导数题型总结
1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,
5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
（2）端点处和顶点是最值所在
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立
此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令f ' (x ) =0得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；
第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）。
例1：设函数y =f (x ) 在区间D 上的导数为f '(x ) ，f '(x ) 在区间D 上的导数为g (x ) ，若在区间D 上，g (x )
x 4mx 33x 2f (x ) =--
1262
（1）若y =f (x ) 在区间[0,3]上为“凸函数”，求m 的取值范围；
（2）若对满足m ≤2的任何一个实数m ，函数f (x ) 在区间(a , b )上都为“凸函数”，求b -a 的最大值.
x 4mx 33x 2x 3mx 2
----3x 解:由函数f (x ) = 得f '(x ) =126232
∴g (x ) =x 2-mx -3
（1） y =f (x ) 在区间[0,3]上为“凸函数”，
则 ∴g (x ) =x -mx -3
2
⎧g (0)
⎨⇒⎨⇒m >2
g (3)
解法二：分离变量法：
∵ 当x =0时, ∴g (x ) =x 2-mx -3=-3
x 2-33
=x -的最大值（0x x
而h (x ) =x -
3
（0
∴m >2
(2) ∵当m ≤2时f (x ) 在区间(a , b )上都为“凸函数” 则等价于当m ≤2时g (x ) =x 2-mx -3
变更主元法
再等价于F (m ) =mx -x 2+3>0在m ≤2恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题）
2
⎧F (-2) >0⎧⎪-2x -x +3>0
⇒⎨⇒-1
F (2)>0⎪⎩⎩2x -x +3>0
∴b -a =2
例2-3a 2x +b (0
（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的x ∈[a +1, a +2],不等式f '(x ) ≤a 恒成立，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）f '(x ) =-x +4ax -3a =-(x -3a )(x -a )
2
2
0
令f '(x ) >0, 得f (x ) 的单调递增区间为（a ,3a ）
令f '(x )
2
33
a +b ; 当x=3a 时，f (x ) 极大值=b. 4
2
（Ⅱ）由|f '(x ) |≤a ，得：对任意的x ∈[a +1, a +2],-a ≤x -4ax +3a ≤a 恒成立①
⎧g max (x ) ≤a
则等价于g (x ) 这个二次函数⎨ g (x ) =x 2-4ax +3a 2的对称轴x =2a
⎩g min (x ) ≥-a
a +1>a +a =2a （放缩法） 0
即定义域在对称轴的右边，g (x ) 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
g (x ) =x 2-4ax +3a 2在[a +1, a +2]上是增函数.
∴
g (x ) max =g (a +2) =-2a +1. g (x ) min =g (a +1) =-4a +4.
+1,
x =2a a +2]
于是，对任意x ∈[a +1, a +2]，不等式①恒成立，等价于
⎧g (a +2) =-4a +4≤a , 4
解得≤a ≤1. ⎨
g (a +1) =-2a +1≥-a 5⎩
又0
4
≤a
点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
例3：已知函数f (x ) =x 3+ax 2图象上一点P (1,b ) 处的切线斜率为-3，
g (x ) =x 3+
t -62
x -(t +1) x +32
(t >0)
（Ⅰ）求a , b 的值；
（Ⅱ）当x ∈[-1,4]时，求f (x ) 的值域；
（Ⅲ）当x ∈[1,4]时，不等式f (x ) ≤g (x ) 恒成立，求实数t 的取值范围。
⎧f /(1)=-3⎧a =-3
解：（Ⅰ）f (x ) =3x +2ax ∴⎨， 解得⎨
⎩b =-2⎩b =1+a
/
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f (x ) 在[-1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减 又f (-1) =-4, f (0)=0, f (2)=-4, f (4)=16 ∴f (x ) 的值域是[-4,16]
（Ⅲ）令h (x ) =f (x ) -g (x ) =-
t 2
x +(t +1) x -32
x ∈[1,4]
思路1：要使f (x ) ≤g (x ) 恒成立，只需h (x ) ≤0，即t (x 2-2x ) ≥2x -6分离变量 思路2：二次函数区间最值
二、参数问题
1、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为f ' (x ) ≥0或f ' (x ) ≤0在给定区间上恒成立， 回归基础题型
解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区
间的子集；
做题时一定要看清楚“在（m , n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a , b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集
例4：已知a ∈R ，函数f (x ) =
13a +12
x +x +(4a +1) x ． 122
（Ⅰ）如果函数g (x ) =f '(x ) 是偶函数，求f (x ) 的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数f (x ) 是(-∞, 解：f '(x ) =
+∞) 上的单调函数，求a 的取值范围．
12
x +(a +1) x +(4a +1) . 4
131
x -3x ，f '(x ) =x 2-3， （Ⅰ）∵ f '(x ) 是偶函数，∴ a =-1. 此时f (x ) =124
令f '(x ) =0，解得：x =±2. 列表如下：
可知：f (x ) 的极大值为f (-23) =4， f (x ) 的极小值为f (23) =-4. （Ⅱ）∵函数f (x ) 是(-∞,
∴f '(x ) =
+∞) 上的单调函数，
12
x +(a +1) x +(4a +1) ≥0，在给定区间R 上恒成立判别式法 4
122
则∆=(a +1) -4⋅⋅(4a +1) =a -2a ≤0， 解得：0≤a ≤2.
