椭圆标准方程考点分析及例题讲解 考点： 1. 椭圆的定义
平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于__常数__(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆． 这_两个定点_叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的_焦距__． 思考探究
定义中，将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“小于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
提示：当常数等于|F 1F 2|时，点的轨迹是线段F 1F 2；当常数小于|F 1F 2|时，不表示任何图形． 2．椭圆的标准方程
分析：因为A 、B 在椭圆上，所以由椭圆的定义可知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 故|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a 为常数．
- 2 -
1212( )
A ．椭圆 B．线段 C．椭圆、线段或不存在 D．不存在 [答案] C
[解析] 当a >|F 1F 2|＝6时，动点P 的轨迹为椭圆； 当a ＝|F 1F 2|＝6时，动点P 的轨迹为线段； 当a
- 4 -
A ．210 [答案] D
[解析] 椭圆方程2x ＋3y ＝12＝1，a ＝6，b ＝4，c ＝6－4＝2，∴2c ＝22. 642. 椭圆5x ＋ky ＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 的值为( )
A ．－1 [答案] B
[解析] 椭圆方程5x ＋ky ＝5可化为：x ＋1，
5
2
2
2
2
2
2
2
B. 10 C.2 D ．2
x 2y 2
222
B ．1 C.5 D ．－5
y 2k
52522
又∵焦点是(0,2)，∴a ＝，b ＝1，c 1＝4，∴k ＝1.
k k
3. 已知方程＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )
25－m m ＋9
- 5 -
x 2y 2
A ．－98
m ＋9>0⎧⎪
[答案] B[解析] 由题意得⎨25－m >0
⎪⎩m ＋9>25－m
2
2
，解得8
4. 椭圆mx ＋ny ＋mn ＝0(m
A ．(0m －n ) Bm －n ，0) C．(0n －m ) D．(±n －m ，0) [答案] C
x 2y 2
[解析] 椭圆方程mx ＋ny ＋mn ＝0可化为＋1，∵m －n ，
－n －m
2
2
椭圆的焦点在y 轴上，排除B 、D ，又n >m ，∴m －n 无意义，排除A ，故选C. 7. 已知椭圆过点P , -4⎪和点Q -
⎛⎝5⎫⎭⎛⎫
, 3⎪，则此椭圆的标准方程是( ) 5⎝⎭
2
A. x ＝1 B.＋y ＝1或x ＋1 C.＋y ＝1 D．以上都不对
25252525[答案] A
9
⎧⎪25＋16B ＝1
[解析] 设椭圆方程为：Ax ＋By ＝1(A >0，B >0)由题意得⎨16
⎪⎩25＋9B ＝1
2
2
y 2
2
x 2
2
y 2x 2
2
A ＝1⎧⎪
，解得⎨1
B ＝⎪⎩25
- 7 -
- 8 -
A. ＝1
259[答案] D
[解析] |AB |＝8，|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D.
2. 点P 为椭圆1上一点，以点P 以及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则P 点的坐
54
标为( ) A. ±
x 2y 2
B.
＝1(y ≠0) C.＝1(y ≠0) D.＋＝1(y ≠0) 259169259
y 2x 2x 2y 2x 2y 2
x 2y 2
⎛
⎝15⎫⎛15⎫⎛15⎫1⎪ B. ，±1⎪ C. 1⎪ 2⎭⎝2⎭⎝2⎭
D. ⎛
⎝15⎫，±1⎪ 2⎭
[答案] D
11
[解析] S △PF 1F 2＝³|F 1F 2|²|y P |＝³2³|y P |＝1，∴|y P |＝1，y P ＝±1，代入椭圆方程得，
22
x P ＝±
15
.
2
- 9 -
8. AB 221中心的弦，F (c, 0) 为椭圆的左焦点，则△AFB 的面积最大值是( )
a b
A ．b [答案] B
1
[解析] S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝OF |²|y A －y B |，
2
当A 、B 为短轴两个端点时，|y A －y B |最大，最大值为2b .∴△ABF 面积的最大值为bc . 10. 已知F 1、F 2是椭圆1的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2
100643
求△F 1PF 2的面积．
- 10 -
2
B ．Bc C ．ab D ．ac
解析:设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n . 根据椭圆定义有m ＋n ＝20，又c 100－64＝6，∴在△F 1PF 2中，
π256222222由余弦定理得m ＋n －2mn cos ＝12，∴m ＋n －mn ＝144，∴(m ＋n ) －3mn ＝144，∴mn ＝， 33
1125633∴S △F 1PF 2PF 1||PF 2|sin∠F 1PF 2＝22323
考点四、利用椭圆的定义求轨迹方程
例1、已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹 方程．
变式训练
1. 已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|， 那么动点Q 的轨迹是( )
A ．圆
B ．椭圆 C．射线 D ．直线 - 11 -
[答案] A
[解析] ∵|PQ |＝|PF 2|且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，
又∵F 1、P 、Q 三点共线，
∴|F 1P |＋|PQ |＝|F 1Q |＝2a .
