圆的方程题型总结A---001+答案

一、基础知识

1．圆的方程

圆的标准方程为 (x -a )+(y -b )=m 2 ；圆心C (a , b ) ，半径__m __

圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0；圆心 -

E ⎫⎛D

, -⎪ ，

2⎭⎝2

半径 r =

D 2+E 2-4F 2

把圆的一般方程通过“配方法”可化为“标准方程”。

例：圆x 2+y 2-2x +4y +2=0的圆心为 ___________，半径为 ________ 以A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)为直径的圆的方程是：

(x -x 1)(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0

二元二次方程Ax 2+Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的条件为： (1) A =C ≠0 ； (2) D 2+E 2-4F >0 2. 直线和圆的位置关系：

222

直线Ax +By +C =0，圆(x -a ) +(y -b ) =r ，圆心到直线的距离为d.

则：（1）d=_____

aA +bB +C A +B

_______；

（2）直线与圆相离 ⇔d >r

直线与圆相切 ⇔d =r 直线与圆相交 ⇔0≤d

（3）弦长公式： L =2r 2-d 2 ；（直线截圆所得弦长公式）

L =+k 2x 1-x 2=+k 2⋅

x 1+x 22-4x 1x 2

（一般弦长公式）

其中：直线l 的斜率为k ，直线l 与圆的交点（即弦的两端点）分别为

A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)，一般弦长公式要用到“韦达定理”

1⎛1⎫

或：L =1+ ⎪y 1-y 2=+2⋅

k ⎝k ⎭

3. 两圆的位置关系

y 1+y 22-4y 1y 2

圆C 1:(x -a 1) +(y -b 1) =r 1；圆C 2:(x -a 2) +(y -b 2) =r 2

则有：两圆相离⇔C 1C 2>r 1+r 2 ；外切⇔ C 1C 2=r 1+r 2 ；

相交⇔ r 1-r 2

；内切⇔ C 1C 2=r 1-r 2 ；

内含⇔ 0≤C 1C 2

二、题型总结：

（一）求圆的方程

例1：求经过点A(2，－1) ，和直线x +y =1相切，且圆心在直线y =-2x 上的圆的方程．分析：直线与圆相切⇔d =r

解：因为圆心在直线y =-2x 上，所以可设圆心坐标为(a ,-2a ) ，据题意得：

(a -2) 2+(-2a +1) 2=

|a -2a -1|

， ∴ (a -2) 2+(1-2a ) 2=

(1+a ) 2， 2

∴ a =1， ∴ 圆心为(1，－2) ，半径为2，

∴所求的圆的方程为(x -1) +(y +2) =2.

例2：已知△ABC 的三个项点坐标分别是A （4，1），B （6，－3），C （－3，0），

求△ABC 外接圆的方程．解法一：设所求圆的方程是(x -a ) +(y -b ) =r ． ① （待定系数法）

因为A （4，1），B （6，－3），C （－3，0）都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是：

⎧a =1, ⎧(4-a ) 2+(1-b ) 2=r 2,

⎪⎪222

⎨(6-a ) +(-3-b ) =r , 解之得⎨b =-3,

⎪r 2=25. ⎪(-3-a ) 2+(0-b ) 2=r 2.

⎩⎩

所以△ABC 的外接圆的方程是(x -1) +(y +3) =25．

解法二：因为△ABC 外接圆的圆心既在AB 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，

所以先求AB 、BC 的垂直平分线方程，联立求得的交点坐标就是圆心坐标．（交轨法）

-3-1

∵k AB ==-2，线段AB 的中点为（5，－1），

6-4

∴AB 的垂直平分线方程为y +1=

(x -5) ， 2

①

∵ k BC =0-(-3) =-1 ，线段BC 的中点为(3, -3) ，

22-3-63

∴ BC的垂直平分线方程y +

=3(x -) ． 22

②

⎧x =1,

解由①②联立的方程组可得⎨∴△ABC 外接圆的圆心为Ｅ（1，－3），

y =-3. ⎩

半径r =|AE |=

=5．

故△ABC 外接圆的方程是(x -1) +(y +3) =25．

自我检测题：

1．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x -3y =0和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ B ）

7⎫⎛

A ．(x -3) 2+ y -⎪=1B ．(x -2) 2+(y -1) 2=1

3⎭⎝

C ．(x -1) +(y -3) =1

3⎫⎛

D ． x -⎪+(y -1) 2=1

2⎭⎝

解题方法指导：（1）检验法（2）求出圆的方程直线与圆相切⇔d =r 2．若直线3x -4y +12=0与两坐标轴交点为A 、B ，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ A ）

