第31卷第4期2003年8月
福州大学学报(自然科学版)
Journal of Fuzhou University(Natural Science)
Vol. 31No. 4Aug. 2003
文章编号:1000-2243(2003) 04-0454-06
莫尔-库仑等面积圆屈服准则的简化形式及应用
戴自航
1, 2
, 沈蒲生
2
(1. 福州大学环境与资源学院, 福建福州 350002; 2. 湖南大学土木工程学院, 湖南长沙 410082) 摘要:在三维应力空间, 采用解析几何的方法, 导出了莫尔-库仑等面积圆屈服准则的简化形式. 介绍了可直接利用现有大型有限元程序在德鲁克-普拉格屈服准则下, 按强度折减原理求解边坡安全系数的方法. 算例表明, 采用简化屈服准则无须修改现有程序, 且对简单边坡, 据此求得的安全系数与传统的极限平衡法所得结果极为相近; 对于复合边坡, 二者求得的安全系数相对较差可能稍大些. 关键词:边坡; 应力空间; 解析几何; 屈服准则; 有限元; 滑动面中图分类号:TU432文献标识码:A
Simplified form and applications of Mohr -Coulomb equivalent
area circle yield criterion
DAI Zi-hang
1, 2
, SHE N Pu-sheng
2
(1. College of Environment and Resources, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350002, China; 2. College of Civil En g ineering, Hunan Universi ty, Changsha, Hunan 410082, China)
Abstract :In 3-D stress space, simplified form of Mohr-C oulomb equivalent area circle yield criterion is derived by adopting analytic geometry method. Directly using the e xisting finite element programs with Drucker-Prager yield criterion to analyze the stability of slopes acc ording to strength reduction principle is presented. Exa mples show there is no need to revise the existing progra ms by using the simplified yield criterion. And for simple slopes, the safety fac tors obtained by FE M are fairly close to the results of c on -ventional limit equilibrium method. For composite slopes, although the difference between the safety fac -tors obtained by the two methods may be a bit larger.
Keyw ords :slope; stress space; analytic geometry; yield criterion; finite element; slip surface
实验和工程实践已证实, 古典的莫尔-库仑(Mohr-Coulomb) 屈服准则(以下简称M-C 准则) 能较好地描述土壤、岩石等材料的破坏行为, 在岩土工程领域得到了广泛的应用, 土力学中边坡稳定、土压力和地基承载力这3大经典问题都直接或间接地借助了这一准则. 然而, 在有限元数值计算中, 直接采用M-C 屈服准则常引起不便, 因而在假定土体或岩体为理想弹塑性体的情况下, 与之近似的德鲁克-普拉格(Drucker-Prager) 屈服准则(以下简称D-P 准则) 被现有许多大型有限元程序, 如ANSYS 、MARC 、NASTRAN 等采用. 但实际计算比较表明, 按照该准则计算与M -C 理论计算结果存在较大误差. 为此, Zienkiewicz-Pande 等人提出了二次型屈服准则去逼近M-C 屈服准则, 但仍不够理想. 徐干成、郑颖人曾提出等面积圆屈服准则
[2]
[1]
, 且用工程实例验证了其良好的逼近效果. 本文用解析几何方
法得到了较之更为简化的屈服准则表达式, 实例计算表明, 其应用也更为方便.
1 M-C 等面积圆屈服表达式
1. 1 M-C 屈服准则及其已有的近似表达式
收稿日期:2002-03-26
作者简介:戴自航(1966-) , 男, 博士, 副教授, 湖南大学在站博士后. (
第4期戴自航, 等:莫尔-库仑等面积圆屈服准则的简化形式及应用
455
如图1所示, M-C 屈服面在主应力空间中, 表现为六棱角锥体的表面, 角锥体的顶点在静水应力轴上, 1= 2= 3=c tan , 角锥体的轴与主应力轴成等倾角.
