函数图象的四种变换
云南省普洱市名族中学---李忠学
摘要：数中寻图，图中觅数是高中数学讲、练、考最常用的方法，为了帮助数学爱好者和高中学子积累数学知识，本文总结归纳了利用变换的规律如何做出函数图像的四种方法，即平移变换、对称变换、伸缩变换和翻折变换。
关键词：函数 图像 平移 对称 伸缩 翻折 变换
函数是中学数学的重要内容，如初中的一次函数、二次函数、反比例函数；高中的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等，函数思想贯穿于整个中学数学，它是中学数学的主线，特别是高中数学，作为主线的函数可以把整个高中数学内容攒起来。函数是历年高考的热点、重点、难点。这以前已经整理了有关函数的一些知识，今天在这里整理一点有关函数图象变换的知识，仅供数学爱好者和高中的同学参考。
一、 理论回顾 （一）平移变换 1、左右平移变换
函数y=f(x+a)的图像可由y=f(x)图像向左（a>0)或向右（a
2、上下平移变换
函数y=f(x)+b的图像可由y=f(x)图像向上（b>0)或向下（b
（二）对称变换
对于函数y=(x)在y=f(-x)有意义的前提下
1、y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y 轴对称； 2、y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x 轴对称； 3、y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称；
4、若y=f(x)与y=g(x)互为反函数，则他们的图象关于直线y=x对称。 （三）翻折变换
y=|f(x)|的图象可将y=f(x)的图形在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，其余部分不变而得到。 （四）伸缩变换
1、x 轴方向的伸缩变换
y=f(ax)(a>0)的图象，可将y=f(x)的图象所有的点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变而得到。
2、y 轴方向的伸缩变换
y=af(x)(a>0)的图象，可将y=f(x)的图象所有的点的纵坐标变为原来的a 倍，横坐标不变而得到。
二、实战演练
x +2
的图象 。 x -1
3
解：可把原函数化为f (x ) =1+。其图像
x -1
1
可通过以下变换而得到（1）画反比例函数y =
x
1
的图像；（2）把y =图像向右平移1个单位得
x
11
到y =图像；（3）保持y =图像的横坐
x -1x -1
3
标不变纵坐标变为原来的3倍得到y =的图
x -1
33
像；（4）把y =图像的向上平移1个单位得到y =1+的图像
x -1x -1
1
a
例1、作出函数 f (x ) =
例2、作函数y=|sinx|的图象 解、（1）作y=sinx的图像；
（2）把y=sinx图像在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，得到y=|sinx|的图象。
例3、如何有y=sinx的图象得到y =2sin(2x +) 图象。
3
π
解、【法一】先变周期后变相位：
（1）y=sinx图像的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半得y=sin2x的图像；
（2）y=sin2x图像的纵坐标保持不变，图像整体向左平移
π
个单位的6
π
3
y =sin(2x +
) 的图像；
（3）y =sin(2x +) 图像的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得
3
π
y =2sin(2x +
π
3
) 得图像。
【法二】先变相位后变周期：
（1）y=sinx图像的纵坐标保持不变，图像整体向左平移
y =sin(x +
π
个单位的3
π
3
) 的图像；
（2）y =sin(x +) 图像的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半得
3
y =sin(2x +
π
π
3
) 得图像；
（3）重复法一的（3）即可完成此题。 例4、方程2-|x -1|=m 有两个解，求m 的取值范围。
g (
x ) =m . 解、（1）设函数f (x ) =2-|x -1|；
（2）做出f (x ) =2-|x -1|的图像，则0
f (x ) =2-|x -1|与
g (x ) =m 的图像有两个交点，所以0
以上内容仅仅是本人的一点见解，仅供数学爱好者何高中学者参考。以下题目仅供尝试。
三、高考中的图象变换题型
（一）平移型
1、要得到函数y =sin(2x -) 的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象(D )
3
π
ππ33ππ
(C)向左平移个单位 (D)向右平移个单位
66
1
2、函数) y =-的图象是(C )
x -1
(A)向左平移个单位 (B)向右平移个单位
3、如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是(A)。 (A)- (B)-3 (C) (D)3
（二）对称型