A. x +y +4x -3y =0 B. x +y -4x -3y =0 C. x +y +4x -3y -4=0 D. x +y -4x -3y +8=0 3．过点A (1, -1) , B (-1,1) 且圆心在直线x +y -2=0上的圆的方程（ C ）

A ． (x -3)+(y +1)=4 B ．(x +3)+(y -1)=1

C ． (x -1)+(y -1)=4 D ． (x +1)+(y +1)=1

（二）与圆有关的点的轨迹

例3．已知动点M 到点A （2，0）的距离是它到点B （8，0）的距离的一半，求：（1）动点M 的轨迹方程；（2）若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．

解：（1）设动点M （x ，y ）为轨迹上任意一点，则点M 的轨迹就是集合 P ={M ||MA |=

|MB |}． 2

由两点距离公式，点M 适合的条件可表示为

平方后整理，得 x 2+y 2=16．即为动点M 的轨迹方程．

（2）设动点N 的坐标为（x ，y ），M 的坐标是（x 1，y 1）．

由于A （2，0），且Ｎ为线段AM 的中点，所以 x =

2+x 10+y 1

， y =．所以有x 1=2x -2，y 1=2y ① 22

由（1）题知，M 是圆x 2+y 2=16上的点，所以M 坐标（x 1，y 1）满足：x 12+y 12=16② 将①代入②整理，得(x -1) 2+y 2=4．

所以N 的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆

自我检测题：

4．圆x 2+y 2-4y -12=0上的动点Q ，定点A (8,0)，线段AQ 的中点轨迹方程为

(x -4) 2+(y -1) 2=4

（三）直线与圆的位置关系 ① 位置关系的判断

② 求直线被圆（或圆被直线）所截得的弦长

③ 与弦长有关的问题，如求弦长的最值、已知弦长求直线或圆的方程等 ④ 求圆关于已知直线的对称圆的方程 ⑤ 求圆的切线方程、求切线长

⑥ 直线上点与圆上点之间距离的最值问题 ⑦ 求参数的取值范围 ⑧ 其它综合问题

例4．已知圆C :(x -1)2+(y -2)2=25及直线l :(2m +1)x +(m +1)y =7m +4(m ∈R ) （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交；

（2）求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程．

解：(1)直线方程l :(2m +1)x +(m +1)y =7m +4, 可以改写为m (2x +y -7)+x +y -4=0, 所以直线

必经过直线2x +y -7=0和x +y -4=0的交点. 由方程组⎨

⎧2x +y -7=0, ⎧x =3,

解得⎨即两直

x +y -4=0y =1⎩⎩

线的交点为A (3, 1) 又因为点A (3, 1)与圆心C (1, 2)的距离d =

(2) 连接AC , 过A 作AC 的垂线, 此时的直线与圆C 相交于B 、D 两点， BD 为直线被圆所

截得的最短弦长。此时, AC =5, BC =5, =225-5=4. 即最短弦长为4. 又直线AC 的斜率k AC =-1，所以直线BD 的斜率为2

此时直线方程为:y -1=2(x -3), 即2x -y -5=0.

例5．已知圆x 2+y 2+x －6y +m =0和直线x +2y －3=0交于P 、Q 两点，且以PQ 为直径的圆恰

过坐标原点，求实数m 的值．

解：由⎧x 2+y 2⎧y 1+y 2=4⎨+x -6y +m =0⇒5y 2-20y +12+m =0 ⎪⎩x +2y -3=0∴⎨⎪⎩y 12+m 1y 2=5又OP ⊥OQ ， ∴x 1x 2+y1y 2=0,而x 1x 2=9－6(y 1+y2)+4y 1y 2= 4m -275

∴

4m -275+12+m

=0 解得m =3.

自我检测题：

5. 圆(x -1) 2

+y 2

1的圆心到直线y =

x 的距离是（ A ） A.

