一 单项选择题(本题共5道小题, 每题4分, 把答案填在横线上)
⎛a 1
1．设A = a 2
a ⎝3
b 1b 2b 3
c 1⎫⎛a 1
⎪ c 2⎪，B = a 2
a c 3⎪⎭⎝3
b 1b 2b 3
d 1⎫
⎪
d 2⎪，且A =2，B =3，则d 3⎪⎭
2A -B =(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 2. 设α1, α2, αm 均为n 维向量，那么下面结论正确的是 (A)若k 1α1+k 2α2+ +k m αm =0，则α1, α2, αm 线性相关
(B) 若对任意一组不全为零的数k 1, k 2, k m ，都有k 1α1+k 2α2+ +k m αm ≠0，则α1, α2, αm 线性无关
(C)若α1, α2, αm 线性相关，则对任意一组不全为零的k 1, k 2, k m ，都有
k 1α1+k 2α2+ +k m αm =0
(D) 0α1+0α2+ +0αm =0，则α1, α2, αm 线性无关
3. 设β1, β2是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同解，α1, α2是方程组Ax =0的基础解系，k 1, k 2为任意常数，则Ax =b 的通解为(A)k 1α1+k 2(α1+α2) +
β1-β2
2
(B) k 1α1+k 2(α1-α2) +
β1+β2
2
(C) k 1α1+k 2(β1-β2) +
β1-β2
2
(D) k 1α1+k 2(β1-β2) +
β1+β2
2
⎛123⎫
⎪
4. 已知Q = 24t ⎪，P 是3阶非零矩阵，且满足PQ =0，则 369⎪⎝⎭
(A)t =6时，P 的秩必为1 (B) t =6时，P 的秩必为2
(C)t ≠6时，P 的秩必为1 (D) t ≠6时，P 的秩必为2
5．设A 为n 阶矩阵，A ≠0，A *为A 的伴随矩阵，E n 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则(A *) 2+E n 必有特征值
⎛A ⎫⎛A ⎫22 ⎪(A) (B) ⎪ (C) A +1 (D) A +1 λ⎪ λ⎪⎝⎭⎝⎭
22
二. 填空题(本题共6道小题, 每题4分, 把答案填在横线上)
x
y x +y x
x +y x y
= .
1. 行列式y x +y
11
2. 设α=(1, 2, 3) , β=(1, , ) , A =αT β, 则A n 23⎛111⎫ ⎪-12A =2-113． 设 ⎪, 则(A +E ) (A -E ) = ．
120⎪⎝⎭
4. 设A 为n 阶方阵, A *是A 的伴随矩阵, 则(aA ) *＝
⎛a 1
5．设A = a 2
a ⎝3
b 1b 2b 3
c 1⎫⎛a 1
⎪ c 2⎪，若AP = a 2
a c 3⎪⎭⎝3
c 1c 2c 3
b 1⎫
⎪
b 2⎪，则初等矩阵P = . b 3⎪⎭
6. 设A 为3级实对称矩阵，且满足条件A 2+2A =O . 已知A 的秩等于2，则A 的全部特征值为_____ _.
三. 计算题(本题共32分)
[**************]3
1．（10分）计算行列式.
2．（12分）已知向量组β1=(0, 1, -1), β2=(a , 2, 1), β3=(b , 1, 0), 与向量组α1=(1, 2, -3) ，
α2=(3, 0, 1), α3=(9, 6, -7) 具有相同的秩，且β3可由α1, α2, α3线性表示，求a , b 的值
⎛13．（10分）已知X +A =XA , 其中A = 2 ⎝0
-30⎫10⎪
⎪, 求矩阵X.
02⎪⎭
四. 讨论题(14分)
⎧x 1+2x 2-2x 3+3x 4=0⎪2x +x -6x +4x =-1⎪234
设方程组⎨1问当p , t 取何值时，（1）方程组有唯一解；（2）
3x +2x +px +7x =-1234⎪1⎪⎩x 1-x 2-6x 3-x 4=t 方程组无解；（3）方程组有无穷多解，求其通解（用导出组的基础解系表示）.