即Q 在以F 1为圆心以2a 为半径的圆上．
3. 已知在△ABC 中，A (－3,0) ，B (3,0)，三边长|AC |，|AB |，|BC |成等差数列，求顶点C 的轨迹
方程．
解：由已知得|AC |＋|BC |＝2|AB |＝12，
即点C 到两定点A ，B 的距离之和为定值12>6，
∴点C 的轨迹是以A (－3,0) ，B (3,0)为焦点的椭圆(除去与x 轴的交点) ，
- 12 -
32³553sin θ3θ3∴，故tan ＝tan ∠F 1PF 2＝tan θ＝ 1＋cos θ5253111－25
- 13 -
椭圆标准方程考点分析及例题讲解 考点： 1. 椭圆的定义
平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于__常数__(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆． 这_两个定点_叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的_焦距__． 思考探究
定义中，将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“小于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
提示：当常数等于|F 1F 2|时，点的轨迹是线段F 1F 2；当常数小于|F 1F 2|时，不表示任何图形． 2．椭圆的标准方程
分析：因为A 、B 在椭圆上，所以由椭圆的定义可知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 故|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a 为常数．
- 2 -
1212( )
A ．椭圆 B．线段 C．椭圆、线段或不存在 D．不存在 [答案] C
[解析] 当a >|F 1F 2|＝6时，动点P 的轨迹为椭圆； 当a ＝|F 1F 2|＝6时，动点P 的轨迹为线段； 当a
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A ．210 [答案] D
[解析] 椭圆方程2x ＋3y ＝12＝1，a ＝6，b ＝4，c ＝6－4＝2，∴2c ＝22. 642. 椭圆5x ＋ky ＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 的值为( )
A ．－1 [答案] B
[解析] 椭圆方程5x ＋ky ＝5可化为：x ＋1，
5
2
2
2
2
2
2
2
B. 10 C.2 D ．2
x 2y 2
222
B ．1 C.5 D ．－5
y 2k
52522
又∵焦点是(0,2)，∴a ＝，b ＝1，c 1＝4，∴k ＝1.
k k
3. 已知方程＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )
25－m m ＋9
- 5 -
x 2y 2
A ．－98
m ＋9>0⎧⎪
[答案] B[解析] 由题意得⎨25－m >0
⎪⎩m ＋9>25－m
2
2
，解得8
4. 椭圆mx ＋ny ＋mn ＝0(m
A ．(0m －n ) Bm －n ，0) C．(0n －m ) D．(±n －m ，0) [答案] C
x 2y 2
[解析] 椭圆方程mx ＋ny ＋mn ＝0可化为＋1，∵m －n ，
－n －m
2
2
椭圆的焦点在y 轴上，排除B 、D ，又n >m ，∴m －n 无意义，排除A ，故选C. 7. 已知椭圆过点P , -4⎪和点Q -
⎛⎝5⎫⎭⎛⎫
, 3⎪，则此椭圆的标准方程是( ) 5⎝⎭
2
A. x ＝1 B.＋y ＝1或x ＋1 C.＋y ＝1 D．以上都不对
25252525[答案] A
9
⎧⎪25＋16B ＝1
[解析] 设椭圆方程为：Ax ＋By ＝1(A >0，B >0)由题意得⎨16
⎪⎩25＋9B ＝1
2
2
y 2
2
x 2
2
y 2x 2
2
A ＝1⎧⎪
，解得⎨1
B ＝⎪⎩25
- 7 -
- 8 -
A. ＝1
259[答案] D
[解析] |AB |＝8，|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D.
2. 点P 为椭圆1上一点，以点P 以及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则P 点的坐
54
标为( ) A. ±
x 2y 2
B.
＝1(y ≠0) C.＝1(y ≠0) D.＋＝1(y ≠0) 259169259
y 2x 2x 2y 2x 2y 2
x 2y 2
⎛
⎝15⎫⎛15⎫⎛15⎫1⎪ B. ，±1⎪ C. 1⎪ 2⎭⎝2⎭⎝2⎭
D. ⎛
⎝15⎫，±1⎪ 2⎭
[答案] D
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[解析] S △PF 1F 2＝³|F 1F 2|²|y P |＝³2³|y P |＝1，∴|y P |＝1，y P ＝±1，代入椭圆方程得，
22
x P ＝±
15
.
2
- 9 -
8. AB 221中心的弦，F (c, 0) 为椭圆的左焦点，则△AFB 的面积最大值是( )
a b
A ．b [答案] B
1
[解析] S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝OF |²|y A －y B |，
2
当A 、B 为短轴两个端点时，|y A －y B |最大，最大值为2b .∴△ABF 面积的最大值为bc . 10. 已知F 1、F 2是椭圆1的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2
100643
求△F 1PF 2的面积．
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B ．Bc C ．ab D ．ac
解析:设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n . 根据椭圆定义有m ＋n ＝20，又c 100－64＝6，∴在△F 1PF 2中，
π256222222由余弦定理得m ＋n －2mn cos ＝12，∴m ＋n －mn ＝144，∴(m ＋n ) －3mn ＝144，∴mn ＝， 33
1125633∴S △F 1PF 2PF 1||PF 2|sin∠F 1PF 2＝22323
考点四、利用椭圆的定义求轨迹方程
例1、已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹 方程．
变式训练
1. 已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|， 那么动点Q 的轨迹是( )
A ．圆
B ．椭圆 C．射线 D ．直线 - 11 -
[答案] A
[解析] ∵|PQ |＝|PF 2|且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，
又∵F 1、P 、Q 三点共线，
∴|F 1P |＋|PQ |＝|F 1Q |＝2a .
即Q 在以F 1为圆心以2a 为半径的圆上．
3. 已知在△ABC 中，A (－3,0) ，B (3,0)，三边长|AC |，|AB |，|BC |成等差数列，求顶点C 的轨迹
方程．
解：由已知得|AC |＋|BC |＝2|AB |＝12，
即点C 到两定点A ，B 的距离之和为定值12>6，
∴点C 的轨迹是以A (－3,0) ，B (3,0)为焦点的椭圆(除去与x 轴的交点) ，
- 12 -
32³553sin θ3θ3∴，故tan ＝tan ∠F 1PF 2＝tan θ＝ 1＋cos θ5253111－25
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