在 - 平面上, M-C 屈服表达式
f =c + n tan
达式:
1- 3=( 1- 3) sin +2c cos
如下:
F ( , r , ) =
式中: =I 13, r =不变量.
式(3) 中, 令 =0及 =60 , 可分别得到受拉子午面和受压子午面上的屈服线, 如图2所示. 若再令 =0, 就可得到图3所示的 平面上的屈服线, 在该平面上分别令 =0及 =60 , 可得:
r c 0=3-sin , r t 0=3+sin
(4)
(2)
图1 M-C 屈服面和D-P 屈服面Fig. 1 M-C yield surface and D-P yield surface
[3]
为:(1)
当 1 2 3时, 上式可写成如下的主应力表
按文献[4], 该屈服准则又可用 、r 、 表示
2 sin +3r sin( + 3) +r cos( + 3) sin -6c cos =0(3)
2J 2, 0 3, I 1、J 2分别为应力张量的第一不变量和应力偏张量的第二
图2 =0及 =60 子午面上M -C 屈服线Fi g.2 Th e yiel d li nes on the meri dional surfaces
of =0an d =60
图3 平面上不同屈服准则对应的屈服线Fig. 3 The different yield curves on the plane
由于M-C 屈服角锥面的角点在数值计算中的困难, 德鲁克-普拉格把Mises 屈服准则加以修改, 提出了如下的屈服准则:
F = I 1+
用 、r 又可表达为:
F =
式中: 、k 为材料常数.
由式(5) 可知, D-P 屈服面是1个正圆锥面, 见图1, 它在平面上的截线是1个圆, 如图3. 式(5a) 或式(5b) 为圆锥屈服面的统一表达式. 德鲁克-普拉格通过在 平面上使屈服圆半径分别等于r c 0和r t 0. :
+r -k =0
(5b)
J 2-k =0
(5a)
456
福州大学学报(自然科学版)
=k =
2sin 3(3 sin ) 3(3 sin )
第31卷
(6)
则可使D-P 圆锥面分别与M-C 六棱角锥面的内顶点(式中取正号) 和外顶点(式中取负号) 重合. 由于采用与外顶点重合的圆锥面过于保守, 而采用与内顶点重合(或采用内切圆) 的圆锥面常偏于不安全. 因此, 徐干成, 郑颖人提出了等面积圆屈服准则, 即在式(5) 中取:
= =k =k =
式中:
=
-A sin +3
22 A sin -4+1 -1933
A =
如此得到的圆锥面的逼近效果优于D-P 准则. 1. 2 M-C 等面积圆屈服准则的简化形式
如图3, 在 平面上按圆面积与不等边六边形面积相等的原则, 有:
2
r e =r c 0r t 0sin 623
于是可得到等面积圆的半径:
r e =
在 2k e =r e , 于是可得:
k e =
在式(3) 中令r =0, 可得 0=
2 (9-sin (9)
6
c cos
2
2
[2]
3cos -sin sin
3cos -sin
sin
2+1
3
2
(7)
63
(8)
(9-sin )
(9)
3c tan , 而由式(5b ) , 有:
6 e 0=
2k e
(11)
可得:
===
e k e
[5]
同理可得到D-P 准则与等面积圆准则屈服强度比:
33(3-sin )
(12)
可见与赵尚毅等人所得 的表达式完全相同. 但本文提出的等面积屈服表达式较上文提及的要简单得多.
2 M-C 等面积圆屈服准则简化形式的应用
2. 1 M-C 等面积圆屈服准则简化形式的应用方法
第4期戴自航, 等:莫尔-库仑等面积圆屈服准则的简化形式及应用
457
问题进行数值分析. 如可进行边坡稳定、地下洞室和深基坑开挖、挡土与支护等问题的分析与设计. 主要介绍M-C 等面积圆屈服准则简化形式在边坡稳定分析中的应用.
