微积分证明不等式方法

用微积分理论证明不等式的方法

江苏省扬中高级中学卞国文 212200

高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量) 和数值不等式(不含变量) ．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似．

微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式．

一、用导数定义证明不等式法

1．证明方法根据－导数定义

导数定义：设函数y =f (x ) 在点x 0的某个邻域内有定义，若极限lim x →x 0f (x ) -f (x 0) =lim x -x 0

∆x →0∆y 存在，则称函数f (x ) 在x 0可导，称这极限为函数y =∆x f (x ) 在点

x 0的导数，记作y =f '(x 0) ．

2．证明方法：

(1)找出x 0，使得y =f '(x 0) 恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究．

3．例

例1:设函数f (x ) =a 1sin x +a 2sin 2x + +a n sin nx ，其中a 1, a 2, a n 都为实数，

n 为正整数，已知对于一切实数x ，有f (x ) ≤sin x ，试证：a 1+2a 2+ +na n ≤1．

分析：问题中的条件与结论不属于同一类型的函数，如果能找出它们之间的关系，无疑能帮助解决此题，可以看出：a 1+2a 2+ +na n =f '(0) ．于是问题可以转化为证明f '(0) ≤1．

证明：因f '(x ) =a 1cos x +2a 2cos 2x + +na n cos nx

．利用导数的定义．得则：f '(0) =a 1+2a 2+ +na n

f '(0) =lim x →0f (x ) -f (0) f (x ) f (x ) ．由于f (x ) ≤sin x ． =lim =lim x →0x -0x x x →0

sin x =1．即a 1+2a 2+ +na n ≤1． x 所以f '(0) ≤

lim x →0

4. 适用范围

用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的．

二．用可导函数的单调性证明不等式法

1. 证明方法根据－可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理

定理一：若函数f (x ) 在(a , b ) 可导，则f (x ) 在(a , b ) 内递增（递减）的充要条件是： f '(x ) ≥0(f '(x ) ≤0), x ∈(a , b ) .

定理二：设函数f (x ) 在[a , b ]连续，在(a , b ) 内可导，如果在(a , b ) 内f '(x ) >0（或f '(x )

定理三：设函数f (x ) 在(a , b ) 内可导，若f '(x ) >0（或f '(x )

上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系，因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性.

2. 证明方法

（1）构造辅助函数f (x ) ，取定闭区间[a , b ]；

△如何构造辅助函数？

①利用不等式两边之差构造辅助函数（见例2）；

②利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数（见例3）；

③若所证的不等式涉及到幂指数函数，则可通过适当的变形（若取对数）将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数（见例4）.

(2)研究f (x ) 在[a , b ]上的单调性，从而证明不等式.

3. 例

例2：证明不等式：1+x ln(x ++x 2) >+x 2(x >0) . 分析：利用差式构造辅助函数f (x ) =1+x ln(x ++x 2) -+x 2, x ∈[0, +∞) ，则将要证明的结论转化为要证f (x ) >0, (x >0) ，而f (0) =0，因而只要证明f (x ) >f (0), (x >0) .

证明：令f (x ) =1+x ln(x ++x 2) -+x 2, x ∈[0, +∞) ，易知f (x ) 在[0, +∞) 上连续，且有f '(x ) =ln(x ++x 2) >0, x ∈(0, +∞) ，由定理二可知f (x ) 在[0, +∞) 上严格单调增加，所以由单调性定义可知f (x ) >f (0) =0, (x >0) ，即1+x l n x (++x 2) -+x 2>0. 因此

1+x ln(x ++x 2) >+x 2(x >0) .

例3：求证：a +b

1+a +b ≤a

1+a +b

1+b .

分析：不等式两边有相同的“形式”: A x , (x ≥0) . ：试构造辅助函数f (x ) =1+A 1+x

利用定理二与在f (x ) 在[0, +∞) 上的单调性证明不等式.

证明：设辅助函数f (x ) =x , (x ≥0) . 易知f (x ) 在[0, +∞) 上连续，且有1+x

f '(x ) =1>0, 2(1+x )

(x >0) . 则由定理二可知f (x ) 在[0, +∞) 上严格单调增加. 由0≤a +b ≤a +b ，有f (a +b ) ≤f (a +b )

a +b

1+a +b

，得到≤a +b 1+a +b =a 1+a +b +b 1+a +b ≤a 1+a +b 1+b ，所以原不等式成立.

例4：证明：当x >0时，(1+x ) 1+1

分析：此不等式为幂指数函数不等式，若直接利用差式构造辅助函数将很难求其导数，更很难判断其在(0, +∞) 上的单调性，可对不等式两边分别取对数得到

1x (1+) ln(1+x )

造辅助函数：

f (x ) =2x +x 2-2(1+x ) ln(1+x )(x ≥0) ，因f (0) =0，因而只要证明f (x ) >f (0), (x >0) 即可. 证明：分别对不等式得两边取对数，有(1+1x ) ln(1+x )

2(1+x ) ln(1+x ) 0, (x >0) ，根据定理二，得f '(x ) 在[0, +∞) 上严格单调增加，所以1+x

f '(x ) >f '(0) =0, (x >0) . 又由f (x ) 在[0, +∞) 上连续，且f '(x ) >0，根据定理二可知f (x ) 在[0, +∞) 上严格单调增加，所以f (x ) >f (0) =0, (x >0) ，即2x +x -2(1+x ) l n 1+(x ) >0，因此2x +x >2(1+x ) ln(1+x ) ，即(1+x )

4. 适用范围 221+1x

利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数f (x ) 应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处f (x ) 的值为0，然后通过在开区间内f '(x ) 的符号来判断f (x ) 在闭区间上的单调性.

三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法

1．证明方法根据－极值的充分条件定理

0定理四（极值的第一充分条件）设f (x ) 在x 0连续，在⋃(x 0, δ) 内可导，

（i ）若当x ∈(x 0-δ, x 0) 时，f '(x ) ≥0, 当x ∈(x 0, x 0+δ) 时，f '(x ) ≤0,

则f (x ) 在x 0取得极大值;

(ii) 若当x ∈(x 0-δ, x 0) 时，f '(x ) ≤0, 当x ∈(x 0, x 0+δ) 时，f '(x ) ≥0, 则f (x ) 在x 0取得极小值.