4
综上，a 的取值范围是{a 0≤a ≤2}. 例5、已知函数f (x ) =
131
x +(2-a ) x 2+(1-a ) x (a ≥0). 32
（I ）求f (x ) 的单调区间；
（II ）若f (x ) 在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。子集思想
解：（I ）f '(x ) =x 2+(2-a ) x +1-a =(x +1)(x +1-a ). 1、当a =0时, f '(x ) =(x +1) 2≥0恒成立,
当且仅当x =-1时取“=”号，f (x ) 在(-∞, +∞) 单调递增。 2、当a >0时由, f '(x ) =0, 得x 1=-1, x 2=a -1, 且x 1
单调增区间：(-∞, -1),(a -1, +∞) 单调增区间：(-1, a -1)
（II ）当 f (x ) 在[0,1]上单调递增, 则[0,1]是上述增区间的子集： 1、a =0时，f (x ) 在(-∞, +∞) 单调递增 符合题意 2、[0,1]⊆(a -1, +∞)，∴a -1≤0 ∴a ≤1 综上，a 的取值范围是[0，1]。 2、题型二：根的个数问题
题1 函数f(x)与g(x)（或与x 轴）的交点，即方程根的个数问题 解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后
减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可。 例6、已知函数f (x ) =
113(k +1) 2x -x ，g (x ) =-kx ，且f (x ) 在区间(2, +∞) 上为增函数．
332
（1） 求实数k 的取值范围；
（2） 若函数f (x ) 与g (x ) 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围． 解：（1）由题意f '(x ) =x -(k +1) x ∵f (x ) 在区间(2, +∞) 上为增函数，
2
∴f '(x ) =x 2-(k +1) x >0在区间(2, +∞) 上恒成立（分离变量法）
即k +12，∴k +1≤2，故k ≤1∴k 的取值范围为k ≤1
x 3(k +1) 21-x +kx -， （2）设h (x ) =f (x ) -g (x ) =323
h '(x ) =x 2-(k +1) x +k =(x -k )(x -1)
令h '(x ) =0得x =k 或x =1由（1）知k ≤1，
①当k =1时，h '(x ) =(x -1) 2≥0，h (x ) 在R 上递增，显然不合题意„ ②当k
由于
k -1
⎧k
+->0，即(k -1)(k -2k -2) 0
综上，所求k 的取值范围为k
根的个数知道，部分根可求或已知。
例7、已知函数f (x ) =ax +
3
12
x -2x +c 2
（1）若x =-1是f (x ) 的极值点且
f (x ) 的图像过原点，求f (x ) 的极值； （2）若g (x ) =
12
bx -x +d ，在（1）的条件下，是否存在实数b ，使得函数g (x ) 的图像与函数f (x ) 的2
图像恒有含x =-1的三个不同交点？若存在，求出实数b 的取值范围；否则说明理由。2
解：（1）∵f (x ) 的图像过原点，则f (0)=0⇒c =0 f '(x ) =3ax +x -2，
又∵x =-1是f (x ) 的极值点，则f '(-1) =3a -1-2=0⇒a =-1
∴f '(x ) =3x 2+x -2=(3x -2)(x +1) =0
f 极大值(x ) =f (-1) =
3222
) - f 极小值(x ) =f =
237
（2）设函数g (x ) 的图像与函数f (x ) 的图像恒存在含x =-1的三个不同交点， 等价于f (x ) =g (x ) 有含x =-1的三个根，即：f (-1) =g (-1) ⇒d =-
1
(b -1) 2
∴x 3+
1211
x -2x =bx 2-x -(b -1) 整理得： 2221132
即：x -(b -1) x -x +(b -1) =0恒有含x =-1的三个不等实根
22
11
h (x ) =x 3-(b -1) x 2-x +(b -1) =0有含x =-1的根，
22
则h (x ) 必可分解为(x +1)(二次式) =0，故用添项配凑法因式分解，
11
x 3+x 2-x 2-(b -1) x 2-x +(b -1) =0
22
1⎡1⎤
x 2(x +1) -⎢(b +1) x 2+x -(b -1) ⎥=0
2⎣2⎦
12
x 2(x +1) -⎡(b +1) x +2x -(b -1) ⎤=0 ⎣⎦2
12
十字相乘法分解：x (x +1) -[(b +1) x -(b -1) ](x +1)=0
2
11⎡⎤
(x +1) ⎢x 2-(b +1) x +(b -1) ⎥=0
22⎣⎦
11
∴x 3-(b -1) x 2-x +(b -1) =0恒有含x =-1的三个不等实根
22
112
等价于x -(b +1) x +(b -1) =0有两个不等于-1的不等实根。
22
11⎧2
∆=(b +1) -4⨯(b -1) >0⎪⎪42⇒⎨⇒b ∈(-∞, -1) ⋃(-1,3) ⋃(3,+∞) ⎪(-1) 2+1(b +1) +1(b -1) ≠0⎪⎩22
题2 切线的条数问题，即以切点x 0为未知数的方程的根的个数
32
例7、已知函数f (x ) =ax +bx +cx 在点x 0处取得极小值－4，使其导数f '(x ) >0的x 的取值范围
为(1,3)，求：（1）f (x ) 的解析式；（2）若过点P (-1, m ) 可作曲线y =f (x ) 的三条切线，求实数m 的取值范围．
（1）由题意得：f '(x ) =3ax 2+2bx +c =3a (x -1)(x -3),(a
∴在(-∞,1) 上f '(x ) 0；在(3,+∞) 上f '(x )
∴a +b +c =-4①，f '(1)=3a +2b +c =0②，f '(3)=27a +6b +c =0③
⎧a =-1⎪
由①②③联立得：⎨b =6，∴f (x ) =-x 3+6x 2-9x
⎪c =-9⎩
（2）设切点Q (t , f (t )) ，y -f (t ) =f , (t )(x -t )
y =(-3t 2+12t -9)(x -t ) +(-t 3+6t 2-9t ) =(-3t 2+12t -9) x +t (3t 2-12t +9) -t (t 2-6t +9) =(-3t 2+12t -9) x +t (2t 2-6t ) 过(-1, m ) m =(-3t 2+12t -9)(-1) +2t 3-6t 2 g (t ) =2t 3-2t 2-12t +9-m =0
令g '(t ) =6t 2-6t -12=6(t 2-t -2) =0， 求得：t =-1, t =2，方程g (t ) =0有三个根。
需：⎨
⎧g (-1) >0⎧-2-3+12+9-m >0⎧m
⇒⎨⇒⎨
⎩g (2)-11⎩16-12-24+9-m
故：-11
题3 已知f (x ) 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数 解法：根分布或判别式法 例8、
17
解：函数的定义域为R （Ⅰ）当m ＝4时，f (x ) ＝ 3－2＋10x ，
32
f '(x ) ＝x 2－7x ＋10，令f '(x ) >0 ， 解得x >5, 或x
令f '(x )
可知函数f (x ) 的单调递增区间为(-∞,2) 和（5，＋∞），单调递减区间为(2,5)． （Ⅱ）f '(x ) ＝x 2－(m ＋3) x ＋m ＋6,
要使函数y ＝f (x ) 在（1，＋∞）有两个极值点, ⇒f '(x ) ＝x 2－(m ＋3) x ＋m ＋6=0的根在（1，＋∞） 根分布问题：
⎧
⎪∆=(m +3) 2-4(m +6) >0; ⎪
则⎨f '(1)=1-(m +3) +m +6>0; ， 解得m ＞3 ⎪m +3⎪>1. ⎩2
例9、已知函数f (x ) =
a 3121x +x ，(a ∈R , a ≠0) （1）求f (x ) 的单调区间；（2）令g (x ) ＝x 4＋f （x ）
432
（x ∈R ）有且仅有3个极值点，求a 的取值范围． 解：（1）f ' (x ) =ax 2+x =x (ax +1)
11
或x >0，令f ' (x )
11
所以f (x ) 的递增区间为(-∞, -) (0, +∞) ，递减区间为(-, 0) .
