切线与割线斜率关系的深度探析
江苏南通高等师范学校
１
２２６１００
曹军
问题提出
笔者在文［１］得出如下结论：
设Ｙ＝火龙）是定义在开区间（ａ，ｂ）上的可导函
ｈ（ｘ）ｌｎｉ。＞０，此时Ｉ
ｈ（ｘ）Ｉ面。＝ｈ（ｘ）ｍｉ。＝一击Ａ３＋
，解得０＜Ａ＜３石；，解得＜Ａ＜３石；
数，曲线Ｃ：ｙ＝八菇）上任意不同两点的连线（称为割线）斜率的取值区间为Ｐ，曲线Ｃ上任意一点处的切线斜率的取值区间为Ｑ，则Ｑ２Ｐ，而且Ｑ中元素比Ｐ中元素至多多了区间Ｐ的端点值．
并指出，求解ｌ八ｘ。）一以髫：）Ｉ＜Ｉ戈。一菇２Ｉ（或Ｉ八茗１）’一以筇２）Ｉ＞Ｉ菇，一茹２Ｉ）的恒成立问题，可以
４１＞４＋ｒ，由题意Ｊ引
，由题意Ｊ一万１
【＿知３＋４＞０
由（１Ｘ２）得Ａ＜３拍．
下面检验端点Ａ＝３拍是否符合题意：注意到当Ａ＝３√５时，ｌ厂（菇。）一厂（戈：）ｌ＞Ｉ菇。一石：Ｉ
将丛生Ｌ型坠生转化为厂（戈），用导数法来求解，设
再Ｉ一语２
甘警一堕，翻名。ｘｉｘ２
名ｉ戈ｉ
Ｘ
２ＸＬ石３＞等＋
ｊ‘
丑ｌ玉２
导数法求得参数范围为区间Ｄ，但必须检验区间Ｄ的端点值是否符合题意，否则容易出错，并以２００６年四川高考题理２２的变题作了说明，为便于读者阅读，将题目及解答摘录如下：
题（文［１］例３）
ｂｉｎ
或５戈。菇：＋卫二兰＜３万恒成立，由于３戈。戈：＋
苎乇ｊ！兰三＞３戈。戈：＋——车：３戈。茗：＋——害兰＝＋——害兰＝√∞ｔｘ２√。ｃｌｘ２、／｛ｃｌｘ２
７‘
已知函数八菇）＝２ｘ２＋一１＋
≥３万（当且仅当戈。菇：＝譬时等号成立），即３聋。菇：＋
ｘ（ｘ＞０）以石）的导数是厂（石），对于任意的两
ｌ
个不等的正数戈ｌ、茗２，Ｉ厂（龙１）一厂（戈２）Ｉ＞Ｉ菇ｌ＿名２恒成立，求实数Ａ的取值范围．
解
毪兰竺＞３缸成立，所以ｌ厂（算。）一厂（戈：）Ｉ＞Ｉ
菇：Ｉ恒成立，故Ａ＝３万符合题意．
综上，Ａ的取值范围是Ａ≤３籀．（摘录完）
Ｘ１一
设ｇ（ｘ）＝厂（石）＝４ｘ一专＋ｅ，ｇ’（茗）＝
石
＾
反思上述解法，总感觉美中不足，因为在检验Ａ
４＋丢一丢，由题意ｌ丛生Ｌ＿尘丝ｌ＞ｌ，由Ｉｇ，（戈）
再
互
＝３福是否符合题意时却另起炉灶，采用基本不等
式法，检验过程不轻松，而且不容易想到，那么是否有一种融解答与检验为一体的导数解法呢？要回答这个问题，关键得弄清如下实质问题：何时曲线的割线斜率的取值范围等于切线斜率的取值范围，即Ｐ＝Ｑ？何时Ｐ霎Ｑ，且Ｑ比Ｐ多了区间Ｐ的端点值？这些端点值究竟是何值？曲线ｃ上与这些端点值对应点的位置在哪里？本文对这些问题作深度探析，作为文［１］的补充．２结论构建
定理
设Ｙ＝以龙）是定义在连通开区间，（，∈
Ｒ）上的二阶可导函数，其对应曲线ｃ上任意两点的连线（称为割线）斜率的取值集合为Ｐ，曲线Ｃ上任
ｘｌ一戈２
Ｉ＞１得，１４＋了２一毒Ｉ＞ｌ，以上替换茗，则有Ｉ
戈
２菇，
菇
丑
一Ａ戈２＋４
ｌ＞１对任意的戈＞０恒成立．
（１）当Ａ≤０时，显然符合题意；
（２）当Ａ＞０时，令ｈ（ｘ）＝２ｘ３一Ａｘ２＋４（ｘ＞０），显然ｈ（算）的图象经过（０，４），＾’（戈）＝６ｘ２—