定理五（极值的第二充分条件）设f (x ) 在的某领域⋃(x 0, δ) 内一阶可导，在x =x 0处二阶可导，且f '(x 0) =0，f ''(x 0) ≠0,(i)若f ''(x 0) 0，则f (x ) 在x 0取得极小值.

极值和最值是两个不同的概念. 极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某个区间上考虑. 若函数在一个区间的内部取得最值，则此最值也是极值. 极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系.

2. 证明方法

（1）构造辅助函数f (x ) ，并取定区间.

△如何构造辅助函数？

①当不等式两边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数（见例5）； ②当不等式两边含有相同的“形式”时，可利用此形式构造辅助函数（见例6）； ③当不等式形如g (x ) ≥a （或g (x ) ≤a ）（a 为常数）时，可设g (x ) 为辅助函数（见例7）.

(2)求出f (x ) 在所设区间上的极值与最大、最小值.

△极值与最大、最小值的求法

①极值求法：（1）求出可疑点，即稳定点与不可导的连续点；（2）按极值充分条件判定可疑点是否为极值点.

②最大、最小值的求法：（1）闭区间[a , b ]上连续函数的最大、最小值的求法：先求出可疑点，再将可疑点处的函数值与端点a , b 处的函数值比较，最大者为最大值，最小者为最小值. （2）开区间(a , b ) 内可导函数的最大值、最小值的求法：若f (x ) 在(a , b ) 内可导，且有唯一的极值点，则此极值点即为最大值点或最小值点.

3. 例

5例5：证明：当x >0时有x ≥5x +4.

分析：利用差式构造辅助函数f (x ) =x 5-5x -4, (x >0) ，这与前面利用函数单调性定义证明不等式中所构造辅助函数的方法相同，但由于f (x ) 在(0, +∞) 上不是单调函数，（因对任意x 1, x 2>0，且x 1>x 2, f (x 1) -f (x 2) =(x 1-x 2) -5(x 1-x 2) ，不能判断55

f (x ) 的符号）. 所以不能用可导函数的单调

性证明此不等式，则可采用函数的极值方法试之. 函数的单调性证明此不等式，则可采用函数的极值方法试之．

证明：构造辅助函数f (x ) =x 5-5x -4, (x >0) ，则有

f '(x ) =5x 4-5=5(x 2+1)(x 2-1) =5(x 2+1)(x +1)(x -1), 令f '(x ) =0，解得x =±1，其中只有x =1在区间(0, +∞) 内，由lim f (x ) =lim x -5x -4=f (1) ，有f (x ) 在x =1x →1x →15

点连续．因当01时，f '(x )>0，则f (x ) 在(1, +∞) 上为增函数；由定理四可知，f (x ) 在x =1处取得极小值，即f (1) =0为区间(0, +∞) 上的最小值，所以当x >0时，有f (x ) ≥f (1) =0．故x 5-5x -4≥0(x >0), 即x 5≥5x +4(x >0) ．

例6：设a >0, b >0，则(a +1b +1a ) ≥() b ． b +1b

A B ) ，可将不等式变形为B 分析：此不等式两边含有相同的“形式”：(

(a +1) b +1(b +1) b +1(x +1) b +1

≥(x >0) ．，可构造辅助函数f (x ) =b b b a b x

(a +1) b +1(b +1) b +1

≥证明：将不等式变形为，构造辅助函数b b a b

(x +1) b x b -1(x -b ) (x +1) b +1

f (x ) =(x >0) ，则有f '(x ) =，令f '(x ) =0，则有x =b ．当b 2b x x

0b 时，f '(x )>0，则f (x ) 单调递增．因此，由定理四可知f (x ) 在x =b 时取得极小值，即最小值．所以当∀a ∈(0, +∞) ，(a +1) b +1(b +1) b +1a +1b +1a b () ≥() , (a , b >0) ．有f (a ) =，即≥f (b ) =b b b +1b a b

2p -1

1分析：显然设辅助函数f (x ) =x p +(1-x ) p , (0≤x ≤1) ，若设g (x ) =p -1，由2

1F (0) =f (0) -g (0) =1-p -1=F (1) ≠0(0≤x ≤1) ，故很难用函数单调性的定义去证2

明．考虑到f (0) =f (1) =1，不难看到不等式x p +(1-x ) p ≤1，即为f (x ) 与其端点例7：证明：若p >1，则对于[0, 1]中的任意x 有：1≥x +(1-x ) ≥p p 1 ． x =0, x =1处的函数值的大小比较问题，因而可想到用最值方法试之．

证明：设辅助函数为f (x ) =x p +(1-x ) p , (0≤x ≤1) ，则0≤x ≤1时，有：

f '(x ) =px p -1-p (1-x ) p -1=p [x p -1-(1-x ) p -1],

x p -1=(1-x ) p -1, 解之得稳定点x =

[0,1]上有最大值和最小值，已知令f '(x ) =0得1, 因函数f (x ) 在闭区间[0,1]上连续, 因而在2

. 有1111f (0) =f (1) =1, f () =() p +(1-) p =p -12222

max {f (x )}=max {1, x ∈[0, 1]x ∈[0, 1]12p -1}=1, min {f (x )}= x ∈[0, 1]

x ∈[0, 1]min {1, 12=p -112, 有p -1因此对一切x ∈[0, 1],p >1时，12p -1≤f (x ) ≤1, 所以原不等式得证.

4. 适用范围

（1）所设函数f (x ) 在某闭区间上连续，开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单调函数时；（2）只能证不严格的不等式而不能证出严格的不等式.

四、用拉格朗日中值定理证明不等式法

1. 证明方法根据－拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理：若函数f (x ) 满足下列条件：（I ）f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续；（ⅱ）f (x ) 在开区间(a , b ) 内可导，则在(a , b ) 内至少存在一点ξ，使得f '(ξ) =f (b ) -f (a ) . b -a

拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系.

2. 证明方法

①辅助函数f (x ) ，并确定f (x ) 施用拉格朗日中值定理的区间[a , b ]；

②对f (x ) 在[a , b ]上施用拉格朗日中值定理；

③利用ξ与a , b 的关系，对拉格朗日公式进行加强不等式.

3. 例

例8：证明：当x >0, x

1 ，即所证不等式中含有函数及其1+x

导数，因而可用拉格朗日中值定理试之. 由于ln 1=0，因此可构造函数的改变量分析：所证不等式中的函数ln(1+x ) 的导数为ln(1+x ) -ln 1，则相应自变量的改变量为x ，原不等式等价于：1ln(1+x ) -1n 1

证明.

