三角板是学生最常用的学习工具， 以三角板为道具，以学生常见、熟悉的几何图形为载体，并辅之以平移、旋转等变换手段的问题， 能为学生提供动手实践操作设计的空间，较好地考查了学生观察、实验、比较、联想、类比、归纳的能力以及运动变化、分类讨论思想等的综合运用能力. 这类操作性的题目格调清新，立意新颖，充分体现了课标中提出的“培养学生动手动脑、实践探索的能力”的要求，既注重基础知识，同时又具有很强的综合性，因此受到了各地中考命题专家的青睐. 本文就近年来中考试题中以三角板为背景材料设计的操作探究题为例，进行分类评析，供大家参考. 1 由一副三角板组成的问题 一副三角板是由两种直角三角形(30°，60°，90°和45°，45°，90°)组成，且等腰直角三角板的斜边与含有30°角的三角板较长的直角边是相等的. 充分利用这些角度和边长之间的关系，可以挖掘很多的数学知识. 学生在思考问题时，自然会用手中的三角板实际操作，体现了中考注重考查“做数学”的原则. 例1 (2008 扬州)一副三角板如图1所示叠放在一起，则图中∠α的度数是. 解析 75°. 点评 例题考查了余角和平角的基本概念以及三角形的外角与内角之间的关系，在进行图形的有关计算时，要求学生具备基本的转化能力；除了要能运用所学的知识外，还要能从生活中的常见图形捕捉求解信息. 例2 (2007 浙江衢州)一幅三角板按图2所示叠放在一起，若固定△AOB，将△ACD绕着公共顶点A，按顺时针方向旋转α度(0 解析 当CD∥AB时，α=30°； 当AC∥OB时，α=45°； 当CD∥OA时，α=75°； 当AD∥OB时，α=135°； 当CD∥OB时，α=165°. 点评 本题除了考查平行线的性质以及旋转角的基本概念外，还重点考查了分类讨论的数学思想，不妨用手中的三角板实际操作一下. 分类讨论是一种重要的数学思想，也是中考必考的内容. 例3 (2008 徐州)如图3，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°. 操作 将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使DE与AB交于点P，EF与BC于点Q. 探究1 在旋转过程中， (1) 如图4，当CEEA=1时，EP与EQ满足怎样的数量关系，并给出证明. (2) 如图5，当CEEA=2时， EP与EQ满足怎样的数量关系，并说明理由. (3) 根据你对(1)、(2)的探究结果，试写出当CEEA= m时，EP与EQ满足的数量关系式为，其中m的取值范围是.(直接写出结论，不必证明) 点评 本题利用直角三角板 按指定的条件运动为背景，探究动态几何中几何图形所具有的 “变”与“不变”的 性质，在开放性的结论中引导学生合情推理、合理猜想，融操作、实验、探究、证明与一体，体现出试题的层次性、探索性等特点，很好地考查了学生探究问题、解决问题的能力. 题目蕴含了丰富的数学思想方法，旋转变换、从特殊到一般、分类讨论等数学思想方法贯穿于整个题目之中，极大地考查学生综合分析、解决问题的能力. 考查的知识点有：函数的建立与应用、函数的最值、等腰三角形、三角形的面积、三角形全等和相似的证明及应用等. 解决此类问题应利用图形运动变化中某一时刻“静止”的位置，挖掘出其中的“不变的因素”，沿着设置的“路标”按图索骥，方能以“不变”应“万变”，探究猜想出问题的答案. 2 由一块三角板和其它图形组成的问题 一块三角板常与直线、三角形、矩形、正方形及圆等常见的简单图形相结合，多考查基础知识的简单运用，如平行线的性质、特殊角度的三角函数值、圆的有关性质以及全等三角形和相似三角形的判定和性质等. 例4 (2007 辽宁省十二市)如图6，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m (即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是( ) A.(533+32)m B.(53+32)m C.533mD.4m 解析 在Rt△ADC中，CD=AD・tan30°=533，所以CE=CD+DE=533+32，故选A. 点评 本题运用三角板考查了矩形的性质、特殊角的三角函数值及解直角三角形等基础知识；既考查学生从三角板的边角关系中观察、分析数量关系的能力，又考查学生几何建模的能力. 图6 图7例5 (2008 甘肃兰州) 如图7，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合.将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止.