a a
11
-) ，递减区间为(-∞, 0) (-, +∞) . 当a
14a 312
（2）g (x ) =x +x +x 有且仅有3个极值点
432
'
当a >0时，令f (x ) >0解得x
⇒g '(x ) =x 3+ax 2+x =x (x 2+a x +1) =0有3个根，则x =0或x 2+ax +1=0，a
2
方程x +ax +1=0有两个非零实根，所以∆=a -4>0,
2
∴a 2
而当a 2时可证函数y =g (x ) 有且仅有3个极值点
其它例题：
32
（a >0）1、（最值问题与主元变更法的例子）. 已知定义在R 上的函数f (x ) =ax -2ax +b 在区间[-2,1
]
上的最大值是5，最小值是－11.
（Ⅰ）求函数f (x ) 的解析式；
（Ⅱ）若t ∈[-1, 1]时，f '(x ）+tx ≤0恒成立，求实数x 的取值范围. 解：（Ⅰ） f (x ) =ax 3-2ax 2+b , ∴f ' (x ) =3ax 2-4ax =ax (3x -4) 令f ' (x ) =0,得x 1=0, x 2=
4
∉[-2,1] 3
因为a >0，所以可得下表：
因此f (0) 必为最大值, ∴f （0）=5因此b =5， f (-2) =-16a +5, f (1)=-a +5, ∴f (1)>f (-2) ，
即f (-2) =-16a +5=-11，∴a =1，∴ f (x ）=x 3-2x 2+5.
+tx ≤0等价于3x 2-4x +tx ≤0， （Ⅱ）∵f '(x ) =3x 2-4x ，∴f '(x ）
令g (t ) =xt +3x 2-4x ，则问题就是g (t ) ≤0在t ∈[-1, 1]上恒成立时，求实数x 的取值范围，
⎧3x 2-5x ≤0⎧g (-1) ≤0
为此只需⎨，即⎨2，
1) ≤0⎩g （⎩x -x ≤0
解得0≤x ≤1，所以所求实数x 的取值范围是[0，1]. 2、（根分布与线性规划例子） 已知函数f (x ) =
23
x +ax 2+bx +c 3
(Ⅰ) 若函数f (x ) 在x =1时有极值且在函数图象上的点(0,1) 处的切线与直线3x +y =0平行, 求
f (x ) 的解析式；
(Ⅱ) 当f (x ) 在x ∈(0,1) 取得极大值且在x ∈(1,
2) 取得极小值时, 设点M (b -2, a +1) 所在平面
区域为S, 经过原点的直线L 将S 分为面积比为1:3的两部分, 求直线L 的方程.
2
解： (Ⅰ). 由f '(x ) =2x +2ax +b , 函数f (x ) 在x =1时有极值 ,
∴ 2a +b +2=0
∵ f (0)=1 ∴ c =1
又∵ f (x ) 在(0,1) 处的切线与直线3x +y =0平行,
∴ f '(0)=b =-3 故 a =
∴ f (x ) =1 22312x +x -3x +1 ……………………. 7分 32
(Ⅱ) 解法一: 由f '(x ) =2x 2+2ax +b 及f (x ) 在x ∈(0,1) 取得极大值且在x ∈(1,2) 取得极小值,
⎧f '(0)>0⎪∴ ⎨f '(1)
⎪f '(2)>0⎩⎧b >0⎪⎨2a +b +20⎩⎧x =b -2 y ) , 则 ⎨⎩y =a +1
⎧a =y -1∴ ⎨ ∴ b =x +2⎩
易得A (-2, ⎧x +2>0⎪⎨2y +x +20⎩30) , B (-2, -1) , C (2,-2) , D (0,-1) , E (0,-) , S ∆ABC =2 2
同时DE 为△ABC 的中位线, S ∆DEC =1S 3四边形ABED
∴ 所求一条直线L 的方程为: x =0
另一种情况设不垂直于x 轴的直线L 也将S 分为面积比为1:3的两部分, 设直线L 方程为y =kx , 它与AC,BC 分别交于F 、G, 则 k >0, S 四边形DEGF =1
由 ⎨⎧y =kx 2 得点F 的横坐标为: x F =- 2k +1⎩2y +x +2=0
⎧y =kx 6 得点G 的横坐标为: x G =- 4k +14y +x +6=0⎩由 ⎨
∴S 四边形DEGF 解得: k ==S ∆OGE -S ∆OFD =⨯⨯13612-⨯1⨯=1即 16k 2+2k -5=0 224k +122k +1151 或 k =- (舍去) 故这时直线方程为: y =x 282
1综上, 所求直线方程为: x =0或y =x . ……………. ………….12分 2
2(Ⅱ) 解法二: 由f '(x ) =2x +2ax +b 及f (x ) 在x ∈(0,1) 取得极大值且在x ∈(1,2) 取得极小值
,
⎧f '(0)>0⎪∴ ⎨f '(1)
⎪f '(2)>0⎩⎧b >0⎪⎨2a +b +20⎩⎧x =b -2 y ) , 则 ⎨y =a +1⎩
⎧x +2>0⎧a =y -1⎪∴ ⎨ ∴ ⎨2y +x +20⎩
易得A (-2, 30) , B (-2, -1) , C (2,-2) , D (0,-1) , E (0,-) , S ∆ABC =2 2
1S =S 四边形ABED ∴所求一条直线L 的方程为: x =0 同时DE 为△ABC 的中位线, ∆DEC 3
另一种情况由于直线BO 方程为: y =1x , 设直线BO 与AC 交于H , 2
1⎧y =x 1⎪H (-1, -) 由 ⎨ 得直线L 与AC 交点为: 22⎪⎩2y +x +2=0
∵ S ∆ABC =2, S ∆DEC =1111111⨯⨯2=, S ∆AB H =S ∆ABO -S ∆AOH =⨯2⨯1-⨯2⨯= 2222222
1x 2 ∴ 所求直线方程为: x =0 或y =
3、（根的个数问题）已知函数f(x)=ax 3+bx 2+(c-3a -2b)x +d (a>0) 的图象如图所示。
（Ⅰ）求c 、d 的值；
（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x +y -11=0，
求函数f ( x )的解析式；
（Ⅲ）若x 0=5, 方程f(x)=8a 有三个不同的根，求实数a 的取值范围。