２Ａｘ，由＾’ｘ）＜０得ｈ（ｘ）在《０，÷Ａｌ上递减，由
．１ｌ
７（ｚ）＞０得ｈ（ｘ）在ｆ÷Ａ，＋∞）上递增，所以
ｈ（ｘ）“。＝ｈ（÷Ａ）＝一未ｉＡ３＋４．
若ｈ（ｘ）。；。≤０，则Ｉｈ（ｘ）Ｉ。ｉ。＝０，此时ｌ
Ａｘ２＋４
２名３一
意一点处的切线斜率的取值集合为Ｑ，则有：
（１）Ｐ∈Ｑ；
Ｉ＞１对任意的石＞０不能恒成立，故必有
万方数据
（２）当曲线Ｃ不存在拐点时，Ｐ＝Ｑ；
（３）Ｐ军Ｑ的充要条件是曲线ｃ存在这样的拐点，使得平行于该拐点处切线的任意直线与曲线Ｃ至多有一个交点；
（４）在（３）的前提下，设所有这样的拐点处的
切线的斜率组成集合Ｓ，则ｂＰ＝Ｓ．
证明定理前先介绍曲线凸性和拐点有关的两个引理（见文［２］）：
引理ｌ
函数Ｙ＝以戈）在（ａ，６）内二阶可导，则
曲线Ｙ＝八菇）在（口，ｂ）内向上凸（向下凸）的充要条件是：对一切髫Ｅ（ａ，６）有尸（戈）≤０（≥０），而且在（ａ，６）的任何子区间上尸（戈）不恒为零．
引理２
曲线的向上凸与向下凸部分的分界点
称为该陆线的拐点，若函数Ｙ＝火菇）在一个连通开区间，（，∈Ｒ）上二阶可导，则（戈。以‰））为曲线Ｙ＝八菇）拐点的必要条件是尸（菇。）＝０．
下面给出定理的证明：证明
（１）Ｖ石ｌ，戈２∈
Ｃ
，，设茄１＜筇２，由于函数Ｙ＝（名。，戈：）内可导，由拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）中值定理可得，在开区间（菇，，菇：）内至少存在一点亭，使得厂（亭）＝，所以Ｐ∈Ｑ；
菇２一咒１
图ｌ
（２）由于曲线Ｃ不存在
拐点，所以曲线ｃ的凸性是确定的，不妨设是下凸的（如图１），设Ｚ是曲线Ｃ的任意一条切线，则Ｃ必在Ｚ的上方，将直线Ｚ向上平移很小一段距离至直线ｍ位置，则直线ｍ必定与曲线Ｃ交于两个不同的点Ｅ和Ｆ，割线ＥＦ的斜率等于切线Ｚ的斜率，所以Ｑ∈Ｐ，又由（１）知Ｐ∈Ｑ，所以Ｐ＝Ｑ；
（３）一方面，因为曲线Ｃ存在这样的拐点，使得平行于该拐点处切线的任意直线与曲线Ｃ至多有一个交点，所以曲线Ｃ上任意两点的连线的斜率都不等于该拐点处切线的斜率，所以Ｐ辜Ｑ，充分性成立；
另一方面，因为Ｐ辜Ｑ，所以ｊｋ∈Ｑ，但ｋ隹Ｐ，
令曲线在点（粕以‰））处的切线为ｚ，其斜率为ｋ．若
（ｘ。以菇。））不是拐点，则必存在开区间，ｏ∈，，使得戈。∈，０，且曲线在开区间，ｏ上凸性是确定的，由（２）的证明可知，曲线ｃ在开区间厶上必存在某两点的割线斜率等于ｋ，所以ｋ
Ｅ
Ｐ，与ｋ隹Ｐ矛盾，所以
（‰以‰））一定是拐点．又ｋ薯Ｐ，所以曲线ｃ不存
２２
万方数据
在与ｚ平行的割线，也即平行于拐点（茗。以‰））处切线的任意直线与曲线Ｃ至多有一个交点，必要性成立．
（４）由（３）的证明易知结论成立．
由上述定理可知，对于二阶可导曲线Ｃ：ｙ＝“菇）有：①当且仅当曲线Ｃ不存在拐点，或对曲线Ｃ的每一个拐点，都存在平行于该拐点处切线的直线与曲线ｃ至少有两个交点时，Ｐ＝Ｑ；②可导曲线Ｃ：Ｙ＝八菇）的切线斜率的取值区间Ｑ至多比割线斜率的取值区间Ｐ多了区间Ｐ的端点值，这些端点值就是定理的结论（３）条件中的拐点处切线的斜率，即函数在这些拐点处的导数．