12 B.

C. 1

D. 6．直线3x -4y -9=0与圆x 2+y 2=4的位置关系是（ D ）

A ．相交且过圆心 B ．相切 C ．相离 D ．相交但不过圆心

7．过点(2,1) 的直线中, 被x 2+y 2-2x +4y =0截得弦长最长的直线方程为（A. 3x -y -5=0 B. 3x +y -7=0 C. x +3y -3=0 D. x -3y +1=0

8．直线x=2被圆(x -a )2

+y 2

4所截弦长等于则a 的值为（ C ）A －1或－3

C 1或3 D

9．圆x 2+y 2-4x =0在点P (1, ) 处的切线方程为 ( D )

A ．x +y -2=0 B ．x +y -4=0 C ．x -3y +4=0 D ．x -3y +2=0 10．由点P (1, 3) 引圆x 2

+y 2

=9的切线的长是 ( C )

A ．2 B ． C ．1 D ．4

A ）

L 切线长=x 0+y 0+Dx 0+Ey 0+F ，即把点的坐标代入圆的一般方程左端取算术根

11．过点P （2，1）作圆C ：x 2+y 2－ax +2ay +2a +1=0的切线有两条，则a 取值范围是（ D ） A ．a ＞－3 B ．a ＜－3

C ．－3＜a ＜－

D ．－3＜a ＜－或a ＞2 55

（-2，0）12．已知直线l 过点，当直线l 与圆x 2+y 2=2x 有两个交点时，其斜率k 的取值

范围是（ C ）

A. B. C. （-2222）（-22）（-

1122

（-） D. ）

8844

13．圆x 2+y 2-2x -1=0关于直线2x -y +3=0对称的圆的方程是（ C ）

A ．(x +3) +(y -2) =

1122

B ．(x -3) +(y +2) =2 2

C ．(x +3) +(y -2) =2 D ．(x -3) +(y +2) =2

14．直线x -2y -3=0与圆(x -2) 2+(y +3) 2=9交于E 、F 两点，则∆EOF （O 为原点）

的面积为（ C ）

A ．

33 B ． C

15．①一束光线从点A (-1,1) 出发，经x 轴反射到圆C :(x -5) 2+(y -7) 2=4, 上的最短

路程是（B ） A . 62-2 B . 8 C . 46 D . 10 提示：作点A 关于X 的对称点A '，则A 'C -R 即为所求

②一束光线从点

A (-1,1) 出发，经x 轴反射到圆C :(x -2) 2+(y -3) 2=1上的最短路径是 ( A ）

A ．4 B ．5 C ．

1 D

．

16．圆x 2+y2－2x －6y+9=0关于直线x －y －1=0对称的圆的方程是x 22

圆(x -1) +(y +3) =16关于直线x +y +1=0对称的圆的方程

是 (x -2)+(y +2)=16

17．过点P (－3且被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为8的直线方程为__________．

解析：由题意知，过P 的直线y k (x ＋3) ⇒2kx －2y ＋6k －3＝0，圆心到直线的距离

d ＝

x ＝－3满足条件．

2＋4k

故直线方程为3x ＋4y ＋15＝0或x ＝－3. 答案：3x ＋4y ＋15＝0或x ＝－3.

|6k －3|

3⇒k ＝－4，验证知

（提示：根据对称性，这样的直线有两条，如果用点斜式求出的斜率K 只有一个值，就说明另一直线的斜率不存在，可直接写出其方程为x =x 0）．过点M （0，4），被圆(x -1) 2+y 2=4截得弦长为2的直线方程为

（四）圆与圆的位置关系 ① 位置关系的判断

② 求两圆公共弦所在直线方程（两个圆的方程相减，即得公共弦方程），求公共弦长 ③ 求连心线所在直线方程、连心线长 ④ 判断两圆公切线条数（数形结合） ⑤ 求两圆的公切线方程、求公切线长 ⑥ 过两圆的交点的曲线系方程 ⑦ 其它综合问题

例6．求圆心在直线x +y =0上，且过两圆x 2+y 2-2x +10y -24=0， x 2+y 2+2x +2y -8 =交点的圆的方程．0解法一：（利用圆心到两交点的距离相等求圆心）将两圆的方程联立得方程组

⎧x 2+y 2-2x +10y -24=0

⎨22

⎩x +y +2x +2y -8=0，

解这个方程组求得两圆的交点坐标A （－4，0），B （0，2）．

因所求圆心在直线x +y =0上，故设所求圆心坐标为(x , -x ) ，则它到上面的两上交点（

－4，0）和（

0，2=

即4x =-12，∴x =-3，y =-x =

3，从而圆心坐标是（－3，3）

．又r == 故所求圆的方程为(x +3) +(y -3) =10．

解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程）

同解法一求得两交点坐标A （－4，0），B （0，2），弦AB 的中垂线为2x +y +3=0，它与直线x +y =0

交点（－3，3）就是圆心，又半径r = 故所求圆的方程为(x +3) +(y -3) =10．

解法三：（用待定系数法求圆的方程）

同解法一求得两交点坐标为A （－4，0），B （0，2）．

设所求圆的方程为(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2，因两点在此圆上，且圆心在x +y =0上，