4、设函数y ＝tanx 的图象沿又轴正方向平移2个单位，所得到的图象为C ，又设图象C' 与C 关于原点对称，那么C' 所对应的函数是(D )
(A)y＝-tan(x-2)；(B)y＝tan(x-2)；(C)y＝-tan(x+2)；(D)y＝tan(x+2)。 5、将y =2x 的图象(D )
(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位
1
313
(C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下平行移动1个单位 再作关于直线y ＝x 对称的图象，可得到y =log 2(x +1) 的图象。 （三）伸缩型
6、函数y =tan(-) 在一个周期内的图象是( A )
3x 2
π
7、函数y =cos 2x +移和伸缩变换得到。
12
。
3
sin x cos x +1的图象可由y=sinx的图象经过怎样的平2
分析：所给函数可变形为y =sin(2x +) +，故其图象可由y=sinx的图象
6
12
π
54
依此进行如下变换得到
（1）把函数y=sinx的图象向左平移，得到函数y=sin(x+ ) 的图象。 （2）把得到的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 倍，得到函数y=(2x+) 图象。
（3）把得到的图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到函数y=sin (2x+) 图象。
（4）把得到的图象向上平移个单位，得到函数y =sin(2x +) +的图象。
6
5
4
12
1212
π6π6
π6
π6
12
π
54
综上就得到函数y =cos 2x +
123
sin x cos x +1的图象。 2
说明：以上变换中的第（1），（2）步也可用如下变换替换（注意二者的区别）
（1）把y=sinx的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，得到函数y=sin2x的图象。 （2）把得到的函数的图象向左平移的图象。
（3），（4）不变。 （四）翻折变换
8、利用翻折变换做出函数f (x ) =x 2+5x +6的图像。 参考书目：1、高中数学教材新课标人教A 版；
2、2012年甘肃教育出版社出版《课堂新坐标--高考大一轮361°全程复习--数学》；
3、2007至2012高考新课标全国卷--数学
πππ
，得到函数y=sin[2(x+ )]=sin(2x+) 12126
1
2
函数图象的四种变换
云南省普洱市名族中学---李忠学
摘要：数中寻图，图中觅数是高中数学讲、练、考最常用的方法，为了帮助数学爱好者和高中学子积累数学知识，本文总结归纳了利用变换的规律如何做出函数图像的四种方法，即平移变换、对称变换、伸缩变换和翻折变换。
关键词：函数 图像 平移 对称 伸缩 翻折 变换
函数是中学数学的重要内容，如初中的一次函数、二次函数、反比例函数；高中的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等，函数思想贯穿于整个中学数学，它是中学数学的主线，特别是高中数学，作为主线的函数可以把整个高中数学内容攒起来。函数是历年高考的热点、重点、难点。这以前已经整理了有关函数的一些知识，今天在这里整理一点有关函数图象变换的知识，仅供数学爱好者和高中的同学参考。
一、 理论回顾 （一）平移变换 1、左右平移变换
函数y=f(x+a)的图像可由y=f(x)图像向左（a>0)或向右（a
2、上下平移变换
函数y=f(x)+b的图像可由y=f(x)图像向上（b>0)或向下（b
（二）对称变换
对于函数y=(x)在y=f(-x)有意义的前提下
1、y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y 轴对称； 2、y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x 轴对称； 3、y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称；
4、若y=f(x)与y=g(x)互为反函数，则他们的图象关于直线y=x对称。 （三）翻折变换
y=|f(x)|的图象可将y=f(x)的图形在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，其余部分不变而得到。 （四）伸缩变换
1、x 轴方向的伸缩变换
y=f(ax)(a>0)的图象，可将y=f(x)的图象所有的点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变而得到。
2、y 轴方向的伸缩变换
y=af(x)(a>0)的图象，可将y=f(x)的图象所有的点的纵坐标变为原来的a 倍，横坐标不变而得到。
二、实战演练
x +2
的图象 。 x -1
3
解：可把原函数化为f (x ) =1+。其图像
x -1
1
可通过以下变换而得到（1）画反比例函数y =
x
1
的图像；（2）把y =图像向右平移1个单位得
x
11
到y =图像；（3）保持y =图像的横坐
x -1x -1
3
标不变纵坐标变为原来的3倍得到y =的图
x -1
33
像；（4）把y =图像的向上平移1个单位得到y =1+的图像
