钦州学院数学与计算机科学学院
数 学 实 验 报 告
实验完成日期 2010 年 11 月 5 日 ， 第 10 周 ， 星期五 成绩等级（五级分制） 评阅教师 评阅日期 年 月 日 数学实验报告填写要求：思路清晰，中间结果和最终结果真实；字迹工整，报告完整。 [实验题目及内容]
实验题目：（1）通过矩形法、梯形法分别计算定积分f (x ) =
b
⎰
-0. 2x
2
+x +3的黎曼和；
a
（2）通过n =10，n =50，n =200时黎曼和的值分析两种方法逼近定积分的
速度。
内容：黎曼和逼近定积分值的动态过程演示，可利用几何画板制作
[问题描述]（用自己组织的相关数学语言重述现实问题；注意对约定的条件作说明）
将AB 边n 等分，过这些分点作B 'E 的垂线，将抛物线f (x ) =-0. 2x +x +3和以AB 为边形成的图形分割为n 个直角小梯形或小矩形，求这些小梯形或小矩形面积的和，即可求出定积分f (x ) =
b
2
⎰
-0. 2x
2
+x +3黎曼和即面积。当n 充分大时，直角小梯形或小矩形的
b
a
面积之和可近似代替定积分f (x ) =面积求出定积分f (x ) =
b
b
⎰
-0. 2x
2
+x +3黎曼和。因此可通过计算梯形或矩形
a
⎰
-0. 2x
2
+x +3的黎曼和。
a
定积分⎰f (x ) dx 在数值上等于以曲线y =f (x ) 和三直线y =0、x =a 、x =b 所围
a
成的曲边梯形的面积。解决的办法是分割后再求和：设想将区间[a , b ]分为n 个小区间，以每个小区间左端点对应的函数值为高，以小区间的长度为宽，构作n 个梯形或矩形，并以这些小梯形或小矩形的面积的和（即黎曼和）近似代替定积分的面积。当改变参数n 的大小时，随着n 的逐渐增大（并且每个小区间的长度逐渐缩小），黎曼和的值逐渐趋近定积分的值。 [模型建立或思路分析]（建立合理，可解释的数学模型，通过公式、表格或图形直观明确地描述模型的结构；无法通过建立模型解决的，给出解题的思路及办法。）
利用几何画板作图：
图1.
图2. 矩形分割法
图3. 梯形分割法
[实验结果]（通过数学表达式、 列表或图形图像的方式显示实验结果。） （1）
图4. 矩形法
图4. 通过矩形法得出定积分⎰(-0. 2x +x +3)dx 的值为22.10687。
2
a b
（2）
图5. 梯形法
图5. 通过梯形法得出定积分⎰(-0. 2x +x +3)dx 的值也是22.10687。
2
a b
（3）当梯形法和矩形法中x A 、x B 的取值相同时，现在取x A =-0. 55562
当n 变化时，y I 、g (x B ) -g (x A ) 的变化情况如下表1：
表1：
，x B =5052979
，
通过比较n =10，n =50，n =200时黎曼和的值，可得出梯形法比矩形法更逼近定积分的速度。
[结果分析及结论]（对实验结果进行定量分析、合理性分析或误差分析； 对所讨论的问题重新认识或提出相关类似问题的拓延； 给出自己的意见和合理建议。）
（1） 由表1看出：几何画板矩形法和梯形法画出的图形得到的定积分
⎰(-0. 2x
a
b
2
+x +3dx 的结果都是22.10687。小长方形面积的和（即黎曼和）y I 的
)
值都是随着n 的增大而变大并逐渐逼近于定积分⎰(-0. 2x +x +3)dx 的值。梯形
2
a
b
法比矩形法计算出的黎曼和y I 的值更加逼近定积分的值，梯形法求面积的误差比矩形法小。
（2） 矩形法作图：作图过程步骤（6）中作直线B 'E 与作线段B 'E 的区别，作直线作B 'E
的结果就是上面所得出的实验结果。如果是作线段B 'E ，则当点E 的迭代点在开口向下的抛物线f (x ) =-0. 2x +x +3上方时与垂线j 没有交点，如图6所示，部分图形显示不出来，这可以区别于上述图4所示，此时作图过程中若是构造四边形
A B 'FC 内部面积，则结果有偏差，原因是在抛物线外的点的矩形面积没有算进来；
x B -x A
n
2
如果是用f (x A ) ⋅
计算四边形面积，则结果没有影响。
图6.