证明：构造函数

导，f (t ) 在 f (t ) =ln t ，因f (t ) 在[1, 1+x ](x >0) 上连续，在(1, 1+x ) 上可

[1, 1+x ](x >0) 上满足拉格朗日条件，于是存在ξ∈(1, 1+x ) ，使 f (1+x ) -f (1) 1=f '(ξ) =，因 (1+x ) -1ξ

11f (1+x ) -f (1) =ln(1+x ) -ln 1=ln(1+x ),

1l 1+x n ) (

x 0) . 即1+x ，所以

4. 适用范围

当所证的不等式中含有函数值与一阶导数，或函数增量与一阶导数时，可用拉格朗日中值定理来证明.

五、用柯西中值定理证明不等式法

1. 证明方法根据－柯西中值定理

柯西中值定理：若⑴函数f (x ) 与g (x ) 都在闭区间[a , b ]上连续；⑵f (x ) 与g (x ) 都在开区间(a , b ) 内

可导；⑶f '(x ) 与g '(x ) 在(a , b ) 内不同时为0；⑷g (a ) ≠g (b ) . 则在(a , b ) 内至少存在一点ξ，使得

f '(ξ) f (b ) -f (a ) = . g '(ξ) g (b ) -g (a )

柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系.

2. 证明方法

①构造两个辅助函数f (x ) 和g (x ) ，并确定它们施用柯西中值定理的区间[a , b ]； ②对f (x ) 与g (x ) 在[a , b ]上施用柯西中值定理；

③利用ξ与a , b 的关系，对柯西公式进行加强不等式.

3. 例

例9：设a >e , 0

，证明a y -a x >(cosx -cos y ) a x ln a .

a y -a x

分析：原不等式可等价于

cos y -cos x

f (t ) =a t

与g (t ) =cos t 在区间[x , y ]上的改变量的商，故可用柯西中值定理证明之.

a y -a x

证明：原不等式等价于可构造函数f (t ) =a t ，g (t ) =cos t ,

cos y -cos x

因f (t ), g (t )

均在[x , y ]上连续，在(x , y ) 上可导，且f '(t ) =a t ln a ≠0，由于0

，则

g '(t ) =-sin t ≠0, g (x ) =cos x ≠g (y ) =cos y ，所以f (t ), g (t ) 在[x , y ]上满足柯西中

f '(ξ) f (y ) -f (x ) a y -a x a ξln a

值条件，于是存在ξ∈(x , y ) ，使得，又===

'g (ξ) g (y ) -g (x ) cos y -cos x -sin ξ

因a >e , ξ∈(x , y ),

有

a x

>1, ln a >1sin ξ

，得到

a ξln a a ξln a x

,因此 a ln a -

sin ξsin ξ

a y -a x

(cosx -cos y ) a x ln a .

cos y -cos x

4. 适用范围

当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数，或两个函数的函数增量及其一阶导数时，可用柯西中值定理证明.

六、上述二、三、四、五种方法小结

前面二、三、四、五种方法中，均可利用差式构造函数，但有时应用导数研究函数单调性证明不等式，

有时应用导数研究函数极值证明不等式，而有时应用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式. 三者有何区别：

⑴若所证不等式含有函数值及其导数，宜用中值定理；若所证不等式

f (x )

⑵若所证不等式的两端函数有不可导时，不能用函数单调性证明，宜用中值定理. ⑶若所证不等式f (x )

F (x ) =f (x ) -g (x ) 不是单调的函数时，宜用函数的极值来证明.

七、用函数的凹凸性证明不等式

1. 证明方法根据－凹凸函数定义及其定理和詹森不等式

定义：设f (x ) 为定义在区间I 上的函数，若对于I 上任意两点x 1, x 2和实数λ∈(0, 1) ，总有

f (λx 1+(1-λ) x 2) ≤λf (x 1) +(1-λ) f (x 2) , 则称f (x ) 为I 上的凸函数，若总有 f (λx 1+(1-λ) x 2) ≥λf (x 1) +(1-λ) f (x 2) , 则称f (x ) 为I 上的凹函数.

定理六：设f (x ) 为I 上的二阶可导函数，则f (x ) 为I 上的凸函数（或凹函数）的充要条件是在I 上

f ''(x ) ≥0(或f ''(x ) ≤0) .

命题（詹森不等式）若f (x ) 在[a , b ]上为凸函数，对任意的

x i ∈[a , b ],λi >0(i =1, 2 n ) 且∑λi =1, 则f (∑λi x i ) ≤

i =1

n n

∑λ

i =1

f (x i ) . 该命题可用数

学归纳法证明.

函数的凹凸性定理反映了二阶可导函数的二阶导数符号与凹凸函数之间的关系. 2. 证明方法：

①定义证明法：将不等式写成定义的形式，构造辅助函数f (x ) ，并讨论f (x ) 在所给区间上的凹凸性.

②詹森不等式法：对一些函数值的不等式，构造凸函数，应用詹森不等式能快速证此

类不等式.

3. 例

例10：证明：当x >0, y >0时, x ln x +y ln y >(x +y ) ln 分析：x +y

. 2

x ln x +y ln y x +y x +y

>() ln . 不等式两边含有相同“形式”：

222

f (x ) +f (y ) x +y

>f () . 只

t ln t ,

可设辅助函数f (t ) =t ln t (t >0) . 因此原不等式可化为要证要证明f (t )

在(0, +∞) 上为凸函数，即证f (x ) 在(x , y ) 内f ''(x ) >0即可.

证明（定义证明法）：设f (t ) =t ln t (t >0) . 有f '(t ) =ln t +1, f ''(t ) =则f (t ) 在(0, +∞)

为凸函数. 对任意x >0, y >0(x ≠y ) ，有

>0(t >0) . t

f (x ) +f (y ) x +y 1

>f () (取λ=).(要使

222

f (x ) 与g (x ) 的系数相同，当且仅当λ=1-λ时成立，即λ=). 因此

x +y

x ln x +y ln y >(x +y ) ln .

例11：若A,B,C 是∆ABC 的三内角，则sin A +sin B +sin C ≤

. 2

分析：不等式左边为sin x 的函数的和，考虑构造凸函数f (x ) =-sin x .