设∠POF=x°，则x的取值范围是( ) A.30≤x≤60 B.30≤x≤90 C.30≤x≤120D.60≤x≤120 解析 当点B与圆心O重合时，∠POF=30°，随着三角板位置的移动，∠POF不断增大，当点B移动到点E位置时圆心角∠POF恰好是圆周角∠ABC的2倍，即∠POF=60°，故x的取值范围是30≤x≤60，故选A. 点评 本题巧妙的把三角板和圆结合起来，考查同一圆弧所对的圆心角和圆周角的数量关系以及变化中的不等关系. 例6 (2008 遵义)如图8，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转，当三角板的两直角边与AB、BC分别相交于点M、N时，观察或测量BM与CN的长度，你能得到什么结论?并证明你的结论. 解析 BM =CN. 过点E作EF⊥BC，垂足为F，则有AB=AE=EF=FC，∠AEM=∠FEN=90°-∠MEF， 易证Rt△AME≌Rt△FNE，所以AM=FN ，从而得到MB=CN. 也可以连结EB、EC，通过证明△BME≌△CNE得到. 点评 在三角板旋转的过程中，∠AEM和∠FEN的相等关系始终不变，故三角形的全等关系始终不变，所以BM与CN的相等关系也不变，如果进一步探究还能发现EM和EN始终相等. 本题考查了全等三角形的判定与性质，在旋转中找出不变的量是解决问题的关键. 例7 (2007 河北)在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图9所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B. (1)在图9中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想； (2)当三角尺沿AC方向平移到图10所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E.此时请你通过观察测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； (3)当三角尺在(2)的基础上沿AC方向继续平移到图11所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由) 3 由两块形状大小都相同的三角板组成的问题 此类问题多通过图形的平移、旋转和翻折等变换方式，考查图形变换的性质、直角三角形、等腰三角形以及全等三角形和相似三角形等相关的问题.
例8 (2008 湖北宜昌)如图13，将三角尺ABC(其中∠ABC=60°，∠C=90°)绕点B按顺时针转动一个角度到A�1BC�1的位置，使得点A、B、C�1在同一条直线上，那么这个角度等于( ) A.120° B.90° C. 60° D. 30° 解析 120°，选A. 点评 显然，题目考查了旋转角的概念，因此只要求出∠ABA�1或∠CBC�1的度数即可. 图13 图14例9 (2008浙江金华)把两块含有30°角的相同的直角三角尺按如图14所示摆放，使点C、B、E在同一条直线上，连结CD，若AC=6cm，则△BCD的面积是. 解析 易求BC=63，所以ΔBCD的面积是�183�cm�2. 点评 题目考查了含有30°角的直角三角形三边数量关系及三角形的面积. 例10 (2008 湖北荆门)将两块全等的含30°角的三角尺如图15摆放在一起，它们的较短直角边长为3. (1) 将△ECD沿直线l向左平移到图16的位置，使E点落在AB上，则CC′=； (2) 将△ECD绕点C逆时针旋转到图17的位置，使点E落在AB上，则△ECD绕点C旋转的度数=； (3) 将△ECD沿直线AC翻折到图18的位置，ED′与AB相交于点F，求证：AF=FD′. 解析 (1) 根据相似三角形对应边成比例求解，可得CC′=3-3； (2)30°； (3) 易证△AEF≌△D′BF.所以AF=FD′. 点评 本题利用两块全等的含30°角的三角尺为学生创设了一个充满探索性和创造性的环境，考查了图形的三种变化方式：平移、旋转和翻折，以及旋转角、直角三角形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形的判定及性质，考查的知识点较为全面. 4 由两块形状相同但大小不等的三角板组成的问题 此类问题多是由两块三角板拼成新的图形，考查全等三角形或相似三角形等的有关内容以及综合运用所学知识解决问题的能力. 例11 (2008 山东威海)(1)把两个含有45°角的直角三角板如图19放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F. 求证：AF⊥BE. (2)把两个含有30°角的直角三角板如图20放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F.问AF与BE是否垂直?并说明理由. 图19 图20解析 (1)易证△ACD≌△BCE(SAS)，得到∠DAC=∠EBC，所以∠BFD=∠DCA=90°，即 AF⊥BE. 