⎧a =-3⎧(-4-a ) 2+b 2=r 2

⎪222，解之得所以得方程组 ⎪a +(3-b ) =r ⎨b =3， ⎨

⎪⎪a +b =0

⎩

⎩r =

故所求圆的方程为(x +3) 2+(y -3) 2=10．

解法四：（用“圆系”方法求圆的方程）

设所求圆的方程为

x 2+y 2-2x +10y -24+λ(x 2+y 2+2x +2y -8) =0(λ≠-1) ，

即 x 2+y 2-

2(1-λ) 2(5+λ) 8(3+λ)

x +y -=0． 1+λ1+λ1+λ

1-λ5+λ

, -) ． 1+λ1+λ

1-λ5+λ

因圆心在直线x +y =0上，所以-=0，解得λ=-2．

1+λ1+λ

可知圆心坐标为(

将λ=-2代入所设方程并化简，求圆的方程x 2+y 2+6x -6y +8=0．

自我检测题：

18. 圆x +y -2x =0与圆x +y +4y =0的位置关系为

19．已知两圆C 1:x 2+y 2=10, C 2:x 2+y 2+2x +2y -14=0，则两圆公共弦所在的直线方程为

x +y -2=0

20．若圆C 与圆(x +2) +(y -1) =1关于原点对称，则圆C 的方程是（ A ）

A ．(x -2) +(y +1) =1

B ．(x -2) +(y -1) =1

C ．(x -1) +(y +2) =1 D ．(x +1) +(y -2) =1

21．已知圆C 1:(x +1) +(y -1) =1, 圆C 2与圆C 1关于直线x -y -1=0对称，则圆C 2的

方程为（ B ）

（A ）(x +2) +(y -2) =1 （B ） (x -2) +(y +2) =1 （C ）(x +2) +(y +2) =1 （D ） (x -2) +(y -2) =1

2222

22．两圆x 2+y 2－4x +6y =0和x 2+y 2－6x =0的连心线方程为（ C ）

A ．x +y +3=0 B ．2x －y －5=0 C ．3x －y －9=0 D ．4x －3y +7=0

23．两圆C 1:x +y +2x +2y -2=0，（ B ） C 2:x 2+y 2-4x -2y +1=0的公切线有且仅有

A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条

24．点A 在圆x 2+y 2=2y 上, 点B 在直线y =x -1上, 则AB 的最小值是（ A ）

1 B ．

C ． 2

2+1 D

．

25．点A 在圆x 2+y 2=2y 上, 点B 在直线y =x -1上, 则AB 的最大值（ C ）

1 B ．

1-（五）综合问题举例

26．把直线x －2y ＋λ＝0向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得直线正好与圆 x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为 ( A )

A ．3或13 B ．－3或13 C ．3或－13 D．－3或－13 解析：直线x －2y ＋λ＝0按a ＝(－1，－2) 平移后的直线为

(x +1)-2(y -2)+λ=0，即x －2y ＋λ－3＝0，与圆相切，易得λ＝13或3. 将直线2x-y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x +y+2x-4y=0相切，则实数λ的值为（A ） A ．-3或7 B ．-2或8 C ．0或10 D．1或11 27. 已知AC , BD 为圆O :x 2+y 2=4的两条互相垂直的弦，AC , BD

交于点M ，且AC =BD ，则四边形ABCD 的面积等于（ B ） A 4 B 5 C 6 D 7

C ． 2

2+1 D

．

(提示：弦相等，则弦心距也相等，设AC 的弦心距为OE ，BD 的弦心距为OF 则OE=OF，

又AC ⊥BD ，所以，OE ⊥OF ，故OEMF 为正方形，OM 为该正方形的对角线，据此可求弦心距d =OE =

，由弦长公式得：AC =BD =2R 2-d 2=， 2

AC BD =5 2

所以S ABCD =

28．直线y =x +b 与曲线x =-y 有且只有一个交点，则b 的取值范围是（ B ）

A ．b =2 B ．-1

C ．-1≤b ≤1 D ．以上答案都不对

29. 已知圆C 1的方程为f (x , y ) =0，且P (x 0, y 0) 在圆C 1外，圆C 2的方程为

f (x , y ) =f (x 0, y 0) ，则C 1与圆C 2一定（ C ）

A ．相离 B ．相切 C ．同心圆 D ．相交

30．过点M 1) 的直线l 与圆C ：(x －1) 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，当∠ACB 最小时，直线

l 的方程为__________．答案：2x －4y ＋3＝0

解析：由平面几何知识可知，当l 与CM 垂直时∠ACB 最小．

1111

∵k CM ＝2，∴k l ＝l 方程为y －1(x －) ，即2x －4y ＋3＝0.