显然, 同样可按文献[5, 6]中介绍的强度折减法进行边坡稳定分析. 但该方法需进行屈服条件的转换, 将实际采用D-P 外接圆屈服准则求得的安全系数通过屈服强度比来转换成M-C 等面积屈服准则下的安全系数, 这样做显得有些繁琐. 实际上, 采用本文简化形式可直接按岩土体强度指标进行折减求取边坡安全系数, 即根据土体实际抗剪强度指标c 、 , 令:
2sin d 3(3-sin d ) 6c d cos d 3(3-sin d )
==
(9-sin ) 6
c cos
(13)
2 (9-sin )
c d
, tan f =F
可编程求出D-P 外接圆准则等效强度指标c d 、 d . 将c d 、 d 按安全系数F 折减, 即c f =
tan d
, 代入有限元程序, 反复进行试算, 直到塑性区刚好完全贯通, 有限元计算达到敛散的临界状态, F
此时所得安全系数即为边坡实际具有的安全系数. 或者, 直接按c d =
c tan , tan d =, 代入有限元程F F
序, 同法可得到不稳定状态时, 对应于D -P 外接圆准则的强度指标c d 、 d , 代入式(13) 可反求出c f 、 f . 再按F ==, 可求出边坡实际具有的安全系数F .
c f tan f
2. 2 应用算例
算例1:为验证所述方法的可靠性, 先引用文献[5](取坡角) 和文献[7], [8]介绍的2简单土坡为例来说明. 已知条件参阅原文献, 由式(13) 可分别求得2例中等效强度指标为c d =34. 761kPa, d =14. 2 及c d =50. 367kPa, d =9. 703 . 不同方法计算所得安全系数的结果比较于表1.
表1 不同方法安全系数计算结果比较
Tab. 1 C omparison of safety factors obtained by different methods
有限元法
算例
文献[5]文献[7]
1. 0891. 388
1. 0851. 383
1. 0621. 365
1. 0641. 367
简化Bishop 法
Morgenstern-Price 法
注: 采用本文方法; 采用文献[5]的方法.
由此可见, 采用本文简化形式直接按岩土体强度指标进行折减所求安全系数与文献[5]介绍的经屈服强度比转换所得安全系数是相当一致的, 其微小差异主要是2种方法计算取位误差所致. 有限单元法与极限平衡法计算结果相对较差分别为2. 3%和1. 5%, 表明2者已具有相同的计算精度. 本文有限元法所求安全系数1. 089与文献[5]所求1. 12的不大差别则主要由于有限单元网格划分方法、疏密程度和计算中取位误差所致. 本文计算结果为采用8节点四边形等参单元, 网格边长取为1m 所得.
算例2:为说明该方法对复合边坡的适用性, 今对文献[9]中例3进行分析. 该边坡为一典型的具有软弱夹层的复合边坡, 地层分3层, 如图4所示, 各层土工参数见表2. 其中, c d 、 d 为按式(13) 转换的等效有效抗剪强度指标, 将它们按相同的系数进行折减, 采用6结点三角形等参数单元对此边坡进行稳定分析, 前后处理主要结果分别见图5-8.
458
表2 各土层土工参数
福州大学学报(自然科学版) 第31卷
Tab. 2 Geotechnical parameters for example 2
土层 (kN m -3) A 1A 2A 3
18. 8218. 8218. 82
c kPa 29. 49. 8
c d kPa 25. 0598. 679
( ) 12540
d ( ) 10. 2694. 43129.
929
图4 某复合边坡横截面Fig. 4 Cross section of a composi te
slope
294. 0201. 707
图5 有限元网格划分Fig. 5 Fini te element
mesh
图6 变形后的网格Fig. 6 Deformed
mesh
图7 水平位移等值云图
Fig. 7 Continuous contour clouds of horizontal
displacements
图8 边坡失稳时塑性区
Fig. 8 Con tour clouds of plastic strain of unstable slope
表3列出了各种方法
[9, 10]
计算所得该边坡的安全系数. 可见, 对此复合边坡, 本文有限元强度折减
法所得安全系数与传统的极限平衡法的相对较差分别为3. 1%和7. 2%.两者所得结果仍是基本一致的, 但较简单边坡而言, 相对误差略大些. 通常可认为, 最危险滑动面在大主应变脊线附近, 由图8可
见, 有限元法所得最危险滑动面与Venanzio 提出的有效Monte Carlo 搜索技术所获得的不谋而合. 最危险滑面在其后缘会上凸, 这是表3中前3种搜索技术不能获得的.