还可以通过 AC=BC，DC=EC，得到，即tan∠DAC=tan∠EBC.所以∠DAC=∠EBC，∠BFD=∠DCA=90°，即 AF⊥BE. (2)AF⊥BE. 由BCAC=ECDC=tan60°且∠DCA=∠ECB=90°，可得△DCA∽△ECB. 所以∠DAC=∠EBC，可得∠BFD=∠DCA = 90°，即 AF⊥BE. 点评 本题借助三角板中的固定角度，考查了三角形的全等和相似的判定方法以及三角形的内角和等；在(2)中利用BCAC=ECDC=tan60°是解题的关键. 例12 (2008 山东泰安)两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图21所示放置，图22是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC. (1)请找出图22中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)； (2)证明：BC⊥BE.图21 图22 解析 (1)△ABE≌△ACD.(2)证明方法略. 点评 显然，此题是上题的变式问题，其实质是一样的. 充分利用三角板考查学生的基础知识和综合应用的能力，体现了“做”数学的特点. 动手操作，动脑思维，在经历实验、操作、猜想、验证等过程时，又能发现、提出、分析和解决问题，体现了“生活・数学”、“活动・思考”的理念，也有效地落实了数学课程标准中“综合与实践”这一领域的课程目标. 上述例子正是体现了这一点，才使我们的数学教学充满了吸引力. 因此在平时的教学中，应紧扣新课程的特点和要求，多营造动手实践、自主探索的氛围，多提供实践探究的素材，给学生充分提供充分从事课题学习的时间和空间，让学生投入到实践探究的课题学习中去，在亲身体验和探究中认识数学，从而形成对数学知识的理解和有效的应用，提高学生的解题能力. 作者简介 徐州市优秀青年骨干教师，睢宁县中青年教师拔尖人才，睢宁县首届优秀青年骨干教师，徐州市数学优质课一等奖获得者. 有2篇论文在国家级和省级刊物发表，在第二、三、四届新课标初中数学(苏科版)试验区优秀教学成果评比中，连续有3篇论文荣获一、二等奖， 并多次参与数学教辅用书的编写. “本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
三角板是学生最常用的学习工具， 以三角板为道具，以学生常见、熟悉的几何图形为载体，并辅之以平移、旋转等变换手段的问题， 能为学生提供动手实践操作设计的空间，较好地考查了学生观察、实验、比较、联想、类比、归纳的能力以及运动变化、分类讨论思想等的综合运用能力. 这类操作性的题目格调清新，立意新颖，充分体现了课标中提出的“培养学生动手动脑、实践探索的能力”的要求，既注重基础知识，同时又具有很强的综合性，因此受到了各地中考命题专家的青睐. 本文就近年来中考试题中以三角板为背景材料设计的操作探究题为例，进行分类评析，供大家参考. 1 由一副三角板组成的问题 一副三角板是由两种直角三角形(30°，60°，90°和45°，45°，90°)组成，且等腰直角三角板的斜边与含有30°角的三角板较长的直角边是相等的. 充分利用这些角度和边长之间的关系，可以挖掘很多的数学知识. 学生在思考问题时，自然会用手中的三角板实际操作，体现了中考注重考查“做数学”的原则. 例1 (2008 扬州)一副三角板如图1所示叠放在一起，则图中∠α的度数是. 解析 75°. 点评 例题考查了余角和平角的基本概念以及三角形的外角与内角之间的关系，在进行图形的有关计算时，要求学生具备基本的转化能力；除了要能运用所学的知识外，还要能从生活中的常见图形捕捉求解信息. 例2 (2007 浙江衢州)一幅三角板按图2所示叠放在一起，若固定△AOB，将△ACD绕着公共顶点A，按顺时针方向旋转α度(0 解析 当CD∥AB时，α=30°； 当AC∥OB时，α=45°； 当CD∥OA时，α=75°； 当AD∥OB时，α=135°； 当CD∥OB时，α=165°. 点评 本题除了考查平行线的性质以及旋转角的基本概念外，还重点考查了分类讨论的数学思想，不妨用手中的三角板实际操作一下. 分类讨论是一种重要的数学思想，也是中考必考的内容. 例3 (2008 徐州)如图3，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°. 操作 将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使DE与AB交于点P，EF与BC于点Q. 探究1 在旋转过程中， (1) 如图4，当CEEA=1时，EP与EQ满足怎样的数量关系，并给出证明. (2) 如图5，当CEEA=2时， EP与EQ满足怎样的数量关系，并说明理由. (3) 根据你对(1)、(2)的探究结果，试写出当CEEA= m时，EP与EQ满足的数量关系式为，其中m的取值范围是.