12221231．如果实数x , y 满足x 2+y 2-4x +1=0求:

的最大值； x

（2）y -x 的最小值；

（1）

（3）x +y 的最值. （4）

y -1

的取值范围 x +1

（1

（2

）2；（3）x +y

(

)

min

=；(

x 2+y 2)

max

=7+

（4）⎢

⎡-3-21-3+21⎤

, ⎥ 66⎣⎦

圆的方程题型总结A---001+答案

一、基础知识

1．圆的方程

圆的标准方程为 (x -a )+(y -b )=m 2 ；圆心C (a , b ) ，半径__m __

圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0；圆心 -

E ⎫⎛D

, -⎪ ，

2⎭⎝2

半径 r =

D 2+E 2-4F 2

把圆的一般方程通过“配方法”可化为“标准方程”。

例：圆x 2+y 2-2x +4y +2=0的圆心为 ___________，半径为 ________ 以A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)为直径的圆的方程是：

(x -x 1)(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0

二元二次方程Ax 2+Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的条件为： (1) A =C ≠0 ； (2) D 2+E 2-4F >0 2. 直线和圆的位置关系：

222

直线Ax +By +C =0，圆(x -a ) +(y -b ) =r ，圆心到直线的距离为d.

则：（1）d=_____

aA +bB +C A +B

_______；

（2）直线与圆相离 ⇔d >r

直线与圆相切 ⇔d =r 直线与圆相交 ⇔0≤d

（3）弦长公式： L =2r 2-d 2 ；（直线截圆所得弦长公式）

L =+k 2x 1-x 2=+k 2⋅

x 1+x 22-4x 1x 2

（一般弦长公式）

其中：直线l 的斜率为k ，直线l 与圆的交点（即弦的两端点）分别为

A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)，一般弦长公式要用到“韦达定理”

1⎛1⎫

或：L =1+ ⎪y 1-y 2=+2⋅

k ⎝k ⎭

3. 两圆的位置关系

y 1+y 22-4y 1y 2

圆C 1:(x -a 1) +(y -b 1) =r 1；圆C 2:(x -a 2) +(y -b 2) =r 2

则有：两圆相离⇔C 1C 2>r 1+r 2 ；外切⇔ C 1C 2=r 1+r 2 ；

相交⇔ r 1-r 2

；内切⇔ C 1C 2=r 1-r 2 ；

内含⇔ 0≤C 1C 2

二、题型总结：

（一）求圆的方程

例1：求经过点A(2，－1) ，和直线x +y =1相切，且圆心在直线y =-2x 上的圆的方程．分析：直线与圆相切⇔d =r

解：因为圆心在直线y =-2x 上，所以可设圆心坐标为(a ,-2a ) ，据题意得：

(a -2) 2+(-2a +1) 2=

|a -2a -1|

， ∴ (a -2) 2+(1-2a ) 2=

(1+a ) 2， 2

∴ a =1， ∴ 圆心为(1，－2) ，半径为2，

∴所求的圆的方程为(x -1) +(y +2) =2.

例2：已知△ABC 的三个项点坐标分别是A （4，1），B （6，－3），C （－3，0），

求△ABC 外接圆的方程．解法一：设所求圆的方程是(x -a ) +(y -b ) =r ． ① （待定系数法）

因为A （4，1），B （6，－3），C （－3，0）都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是：

⎧a =1, ⎧(4-a ) 2+(1-b ) 2=r 2,

⎪⎪222

⎨(6-a ) +(-3-b ) =r , 解之得⎨b =-3,

⎪r 2=25. ⎪(-3-a ) 2+(0-b ) 2=r 2.

⎩⎩

所以△ABC 的外接圆的方程是(x -1) +(y +3) =25．

解法二：因为△ABC 外接圆的圆心既在AB 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，

所以先求AB 、BC 的垂直平分线方程，联立求得的交点坐标就是圆心坐标．（交轨法）

-3-1

∵k AB ==-2，线段AB 的中点为（5，－1），

6-4

∴AB 的垂直平分线方程为y +1=

(x -5) ， 2

①

∵ k BC =0-(-3) =-1 ，线段BC 的中点为(3, -3) ，

22-3-63

∴ BC的垂直平分线方程y +

=3(x -) ． 22

②

⎧x =1,

解由①②联立的方程组可得⎨∴△ABC 外接圆的圆心为Ｅ（1，－3），

y =-3. ⎩

半径r =|AE |=

=5．

故△ABC 外接圆的方程是(x -1) +(y +3) =25．

自我检测题：

1．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x -3y =0和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ B ）