证明（詹森不等式）：令f (x ) =-sin x , 00. 则f (x ) 是

(0, π) 上的凸函数, 0

∑λ

i =1

=1，得到

得

：

λ1=λ2=λ3=

，由詹森不等式结论

-sin

A +B +C 1

≤-(sinA +sin B +sin C ) , 因A , B , C 是∆ABC 的三内角，则

A +B +C =π，可

得

4. 适用范围

当不等式可写成凹凸函数定义的形式或对一些函数值和且能够构造凸函数的不等式.

31π3

3. (sinA +sin B +sin C ) ≤sin =. 即sin A +sin B +sin C ≤2332

八、用泰勒公式证明不等式法

1. 证明方法根据－泰勒定理

泰勒定理：若函数f (x ) 满足如下条件：

⑴在闭区间[a , b ]上函数f (x ) 存在直到n 阶连续导数; ⑵在开区间(a , b ) 内存在f (x ) 的n +1阶导数，则对任何x ∈(a , b ) ，至少存在一点ξ∈(a , b ) ，使得:

f ''(a ) f (n ) (a ) f (n +1) (a ) 2n

f (x ) =f (a ) +f '(a )(x -a ) +(x -a ) + +(x -a ) +(x -a ) n +1

2! n ! (n +1)!

. 泰勒公式揭示了多项式与函数之间的关系.

2. 证明方法

①根据已知条件，围绕证明目标，选取恰当的点将函数在这些点展成泰勒展式； ②根据已知条件，向着有利于证明目标不等式的方向对上面的展式作适当的处理，直到可以结合已知条件证出不等式为止. （注意具体的题目应用此方法时要灵活运用，有些题目在进行①前，要先对已知条件或证明目标进行适当的转化，以更有利于证明的进行，使②不会过于繁琐. ）

3. 例

例12：设函数f (x ) 在[0, 1]上二阶可导，f (0) =f (1) , 且f ''(x ) ≤2，试证明：

f '(x ) ≤1.

分析：根据题设条件，f (x ) 在[0, 1]上二阶可导，且函数值f (0) =f (1) f ''(x ) ≤2，可写出函数f (x ) 在x 处的一阶泰勒公式，并取考察点0或1，利用相应的泰勒公式，对

f '(x ) 作估计.

0≤x ≤1，由泰勒公式分别有：

f (0) =f (x ) +f '(x )(0-x ) +f ''(ξ1)(0-x ) 2, 0

f (1) =f (x ) +f '(x )(1-x ) +f ''(ξ2)(1-x ) 2, 0

证

明

：

取

两式做差，整理得：

f '(x ) =[f ''(ξ1) x 2-f ''(ξ2)(1-x ) 2],所以

f '(x ) ≤[f ''(ξ1) x 2+f ''(ξ2) (1-x ) 2]

≤[2x 2+2(1-x ) 2]=x 2+(1-x ) 2=1-2x (1-x ) ≤1, (2x (1-x ) ≥0) ．因此原不2

等式成立.

4. 适用范围

当遇到含有函数或高阶导数，或函数增量与高阶导数，或要证的是导数（一阶或二阶）不等式时，可利用泰勒公式来证明有关的不等式.

九、用幂级数展开式证明不等式法

１．证明方法根据－几个重要的初等函数的幂级数展开式几个重要的初等函数的幂级数展开式如下：

e x =1+x +

121

x + +x n + , x ∈(-∞, +∞) ； 2! n !

sin x =x -cos x =1-

131x + +(-1) n -1x 2n -1+ , x ∈(-∞, +∞) ； 3! (2n -1)! 121412n x +x +(-1) n x + , x ∈(-∞, +∞) ； 2! 4! (2n )!

=1+x +x 2+ +x n + , x ∈(0, 1) ； 1-x

1213x

ln(1+x ) =x -x +x + +(-1) n -1+ , x ∈(-1, 1]

23n

．

初等函数是中学数学教学重点，某些初等函数可展开成幂级数，在展开式中添加或删去某些幂级数时，

可很快证明出某些含幂级数的不等式.

2. 证明方法

先把初等函数展开成幂级数，然后在展开式中添加或删去某些幂级数即可快速证明此不等式.

3. 例

例13:当x ∈(0, 1) ，证明证明：因

1+x

>e 2x . 1-x

, e 2x 分别可写成幂级数展开式，有：1-x

1+x

=(1+x )(1+x +x 2+ +x n + ) = 1-x

1+2x +2x 2+ +2x n + , x ∈(0, 1)

．

2222n n

=1+2x +x + +x + , x ∈(-∞, +∞) ．

2! n !

2n x n 2n

则左边的一般项为2x ，右边的一般项为，因此当n ≥3, 2>，所以

n ! n ! 1+x

>e 2x , x ∈(0, 1) . 1-x

4. 适用范围

当不等式中含有上面几个重要初等函数之一时，可用幂级数展开式法来证明此不等式.

十、用定积分理论来证明不等式法

1. 证明方法根据－定积分的性质和变上限辅助函数理论

定积分性质之一：设f (x ) 与g (x ) 为定义[a , b ]在上的两格可积函数，若

f (x ) ≤g (x ), x ∈[a , b ]

则

⎰

f (x ) dx ≤⎰g (x ) dx .

微积分学基本定理：若函数f (x ) 在[a , b ]上连续，则由变动上限积分

Φ(x ) =⎰f (t ) dt , x ∈[a , b ]，

定义的函数Φ在[a , b ]上可导，而且Φ'(x ) 在[a , b ]上的一个原函数.

=f (x ) . 也就是说，函数Φ是被积函数f (x )

微积分学基本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系.

2. 证明方法

①利用定积分的性质证明不等式法：对可积函数f (x ) ，g (x ) ，先证出f (x ) ≤g (x ) ，然后由定积分的性质可证

⎰

f (x ) dx ≤⎰g (x ) dx （见例14）；

②构造变上限辅助函数证明不等式法：对于含有定积分的不等式，可把常数变为变数构造辅助函数，利用变上限积分

3. 例例14：证明：

⎰

f (t ) dt 及函数的单调性解决此类不等式（见例15）.

⎰

x ln xdx ≤⎰x ln xdx .