表3 不同方法安全系数计算结果比较
Tab. 3 C omparison of safety factors obtained by different methods
方法F
Conjugate Gradient
0. 405
RST-20. 401
Pattern Search
0. 388
Monte Carlo 0. 388
本法0. 418
3 结语
1) 提出了莫尔-库仑等面积圆屈服准则简化形式. 借助该准则, 在利用一些大型有限元程序时, 不-
第4期戴自航, 等:莫尔-库仑等面积圆屈服准则的简化形式及应用
459
2) 实例表明, 对于简单边坡, 利用有限元程序, 采用等面积圆屈服准则按强度折减法求得的边坡稳定安全系数与传统的建立在刚塑性体假设基础之上的极限平衡法所得结果相当一致. 对于复合边坡, 两者计算的相对较差一般略偏大, 但本文有限元法在最危险滑动面的形状和定位上更为有效、可靠.
3) 计算表明, 岩土体弹性模量和泊松比的不同取值, 对节点位移有显著影响, 但对稳定分析时安全系数的影响不甚敏感, 与Griffiths 等人所得结论一致. 采用有限单元法对边坡进行稳定分析时所得节点位移矢量的大小, 一般并不代表分析时真实的节点位移. 可将计算的节点位移视为失稳前在自重应力作用下, 曾经历的位移历史. 但其精度则与弹性模量及泊松比的取值准确度有关.
4) 莫尔-库仑等面积圆屈服准则简化形式还可应用于地下洞室(如隧道、地铁、井巷) 、深基坑开挖与支护等岩土工程问题的应力、应变及变形分析. 参考文献:
[1] Zienkiewicz O C, Pande G N. Finite elements in geomechanics[A].In:Gudehus G. ASME[C].[s. l. ]:[s. n. ], 1978, 175-190.
[2] 徐干成, 郑颖人. 岩土工程中屈服准则应用的研究[J].岩土工程学报, 1990, 12(2) :93-99. [3] 陈仲颐, 周景星, 王洪瑾. 土力学[M]. 北京:清华大学出版社, 1997.
[4] 朱伯芳. 有限单元法原理与应用[M]. 第二版. 北京:中国水利水电出版社, 1998.
[5] 赵尚毅, 郑颖人. 用有限单元强度折减法求边坡稳定安全系数[J].岩土工程学报, 2002, 24(3) :343-346. [6] Griffi ths D V , Lane P A. Slope stabili ty analysis by finite elements[J]. Geotechnique, 1999, 49(3) :387-403. [7] 戴自航, 沈蒲生. 土坡稳定分析普遍极限平衡法的数值解研究[J].岩土工程学报, 2002, 24(3) :327-331. [8] 戴自航, 沈蒲生. 土坡稳定分析简化Bishop 法的数值解[J].岩土力学, 2002, 23(6) :760-764.
[9] Venanzio R Greco. Efficien t Monte Carlo technique for locating critical slip surface [J]. Journal of Geotechnical Engineering,
1996, 122(7) :517-525.
[10] Arai K, Tagyo K. Determination of noncircular slip surface giving the mini mu m factor of safety in slope stabili ty analysis[J]. Soils
and Foundation, 1985, 25(1) :43-51.
