中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形
基本题型：
已知AB ，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若∆ABP 为直角三角形，求点P 坐标。
分两大类进行讨论：
（1）AB 为斜边时（即PA ⊥PB ）：点P 在以AB 为直径的圆周上。
利用中点公式求出AB 的中点M ；
利用圆的一般方程列出 M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。
（2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以∠A 为直角时（即AP ⊥AB ）： ②以∠B 为直角时（即BP ⊥BA ）：
利用两点的斜率公式求出k AB ，因为两直线垂直斜率乘积为-1，进而求出PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式；
将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。
所需知识点：
一、 两点之间距离公式：
已知两点P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)， 则由勾股定理可得：PQ =
x 1-x 22+y 1-y 22
。
二、 圆的方程：
点P (x , y )在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为(a , b )，半径为R 。 则PM =
(x -a )2+(y -b )2=R ，得到方程☆：(x -a )2+(y -b )2=R 2。
∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。
三、 中点公式：
已知两点P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)，则线段PQ 的中点M 为
⎛x 1+x 2y 1+y 2⎫
, ⎪。
2⎭⎝2
四、 任意两点的斜率公式：
已知两点P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)，则直线PQ 的斜率： k PQ =
y 1-y 2
。 x 1-x 2
典型例题：
例一、如图，抛物线y =ax +bx -3与x 轴交于A , B 两点，与y 轴交于点C ，且OB =OC =3OA ．
2
（I ）求抛物线的解析式；
（II ）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点P , A , C 为顶点的三角形为直角三角形？
若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由； （III ）直线y =-
1
x +1交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点．若∠DBC =α， 3
∠CBE =β, 求α-β的值．
例2、 如图，一次函数y =x +m 图像经过点A （1，0），交y 轴于点B ，C 为y 轴负半轴上一点，且BC=2OB，过A 、C 两点的抛物线交直线AB 于点D ，且CD ∥x 轴
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）观察图像，写出使一次函数值小于二次函数值时x 的取值范围；
（3）在题中的抛物线上是否存在一点M ，使得∠ADM 为直角？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由
例3、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （－1，0），如图所示，抛物线y =ax 2+ax -2经过点B 。
（1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP
仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
同步训练：
1、如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y =a (x -2)-1图象的顶点为P ，与x 轴交点为 A 、B ，与y 轴交点为C ．连结BP 并延长交y 轴于点D 。
(1)写出点P 的坐标；
(2)连结AP ，如果△APB 为等腰直角三角形，求a 的值及点C 、D 的坐标；
(3)在(2)的条件下，连结BC 、AC 、AD ，点E (0，b ) 在线段CD (端点C 、D 除外) 上, 将△BCD 绕点E 逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD 重叠部分的面积为S ，根据不同情况，分别用含b 的代数式表示S ．选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b 为何值时, 重叠部分的面积最大? 写出最大值．
2
2（福建2009年宁德市）、如图，已知抛物线C 1：y =a (x +2)-5的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点
2
（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1．
（1）求P 点坐标及a 的值；（4分）
（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向右平移，平移后的抛物线记为
C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求C 3的解析式；（4分）
（3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．（5分）
3、如图14（1），抛物线y =x 2-2x +k 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-3）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］
（1）k = ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）设抛物线y =x 2-2x +k 的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；
（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在抛物线y =x 2-2x +k 上求点Q ，使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形． 图14（1）
图14（2） 图14（3）
中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形
基本题型：
已知AB ，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若∆ABP 为直角三角形，求点P 坐标。
分两大类进行讨论：
（1）AB 为斜边时（即PA ⊥PB ）：点P 在以AB 为直径的圆周上。
利用中点公式求出AB 的中点M ；
利用圆的一般方程列出 M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。
（2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以∠A 为直角时（即AP ⊥AB ）： ②以∠B 为直角时（即BP ⊥BA ）：
利用两点的斜率公式求出k AB ，因为两直线垂直斜率乘积为-1，进而求出PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式；
将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。
所需知识点：
一、 两点之间距离公式：
已知两点P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)， 则由勾股定理可得：PQ =
x 1-x 22+y 1-y 22
。
二、 圆的方程：
点P (x , y )在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为(a , b )，半径为R 。 则PM =
(x -a )2+(y -b )2=R ，得到方程☆：(x -a )2+(y -b )2=R 2。
∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。
三、 中点公式：
已知两点P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)，则线段PQ 的中点M 为
⎛x 1+x 2y 1+y 2⎫
, ⎪。
2⎭⎝2
四、 任意两点的斜率公式：
已知两点P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)，则直线PQ 的斜率： k PQ =
y 1-y 2
。 x 1-x 2
典型例题：
例一、如图，抛物线y =ax +bx -3与x 轴交于A , B 两点，与y 轴交于点C ，且OB =OC =3OA ．
2
（I ）求抛物线的解析式；
（II ）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点P , A , C 为顶点的三角形为直角三角形？
若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由； （III ）直线y =-
1
x +1交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点．若∠DBC =α， 3
∠CBE =β, 求α-β的值．
例2、 如图，一次函数y =x +m 图像经过点A （1，0），交y 轴于点B ，C 为y 轴负半轴上一点，且BC=2OB，过A 、C 两点的抛物线交直线AB 于点D ，且CD ∥x 轴
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）观察图像，写出使一次函数值小于二次函数值时x 的取值范围；
（3）在题中的抛物线上是否存在一点M ，使得∠ADM 为直角？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由
例3、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （－1，0），如图所示，抛物线y =ax 2+ax -2经过点B 。
（1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP
仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
同步训练：
1、如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y =a (x -2)-1图象的顶点为P ，与x 轴交点为 A 、B ，与y 轴交点为C ．连结BP 并延长交y 轴于点D 。
(1)写出点P 的坐标；
(2)连结AP ，如果△APB 为等腰直角三角形，求a 的值及点C 、D 的坐标；
(3)在(2)的条件下，连结BC 、AC 、AD ，点E (0，b ) 在线段CD (端点C 、D 除外) 上, 将△BCD 绕点E 逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD 重叠部分的面积为S ，根据不同情况，分别用含b 的代数式表示S ．选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b 为何值时, 重叠部分的面积最大? 写出最大值．
2
2（福建2009年宁德市）、如图，已知抛物线C 1：y =a (x +2)-5的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点
2
（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1．
（1）求P 点坐标及a 的值；（4分）
（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向右平移，平移后的抛物线记为
C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求C 3的解析式；（4分）
（3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．（5分）
3、如图14（1），抛物线y =x 2-2x +k 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-3）．［图14（2）、图14（3）为解答备用图］
（1）k = ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）设抛物线y =x 2-2x +k 的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；
（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在抛物线y =x 2-2x +k 上求点Q ，使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形． 图14（1）
图14（2） 图14（3）