二重积分的计算方法

二重积分的计算方法

【摘要】二重积分的计算方法有⑴利用直角坐标计算二重积分，⑵利用极坐标计算二重积分，⑶利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性计算二重积分，⑷利用分块积分法计算二重积分，⑸利用坐标轴的平移计算二重积分。

【关键词】二重积分; 直角坐标; 极坐标; 平移及奇偶性

二重积分的计算方法有⑴利用直角坐标计算二重积分，⑵利用极坐标计算二重积分，⑶利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性计算二重积分，⑷利用分块积分法计算二重积分，⑸利用坐标轴的平移计算二重积分。

计算二重积分有一定的步骤，我们大致分成4步。第一步：画出积分区域 的草图，判断积分域是否有对称性，被积函数是否有奇偶性; 第二步：选择坐标系; 第三步：选择积分次序; 第四步：确定积分限并计算累次积分。

例题1. 计算二重积分 其中积分区域 是由 与曲线 所围成。

方法一：利用直角坐标计算二重积分

解：积分区域

=

方法二：利用坐标轴的平移及奇偶性计算二重积分

解：设 作坐标轴的平移，在 平面上积分区域为

① 关于 对称，被积函数关于 是奇函数，

②

③

例题2. 计算 其中积分区域 是由 所确定。

方法一：利用极坐标法计算二重积分

方法二：利用坐标轴的平移及极坐标计算二重积分

令 此时 ，则

方法三：利用坐标轴的平移及奇偶性计算二重积分

二重积分的计算方法

【摘要】二重积分的计算方法有⑴利用直角坐标计算二重积分，⑵利用极坐标计算二重积分，⑶利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性计算二重积分，⑷利用分块积分法计算二重积分，⑸利用坐标轴的平移计算二重积分。

【关键词】二重积分; 直角坐标; 极坐标; 平移及奇偶性

二重积分的计算方法有⑴利用直角坐标计算二重积分，⑵利用极坐标计算二重积分，⑶利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性计算二重积分，⑷利用分块积分法计算二重积分，⑸利用坐标轴的平移计算二重积分。

计算二重积分有一定的步骤，我们大致分成4步。第一步：画出积分区域 的草图，判断积分域是否有对称性，被积函数是否有奇偶性; 第二步：选择坐标系; 第三步：选择积分次序; 第四步：确定积分限并计算累次积分。

例题1. 计算二重积分 其中积分区域 是由 与曲线 所围成。

方法一：利用直角坐标计算二重积分

解：积分区域

=

方法二：利用坐标轴的平移及奇偶性计算二重积分

解：设 作坐标轴的平移，在 平面上积分区域为

① 关于 对称，被积函数关于 是奇函数，

②

③

例题2. 计算 其中积分区域 是由 所确定。

方法一：利用极坐标法计算二重积分

方法二：利用坐标轴的平移及极坐标计算二重积分

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