(直接写出结论，不必证明) 点评 本题利用直角三角板 按指定的条件运动为背景，探究动态几何中几何图形所具有的 “变”与“不变”的 性质，在开放性的结论中引导学生合情推理、合理猜想，融操作、实验、探究、证明与一体，体现出试题的层次性、探索性等特点，很好地考查了学生探究问题、解决问题的能力. 题目蕴含了丰富的数学思想方法，旋转变换、从特殊到一般、分类讨论等数学思想方法贯穿于整个题目之中，极大地考查学生综合分析、解决问题的能力. 考查的知识点有：函数的建立与应用、函数的最值、等腰三角形、三角形的面积、三角形全等和相似的证明及应用等. 解决此类问题应利用图形运动变化中某一时刻“静止”的位置，挖掘出其中的“不变的因素”，沿着设置的“路标”按图索骥，方能以“不变”应“万变”，探究猜想出问题的答案. 2 由一块三角板和其它图形组成的问题 一块三角板常与直线、三角形、矩形、正方形及圆等常见的简单图形相结合，多考查基础知识的简单运用，如平行线的性质、特殊角度的三角函数值、圆的有关性质以及全等三角形和相似三角形的判定和性质等. 例4 (2007 辽宁省十二市)如图6，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m (即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是( ) A.(533+32)m B.(53+32)m C.533mD.4m 解析 在Rt△ADC中，CD=AD・tan30°=533，所以CE=CD+DE=533+32，故选A. 点评 本题运用三角板考查了矩形的性质、特殊角的三角函数值及解直角三角形等基础知识；既考查学生从三角板的边角关系中观察、分析数量关系的能力，又考查学生几何建模的能力. 图6 图7例5 (2008 甘肃兰州) 如图7，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合.将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止.设∠POF=x°，则x的取值范围是( ) A.30≤x≤60 B.30≤x≤90 C.30≤x≤120D.60≤x≤120 解析 当点B与圆心O重合时，∠POF=30°，随着三角板位置的移动，∠POF不断增大，当点B移动到点E位置时圆心角∠POF恰好是圆周角∠ABC的2倍，即∠POF=60°，故x的取值范围是30≤x≤60，故选A. 点评 本题巧妙的把三角板和圆结合起来，考查同一圆弧所对的圆心角和圆周角的数量关系以及变化中的不等关系. 例6 (2008 遵义)如图8，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转，当三角板的两直角边与AB、BC分别相交于点M、N时，观察或测量BM与CN的长度，你能得到什么结论?并证明你的结论. 解析 BM =CN. 过点E作EF⊥BC，垂足为F，则有AB=AE=EF=FC，∠AEM=∠FEN=90°-∠MEF， 易证Rt△AME≌Rt△FNE，所以AM=FN ，从而得到MB=CN. 也可以连结EB、EC，通过证明△BME≌△CNE得到. 点评 在三角板旋转的过程中，∠AEM和∠FEN的相等关系始终不变，故三角形的全等关系始终不变，所以BM与CN的相等关系也不变，如果进一步探究还能发现EM和EN始终相等. 本题考查了全等三角形的判定与性质，在旋转中找出不变的量是解决问题的关键. 例7 (2007 河北)在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图9所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B. (1)在图9中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想； (2)当三角尺沿AC方向平移到图10所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E.此时请你通过观察测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； (3)当三角尺在(2)的基础上沿AC方向继续平移到图11所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由) 3 由两块形状大小都相同的三角板组成的问题 此类问题多通过图形的平移、旋转和翻折等变换方式，考查图形变换的性质、直角三角形、等腰三角形以及全等三角形和相似三角形等相关的问题.