[6]
福建省功能材料工程研究中心简介
福建省功能材料工程研究中心是由国家 211 重点学科物理化学学科下属的福州大学功能材料研究所与相关企业联合承担建设和运行的省级工程研究中心。
目前, 中心研究的新型功能材料具有特色与优势的是信息记录材料、生物与医用材料、纳米传感材料、环保生态材料等, 主要技术成果有 福大赛因 抗癌光敏剂、用于CD-R 光盘的酞菁类记录材料和纳米陶瓷气敏传感材料。中心目前承担的研发项目有国家科技部重点(攻关) 计划项目, 福建省高技术产业化示范工程项目, 福建省科技厅重大科研项目以及与企业联合开发的产业化项目等。
中心按现代企业制度进行管理, 陈耐生教授任董事长, 由福州大学国家 211 重点物理化学学科带头人黄金陵教授任首席科学家, 现有科技人员近四十人, 其中具有高级职称或博士学位的有十余人。中心下设研究所、产业化扩试车间和工业性试生产线, 并已拥有价值数百万元的各类型仪器、设备, 为中心的研发提供了强有力的保证。
(薛金萍)
第31卷第4期2003年8月
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Journal of Fuzhou University(Natural Science)
Vol. 31No. 4Aug. 2003
文章编号:1000-2243(2003) 04-0454-06
莫尔-库仑等面积圆屈服准则的简化形式及应用
戴自航
1, 2
, 沈蒲生
2
(1. 福州大学环境与资源学院, 福建福州 350002; 2. 湖南大学土木工程学院, 湖南长沙 410082) 摘要:在三维应力空间, 采用解析几何的方法, 导出了莫尔-库仑等面积圆屈服准则的简化形式. 介绍了可直接利用现有大型有限元程序在德鲁克-普拉格屈服准则下, 按强度折减原理求解边坡安全系数的方法. 算例表明, 采用简化屈服准则无须修改现有程序, 且对简单边坡, 据此求得的安全系数与传统的极限平衡法所得结果极为相近; 对于复合边坡, 二者求得的安全系数相对较差可能稍大些. 关键词:边坡; 应力空间; 解析几何; 屈服准则; 有限元; 滑动面中图分类号:TU432文献标识码:A
Simplified form and applications of Mohr -Coulomb equivalent
area circle yield criterion
DAI Zi-hang
1, 2
, SHE N Pu-sheng
2
(1. College of Environment and Resources, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350002, China; 2. College of Civil En g ineering, Hunan Universi ty, Changsha, Hunan 410082, China)
Abstract :In 3-D stress space, simplified form of Mohr-C oulomb equivalent area circle yield criterion is derived by adopting analytic geometry method. Directly using the e xisting finite element programs with Drucker-Prager yield criterion to analyze the stability of slopes acc ording to strength reduction principle is presented. Exa mples show there is no need to revise the existing progra ms by using the simplified yield criterion. And for simple slopes, the safety fac tors obtained by FE M are fairly close to the results of c on -ventional limit equilibrium method. For composite slopes, although the difference between the safety fac -tors obtained by the two methods may be a bit larger.
Keyw ords :slope; stress space; analytic geometry; yield criterion; finite element; slip surface
实验和工程实践已证实, 古典的莫尔-库仑(Mohr-Coulomb) 屈服准则(以下简称M-C 准则) 能较好地描述土壤、岩石等材料的破坏行为, 在岩土工程领域得到了广泛的应用, 土力学中边坡稳定、土压力和地基承载力这3大经典问题都直接或间接地借助了这一准则. 然而, 在有限元数值计算中, 直接采用M-C 屈服准则常引起不便, 因而在假定土体或岩体为理想弹塑性体的情况下, 与之近似的德鲁克-普拉格(Drucker-Prager) 屈服准则(以下简称D-P 准则) 被现有许多大型有限元程序, 如ANSYS 、MARC 、NASTRAN 等采用. 但实际计算比较表明, 按照该准则计算与M -C 理论计算结果存在较大误差. 为此, Zienkiewicz-Pande 等人提出了二次型屈服准则去逼近M-C 屈服准则, 但仍不够理想. 徐干成、郑颖人曾提出等面积圆屈服准则
[2]
[1]
, 且用工程实例验证了其良好的逼近效果. 本文用解析几何方
法得到了较之更为简化的屈服准则表达式, 实例计算表明, 其应用也更为方便.