7⎫⎛

A ．(x -3) 2+ y -⎪=1B ．(x -2) 2+(y -1) 2=1

3⎭⎝

C ．(x -1) +(y -3) =1

3⎫⎛

D ． x -⎪+(y -1) 2=1

2⎭⎝

解题方法指导：（1）检验法（2）求出圆的方程直线与圆相切⇔d =r 2．若直线3x -4y +12=0与两坐标轴交点为A 、B ，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ A ）

A. x +y +4x -3y =0 B. x +y -4x -3y =0 C. x +y +4x -3y -4=0 D. x +y -4x -3y +8=0 3．过点A (1, -1) , B (-1,1) 且圆心在直线x +y -2=0上的圆的方程（ C ）

A ． (x -3)+(y +1)=4 B ．(x +3)+(y -1)=1

C ． (x -1)+(y -1)=4 D ． (x +1)+(y +1)=1

（二）与圆有关的点的轨迹

例3．已知动点M 到点A （2，0）的距离是它到点B （8，0）的距离的一半，求：（1）动点M 的轨迹方程；（2）若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．

解：（1）设动点M （x ，y ）为轨迹上任意一点，则点M 的轨迹就是集合 P ={M ||MA |=

|MB |}． 2

由两点距离公式，点M 适合的条件可表示为

平方后整理，得 x 2+y 2=16．即为动点M 的轨迹方程．

（2）设动点N 的坐标为（x ，y ），M 的坐标是（x 1，y 1）．

由于A （2，0），且Ｎ为线段AM 的中点，所以 x =

2+x 10+y 1

， y =．所以有x 1=2x -2，y 1=2y ① 22

由（1）题知，M 是圆x 2+y 2=16上的点，所以M 坐标（x 1，y 1）满足：x 12+y 12=16② 将①代入②整理，得(x -1) 2+y 2=4．

所以N 的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆

自我检测题：

4．圆x 2+y 2-4y -12=0上的动点Q ，定点A (8,0)，线段AQ 的中点轨迹方程为

(x -4) 2+(y -1) 2=4

（三）直线与圆的位置关系 ① 位置关系的判断

② 求直线被圆（或圆被直线）所截得的弦长

③ 与弦长有关的问题，如求弦长的最值、已知弦长求直线或圆的方程等 ④ 求圆关于已知直线的对称圆的方程 ⑤ 求圆的切线方程、求切线长

⑥ 直线上点与圆上点之间距离的最值问题 ⑦ 求参数的取值范围 ⑧ 其它综合问题

例4．已知圆C :(x -1)2+(y -2)2=25及直线l :(2m +1)x +(m +1)y =7m +4(m ∈R ) （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交；

（2）求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程．

解：(1)直线方程l :(2m +1)x +(m +1)y =7m +4, 可以改写为m (2x +y -7)+x +y -4=0, 所以直线

必经过直线2x +y -7=0和x +y -4=0的交点. 由方程组⎨

⎧2x +y -7=0, ⎧x =3,

解得⎨即两直

x +y -4=0y =1⎩⎩

线的交点为A (3, 1) 又因为点A (3, 1)与圆心C (1, 2)的距离d =

(2) 连接AC , 过A 作AC 的垂线, 此时的直线与圆C 相交于B 、D 两点， BD 为直线被圆所

截得的最短弦长。此时, AC =5, BC =5, =225-5=4. 即最短弦长为4. 又直线AC 的斜率k AC =-1，所以直线BD 的斜率为2

此时直线方程为:y -1=2(x -3), 即2x -y -5=0.

例5．已知圆x 2+y 2+x －6y +m =0和直线x +2y －3=0交于P 、Q 两点，且以PQ 为直径的圆恰

过坐标原点，求实数m 的值．

解：由⎧x 2+y 2⎧y 1+y 2=4⎨+x -6y +m =0⇒5y 2-20y +12+m =0 ⎪⎩x +2y -3=0∴⎨⎪⎩y 12+m 1y 2=5又OP ⊥OQ ， ∴x 1x 2+y1y 2=0,而x 1x 2=9－6(y 1+y2)+4y 1y 2= 4m -275

∴

4m -275+12+m

=0 解得m =3.

自我检测题：

5. 圆(x -1) 2

+y 2

1的圆心到直线y =

x 的距离是（ A ） A.