例8 (2008 湖北宜昌)如图13，将三角尺ABC(其中∠ABC=60°，∠C=90°)绕点B按顺时针转动一个角度到A�1BC�1的位置，使得点A、B、C�1在同一条直线上，那么这个角度等于( ) A.120° B.90° C. 60° D. 30° 解析 120°，选A. 点评 显然，题目考查了旋转角的概念，因此只要求出∠ABA�1或∠CBC�1的度数即可. 图13 图14例9 (2008浙江金华)把两块含有30°角的相同的直角三角尺按如图14所示摆放，使点C、B、E在同一条直线上，连结CD，若AC=6cm，则△BCD的面积是. 解析 易求BC=63，所以ΔBCD的面积是�183�cm�2. 点评 题目考查了含有30°角的直角三角形三边数量关系及三角形的面积. 例10 (2008 湖北荆门)将两块全等的含30°角的三角尺如图15摆放在一起，它们的较短直角边长为3. (1) 将△ECD沿直线l向左平移到图16的位置，使E点落在AB上，则CC′=； (2) 将△ECD绕点C逆时针旋转到图17的位置，使点E落在AB上，则△ECD绕点C旋转的度数=； (3) 将△ECD沿直线AC翻折到图18的位置，ED′与AB相交于点F，求证：AF=FD′. 解析 (1) 根据相似三角形对应边成比例求解，可得CC′=3-3； (2)30°； (3) 易证△AEF≌△D′BF.所以AF=FD′. 点评 本题利用两块全等的含30°角的三角尺为学生创设了一个充满探索性和创造性的环境，考查了图形的三种变化方式：平移、旋转和翻折，以及旋转角、直角三角形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形的判定及性质，考查的知识点较为全面. 4 由两块形状相同但大小不等的三角板组成的问题 此类问题多是由两块三角板拼成新的图形，考查全等三角形或相似三角形等的有关内容以及综合运用所学知识解决问题的能力. 例11 (2008 山东威海)(1)把两个含有45°角的直角三角板如图19放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F. 求证：AF⊥BE. (2)把两个含有30°角的直角三角板如图20放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F.问AF与BE是否垂直?并说明理由. 图19 图20解析 (1)易证△ACD≌△BCE(SAS)，得到∠DAC=∠EBC，所以∠BFD=∠DCA=90°，即 AF⊥BE. 还可以通过 AC=BC，DC=EC，得到，即tan∠DAC=tan∠EBC.所以∠DAC=∠EBC，∠BFD=∠DCA=90°，即 AF⊥BE. (2)AF⊥BE. 由BCAC=ECDC=tan60°且∠DCA=∠ECB=90°，可得△DCA∽△ECB. 所以∠DAC=∠EBC，可得∠BFD=∠DCA = 90°，即 AF⊥BE. 点评 本题借助三角板中的固定角度，考查了三角形的全等和相似的判定方法以及三角形的内角和等；在(2)中利用BCAC=ECDC=tan60°是解题的关键. 例12 (2008 山东泰安)两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图21所示放置，图22是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC. (1)请找出图22中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)； (2)证明：BC⊥BE.图21 图22 解析 (1)△ABE≌△ACD.(2)证明方法略. 点评 显然，此题是上题的变式问题，其实质是一样的. 充分利用三角板考查学生的基础知识和综合应用的能力，体现了“做”数学的特点. 动手操作，动脑思维，在经历实验、操作、猜想、验证等过程时，又能发现、提出、分析和解决问题，体现了“生活・数学”、“活动・思考”的理念，也有效地落实了数学课程标准中“综合与实践”这一领域的课程目标. 上述例子正是体现了这一点，才使我们的数学教学充满了吸引力. 因此在平时的教学中，应紧扣新课程的特点和要求，多营造动手实践、自主探索的氛围，多提供实践探究的素材，给学生充分提供充分从事课题学习的时间和空间，让学生投入到实践探究的课题学习中去，在亲身体验和探究中认识数学，从而形成对数学知识的理解和有效的应用，提高学生的解题能力. 作者简介 徐州市优秀青年骨干教师，睢宁县中青年教师拔尖人才，睢宁县首届优秀青年骨干教师，徐州市数学优质课一等奖获得者. 有2篇论文在国家级和省级刊物发表，在第二、三、四届新课标初中数学(苏科版)试验区优秀教学成果评比中，连续有3篇论文荣获一、二等奖， 并多次参与数学教辅用书的编写. “本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”