解：由题知：f '(x)=3ax 2+2bx+c-3a-2b
（Ⅰ）由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且f '(1)= 0
得⎨⎧d =3⎧d =3 ⇒⎨⎩3a +2b +c -3a -2b =0⎩c =0
f '(2)= – 3 且f ( 2 ) = 5 （Ⅱ）依题意
⎧12a +4b -3a -2b =-3 解得a = 1 , b = – 6 ⎨⎩8a +4b -6a -4b +3=5所以f ( x ) = x 3 – 6x 2 + 9x + 3
（Ⅲ）依题意
f ( x ) = ax 3 + bx 2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a ＞0 ) 由f '(5)= 0⇒b = – 9a ① f '(x )= 3ax 2 + 2bx – 3a – 2b 若方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 )＜8a ＜f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3＜8a ＜7a + 3⇒所以 当1＜a ＜3 111＜a ＜3时，方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根。„„„„ 12分 11
1324、（根的个数问题）已知函数f (x ) =x -ax -x +1(a ∈R ) 3
（1）若函数f (x ) 在x =x 1, x =x 2处取得极值，且x 1-x 2=2，求a 的值及f (x ) 的单调区间；
（2）若a
解：（1）f' (x ) =x 2-2ax -1
∴x 1+x 2=2a , x 1⋅x 2=-
1
∴x 1-x 2===2
∴a =0„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分
f '(x ) =x 2-2ax -1=x 2-1
令f '(x ) >0得x 1
令f '(x )
∴f (x ) 的单调递增区间为(-∞, -1) ，(1,+∞) ，单调递减区间为(-1,1) „„„„5分
（2）由题f (x ) =g (x ) 得1315x -ax 2-x +1=x 2-(2a +1) x + 326
13121即x -(a +) x +2ax +=0 326
13121令ϕ(x ) =x -(a +) x +2ax +(-2≤x ≤1) „„„„„„„„6分 326
∴ϕ'(x ) =x 2-(2a +1) x +2a =(x -2a )(x -1)
令ϕ'(x ) =0得x =2a 或x =1„„„„„„„„„„„„„„„„„7分
a
当2a ≤-2即a ≤-1时
9>0，a
1当2a ≥-2即-1
此时，-8a -
a 2(3-2a ) +>0, 36
99∴当-8a ->0即-1
99≤a ≤0时，有两个交点； 当-8a -≤0，且a ≤0即-216
19 当0
19综上可知，当a 9≤a ≤0时，有两个交点．„„„„„„„„„„„„„14分 当-16
2x 3
5、（简单切线问题）已知函数f (x ) =2图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数5a
g (x ) =f (x ) -3bx +3． 2a
（Ⅰ） 若函数g (x ) 在x =1处有极值，求g (x ) 的解析式；
（Ⅱ） 若函数g (x ) 在区间[-1, 1]上为增函数，且b -mb +4≥g (x ) 在区间[-1, 1]上都成立，求实数m 的取值范围．
（1）∵f ′(x)= 3/a2 •x2，
∴由 3/a2 •x2=3得x=±a ，
即切点坐标为（a ，a ），（-a ，-a ）
∴切线方程为y-a=3（x-a ），或y+a=3（x+a）（2分） 2
整理得3x-y-2a=0或3x-y+2a=0
解得a=±1，
∴f （x ）=x3．
∴g （x ）=x3-3bx+3（4分）
∵g ′（x ）=3x2-3b，g （x ）在x=1处有极值，
∴g ′（1）=0，
即3×12-3b=0，解得b=1
∴g （x ）=x3-3x+3（6分）
（2）∵函数g （x ）在区间[-1，1]上为增函数，
∴g ′（x ）=3x2-3b≥0在区间[-1，1]上恒成立， ∴b ≤0，
又∵b2-mb+4≥g （x ）在区间[-1，1]上恒成立，
∴b2-mb+4≥g （1）（8分）
即b2-mb+4≥4-3b ，若b=0，则不等式显然成立，若b ≠0， 则m ≥b+3在b ∈（-∞，0）上恒成立
∴m ≥3．
故m 的取值范围是[3，+∞）
导数题型总结
1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,
5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
（2）端点处和顶点是最值所在
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立
此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令f ' (x ) =0得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；
第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）。
例1：设函数y =f (x ) 在区间D 上的导数为f '(x ) ，f '(x ) 在区间D 上的导数为g (x ) ，若在区间D 上，g (x )
x 4mx 33x 2f (x ) =--
1262
（1）若y =f (x ) 在区间[0,3]上为“凸函数”，求m 的取值范围；
（2）若对满足m ≤2的任何一个实数m ，函数f (x ) 在区间(a , b )上都为“凸函数”，求b -a 的最大值.