（3）梯形法作图：作图步骤（6）中无论是作直线B 'E 还是作线段B 'E 都没有上述矩形法的偏差，因为梯形总是在抛物线内侧，其面积可以全部计算出来。
（4）除了几何画板之外，还可以利用Visual Basic 求解或者Matlab 计算面积。
[求解方法或解题步骤]（针对所建模型或解题思路，给出具体的求解方法或解题步骤。对通过编程解决的问题，画出流程图，给出细节部分的算法，给出相关软件的代码；其他方法解决的，给出详细的解题步骤。） 1. 矩形法计算定积分f (x ) =
b
⎰
-0. 2x
2
+x +3的黎曼和的步骤如下：
a
（1）将参数选项“其他（斜率，比„）”单位的精确度设为十万分之一。定义坐标系，隐藏
网格。
（2）新建函数f (x ) =-0. 2x +x +3，并绘制函数f (x ) 的图像。
（3）在x 轴上取两点A 、B ，求出点A 、B 的横坐标x A 、x B ；计算f (x A ) 和f (x B ) ；以x A 为横坐标，以f (x A ) 为纵坐标，绘制出曲线f (x ) 上的点C ；以x B 为横坐标，以f (x B ) 为纵坐标，绘制出曲线f (x ) 上的点D 。作线段AC 和BD 。 （4）新建参数n =2，计算n -1、（5）以点A 为中心，以
1n
1n
2
。
为标记比对点B 进行缩放得象点B '。
（6）求出点B '的横坐标x B '，计算f (x B ') ；以x B '为横坐标，以f (x B ') 为纵坐标，绘制出曲线f (x ) 上的点E ；作直线B 'E 。
（7）过点C 作B 'E 的垂线j ，并作j 和B 'E 的交点F 。
（8）隐藏直线j 和直线B 'E （暂不隐藏点F ）；作线段B 'F 和CF ，构建四边形A B 'FC 内
x B -x A
n
部，并由f (x A ) ⋅
计算四边形A B 'FC 的面积。将C 、F 、E 、D 四点隐藏。
（9）新建参数s =0，计算s +f (x A ) ⋅
x B -x A
n
。
（10）在x 轴上取点G ，求出点G 的横坐标x G ，以x G 为横坐标，以s +四边形A B 'EC 的面积为纵坐标，绘制点H 。
（11）依次选定参数n =2、s =0、点A 、点G 和n -1，按下Shift 键，进行带参数迭代，初象分别为n -1、s +f (x A ) ⋅
x B -x A
n
、点B '、点H 。选择“完整迭代”；在【结构】下
拉菜单中选择“所有对象的象”，不选“生成迭代数据表”。
（12）选定迭代象点，点击【变换】菜单中的【终点】，得迭代象点的终点I 。求出点I 的纵坐标y I ，y I 的值就是n 个小长方形面积的和（即黎曼和）。 （13）新建函数g (x ) =-
115
x
3
+
12
x
2
+3x ，g (x ) 即f (x ) =-0. 2x
b
2
2
+x +3的原函数。
计算出g (x B ) -g (x A ) 的值，这个值就是定积分⎰(-0. 2x +x +3)dx 的黎曼和。
a
2. 类似的利用梯形法计算定积分f (x ) =
b
⎰
-0. 2x
2
+x +3的黎曼和步骤如下：
a
（1）将参数选项“其他（斜率，比„）”单位的精确度设为十万分之一。定义坐标系，隐藏网格。
（2）新建函数f (x ) =-0. 2x +x +3，并绘制函数f (x ) 的图像。
（3）在x 轴上取两点A 、B ，求出点A 、B 的横坐标x A 、x B ；计算f (x A ) 和f (x B ) ；以x A 为横坐标，以f (x A ) 为纵坐标，绘制出曲线f (x ) 上的点C ；以x B 为横坐标，以f (x B ) 为纵坐标，绘制出曲线f (x ) 上的点D 。作线段AC 和BD 。 （4）新建参数n =2，计算n -1、（5）以点A 为中心，以
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。