12 B.

C. 1

D. 6．直线3x -4y -9=0与圆x 2+y 2=4的位置关系是（ D ）

A ．相交且过圆心 B ．相切 C ．相离 D ．相交但不过圆心

7．过点(2,1) 的直线中, 被x 2+y 2-2x +4y =0截得弦长最长的直线方程为（A. 3x -y -5=0 B. 3x +y -7=0 C. x +3y -3=0 D. x -3y +1=0

8．直线x=2被圆(x -a )2

+y 2

4所截弦长等于则a 的值为（ C ）A －1或－3

C 1或3 D

9．圆x 2+y 2-4x =0在点P (1, ) 处的切线方程为 ( D )

A ．x +y -2=0 B ．x +y -4=0 C ．x -3y +4=0 D ．x -3y +2=0 10．由点P (1, 3) 引圆x 2

+y 2

=9的切线的长是 ( C )

A ．2 B ． C ．1 D ．4

A ）

L 切线长=x 0+y 0+Dx 0+Ey 0+F ，即把点的坐标代入圆的一般方程左端取算术根

11．过点P （2，1）作圆C ：x 2+y 2－ax +2ay +2a +1=0的切线有两条，则a 取值范围是（ D ） A ．a ＞－3 B ．a ＜－3

C ．－3＜a ＜－

D ．－3＜a ＜－或a ＞2 55

（-2，0）12．已知直线l 过点，当直线l 与圆x 2+y 2=2x 有两个交点时，其斜率k 的取值

范围是（ C ）

A. B. C. （-2222）（-22）（-

1122

（-） D. ）

8844

13．圆x 2+y 2-2x -1=0关于直线2x -y +3=0对称的圆的方程是（ C ）

A ．(x +3) +(y -2) =

1122

B ．(x -3) +(y +2) =2 2

C ．(x +3) +(y -2) =2 D ．(x -3) +(y +2) =2

14．直线x -2y -3=0与圆(x -2) 2+(y +3) 2=9交于E 、F 两点，则∆EOF （O 为原点）

的面积为（ C ）

A ．

33 B ． C

15．①一束光线从点A (-1,1) 出发，经x 轴反射到圆C :(x -5) 2+(y -7) 2=4, 上的最短

路程是（B ） A . 62-2 B . 8 C . 46 D . 10 提示：作点A 关于X 的对称点A '，则A 'C -R 即为所求

②一束光线从点

A (-1,1) 出发，经x 轴反射到圆C :(x -2) 2+(y -3) 2=1上的最短路径是 ( A ）

A ．4 B ．5 C ．

1 D

．

16．圆x 2+y2－2x －6y+9=0关于直线x －y －1=0对称的圆的方程是x 22

圆(x -1) +(y +3) =16关于直线x +y +1=0对称的圆的方程

是 (x -2)+(y +2)=16

17．过点P (－3且被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为8的直线方程为__________．

解析：由题意知，过P 的直线y k (x ＋3) ⇒2kx －2y ＋6k －3＝0，圆心到直线的距离

d ＝

x ＝－3满足条件．

2＋4k

故直线方程为3x ＋4y ＋15＝0或x ＝－3. 答案：3x ＋4y ＋15＝0或x ＝－3.

|6k －3|

3⇒k ＝－4，验证知

（四）圆与圆的位置关系 ① 位置关系的判断

⎧x 2+y 2-2x +10y -24=0

⎨22

⎩x +y +2x +2y -8=0，

解这个方程组求得两圆的交点坐标A （－4，0），B （0，2）．

因所求圆心在直线x +y =0上，故设所求圆心坐标为(x , -x ) ，则它到上面的两上交点（

－4，0）和（

0，2=

即4x =-12，∴x =-3，y =-x =

3，从而圆心坐标是（－3，3）

．又r == 故所求圆的方程为(x +3) +(y -3) =10．

解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程）

同解法一求得两交点坐标A （－4，0），B （0，2），弦AB 的中垂线为2x +y +3=0，它与直线x +y =0

交点（－3，3）就是圆心，又半径r = 故所求圆的方程为(x +3) +(y -3) =10．

解法三：（用待定系数法求圆的方程）

同解法一求得两交点坐标为A （－4，0），B （0，2）．

设所求圆的方程为(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2，因两点在此圆上，且圆心在x +y =0上，