五. 证明题(本题共10分)
1． 假设向量β可以经向量组α1, α2, αr ，证明：表示法是唯一的充分必要条件是α1, α2, αr 线性无关。
一 单项选择题(本题共5道小题, 每题4分, 把答案填在横线上)
⎛a 1
1．设A = a 2
a ⎝3
b 1b 2b 3
c 1⎫⎛a 1
⎪ c 2⎪，B = a 2
a c 3⎪⎭⎝3
b 1b 2b 3
d 1⎫
⎪
d 2⎪，且A =2，B =3，则d 3⎪⎭
2A -B =(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 2. 设α1, α2, αm 均为n 维向量，那么下面结论正确的是 (A)若k 1α1+k 2α2+ +k m αm =0，则α1, α2, αm 线性相关
(B) 若对任意一组不全为零的数k 1, k 2, k m ，都有k 1α1+k 2α2+ +k m αm ≠0，则α1, α2, αm 线性无关
(C)若α1, α2, αm 线性相关，则对任意一组不全为零的k 1, k 2, k m ，都有
k 1α1+k 2α2+ +k m αm =0
(D) 0α1+0α2+ +0αm =0，则α1, α2, αm 线性无关
3. 设β1, β2是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同解，α1, α2是方程组Ax =0的基础解系，k 1, k 2为任意常数，则Ax =b 的通解为(A)k 1α1+k 2(α1+α2) +
β1-β2
2
(B) k 1α1+k 2(α1-α2) +
β1+β2
2
(C) k 1α1+k 2(β1-β2) +
β1-β2
2
(D) k 1α1+k 2(β1-β2) +
β1+β2
2
⎛123⎫
⎪
4. 已知Q = 24t ⎪，P 是3阶非零矩阵，且满足PQ =0，则 369⎪⎝⎭
(A)t =6时，P 的秩必为1 (B) t =6时，P 的秩必为2
(C)t ≠6时，P 的秩必为1 (D) t ≠6时，P 的秩必为2
5．设A 为n 阶矩阵，A ≠0，A *为A 的伴随矩阵，E n 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则(A *) 2+E n 必有特征值
⎛A ⎫⎛A ⎫22 ⎪(A) (B) ⎪ (C) A +1 (D) A +1 λ⎪ λ⎪⎝⎭⎝⎭
22
二. 填空题(本题共6道小题, 每题4分, 把答案填在横线上)
x
y x +y x
x +y x y
= .
1. 行列式y x +y
11
2. 设α=(1, 2, 3) , β=(1, , ) , A =αT β, 则A n 23⎛111⎫ ⎪-12A =2-113． 设 ⎪, 则(A +E ) (A -E ) = ．
120⎪⎝⎭
4. 设A 为n 阶方阵, A *是A 的伴随矩阵, 则(aA ) *＝
⎛a 1
5．设A = a 2
a ⎝3
b 1b 2b 3
c 1⎫⎛a 1
⎪ c 2⎪，若AP = a 2
a c 3⎪⎭⎝3
c 1c 2c 3
b 1⎫
⎪
b 2⎪，则初等矩阵P = . b 3⎪⎭
6. 设A 为3级实对称矩阵，且满足条件A 2+2A =O . 已知A 的秩等于2，则A 的全部特征值为_____ _.
三. 计算题(本题共32分)
[**************]3
1．（10分）计算行列式.
2．（12分）已知向量组β1=(0, 1, -1), β2=(a , 2, 1), β3=(b , 1, 0), 与向量组α1=(1, 2, -3) ，
α2=(3, 0, 1), α3=(9, 6, -7) 具有相同的秩，且β3可由α1, α2, α3线性表示，求a , b 的值
⎛13．（10分）已知X +A =XA , 其中A = 2 ⎝0
-30⎫10⎪
⎪, 求矩阵X.
02⎪⎭
四. 讨论题(14分)
⎧x 1+2x 2-2x 3+3x 4=0⎪2x +x -6x +4x =-1⎪234
设方程组⎨1问当p , t 取何值时，（1）方程组有唯一解；（2）
3x +2x +px +7x =-1234⎪1⎪⎩x 1-x 2-6x 3-x 4=t 方程组无解；（3）方程组有无穷多解，求其通解（用导出组的基础解系表示）.
五. 证明题(本题共10分)
1． 假设向量β可以经向量组α1, α2, αr ，证明：表示法是唯一的充分必要条件是α1, α2, αr 线性无关。