为标记比对点B 进行缩放得象点B '。
（6）求出点B '的横坐标x B '，计算f (x B ') ；以x B '为横坐标，以f (x B ') 为纵坐标，绘制出曲线f (x ) 上的点E ；作直线B 'E 、线段CE 。
（7）构建四边形A B 'EC 内部，并由
[f (x A ) +f (x B ') ](x B -x A ) 2n
计算四边形A B 'EC 的面积。
（8）新建参数s =0，计算s +
[f (x A ) +f (x B ') ](x B -x A ) 2n
。
（9）在x 轴上取点G ，求出点G 的横坐标x G ，以x G 为横坐标，以s +四边形A B 'EC 的面积为纵坐标，绘制点H 。
（10）依次选定参数n =2、s =0、点A 、点G 和n -1，按下Shift 键，进行带参数迭代，初象分别为n -1、s +
[f (x A ) +f (x B ') ](x B -x A ) 2n
、点B '、点H 。选择“完整迭代”；在
【结构】下拉菜单中选择“所有对象的象”，不选“生成迭代数据表”。
（11）选定迭代象点，点击【变换】菜单中的【终点】，得迭代象点的终点I 。求出点I 的纵坐标y I ，y I 的值就是n 个小长方形面积的和（即黎曼和）。 （12）新建函数g (x ) =-
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x
3
+
12
x
2
+3x ，g (x ) 即f (x ) =-0. 2x
b
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2
+x +3的原函数。
计算出g (x B ) -g (x A ) 的值，这个值就是定积分⎰(-0. 2x +x +3)dx 的黎曼和。
a
钦州学院数学与计算机科学学院
数 学 实 验 报 告
实验完成日期 2010 年 11 月 5 日 ， 第 10 周 ， 星期五 成绩等级（五级分制） 评阅教师 评阅日期 年 月 日 数学实验报告填写要求：思路清晰，中间结果和最终结果真实；字迹工整，报告完整。 [实验题目及内容]
实验题目：（1）通过矩形法、梯形法分别计算定积分f (x ) =
b
⎰
-0. 2x
2
+x +3的黎曼和；
a
（2）通过n =10，n =50，n =200时黎曼和的值分析两种方法逼近定积分的
速度。
内容：黎曼和逼近定积分值的动态过程演示，可利用几何画板制作
[问题描述]（用自己组织的相关数学语言重述现实问题；注意对约定的条件作说明）
将AB 边n 等分，过这些分点作B 'E 的垂线，将抛物线f (x ) =-0. 2x +x +3和以AB 为边形成的图形分割为n 个直角小梯形或小矩形，求这些小梯形或小矩形面积的和，即可求出定积分f (x ) =
b
2
⎰
-0. 2x
2
+x +3黎曼和即面积。当n 充分大时，直角小梯形或小矩形的
b
a
面积之和可近似代替定积分f (x ) =面积求出定积分f (x ) =
b
b
⎰
-0. 2x
2
+x +3黎曼和。因此可通过计算梯形或矩形
a
⎰
-0. 2x
2
+x +3的黎曼和。
a
定积分⎰f (x ) dx 在数值上等于以曲线y =f (x ) 和三直线y =0、x =a 、x =b 所围
a
成的曲边梯形的面积。解决的办法是分割后再求和：设想将区间[a , b ]分为n 个小区间，以每个小区间左端点对应的函数值为高，以小区间的长度为宽，构作n 个梯形或矩形，并以这些小梯形或小矩形的面积的和（即黎曼和）近似代替定积分的面积。当改变参数n 的大小时，随着n 的逐渐增大（并且每个小区间的长度逐渐缩小），黎曼和的值逐渐趋近定积分的值。 [模型建立或思路分析]（建立合理，可解释的数学模型，通过公式、表格或图形直观明确地描述模型的结构；无法通过建立模型解决的，给出解题的思路及办法。）
利用几何画板作图：
图1.