1 M-C 等面积圆屈服表达式
1. 1 M-C 屈服准则及其已有的近似表达式
收稿日期:2002-03-26
作者简介:戴自航(1966-) , 男, 博士, 副教授, 湖南大学在站博士后. (
第4期戴自航, 等:莫尔-库仑等面积圆屈服准则的简化形式及应用
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如图1所示, M-C 屈服面在主应力空间中, 表现为六棱角锥体的表面, 角锥体的顶点在静水应力轴上, 1= 2= 3=c tan , 角锥体的轴与主应力轴成等倾角.
在 - 平面上, M-C 屈服表达式
f =c + n tan
达式:
1- 3=( 1- 3) sin +2c cos
如下:
F ( , r , ) =
式中: =I 13, r =不变量.
式(3) 中, 令 =0及 =60 , 可分别得到受拉子午面和受压子午面上的屈服线, 如图2所示. 若再令 =0, 就可得到图3所示的 平面上的屈服线, 在该平面上分别令 =0及 =60 , 可得:
r c 0=3-sin , r t 0=3+sin
(4)
(2)
图1 M-C 屈服面和D-P 屈服面Fig. 1 M-C yield surface and D-P yield surface
[3]
为:(1)
当 1 2 3时, 上式可写成如下的主应力表
按文献[4], 该屈服准则又可用 、r 、 表示
2 sin +3r sin( + 3) +r cos( + 3) sin -6c cos =0(3)
2J 2, 0 3, I 1、J 2分别为应力张量的第一不变量和应力偏张量的第二
图2 =0及 =60 子午面上M -C 屈服线Fi g.2 Th e yiel d li nes on the meri dional surfaces
of =0an d =60
图3 平面上不同屈服准则对应的屈服线Fig. 3 The different yield curves on the plane
由于M-C 屈服角锥面的角点在数值计算中的困难, 德鲁克-普拉格把Mises 屈服准则加以修改, 提出了如下的屈服准则:
F = I 1+
用 、r 又可表达为:
F =
式中: 、k 为材料常数.
由式(5) 可知, D-P 屈服面是1个正圆锥面, 见图1, 它在平面上的截线是1个圆, 如图3. 式(5a) 或式(5b) 为圆锥屈服面的统一表达式. 德鲁克-普拉格通过在 平面上使屈服圆半径分别等于r c 0和r t 0. :
+r -k =0
(5b)
J 2-k =0
(5a)
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=k =
2sin 3(3 sin ) 3(3 sin )
第31卷
(6)
则可使D-P 圆锥面分别与M-C 六棱角锥面的内顶点(式中取正号) 和外顶点(式中取负号) 重合. 由于采用与外顶点重合的圆锥面过于保守, 而采用与内顶点重合(或采用内切圆) 的圆锥面常偏于不安全. 因此, 徐干成, 郑颖人提出了等面积圆屈服准则, 即在式(5) 中取:
= =k =k =
式中:
=
-A sin +3
22 A sin -4+1 -1933
A =
如此得到的圆锥面的逼近效果优于D-P 准则. 1. 2 M-C 等面积圆屈服准则的简化形式
如图3, 在 平面上按圆面积与不等边六边形面积相等的原则, 有:
2
r e =r c 0r t 0sin 623
于是可得到等面积圆的半径:
r e =
在 2k e =r e , 于是可得:
k e =
在式(3) 中令r =0, 可得 0=
2 (9-sin (9)
6
c cos
2
2
[2]
3cos -sin sin
3cos -sin
sin
2+1
3
2
(7)
63
(8)
(9-sin )
(9)
3c tan , 而由式(5b ) , 有:
6 e 0=
2k e
(11)
可得:
===
e k e
[5]
同理可得到D-P 准则与等面积圆准则屈服强度比:
33(3-sin )
(12)
可见与赵尚毅等人所得 的表达式完全相同. 但本文提出的等面积屈服表达式较上文提及的要简单得多.