证明（利用定积分性质）：当x ∈[1, 2]时，因

x ≤x , ln x >0，则x ln x ≤x ln x .

x ln x ，x ln x 在[1, 2]上均为连续函数. 则x ln x , x ln x 在[1, 2]均可导. 由定积

分性质可知：

⎰

x ln xdx ≤⎰x ln xdx ．

a +b b

f (x ) dx . 例15：设f (x ) 在[a , b ]上连续，且单调递增，试证明⎰xf (x ) dx ≥⎰a a 2

分析：可将此定积分不等式看成是数值不等式，并将常数b 变为变数t ，利用差式构

造辅助函数：

a +t t

F (t ) =⎰xf (x ) dx -f (x ) dx ，则要证F (b ) ≥F (a ) =0.

a 2⎰a

证明：（利用构造变上限辅助函数）：设辅助函数F (t ) =显然F (a ) =0．对

⎰

xf (x ) dx -

a +t t

f (x ) dx . ⎰a 2

∀t ∈[a , b ]

，

F '(t ) =tf (t ) -

1t a +t t -a 1t 1t

f (x ) dx -f (t ) =f (t ) -f (x ) dx =[f (t ) -f (x )]dx ⎰⎰⎰a a a 22222

x ∈(a , t ) ．因为f (x ) 单调递增，则F '(t ) ≥0，则F (t ) 单调递增，所以F (b ) ≥F (a ) =0, (b ≥a ) .

因此⎰xf (x ) dx ≥a

4. 适用范围

当不等式含有定积分（或被积函数f (x ) ≤g (x ) 时），可用定积分的性质来证明或构造上限辅助函数来证明.

a +b b

f (x ) dx . ⎰a 2

十一、引入参数证明不等式法

1. 证明方法根据－将对数值不等式的证明转化为对函数不等式的证明，用微积分理论研究函数的性质，从而证明不等式.

２．证明方法

引入参数t ，构造辅助函数

[f (x ) -tg (x ) ]dx ≥0，得到关于t 的二次多项式，利⎰a b

用判别式∆≤0来证明不等式.

3. 例

例

16：设

f (x ), g (x ) 在区间[a , b ]上连续，证明：

(⎰f (x ) g (x ) dx ) ≤⎰f (x ) dx ⎰g 2(x ) dx （柯西－许瓦茨不等式）.

分析：欲证不等式是函数f (x ), g (x ) ，以及f (x ) g (x ) 的积分不等式，引入参数t ，考虑辅助函数

[f (x ) -tg (x )]2在区间[a , b ]上的积分.

证明：利用定积分的性质易知

[f (x ) -tg (x ) ]dx ≥0，即⎰a b

t 2⎰g 2(x ) dx -2t ⎰f (x ) g (x ) dx +⎰f 2(x ) dx ≥0. 这是关于t 的二次多项式不等式，因

此，判别式：

∆=4(⎰f (x ) g (x ) dx ) -4⎰f (x ) dx ⎰g 2(x ) dx ≤0，即：

(⎰f (x ) g (x ) dx ) 2≤⎰f 2(x ) dx ⎰g 2(x ) dx ．

b b b

4. 适用范围

当积分式含有平方项f (x ) ，或f '(x ) 的情形.

参考文献：

1．《高等数学选讲》 2．《数学分析》 3．《常微分选讲》

用微积分理论证明不等式的方法

江苏省扬中高级中学卞国文 212200

一、用导数定义证明不等式法

1．证明方法根据－导数定义

导数定义：设函数y =f (x ) 在点x 0的某个邻域内有定义，若极限lim x →x 0f (x ) -f (x 0) =lim x -x 0

∆x →0∆y 存在，则称函数f (x ) 在x 0可导，称这极限为函数y =∆x f (x ) 在点

x 0的导数，记作y =f '(x 0) ．

2．证明方法：

(1)找出x 0，使得y =f '(x 0) 恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究．

3．例

例1:设函数f (x ) =a 1sin x +a 2sin 2x + +a n sin nx ，其中a 1, a 2, a n 都为实数，

n 为正整数，已知对于一切实数x ，有f (x ) ≤sin x ，试证：a 1+2a 2+ +na n ≤1．

证明：因f '(x ) =a 1cos x +2a 2cos 2x + +na n cos nx

．利用导数的定义．得则：f '(0) =a 1+2a 2+ +na n

f '(0) =lim x →0f (x ) -f (0) f (x ) f (x ) ．由于f (x ) ≤sin x ． =lim =lim x →0x -0x x x →0

sin x =1．即a 1+2a 2+ +na n ≤1． x 所以f '(0) ≤

lim x →0

4. 适用范围

二．用可导函数的单调性证明不等式法

1. 证明方法根据－可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理

定理一：若函数f (x ) 在(a , b ) 可导，则f (x ) 在(a , b ) 内递增（递减）的充要条件是： f '(x ) ≥0(f '(x ) ≤0), x ∈(a , b ) .

定理二：设函数f (x ) 在[a , b ]连续，在(a , b ) 内可导，如果在(a , b ) 内f '(x ) >0（或f '(x )

定理三：设函数f (x ) 在(a , b ) 内可导，若f '(x ) >0（或f '(x )

上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系，因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性.

2. 证明方法

（1）构造辅助函数f (x ) ，取定闭区间[a , b ]；

△如何构造辅助函数？

①利用不等式两边之差构造辅助函数（见例2）；

②利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数（见例3）；

(2)研究f (x ) 在[a , b ]上的单调性，从而证明不等式.

3. 例

1+x ln(x ++x 2) >+x 2(x >0) .

例3：求证：a +b

1+a +b ≤a

1+a +b

1+b .

分析：不等式两边有相同的“形式”: A x , (x ≥0) . ：试构造辅助函数f (x ) =1+A 1+x

利用定理二与在f (x ) 在[0, +∞) 上的单调性证明不等式.

证明：设辅助函数f (x ) =x , (x ≥0) . 易知f (x ) 在[0, +∞) 上连续，且有1+x

f '(x ) =1>0, 2(1+x )

(x >0) . 则由定理二可知f (x ) 在[0, +∞) 上严格单调增加. 由0≤a +b ≤a +b ，有f (a +b ) ≤f (a +b )

a +b

1+a +b

，得到≤a +b 1+a +b =a 1+a +b +b 1+a +b ≤a 1+a +b 1+b ，所以原不等式成立.