图2. 矩形分割法
图3. 梯形分割法
[实验结果]（通过数学表达式、 列表或图形图像的方式显示实验结果。） （1）
图4. 矩形法
图4. 通过矩形法得出定积分⎰(-0. 2x +x +3)dx 的值为22.10687。
2
a b
（2）
图5. 梯形法
图5. 通过梯形法得出定积分⎰(-0. 2x +x +3)dx 的值也是22.10687。
2
a b
（3）当梯形法和矩形法中x A 、x B 的取值相同时，现在取x A =-0. 55562
当n 变化时，y I 、g (x B ) -g (x A ) 的变化情况如下表1：
表1：
，x B =5052979
，
通过比较n =10，n =50，n =200时黎曼和的值，可得出梯形法比矩形法更逼近定积分的速度。
[结果分析及结论]（对实验结果进行定量分析、合理性分析或误差分析； 对所讨论的问题重新认识或提出相关类似问题的拓延； 给出自己的意见和合理建议。）
（1） 由表1看出：几何画板矩形法和梯形法画出的图形得到的定积分
⎰(-0. 2x
a
b
2
+x +3dx 的结果都是22.10687。小长方形面积的和（即黎曼和）y I 的
)
值都是随着n 的增大而变大并逐渐逼近于定积分⎰(-0. 2x +x +3)dx 的值。梯形
2
a
b
法比矩形法计算出的黎曼和y I 的值更加逼近定积分的值，梯形法求面积的误差比矩形法小。
（2） 矩形法作图：作图过程步骤（6）中作直线B 'E 与作线段B 'E 的区别，作直线作B 'E
的结果就是上面所得出的实验结果。如果是作线段B 'E ，则当点E 的迭代点在开口向下的抛物线f (x ) =-0. 2x +x +3上方时与垂线j 没有交点，如图6所示，部分图形显示不出来，这可以区别于上述图4所示，此时作图过程中若是构造四边形
A B 'FC 内部面积，则结果有偏差，原因是在抛物线外的点的矩形面积没有算进来；
x B -x A
n
2
如果是用f (x A ) ⋅
计算四边形面积，则结果没有影响。
图6.
（3）梯形法作图：作图步骤（6）中无论是作直线B 'E 还是作线段B 'E 都没有上述矩形法的偏差，因为梯形总是在抛物线内侧，其面积可以全部计算出来。
（4）除了几何画板之外，还可以利用Visual Basic 求解或者Matlab 计算面积。
[求解方法或解题步骤]（针对所建模型或解题思路，给出具体的求解方法或解题步骤。对通过编程解决的问题，画出流程图，给出细节部分的算法，给出相关软件的代码；其他方法解决的，给出详细的解题步骤。） 1. 矩形法计算定积分f (x ) =
b
⎰
-0. 2x
2
+x +3的黎曼和的步骤如下：
a
（1）将参数选项“其他（斜率，比„）”单位的精确度设为十万分之一。定义坐标系，隐藏
网格。
（2）新建函数f (x ) =-0. 2x +x +3，并绘制函数f (x ) 的图像。
（3）在x 轴上取两点A 、B ，求出点A 、B 的横坐标x A 、x B ；计算f (x A ) 和f (x B ) ；以x A 为横坐标，以f (x A ) 为纵坐标，绘制出曲线f (x ) 上的点C ；以x B 为横坐标，以f (x B ) 为纵坐标，绘制出曲线f (x ) 上的点D 。作线段AC 和BD 。 （4）新建参数n =2，计算n -1、（5）以点A 为中心，以
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。
为标记比对点B 进行缩放得象点B '。
（6）求出点B '的横坐标x B '，计算f (x B ') ；以x B '为横坐标，以f (x B ') 为纵坐标，绘制出曲线f (x ) 上的点E ；作直线B 'E 。
（7）过点C 作B 'E 的垂线j ，并作j 和B 'E 的交点F 。
（8）隐藏直线j 和直线B 'E （暂不隐藏点F ）；作线段B 'F 和CF ，构建四边形A B 'FC 内
x B -x A
n
部，并由f (x A ) ⋅
计算四边形A B 'FC 的面积。将C 、F 、E 、D 四点隐藏。
（9）新建参数s =0，计算s +f (x A ) ⋅