2 M-C 等面积圆屈服准则简化形式的应用
2. 1 M-C 等面积圆屈服准则简化形式的应用方法
第4期戴自航, 等:莫尔-库仑等面积圆屈服准则的简化形式及应用
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问题进行数值分析. 如可进行边坡稳定、地下洞室和深基坑开挖、挡土与支护等问题的分析与设计. 主要介绍M-C 等面积圆屈服准则简化形式在边坡稳定分析中的应用.
显然, 同样可按文献[5, 6]中介绍的强度折减法进行边坡稳定分析. 但该方法需进行屈服条件的转换, 将实际采用D-P 外接圆屈服准则求得的安全系数通过屈服强度比来转换成M-C 等面积屈服准则下的安全系数, 这样做显得有些繁琐. 实际上, 采用本文简化形式可直接按岩土体强度指标进行折减求取边坡安全系数, 即根据土体实际抗剪强度指标c 、 , 令:
2sin d 3(3-sin d ) 6c d cos d 3(3-sin d )
==
(9-sin ) 6
c cos
(13)
2 (9-sin )
c d
, tan f =F
可编程求出D-P 外接圆准则等效强度指标c d 、 d . 将c d 、 d 按安全系数F 折减, 即c f =
tan d
, 代入有限元程序, 反复进行试算, 直到塑性区刚好完全贯通, 有限元计算达到敛散的临界状态, F
此时所得安全系数即为边坡实际具有的安全系数. 或者, 直接按c d =
c tan , tan d =, 代入有限元程F F
序, 同法可得到不稳定状态时, 对应于D -P 外接圆准则的强度指标c d 、 d , 代入式(13) 可反求出c f 、 f . 再按F ==, 可求出边坡实际具有的安全系数F .
c f tan f
2. 2 应用算例
算例1:为验证所述方法的可靠性, 先引用文献[5](取坡角) 和文献[7], [8]介绍的2简单土坡为例来说明. 已知条件参阅原文献, 由式(13) 可分别求得2例中等效强度指标为c d =34. 761kPa, d =14. 2 及c d =50. 367kPa, d =9. 703 . 不同方法计算所得安全系数的结果比较于表1.
表1 不同方法安全系数计算结果比较
Tab. 1 C omparison of safety factors obtained by different methods
有限元法
算例
文献[5]文献[7]
1. 0891. 388
1. 0851. 383
1. 0621. 365
1. 0641. 367
简化Bishop 法
Morgenstern-Price 法
注: 采用本文方法; 采用文献[5]的方法.
由此可见, 采用本文简化形式直接按岩土体强度指标进行折减所求安全系数与文献[5]介绍的经屈服强度比转换所得安全系数是相当一致的, 其微小差异主要是2种方法计算取位误差所致. 有限单元法与极限平衡法计算结果相对较差分别为2. 3%和1. 5%, 表明2者已具有相同的计算精度. 本文有限元法所求安全系数1. 089与文献[5]所求1. 12的不大差别则主要由于有限单元网格划分方法、疏密程度和计算中取位误差所致. 本文计算结果为采用8节点四边形等参单元, 网格边长取为1m 所得.
算例2:为说明该方法对复合边坡的适用性, 今对文献[9]中例3进行分析. 该边坡为一典型的具有软弱夹层的复合边坡, 地层分3层, 如图4所示, 各层土工参数见表2. 其中, c d 、 d 为按式(13) 转换的等效有效抗剪强度指标, 将它们按相同的系数进行折减, 采用6结点三角形等参数单元对此边坡进行稳定分析, 前后处理主要结果分别见图5-8.
458
表2 各土层土工参数
福州大学学报(自然科学版) 第31卷
Tab. 2 Geotechnical parameters for example 2
土层 (kN m -3) A 1A 2A 3
18. 8218. 8218. 82
c kPa 29. 49. 8
c d kPa 25. 0598. 679
( ) 12540
d ( ) 10. 2694. 43129.