x 4mx 33x 2x 3mx 2
----3x 解:由函数f (x ) = 得f '(x ) =126232
∴g (x ) =x 2-mx -3
（1） y =f (x ) 在区间[0,3]上为“凸函数”，
则 ∴g (x ) =x -mx -3
2
⎧g (0)
⎨⇒⎨⇒m >2
g (3)
解法二：分离变量法：
∵ 当x =0时, ∴g (x ) =x 2-mx -3=-3
x 2-33
=x -的最大值（0x x
而h (x ) =x -
3
（0
∴m >2
(2) ∵当m ≤2时f (x ) 在区间(a , b )上都为“凸函数” 则等价于当m ≤2时g (x ) =x 2-mx -3
变更主元法
再等价于F (m ) =mx -x 2+3>0在m ≤2恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题）
2
⎧F (-2) >0⎧⎪-2x -x +3>0
⇒⎨⇒-1
F (2)>0⎪⎩⎩2x -x +3>0
∴b -a =2
例2-3a 2x +b (0
（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的x ∈[a +1, a +2],不等式f '(x ) ≤a 恒成立，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）f '(x ) =-x +4ax -3a =-(x -3a )(x -a )
2
2
0
令f '(x ) >0, 得f (x ) 的单调递增区间为（a ,3a ）
令f '(x )
2
33
a +b ; 当x=3a 时，f (x ) 极大值=b. 4
2
（Ⅱ）由|f '(x ) |≤a ，得：对任意的x ∈[a +1, a +2],-a ≤x -4ax +3a ≤a 恒成立①
⎧g max (x ) ≤a
则等价于g (x ) 这个二次函数⎨ g (x ) =x 2-4ax +3a 2的对称轴x =2a
⎩g min (x ) ≥-a
a +1>a +a =2a （放缩法） 0
即定义域在对称轴的右边，g (x ) 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
g (x ) =x 2-4ax +3a 2在[a +1, a +2]上是增函数.
∴
g (x ) max =g (a +2) =-2a +1. g (x ) min =g (a +1) =-4a +4.
+1,
x =2a a +2]
于是，对任意x ∈[a +1, a +2]，不等式①恒成立，等价于
⎧g (a +2) =-4a +4≤a , 4
解得≤a ≤1. ⎨
g (a +1) =-2a +1≥-a 5⎩
又0
4
≤a
点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
例3：已知函数f (x ) =x 3+ax 2图象上一点P (1,b ) 处的切线斜率为-3，
g (x ) =x 3+
t -62
x -(t +1) x +32
(t >0)
（Ⅰ）求a , b 的值；
（Ⅱ）当x ∈[-1,4]时，求f (x ) 的值域；
（Ⅲ）当x ∈[1,4]时，不等式f (x ) ≤g (x ) 恒成立，求实数t 的取值范围。
⎧f /(1)=-3⎧a =-3
解：（Ⅰ）f (x ) =3x +2ax ∴⎨， 解得⎨
⎩b =-2⎩b =1+a
/
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f (x ) 在[-1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减 又f (-1) =-4, f (0)=0, f (2)=-4, f (4)=16 ∴f (x ) 的值域是[-4,16]
（Ⅲ）令h (x ) =f (x ) -g (x ) =-
t 2
x +(t +1) x -32
x ∈[1,4]
思路1：要使f (x ) ≤g (x ) 恒成立，只需h (x ) ≤0，即t (x 2-2x ) ≥2x -6分离变量 思路2：二次函数区间最值
二、参数问题
1、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为f ' (x ) ≥0或f ' (x ) ≤0在给定区间上恒成立， 回归基础题型
解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区
间的子集；
做题时一定要看清楚“在（m , n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a , b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集
例4：已知a ∈R ，函数f (x ) =
13a +12
x +x +(4a +1) x ． 122
（Ⅰ）如果函数g (x ) =f '(x ) 是偶函数，求f (x ) 的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数f (x ) 是(-∞, 解：f '(x ) =
+∞) 上的单调函数，求a 的取值范围．
12
x +(a +1) x +(4a +1) . 4
131
x -3x ，f '(x ) =x 2-3， （Ⅰ）∵ f '(x ) 是偶函数，∴ a =-1. 此时f (x ) =124
令f '(x ) =0，解得：x =±2. 列表如下：
可知：f (x ) 的极大值为f (-23) =4， f (x ) 的极小值为f (23) =-4. （Ⅱ）∵函数f (x ) 是(-∞,
∴f '(x ) =
+∞) 上的单调函数，
12
x +(a +1) x +(4a +1) ≥0，在给定区间R 上恒成立判别式法 4
122
则∆=(a +1) -4⋅⋅(4a +1) =a -2a ≤0， 解得：0≤a ≤2.