例4：证明：当x >0时，(1+x ) 1+1

1x (1+) ln(1+x )

造辅助函数：

f (x ) =2x +x 2-2(1+x ) ln(1+x )(x ≥0) ，因f (0) =0，因而只要证明f (x ) >f (0), (x >0) 即可. 证明：分别对不等式得两边取对数，有(1+1x ) ln(1+x )

2(1+x ) ln(1+x ) 0, (x >0) ，根据定理二，得f '(x ) 在[0, +∞) 上严格单调增加，所以1+x

4. 适用范围 221+1x

三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法

1．证明方法根据－极值的充分条件定理

0定理四（极值的第一充分条件）设f (x ) 在x 0连续，在⋃(x 0, δ) 内可导，

（i ）若当x ∈(x 0-δ, x 0) 时，f '(x ) ≥0, 当x ∈(x 0, x 0+δ) 时，f '(x ) ≤0,

则f (x ) 在x 0取得极大值;

(ii) 若当x ∈(x 0-δ, x 0) 时，f '(x ) ≤0, 当x ∈(x 0, x 0+δ) 时，f '(x ) ≥0, 则f (x ) 在x 0取得极小值.

2. 证明方法

（1）构造辅助函数f (x ) ，并取定区间.

△如何构造辅助函数？

(2)求出f (x ) 在所设区间上的极值与最大、最小值.

△极值与最大、最小值的求法

①极值求法：（1）求出可疑点，即稳定点与不可导的连续点；（2）按极值充分条件判定可疑点是否为极值点.

3. 例

5例5：证明：当x >0时有x ≥5x +4.

f (x ) 的符号）. 所以不能用可导函数的单调

性证明此不等式，则可采用函数的极值方法试之. 函数的单调性证明此不等式，则可采用函数的极值方法试之．

证明：构造辅助函数f (x ) =x 5-5x -4, (x >0) ，则有

f '(x ) =5x 4-5=5(x 2+1)(x 2-1) =5(x 2+1)(x +1)(x -1), 令f '(x ) =0，解得x =±1，其中只有x =1在区间(0, +∞) 内，由lim f (x ) =lim x -5x -4=f (1) ，有f (x ) 在x =1x →1x →15

例6：设a >0, b >0，则(a +1b +1a ) ≥() b ． b +1b

A B ) ，可将不等式变形为B 分析：此不等式两边含有相同的“形式”：(

(a +1) b +1(b +1) b +1(x +1) b +1

≥(x >0) ．，可构造辅助函数f (x ) =b b b a b x

(a +1) b +1(b +1) b +1

≥证明：将不等式变形为，构造辅助函数b b a b

(x +1) b x b -1(x -b ) (x +1) b +1

f (x ) =(x >0) ，则有f '(x ) =，令f '(x ) =0，则有x =b ．当b 2b x x

2p -1

1分析：显然设辅助函数f (x ) =x p +(1-x ) p , (0≤x ≤1) ，若设g (x ) =p -1，由2

1F (0) =f (0) -g (0) =1-p -1=F (1) ≠0(0≤x ≤1) ，故很难用函数单调性的定义去证2

证明：设辅助函数为f (x ) =x p +(1-x ) p , (0≤x ≤1) ，则0≤x ≤1时，有：

f '(x ) =px p -1-p (1-x ) p -1=p [x p -1-(1-x ) p -1],

x p -1=(1-x ) p -1, 解之得稳定点x =

[0,1]上有最大值和最小值，已知令f '(x ) =0得1, 因函数f (x ) 在闭区间[0,1]上连续, 因而在2

. 有1111f (0) =f (1) =1, f () =() p +(1-) p =p -12222

max {f (x )}=max {1, x ∈[0, 1]x ∈[0, 1]12p -1}=1, min {f (x )}= x ∈[0, 1]

x ∈[0, 1]min {1, 12=p -112, 有p -1因此对一切x ∈[0, 1],p >1时，12p -1≤f (x ) ≤1, 所以原不等式得证.

4. 适用范围

（1）所设函数f (x ) 在某闭区间上连续，开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单调函数时；（2）只能证不严格的不等式而不能证出严格的不等式.

四、用拉格朗日中值定理证明不等式法

1. 证明方法根据－拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系.

2. 证明方法

①辅助函数f (x ) ，并确定f (x ) 施用拉格朗日中值定理的区间[a , b ]；

②对f (x ) 在[a , b ]上施用拉格朗日中值定理；

③利用ξ与a , b 的关系，对拉格朗日公式进行加强不等式.

3. 例

例8：证明：当x >0, x

1 ，即所证不等式中含有函数及其1+x

证明.

证明：构造函数

导，f (t ) 在 f (t ) =ln t ，因f (t ) 在[1, 1+x ](x >0) 上连续，在(1, 1+x ) 上可

[1, 1+x ](x >0) 上满足拉格朗日条件，于是存在ξ∈(1, 1+x ) ，使 f (1+x ) -f (1) 1=f '(ξ) =，因 (1+x ) -1ξ

11f (1+x ) -f (1) =ln(1+x ) -ln 1=ln(1+x ),

1l 1+x n ) (

x 0) . 即1+x ，所以

4. 适用范围

当所证的不等式中含有函数值与一阶导数，或函数增量与一阶导数时，可用拉格朗日中值定理来证明.

五、用柯西中值定理证明不等式法

1. 证明方法根据－柯西中值定理

柯西中值定理：若⑴函数f (x ) 与g (x ) 都在闭区间[a , b ]上连续；⑵f (x ) 与g (x ) 都在开区间(a , b ) 内

可导；⑶f '(x ) 与g '(x ) 在(a , b ) 内不同时为0；⑷g (a ) ≠g (b ) . 则在(a , b ) 内至少存在一点ξ，使得

f '(ξ) f (b ) -f (a ) = . g '(ξ) g (b ) -g (a )

柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系.

2. 证明方法

①构造两个辅助函数f (x ) 和g (x ) ，并确定它们施用柯西中值定理的区间[a , b ]； ②对f (x ) 与g (x ) 在[a , b ]上施用柯西中值定理；

③利用ξ与a , b 的关系，对柯西公式进行加强不等式.