929
图4 某复合边坡横截面Fig. 4 Cross section of a composi te
slope
294. 0201. 707
图5 有限元网格划分Fig. 5 Fini te element
mesh
图6 变形后的网格Fig. 6 Deformed
mesh
图7 水平位移等值云图
Fig. 7 Continuous contour clouds of horizontal
displacements
图8 边坡失稳时塑性区
Fig. 8 Con tour clouds of plastic strain of unstable slope
表3列出了各种方法
[9, 10]
计算所得该边坡的安全系数. 可见, 对此复合边坡, 本文有限元强度折减
法所得安全系数与传统的极限平衡法的相对较差分别为3. 1%和7. 2%.两者所得结果仍是基本一致的, 但较简单边坡而言, 相对误差略大些. 通常可认为, 最危险滑动面在大主应变脊线附近, 由图8可
见, 有限元法所得最危险滑动面与Venanzio 提出的有效Monte Carlo 搜索技术所获得的不谋而合. 最危险滑面在其后缘会上凸, 这是表3中前3种搜索技术不能获得的.
表3 不同方法安全系数计算结果比较
Tab. 3 C omparison of safety factors obtained by different methods
方法F
Conjugate Gradient
0. 405
RST-20. 401
Pattern Search
0. 388
Monte Carlo 0. 388
本法0. 418
3 结语
1) 提出了莫尔-库仑等面积圆屈服准则简化形式. 借助该准则, 在利用一些大型有限元程序时, 不-
第4期戴自航, 等:莫尔-库仑等面积圆屈服准则的简化形式及应用
459
2) 实例表明, 对于简单边坡, 利用有限元程序, 采用等面积圆屈服准则按强度折减法求得的边坡稳定安全系数与传统的建立在刚塑性体假设基础之上的极限平衡法所得结果相当一致. 对于复合边坡, 两者计算的相对较差一般略偏大, 但本文有限元法在最危险滑动面的形状和定位上更为有效、可靠.
3) 计算表明, 岩土体弹性模量和泊松比的不同取值, 对节点位移有显著影响, 但对稳定分析时安全系数的影响不甚敏感, 与Griffiths 等人所得结论一致. 采用有限单元法对边坡进行稳定分析时所得节点位移矢量的大小, 一般并不代表分析时真实的节点位移. 可将计算的节点位移视为失稳前在自重应力作用下, 曾经历的位移历史. 但其精度则与弹性模量及泊松比的取值准确度有关.
4) 莫尔-库仑等面积圆屈服准则简化形式还可应用于地下洞室(如隧道、地铁、井巷) 、深基坑开挖与支护等岩土工程问题的应力、应变及变形分析. 参考文献:
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[6]
福建省功能材料工程研究中心简介
福建省功能材料工程研究中心是由国家 211 重点学科物理化学学科下属的福州大学功能材料研究所与相关企业联合承担建设和运行的省级工程研究中心。
目前, 中心研究的新型功能材料具有特色与优势的是信息记录材料、生物与医用材料、纳米传感材料、环保生态材料等, 主要技术成果有 福大赛因 抗癌光敏剂、用于CD-R 光盘的酞菁类记录材料和纳米陶瓷气敏传感材料。中心目前承担的研发项目有国家科技部重点(攻关) 计划项目, 福建省高技术产业化示范工程项目, 福建省科技厅重大科研项目以及与企业联合开发的产业化项目等。
中心按现代企业制度进行管理, 陈耐生教授任董事长, 由福州大学国家 211 重点物理化学学科带头人黄金陵教授任首席科学家, 现有科技人员近四十人, 其中具有高级职称或博士学位的有十余人。中心下设研究所、产业化扩试车间和工业性试生产线, 并已拥有价值数百万元的各类型仪器、设备, 为中心的研发提供了强有力的保证。
(薛金萍)