4
综上，a 的取值范围是{a 0≤a ≤2}. 例5、已知函数f (x ) =
131
x +(2-a ) x 2+(1-a ) x (a ≥0). 32
（I ）求f (x ) 的单调区间；
（II ）若f (x ) 在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。子集思想
解：（I ）f '(x ) =x 2+(2-a ) x +1-a =(x +1)(x +1-a ). 1、当a =0时, f '(x ) =(x +1) 2≥0恒成立,
当且仅当x =-1时取“=”号，f (x ) 在(-∞, +∞) 单调递增。 2、当a >0时由, f '(x ) =0, 得x 1=-1, x 2=a -1, 且x 1
单调增区间：(-∞, -1),(a -1, +∞) 单调增区间：(-1, a -1)
（II ）当 f (x ) 在[0,1]上单调递增, 则[0,1]是上述增区间的子集： 1、a =0时，f (x ) 在(-∞, +∞) 单调递增 符合题意 2、[0,1]⊆(a -1, +∞)，∴a -1≤0 ∴a ≤1 综上，a 的取值范围是[0，1]。 2、题型二：根的个数问题
题1 函数f(x)与g(x)（或与x 轴）的交点，即方程根的个数问题 解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后
减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可。 例6、已知函数f (x ) =
113(k +1) 2x -x ，g (x ) =-kx ，且f (x ) 在区间(2, +∞) 上为增函数．
332
（1） 求实数k 的取值范围；
（2） 若函数f (x ) 与g (x ) 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围． 解：（1）由题意f '(x ) =x -(k +1) x ∵f (x ) 在区间(2, +∞) 上为增函数，
2
∴f '(x ) =x 2-(k +1) x >0在区间(2, +∞) 上恒成立（分离变量法）
即k +12，∴k +1≤2，故k ≤1∴k 的取值范围为k ≤1
x 3(k +1) 21-x +kx -， （2）设h (x ) =f (x ) -g (x ) =323
h '(x ) =x 2-(k +1) x +k =(x -k )(x -1)
令h '(x ) =0得x =k 或x =1由（1）知k ≤1，
①当k =1时，h '(x ) =(x -1) 2≥0，h (x ) 在R 上递增，显然不合题意„ ②当k
由于
k -1
⎧k
+->0，即(k -1)(k -2k -2) 0
综上，所求k 的取值范围为k
根的个数知道，部分根可求或已知。
例7、已知函数f (x ) =ax +
3
12
x -2x +c 2
（1）若x =-1是f (x ) 的极值点且
f (x ) 的图像过原点，求f (x ) 的极值； （2）若g (x ) =
12
bx -x +d ，在（1）的条件下，是否存在实数b ，使得函数g (x ) 的图像与函数f (x ) 的2
图像恒有含x =-1的三个不同交点？若存在，求出实数b 的取值范围；否则说明理由。2
解：（1）∵f (x ) 的图像过原点，则f (0)=0⇒c =0 f '(x ) =3ax +x -2，
又∵x =-1是f (x ) 的极值点，则f '(-1) =3a -1-2=0⇒a =-1
∴f '(x ) =3x 2+x -2=(3x -2)(x +1) =0
f 极大值(x ) =f (-1) =
3222
) - f 极小值(x ) =f =
237
（2）设函数g (x ) 的图像与函数f (x ) 的图像恒存在含x =-1的三个不同交点， 等价于f (x ) =g (x ) 有含x =-1的三个根，即：f (-1) =g (-1) ⇒d =-
1
(b -1) 2
∴x 3+
1211
x -2x =bx 2-x -(b -1) 整理得： 2221132
即：x -(b -1) x -x +(b -1) =0恒有含x =-1的三个不等实根
22
11
h (x ) =x 3-(b -1) x 2-x +(b -1) =0有含x =-1的根，
22
则h (x ) 必可分解为(x +1)(二次式) =0，故用添项配凑法因式分解，
11
x 3+x 2-x 2-(b -1) x 2-x +(b -1) =0
22
1⎡1⎤
x 2(x +1) -⎢(b +1) x 2+x -(b -1) ⎥=0
2⎣2⎦
12
x 2(x +1) -⎡(b +1) x +2x -(b -1) ⎤=0 ⎣⎦2
12
十字相乘法分解：x (x +1) -[(b +1) x -(b -1) ](x +1)=0
2
11⎡⎤
(x +1) ⎢x 2-(b +1) x +(b -1) ⎥=0
22⎣⎦
11
∴x 3-(b -1) x 2-x +(b -1) =0恒有含x =-1的三个不等实根
22
112
等价于x -(b +1) x +(b -1) =0有两个不等于-1的不等实根。
22
11⎧2
∆=(b +1) -4⨯(b -1) >0⎪⎪42⇒⎨⇒b ∈(-∞, -1) ⋃(-1,3) ⋃(3,+∞) ⎪(-1) 2+1(b +1) +1(b -1) ≠0⎪⎩22
题2 切线的条数问题，即以切点x 0为未知数的方程的根的个数
32
例7、已知函数f (x ) =ax +bx +cx 在点x 0处取得极小值－4，使其导数f '(x ) >0的x 的取值范围
为(1,3)，求：（1）f (x ) 的解析式；（2）若过点P (-1, m ) 可作曲线y =f (x ) 的三条切线，求实数m 的取值范围．
（1）由题意得：f '(x ) =3ax 2+2bx +c =3a (x -1)(x -3),(a
∴在(-∞,1) 上f '(x ) 0；在(3,+∞) 上f '(x )
∴a +b +c =-4①，f '(1)=3a +2b +c =0②，f '(3)=27a +6b +c =0③
⎧a =-1⎪
由①②③联立得：⎨b =6，∴f (x ) =-x 3+6x 2-9x
⎪c =-9⎩
（2）设切点Q (t , f (t )) ，y -f (t ) =f , (t )(x -t )
y =(-3t 2+12t -9)(x -t ) +(-t 3+6t 2-9t ) =(-3t 2+12t -9) x +t (3t 2-12t +9) -t (t 2-6t +9) =(-3t 2+12t -9) x +t (2t 2-6t ) 过(-1, m ) m =(-3t 2+12t -9)(-1) +2t 3-6t 2 g (t ) =2t 3-2t 2-12t +9-m =0
令g '(t ) =6t 2-6t -12=6(t 2-t -2) =0， 求得：t =-1, t =2，方程g (t ) =0有三个根。
需：⎨
⎧g (-1) >0⎧-2-3+12+9-m >0⎧m
⇒⎨⇒⎨
⎩g (2)-11⎩16-12-24+9-m
故：-11
题3 已知f (x ) 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数 解法：根分布或判别式法 例8、
17
解：函数的定义域为R （Ⅰ）当m ＝4时，f (x ) ＝ 3－2＋10x ，
32
f '(x ) ＝x 2－7x ＋10，令f '(x ) >0 ， 解得x >5, 或x
令f '(x )
可知函数f (x ) 的单调递增区间为(-∞,2) 和（5，＋∞），单调递减区间为(2,5)． （Ⅱ）f '(x ) ＝x 2－(m ＋3) x ＋m ＋6,
要使函数y ＝f (x ) 在（1，＋∞）有两个极值点, ⇒f '(x ) ＝x 2－(m ＋3) x ＋m ＋6=0的根在（1，＋∞） 根分布问题：
⎧
⎪∆=(m +3) 2-4(m +6) >0; ⎪
则⎨f '(1)=1-(m +3) +m +6>0; ， 解得m ＞3 ⎪m +3⎪>1. ⎩2
例9、已知函数f (x ) =
a 3121x +x ，(a ∈R , a ≠0) （1）求f (x ) 的单调区间；（2）令g (x ) ＝x 4＋f （x ）
432
（x ∈R ）有且仅有3个极值点，求a 的取值范围． 解：（1）f ' (x ) =ax 2+x =x (ax +1)
11
或x >0，令f ' (x )
11
所以f (x ) 的递增区间为(-∞, -) (0, +∞) ，递减区间为(-, 0) .