x B -x A
n
。
（10）在x 轴上取点G ，求出点G 的横坐标x G ，以x G 为横坐标，以s +四边形A B 'EC 的面积为纵坐标，绘制点H 。
（11）依次选定参数n =2、s =0、点A 、点G 和n -1，按下Shift 键，进行带参数迭代，初象分别为n -1、s +f (x A ) ⋅
x B -x A
n
、点B '、点H 。选择“完整迭代”；在【结构】下
拉菜单中选择“所有对象的象”，不选“生成迭代数据表”。
（12）选定迭代象点，点击【变换】菜单中的【终点】，得迭代象点的终点I 。求出点I 的纵坐标y I ，y I 的值就是n 个小长方形面积的和（即黎曼和）。 （13）新建函数g (x ) =-
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x
3
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12
x
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+3x ，g (x ) 即f (x ) =-0. 2x
b
2
2
+x +3的原函数。
计算出g (x B ) -g (x A ) 的值，这个值就是定积分⎰(-0. 2x +x +3)dx 的黎曼和。
a
2. 类似的利用梯形法计算定积分f (x ) =
b
⎰
-0. 2x
2
+x +3的黎曼和步骤如下：
a
（1）将参数选项“其他（斜率，比„）”单位的精确度设为十万分之一。定义坐标系，隐藏网格。
（2）新建函数f (x ) =-0. 2x +x +3，并绘制函数f (x ) 的图像。
（3）在x 轴上取两点A 、B ，求出点A 、B 的横坐标x A 、x B ；计算f (x A ) 和f (x B ) ；以x A 为横坐标，以f (x A ) 为纵坐标，绘制出曲线f (x ) 上的点C ；以x B 为横坐标，以f (x B ) 为纵坐标，绘制出曲线f (x ) 上的点D 。作线段AC 和BD 。 （4）新建参数n =2，计算n -1、（5）以点A 为中心，以
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为标记比对点B 进行缩放得象点B '。
（6）求出点B '的横坐标x B '，计算f (x B ') ；以x B '为横坐标，以f (x B ') 为纵坐标，绘制出曲线f (x ) 上的点E ；作直线B 'E 、线段CE 。
（7）构建四边形A B 'EC 内部，并由
[f (x A ) +f (x B ') ](x B -x A ) 2n
计算四边形A B 'EC 的面积。
（8）新建参数s =0，计算s +
[f (x A ) +f (x B ') ](x B -x A ) 2n
。
（9）在x 轴上取点G ，求出点G 的横坐标x G ，以x G 为横坐标，以s +四边形A B 'EC 的面积为纵坐标，绘制点H 。
（10）依次选定参数n =2、s =0、点A 、点G 和n -1，按下Shift 键，进行带参数迭代，初象分别为n -1、s +
[f (x A ) +f (x B ') ](x B -x A ) 2n
、点B '、点H 。选择“完整迭代”；在
【结构】下拉菜单中选择“所有对象的象”，不选“生成迭代数据表”。
（11）选定迭代象点，点击【变换】菜单中的【终点】，得迭代象点的终点I 。求出点I 的纵坐标y I ，y I 的值就是n 个小长方形面积的和（即黎曼和）。 （12）新建函数g (x ) =-
115
x
3
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12
x
2
+3x ，g (x ) 即f (x ) =-0. 2x
b
2
2
+x +3的原函数。
计算出g (x B ) -g (x A ) 的值，这个值就是定积分⎰(-0. 2x +x +3)dx 的黎曼和。
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