上就得到函数y =cos 2x +

123

sin x cos x +1的图象。 2

说明:以上变换中的第(1),(2)步也可用如下变换替换(注意二者的区别)

(1)把y=sinx的图象上各点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的倍,得到函数y=sin2x的图象。 (2)把得到的函数的图象向左平移的图象。

(3),(4)不变。 (四)翻折变换

8、利用翻折变换做出函数f (x ) =x 2+5x +6的图像。 参考书目:1、高中数学教材新课标人教A 版;

2、2012年甘肃教育出版社出版《课堂新坐标--高考大一轮361°全程复习--数学》;

3、2007至2012高考新课标全国卷--数学

πππ

,得到函数y=sin[2(x+ )]=sin(2x+) 12126

1

2


相关文章

  • 三角函数图像
  • 1.5 函数y =A sin(ωx+φ) 的图象(一) 自主学习 知识梳理 用"图象变换法"作y =A sin(ωx+φ) (A >0,ω>0)的图象 1.φ对y =sin(x +φ) ,x ∈R 的图象的影 ...查看


  • 函数图像的变换
  • 函数图像的三种变换 函数在中学数学及大学数学中都是极其重要的内容,函数思想是解决函数问题的理论源泉; 函数的性质是解决函数问题的基础,而函数的图象则是函数性质的具体的直观的反应.在高中阶段函数图象的变化方式主要有以下三种: 一 .平移变换 ...查看


  • 函数图象的平移与对称变换
  • 专题:函数图象的平移与对称变换 一.知识结构 1.利用描点法作函数的图象的基本步骤: ①确定函数的定义域 ②简化函数的解析式 ③讨论函数的性质(奇偶性.单调性.最值等) ④画出函数的图象 2.图象的平移变换 ①y =f (x -a ) ( ...查看


  • 三角函数图像变换
  • 2016-2017学年度??? 学校10月月考卷 1 A y =3sin 2x 的图象( ) C 2.要得到函数y =cos 2x A C 3sin 2x 的图像( ) B. C. 4. 将函数y =f (x ) 再向上平移1个单位后得到的 ...查看


  • 高中函数的图像变换
  • 函数图象变换 一.平移变换(h >0, k >0) 1.左右平移:"左+右-" (1)将函数y =f (x ) 的图象 ,即可得y =f (x +h ) 的图象: (2)将函数y =f (x ) 的图象 ,即 ...查看


  • 高中数学函数图象及其变换专题
  • 更多精品讲义请关注微信公众号:备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 专题 函数图象及其变换 考点精要 1.理解指数函数的概念.图象及性质. 2.理解对数函数的概念图象和性质. 1 1 3.理解幂函数y=x,y=x,y=x,y =,y ...查看


  • 高中数学函数图像考点解析和例题梳理
  • 函数的图像 高考要求1.掌握描绘函数图象的两种基本方法--描点法和图象变换法. 2.会利用函数图象,进一步研究函数的性质,解决方程.不等式中的问题. 3.用数形结合的思想.分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题. 4.掌握知识之间的 ...查看


  • 函数的平移伸缩变换口诀之再优化
  • 函数的平移伸缩变换口诀之再优化 关键词:靠近原则,逆向原则. 在教授三角函数y =A sin(ωx +ϕ) 的图象这部分内容的时候碰到的平移.伸缩变换问题,学生频繁出现失误,加减乘除总是放到了本不应该出现的位置.于是我思考着:是否有一个更好 ...查看


  • 函数的图象和性质知识点总结 常见考法 误区提醒 – 德智教育
  • 知识点:函数的图象和性质 目录知识点总结常见考法误区提醒 知识点难易度 (易) 知识点总结 本节知识包括函数的单调性.函数的奇偶性.函数的周期性.函数的最值.函数的对称性和函数的图象等知识点.函数的单调性.函数的奇偶性.函数的周期性.函数的 ...查看


热门内容