a a
11
-) ，递减区间为(-∞, 0) (-, +∞) . 当a
14a 312
（2）g (x ) =x +x +x 有且仅有3个极值点
432
'
当a >0时，令f (x ) >0解得x
⇒g '(x ) =x 3+ax 2+x =x (x 2+a x +1) =0有3个根，则x =0或x 2+ax +1=0，a
2
方程x +ax +1=0有两个非零实根，所以∆=a -4>0,
2
∴a 2
而当a 2时可证函数y =g (x ) 有且仅有3个极值点
其它例题：
32
（a >0）1、（最值问题与主元变更法的例子）. 已知定义在R 上的函数f (x ) =ax -2ax +b 在区间[-2,1
]
上的最大值是5，最小值是－11.
（Ⅰ）求函数f (x ) 的解析式；
（Ⅱ）若t ∈[-1, 1]时，f '(x ）+tx ≤0恒成立，求实数x 的取值范围. 解：（Ⅰ） f (x ) =ax 3-2ax 2+b , ∴f ' (x ) =3ax 2-4ax =ax (3x -4) 令f ' (x ) =0,得x 1=0, x 2=
4
∉[-2,1] 3
因为a >0，所以可得下表：
因此f (0) 必为最大值, ∴f （0）=5因此b =5， f (-2) =-16a +5, f (1)=-a +5, ∴f (1)>f (-2) ，
即f (-2) =-16a +5=-11，∴a =1，∴ f (x ）=x 3-2x 2+5.
+tx ≤0等价于3x 2-4x +tx ≤0， （Ⅱ）∵f '(x ) =3x 2-4x ，∴f '(x ）
令g (t ) =xt +3x 2-4x ，则问题就是g (t ) ≤0在t ∈[-1, 1]上恒成立时，求实数x 的取值范围，
⎧3x 2-5x ≤0⎧g (-1) ≤0
为此只需⎨，即⎨2，
1) ≤0⎩g （⎩x -x ≤0
解得0≤x ≤1，所以所求实数x 的取值范围是[0，1]. 2、（根分布与线性规划例子） 已知函数f (x ) =
23
x +ax 2+bx +c 3
(Ⅰ) 若函数f (x ) 在x =1时有极值且在函数图象上的点(0,1) 处的切线与直线3x +y =0平行, 求
f (x ) 的解析式；
(Ⅱ) 当f (x ) 在x ∈(0,1) 取得极大值且在x ∈(1,
2) 取得极小值时, 设点M (b -2, a +1) 所在平面
区域为S, 经过原点的直线L 将S 分为面积比为1:3的两部分, 求直线L 的方程.
2
解： (Ⅰ). 由f '(x ) =2x +2ax +b , 函数f (x ) 在x =1时有极值 ,
∴ 2a +b +2=0
∵ f (0)=1 ∴ c =1
又∵ f (x ) 在(0,1) 处的切线与直线3x +y =0平行,
∴ f '(0)=b =-3 故 a =
∴ f (x ) =1 22312x +x -3x +1 ……………………. 7分 32
(Ⅱ) 解法一: 由f '(x ) =2x 2+2ax +b 及f (x ) 在x ∈(0,1) 取得极大值且在x ∈(1,2) 取得极小值,
⎧f '(0)>0⎪∴ ⎨f '(1)
⎪f '(2)>0⎩⎧b >0⎪⎨2a +b +20⎩⎧x =b -2 y ) , 则 ⎨⎩y =a +1
⎧a =y -1∴ ⎨ ∴ b =x +2⎩
易得A (-2, ⎧x +2>0⎪⎨2y +x +20⎩30) , B (-2, -1) , C (2,-2) , D (0,-1) , E (0,-) , S ∆ABC =2 2
同时DE 为△ABC 的中位线, S ∆DEC =1S 3四边形ABED
∴ 所求一条直线L 的方程为: x =0
另一种情况设不垂直于x 轴的直线L 也将S 分为面积比为1:3的两部分, 设直线L 方程为y =kx , 它与AC,BC 分别交于F 、G, 则 k >0, S 四边形DEGF =1
由 ⎨⎧y =kx 2 得点F 的横坐标为: x F =- 2k +1⎩2y +x +2=0
⎧y =kx 6 得点G 的横坐标为: x G =- 4k +14y +x +6=0⎩由 ⎨
∴S 四边形DEGF 解得: k ==S ∆OGE -S ∆OFD =⨯⨯13612-⨯1⨯=1即 16k 2+2k -5=0 224k +122k +1151 或 k =- (舍去) 故这时直线方程为: y =x 282
1综上, 所求直线方程为: x =0或y =x . ……………. ………….12分 2
2(Ⅱ) 解法二: 由f '(x ) =2x +2ax +b 及f (x ) 在x ∈(0,1) 取得极大值且在x ∈(1,2) 取得极小值
,
⎧f '(0)>0⎪∴ ⎨f '(1)
⎪f '(2)>0⎩⎧b >0⎪⎨2a +b +20⎩⎧x =b -2 y ) , 则 ⎨y =a +1⎩
⎧x +2>0⎧a =y -1⎪∴ ⎨ ∴ ⎨2y +x +20⎩
易得A (-2, 30) , B (-2, -1) , C (2,-2) , D (0,-1) , E (0,-) , S ∆ABC =2 2
1S =S 四边形ABED ∴所求一条直线L 的方程为: x =0 同时DE 为△ABC 的中位线, ∆DEC 3
另一种情况由于直线BO 方程为: y =1x , 设直线BO 与AC 交于H , 2
1⎧y =x 1⎪H (-1, -) 由 ⎨ 得直线L 与AC 交点为: 22⎪⎩2y +x +2=0