3. 例

例9：设a >e , 0

，证明a y -a x >(cosx -cos y ) a x ln a .

a y -a x

分析：原不等式可等价于

cos y -cos x

f (t ) =a t

与g (t ) =cos t 在区间[x , y ]上的改变量的商，故可用柯西中值定理证明之.

a y -a x

证明：原不等式等价于可构造函数f (t ) =a t ，g (t ) =cos t ,

cos y -cos x

因f (t ), g (t )

均在[x , y ]上连续，在(x , y ) 上可导，且f '(t ) =a t ln a ≠0，由于0

，则

g '(t ) =-sin t ≠0, g (x ) =cos x ≠g (y ) =cos y ，所以f (t ), g (t ) 在[x , y ]上满足柯西中

f '(ξ) f (y ) -f (x ) a y -a x a ξln a

值条件，于是存在ξ∈(x , y ) ，使得，又===

'g (ξ) g (y ) -g (x ) cos y -cos x -sin ξ

因a >e , ξ∈(x , y ),

有

a x

>1, ln a >1sin ξ

，得到

a ξln a a ξln a x

,因此 a ln a -

sin ξsin ξ

a y -a x

(cosx -cos y ) a x ln a .

cos y -cos x

4. 适用范围

当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数，或两个函数的函数增量及其一阶导数时，可用柯西中值定理证明.

六、上述二、三、四、五种方法小结

前面二、三、四、五种方法中，均可利用差式构造函数，但有时应用导数研究函数单调性证明不等式，

有时应用导数研究函数极值证明不等式，而有时应用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式. 三者有何区别：

⑴若所证不等式含有函数值及其导数，宜用中值定理；若所证不等式

f (x )

⑵若所证不等式的两端函数有不可导时，不能用函数单调性证明，宜用中值定理. ⑶若所证不等式f (x )

F (x ) =f (x ) -g (x ) 不是单调的函数时，宜用函数的极值来证明.

七、用函数的凹凸性证明不等式

1. 证明方法根据－凹凸函数定义及其定理和詹森不等式

定义：设f (x ) 为定义在区间I 上的函数，若对于I 上任意两点x 1, x 2和实数λ∈(0, 1) ，总有

f (λx 1+(1-λ) x 2) ≤λf (x 1) +(1-λ) f (x 2) , 则称f (x ) 为I 上的凸函数，若总有 f (λx 1+(1-λ) x 2) ≥λf (x 1) +(1-λ) f (x 2) , 则称f (x ) 为I 上的凹函数.

定理六：设f (x ) 为I 上的二阶可导函数，则f (x ) 为I 上的凸函数（或凹函数）的充要条件是在I 上

f ''(x ) ≥0(或f ''(x ) ≤0) .

命题（詹森不等式）若f (x ) 在[a , b ]上为凸函数，对任意的

x i ∈[a , b ],λi >0(i =1, 2 n ) 且∑λi =1, 则f (∑λi x i ) ≤

i =1

n n

∑λ

i =1

f (x i ) . 该命题可用数

学归纳法证明.

函数的凹凸性定理反映了二阶可导函数的二阶导数符号与凹凸函数之间的关系. 2. 证明方法：

①定义证明法：将不等式写成定义的形式，构造辅助函数f (x ) ，并讨论f (x ) 在所给区间上的凹凸性.

②詹森不等式法：对一些函数值的不等式，构造凸函数，应用詹森不等式能快速证此

类不等式.

3. 例

例10：证明：当x >0, y >0时, x ln x +y ln y >(x +y ) ln 分析：x +y

. 2

x ln x +y ln y x +y x +y

>() ln . 不等式两边含有相同“形式”：

222

f (x ) +f (y ) x +y

>f () . 只

t ln t ,

可设辅助函数f (t ) =t ln t (t >0) . 因此原不等式可化为要证要证明f (t )

在(0, +∞) 上为凸函数，即证f (x ) 在(x , y ) 内f ''(x ) >0即可.

证明（定义证明法）：设f (t ) =t ln t (t >0) . 有f '(t ) =ln t +1, f ''(t ) =则f (t ) 在(0, +∞)

为凸函数. 对任意x >0, y >0(x ≠y ) ，有

>0(t >0) . t

f (x ) +f (y ) x +y 1

>f () (取λ=).(要使

222

f (x ) 与g (x ) 的系数相同，当且仅当λ=1-λ时成立，即λ=). 因此

x +y

x ln x +y ln y >(x +y ) ln .

例11：若A,B,C 是∆ABC 的三内角，则sin A +sin B +sin C ≤

. 2

分析：不等式左边为sin x 的函数的和，考虑构造凸函数f (x ) =-sin x .

证明（詹森不等式）：令f (x ) =-sin x , 00. 则f (x ) 是

(0, π) 上的凸函数, 0

∑λ

i =1

=1，得到

得

：

λ1=λ2=λ3=

，由詹森不等式结论

-sin

A +B +C 1

≤-(sinA +sin B +sin C ) , 因A , B , C 是∆ABC 的三内角，则

A +B +C =π，可

得

4. 适用范围

当不等式可写成凹凸函数定义的形式或对一些函数值和且能够构造凸函数的不等式.

31π3

3. (sinA +sin B +sin C ) ≤sin =. 即sin A +sin B +sin C ≤2332

八、用泰勒公式证明不等式法

1. 证明方法根据－泰勒定理

泰勒定理：若函数f (x ) 满足如下条件：

f ''(a ) f (n ) (a ) f (n +1) (a ) 2n

f (x ) =f (a ) +f '(a )(x -a ) +(x -a ) + +(x -a ) +(x -a ) n +1

2! n ! (n +1)!

. 泰勒公式揭示了多项式与函数之间的关系.

2. 证明方法

3. 例

例12：设函数f (x ) 在[0, 1]上二阶可导，f (0) =f (1) , 且f ''(x ) ≤2，试证明：

f '(x ) ≤1.

f '(x ) 作估计.

0≤x ≤1，由泰勒公式分别有：

f (0) =f (x ) +f '(x )(0-x ) +f ''(ξ1)(0-x ) 2, 0

f (1) =f (x ) +f '(x )(1-x ) +f ''(ξ2)(1-x ) 2, 0

证

明

：

取

两式做差，整理得：

f '(x ) =[f ''(ξ1) x 2-f ''(ξ2)(1-x ) 2],所以

f '(x ) ≤[f ''(ξ1) x 2+f ''(ξ2) (1-x ) 2]

≤[2x 2+2(1-x ) 2]=x 2+(1-x ) 2=1-2x (1-x ) ≤1, (2x (1-x ) ≥0) ．因此原不2

等式成立.

4. 适用范围

当遇到含有函数或高阶导数，或函数增量与高阶导数，或要证的是导数（一阶或二阶）不等式时，可利用泰勒公式来证明有关的不等式.