x -1x -1
1
a
例1、作出函数 f (x ) =
例2、作函数y=|sinx|的图象 解、（1）作y=sinx的图像；
（2）把y=sinx图像在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，得到y=|sinx|的图象。
例3、如何有y=sinx的图象得到y =2sin(2x +) 图象。
3
π
解、【法一】先变周期后变相位：
（1）y=sinx图像的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半得y=sin2x的图像；
（2）y=sin2x图像的纵坐标保持不变，图像整体向左平移
π
个单位的6
π
3
y =sin(2x +
) 的图像；
（3）y =sin(2x +) 图像的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得
3
π
y =2sin(2x +
π
3
) 得图像。
【法二】先变相位后变周期：
（1）y=sinx图像的纵坐标保持不变，图像整体向左平移
y =sin(x +
π
个单位的3
π
3
) 的图像；
（2）y =sin(x +) 图像的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半得
3
y =sin(2x +
π
π
3
) 得图像；
（3）重复法一的（3）即可完成此题。 例4、方程2-|x -1|=m 有两个解，求m 的取值范围。
g (
x ) =m . 解、（1）设函数f (x ) =2-|x -1|；
（2）做出f (x ) =2-|x -1|的图像，则0
f (x ) =2-|x -1|与
g (x ) =m 的图像有两个交点，所以0
以上内容仅仅是本人的一点见解，仅供数学爱好者何高中学者参考。以下题目仅供尝试。
三、高考中的图象变换题型
（一）平移型
1、要得到函数y =sin(2x -) 的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象(D )
3
π
ππ33ππ
(C)向左平移个单位 (D)向右平移个单位
66
1
2、函数) y =-的图象是(C )
x -1
(A)向左平移个单位 (B)向右平移个单位
3、如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是(A)。 (A)- (B)-3 (C) (D)3
（二）对称型
4、设函数y ＝tanx 的图象沿又轴正方向平移2个单位，所得到的图象为C ，又设图象C' 与C 关于原点对称，那么C' 所对应的函数是(D )
(A)y＝-tan(x-2)；(B)y＝tan(x-2)；(C)y＝-tan(x+2)；(D)y＝tan(x+2)。 5、将y =2x 的图象(D )
(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位
1
313
(C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下平行移动1个单位 再作关于直线y ＝x 对称的图象，可得到y =log 2(x +1) 的图象。 （三）伸缩型
6、函数y =tan(-) 在一个周期内的图象是( A )
3x 2
π
7、函数y =cos 2x +移和伸缩变换得到。
12
。
3
sin x cos x +1的图象可由y=sinx的图象经过怎样的平2
分析：所给函数可变形为y =sin(2x +) +，故其图象可由y=sinx的图象
6
12
π
54
依此进行如下变换得到
（1）把函数y=sinx的图象向左平移，得到函数y=sin(x+ ) 的图象。 （2）把得到的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 倍，得到函数y=(2x+) 图象。
（3）把得到的图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到函数y=sin (2x+) 图象。
（4）把得到的图象向上平移个单位，得到函数y =sin(2x +) +的图象。
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5
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π6π6
π6
π6
12
π
54
综上就得到函数y =cos 2x +
123
sin x cos x +1的图象。 2
说明：以上变换中的第（1），（2）步也可用如下变换替换（注意二者的区别）
（1）把y=sinx的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，得到函数y=sin2x的图象。 （2）把得到的函数的图象向左平移的图象。
（3），（4）不变。 （四）翻折变换
8、利用翻折变换做出函数f (x ) =x 2+5x +6的图像。 参考书目：1、高中数学教材新课标人教A 版；
2、2012年甘肃教育出版社出版《课堂新坐标--高考大一轮361°全程复习--数学》；
3、2007至2012高考新课标全国卷--数学
πππ
，得到函数y=sin[2(x+ )]=sin(2x+) 12126
1
2