∵ S ∆ABC =2, S ∆DEC =1111111⨯⨯2=, S ∆AB H =S ∆ABO -S ∆AOH =⨯2⨯1-⨯2⨯= 2222222
1x 2 ∴ 所求直线方程为: x =0 或y =
3、（根的个数问题）已知函数f(x)=ax 3+bx 2+(c-3a -2b)x +d (a>0) 的图象如图所示。
（Ⅰ）求c 、d 的值；
（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x +y -11=0，
求函数f ( x )的解析式；
（Ⅲ）若x 0=5, 方程f(x)=8a 有三个不同的根，求实数a 的取值范围。
解：由题知：f '(x)=3ax 2+2bx+c-3a-2b
（Ⅰ）由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且f '(1)= 0
得⎨⎧d =3⎧d =3 ⇒⎨⎩3a +2b +c -3a -2b =0⎩c =0
f '(2)= – 3 且f ( 2 ) = 5 （Ⅱ）依题意
⎧12a +4b -3a -2b =-3 解得a = 1 , b = – 6 ⎨⎩8a +4b -6a -4b +3=5所以f ( x ) = x 3 – 6x 2 + 9x + 3
（Ⅲ）依题意
f ( x ) = ax 3 + bx 2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a ＞0 ) 由f '(5)= 0⇒b = – 9a ① f '(x )= 3ax 2 + 2bx – 3a – 2b 若方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 )＜8a ＜f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3＜8a ＜7a + 3⇒所以 当1＜a ＜3 111＜a ＜3时，方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根。„„„„ 12分 11
1324、（根的个数问题）已知函数f (x ) =x -ax -x +1(a ∈R ) 3
（1）若函数f (x ) 在x =x 1, x =x 2处取得极值，且x 1-x 2=2，求a 的值及f (x ) 的单调区间；
（2）若a
解：（1）f' (x ) =x 2-2ax -1
∴x 1+x 2=2a , x 1⋅x 2=-
1
∴x 1-x 2===2
∴a =0„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分
f '(x ) =x 2-2ax -1=x 2-1
令f '(x ) >0得x 1
令f '(x )
∴f (x ) 的单调递增区间为(-∞, -1) ，(1,+∞) ，单调递减区间为(-1,1) „„„„5分
（2）由题f (x ) =g (x ) 得1315x -ax 2-x +1=x 2-(2a +1) x + 326
13121即x -(a +) x +2ax +=0 326
13121令ϕ(x ) =x -(a +) x +2ax +(-2≤x ≤1) „„„„„„„„6分 326
∴ϕ'(x ) =x 2-(2a +1) x +2a =(x -2a )(x -1)
令ϕ'(x ) =0得x =2a 或x =1„„„„„„„„„„„„„„„„„7分
a
当2a ≤-2即a ≤-1时
9>0，a
1当2a ≥-2即-1
此时，-8a -
a 2(3-2a ) +>0, 36
99∴当-8a ->0即-1
99≤a ≤0时，有两个交点； 当-8a -≤0，且a ≤0即-216
19 当0
19综上可知，当a 9≤a ≤0时，有两个交点．„„„„„„„„„„„„„14分 当-16
2x 3
5、（简单切线问题）已知函数f (x ) =2图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数5a
g (x ) =f (x ) -3bx +3． 2a
（Ⅰ） 若函数g (x ) 在x =1处有极值，求g (x ) 的解析式；
（Ⅱ） 若函数g (x ) 在区间[-1, 1]上为增函数，且b -mb +4≥g (x ) 在区间[-1, 1]上都成立，求实数m 的取值范围．
（1）∵f ′(x)= 3/a2 •x2，
∴由 3/a2 •x2=3得x=±a ，
即切点坐标为（a ，a ），（-a ，-a ）
∴切线方程为y-a=3（x-a ），或y+a=3（x+a）（2分） 2
整理得3x-y-2a=0或3x-y+2a=0
解得a=±1，
∴f （x ）=x3．
∴g （x ）=x3-3bx+3（4分）
∵g ′（x ）=3x2-3b，g （x ）在x=1处有极值，
∴g ′（1）=0，
即3×12-3b=0，解得b=1
∴g （x ）=x3-3x+3（6分）
（2）∵函数g （x ）在区间[-1，1]上为增函数，
∴g ′（x ）=3x2-3b≥0在区间[-1，1]上恒成立， ∴b ≤0，
又∵b2-mb+4≥g （x ）在区间[-1，1]上恒成立，
∴b2-mb+4≥g （1）（8分）
即b2-mb+4≥4-3b ，若b=0，则不等式显然成立，若b ≠0， 则m ≥b+3在b ∈（-∞，0）上恒成立
∴m ≥3．
故m 的取值范围是[3，+∞）