九、用幂级数展开式证明不等式法

１．证明方法根据－几个重要的初等函数的幂级数展开式几个重要的初等函数的幂级数展开式如下：

e x =1+x +

121

x + +x n + , x ∈(-∞, +∞) ； 2! n !

sin x =x -cos x =1-

131x + +(-1) n -1x 2n -1+ , x ∈(-∞, +∞) ； 3! (2n -1)! 121412n x +x +(-1) n x + , x ∈(-∞, +∞) ； 2! 4! (2n )!

=1+x +x 2+ +x n + , x ∈(0, 1) ； 1-x

1213x

ln(1+x ) =x -x +x + +(-1) n -1+ , x ∈(-1, 1]

23n

．

初等函数是中学数学教学重点，某些初等函数可展开成幂级数，在展开式中添加或删去某些幂级数时，

可很快证明出某些含幂级数的不等式.

2. 证明方法

先把初等函数展开成幂级数，然后在展开式中添加或删去某些幂级数即可快速证明此不等式.

3. 例

例13:当x ∈(0, 1) ，证明证明：因

1+x

>e 2x . 1-x

, e 2x 分别可写成幂级数展开式，有：1-x

1+x

=(1+x )(1+x +x 2+ +x n + ) = 1-x

1+2x +2x 2+ +2x n + , x ∈(0, 1)

．

2222n n

=1+2x +x + +x + , x ∈(-∞, +∞) ．

2! n !

2n x n 2n

则左边的一般项为2x ，右边的一般项为，因此当n ≥3, 2>，所以

n ! n ! 1+x

>e 2x , x ∈(0, 1) . 1-x

4. 适用范围

当不等式中含有上面几个重要初等函数之一时，可用幂级数展开式法来证明此不等式.

十、用定积分理论来证明不等式法

1. 证明方法根据－定积分的性质和变上限辅助函数理论

定积分性质之一：设f (x ) 与g (x ) 为定义[a , b ]在上的两格可积函数，若

f (x ) ≤g (x ), x ∈[a , b ]

则

⎰

f (x ) dx ≤⎰g (x ) dx .

微积分学基本定理：若函数f (x ) 在[a , b ]上连续，则由变动上限积分

Φ(x ) =⎰f (t ) dt , x ∈[a , b ]，

定义的函数Φ在[a , b ]上可导，而且Φ'(x ) 在[a , b ]上的一个原函数.

=f (x ) . 也就是说，函数Φ是被积函数f (x )

微积分学基本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系.

2. 证明方法

①利用定积分的性质证明不等式法：对可积函数f (x ) ，g (x ) ，先证出f (x ) ≤g (x ) ，然后由定积分的性质可证

⎰

f (x ) dx ≤⎰g (x ) dx （见例14）；

②构造变上限辅助函数证明不等式法：对于含有定积分的不等式，可把常数变为变数构造辅助函数，利用变上限积分

3. 例例14：证明：

⎰

f (t ) dt 及函数的单调性解决此类不等式（见例15）.

⎰

x ln xdx ≤⎰x ln xdx .

证明（利用定积分性质）：当x ∈[1, 2]时，因

x ≤x , ln x >0，则x ln x ≤x ln x .

x ln x ，x ln x 在[1, 2]上均为连续函数. 则x ln x , x ln x 在[1, 2]均可导. 由定积

分性质可知：

⎰

x ln xdx ≤⎰x ln xdx ．

a +b b

f (x ) dx . 例15：设f (x ) 在[a , b ]上连续，且单调递增，试证明⎰xf (x ) dx ≥⎰a a 2

分析：可将此定积分不等式看成是数值不等式，并将常数b 变为变数t ，利用差式构

造辅助函数：

a +t t

F (t ) =⎰xf (x ) dx -f (x ) dx ，则要证F (b ) ≥F (a ) =0.

a 2⎰a

证明：（利用构造变上限辅助函数）：设辅助函数F (t ) =显然F (a ) =0．对

⎰

xf (x ) dx -

a +t t

f (x ) dx . ⎰a 2

∀t ∈[a , b ]

，

F '(t ) =tf (t ) -

1t a +t t -a 1t 1t

f (x ) dx -f (t ) =f (t ) -f (x ) dx =[f (t ) -f (x )]dx ⎰⎰⎰a a a 22222

x ∈(a , t ) ．因为f (x ) 单调递增，则F '(t ) ≥0，则F (t ) 单调递增，所以F (b ) ≥F (a ) =0, (b ≥a ) .

因此⎰xf (x ) dx ≥a

4. 适用范围

当不等式含有定积分（或被积函数f (x ) ≤g (x ) 时），可用定积分的性质来证明或构造上限辅助函数来证明.

a +b b

f (x ) dx . ⎰a 2

十一、引入参数证明不等式法

1. 证明方法根据－将对数值不等式的证明转化为对函数不等式的证明，用微积分理论研究函数的性质，从而证明不等式.

２．证明方法

引入参数t ，构造辅助函数

[f (x ) -tg (x ) ]dx ≥0，得到关于t 的二次多项式，利⎰a b

用判别式∆≤0来证明不等式.

3. 例

例

16：设

f (x ), g (x ) 在区间[a , b ]上连续，证明：

(⎰f (x ) g (x ) dx ) ≤⎰f (x ) dx ⎰g 2(x ) dx （柯西－许瓦茨不等式）.

分析：欲证不等式是函数f (x ), g (x ) ，以及f (x ) g (x ) 的积分不等式，引入参数t ，考虑辅助函数

[f (x ) -tg (x )]2在区间[a , b ]上的积分.

证明：利用定积分的性质易知

[f (x ) -tg (x ) ]dx ≥0，即⎰a b

t 2⎰g 2(x ) dx -2t ⎰f (x ) g (x ) dx +⎰f 2(x ) dx ≥0. 这是关于t 的二次多项式不等式，因

此，判别式：

∆=4(⎰f (x ) g (x ) dx ) -4⎰f (x ) dx ⎰g 2(x ) dx ≤0，即：

(⎰f (x ) g (x ) dx ) 2≤⎰f 2(x ) dx ⎰g 2(x ) dx ．

b b b

4. 适用范围

当积分式含有平方项f (x ) ，或f '(x ) 的情形.

参考文献：

1．《高等数学选讲》 2．《数学分析》 3．《常微分选讲》

微积分证明不等式方法

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