⎧a =-3⎧(-4-a ) 2+b 2=r 2

⎪222，解之得所以得方程组 ⎪a +(3-b ) =r ⎨b =3， ⎨

⎪⎪a +b =0

⎩

⎩r =

故所求圆的方程为(x +3) 2+(y -3) 2=10．

解法四：（用“圆系”方法求圆的方程）

设所求圆的方程为

x 2+y 2-2x +10y -24+λ(x 2+y 2+2x +2y -8) =0(λ≠-1) ，

即 x 2+y 2-

2(1-λ) 2(5+λ) 8(3+λ)

x +y -=0． 1+λ1+λ1+λ

1-λ5+λ

, -) ． 1+λ1+λ

1-λ5+λ

因圆心在直线x +y =0上，所以-=0，解得λ=-2．

1+λ1+λ

可知圆心坐标为(

将λ=-2代入所设方程并化简，求圆的方程x 2+y 2+6x -6y +8=0．

自我检测题：

18. 圆x +y -2x =0与圆x +y +4y =0的位置关系为

19．已知两圆C 1:x 2+y 2=10, C 2:x 2+y 2+2x +2y -14=0，则两圆公共弦所在的直线方程为

x +y -2=0

20．若圆C 与圆(x +2) +(y -1) =1关于原点对称，则圆C 的方程是（ A ）

A ．(x -2) +(y +1) =1

B ．(x -2) +(y -1) =1

C ．(x -1) +(y +2) =1 D ．(x +1) +(y -2) =1

21．已知圆C 1:(x +1) +(y -1) =1, 圆C 2与圆C 1关于直线x -y -1=0对称，则圆C 2的

方程为（ B ）

（A ）(x +2) +(y -2) =1 （B ） (x -2) +(y +2) =1 （C ）(x +2) +(y +2) =1 （D ） (x -2) +(y -2) =1

2222

22．两圆x 2+y 2－4x +6y =0和x 2+y 2－6x =0的连心线方程为（ C ）

A ．x +y +3=0 B ．2x －y －5=0 C ．3x －y －9=0 D ．4x －3y +7=0

23．两圆C 1:x +y +2x +2y -2=0，（ B ） C 2:x 2+y 2-4x -2y +1=0的公切线有且仅有

A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条

24．点A 在圆x 2+y 2=2y 上, 点B 在直线y =x -1上, 则AB 的最小值是（ A ）

1 B ．

C ． 2

2+1 D

．

25．点A 在圆x 2+y 2=2y 上, 点B 在直线y =x -1上, 则AB 的最大值（ C ）

1 B ．

1-（五）综合问题举例

26．把直线x －2y ＋λ＝0向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得直线正好与圆 x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为 ( A )

A ．3或13 B ．－3或13 C ．3或－13 D．－3或－13 解析：直线x －2y ＋λ＝0按a ＝(－1，－2) 平移后的直线为

交于点M ，且AC =BD ，则四边形ABCD 的面积等于（ B ） A 4 B 5 C 6 D 7

C ． 2

2+1 D

．

(提示：弦相等，则弦心距也相等，设AC 的弦心距为OE ，BD 的弦心距为OF 则OE=OF，

又AC ⊥BD ，所以，OE ⊥OF ，故OEMF 为正方形，OM 为该正方形的对角线，据此可求弦心距d =OE =

，由弦长公式得：AC =BD =2R 2-d 2=， 2

AC BD =5 2

所以S ABCD =

28．直线y =x +b 与曲线x =-y 有且只有一个交点，则b 的取值范围是（ B ）

A ．b =2 B ．-1

C ．-1≤b ≤1 D ．以上答案都不对

29. 已知圆C 1的方程为f (x , y ) =0，且P (x 0, y 0) 在圆C 1外，圆C 2的方程为

f (x , y ) =f (x 0, y 0) ，则C 1与圆C 2一定（ C ）

A ．相离 B ．相切 C ．同心圆 D ．相交

30．过点M 1) 的直线l 与圆C ：(x －1) 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，当∠ACB 最小时，直线

l 的方程为__________．答案：2x －4y ＋3＝0

解析：由平面几何知识可知，当l 与CM 垂直时∠ACB 最小．

1111

∵k CM ＝2，∴k l ＝l 方程为y －1(x －) ，即2x －4y ＋3＝0.

12221231．如果实数x , y 满足x 2+y 2-4x +1=0求:

的最大值； x

（2）y -x 的最小值；

（1）

（3）x +y 的最值. （4）

y -1

的取值范围 x +1

（1

（2

）2；（3）x +y

(

)

min

=；(

x 2+y 2)

max

=7+

（4）⎢

⎡-3-21-3+21⎤

, ⎥ 66⎣⎦

圆的方程题型总结A---001+答案

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