对于只有一个拐点的二阶可导函数，定理有如下推论：
推论
设ｙ＝以戈）是定义在连通开区间１（ｔ∈
Ｒ）上的二阶可导函数，其对应曲线Ｃ上任意两点的连线（称为割线）斜率的取值集合为Ｐ，曲线Ｃ上任
意一点处的切线斜率的取值集合为Ｑ，当曲线ｃ只
有一个拐点Ａ（‰以龙。））时，必有Ｐ拿Ｑ，而且ｋＰ：
｛．尸（‰）｝．
证明
根据定理的
论（３），只需证明斜率为ｋ厂（髫。）的任意直线与曲线至多有一个交点即可．设率为ｋ＝ｆ（ｘ。）的任意一
直线为ｇ（菇）＝ｋ戈＋ｂ，－ＦＮ图２，
考察方程“石）一ｇ（石）＝０在区间，上的解的个数．
令矗（菇）＝以菇）一ｇ（名）＝以茹）一缸一ｂ，贝０＾’（石）＝厂（名）一ｋ＝厂（菇）一厂（石。），因为曲线Ｃ只有一个拐点Ａ（戈。’，（ｘ。）），所以在
Ａ（ｘ。以粕））的两侧曲线ｃ的凸性相反，不妨设左侧
上凸，右侧下凸（如图２）．
则当菇＜菇。时／（石）＜０，所以厂（ｚ）递减，ｈ’（菇）＝厂（菇）一厂（茗ｏ）＞０；
则当ｚ＞‰时，（龙）＞０，所以ｙ（ｘ）递增，＾’（戈）＝厂（髫）一厂（菇ｏ）＞０；
所以ｈ（ｘ）在区间，上递增，所以方程八髫）一ｇ（ｘ）＝０至多一解，即直线ｇ（茗）＝ｋｘ＋ｂ与曲线Ｃ的交点至多一个，根据定理的结论（３）（４），推论得证．
定理及其推论从本质上反应了二阶可导曲线的切线斜率与割线斜率之间的具体关系，提供了借助切线斜率范围求解割线斜率范围的一种全新的导数解法，看下面的例子：
以茁）在［菇。，省：］连续，在以戈：）一八石。）
切线与割线斜率关系的深度探析
江苏南通高等师范学校
１
２２６１００
曹军
问题提出
笔者在文［１］得出如下结论：
设Ｙ＝火龙）是定义在开区间（ａ，ｂ）上的可导函
ｈ（ｘ）ｌｎｉ。＞０，此时Ｉ
ｈ（ｘ）Ｉ面。＝ｈ（ｘ）ｍｉ。＝一击Ａ３＋
，解得０＜Ａ＜３石；，解得＜Ａ＜３石；
数，曲线Ｃ：ｙ＝八菇）上任意不同两点的连线（称为割线）斜率的取值区间为Ｐ，曲线Ｃ上任意一点处的切线斜率的取值区间为Ｑ，则Ｑ２Ｐ，而且Ｑ中元素比Ｐ中元素至多多了区间Ｐ的端点值．
并指出，求解ｌ八ｘ。）一以髫：）Ｉ＜Ｉ戈。一菇２Ｉ（或Ｉ八茗１）’一以筇２）Ｉ＞Ｉ菇，一茹２Ｉ）的恒成立问题，可以
４１＞４＋ｒ，由题意Ｊ引
，由题意Ｊ一万１
【＿知３＋４＞０
由（１Ｘ２）得Ａ＜３拍．
下面检验端点Ａ＝３拍是否符合题意：注意到当Ａ＝３√５时，ｌ厂（菇。）一厂（戈：）ｌ＞Ｉ菇。一石：Ｉ
将丛生Ｌ型坠生转化为厂（戈），用导数法来求解，设
再Ｉ一语２
甘警一堕，翻名。ｘｉｘ２
名ｉ戈ｉ
Ｘ
２ＸＬ石３＞等＋
ｊ‘
丑ｌ玉２
导数法求得参数范围为区间Ｄ，但必须检验区间Ｄ的端点值是否符合题意，否则容易出错，并以２００６年四川高考题理２２的变题作了说明，为便于读者阅读，将题目及解答摘录如下：
题（文［１］例３）
ｂｉｎ
或５戈。菇：＋卫二兰＜３万恒成立，由于３戈。戈：＋
苎乇ｊ！兰三＞３戈。戈：＋——车：３戈。茗：＋——害兰＝＋——害兰＝√∞ｔｘ２√。ｃｌｘ２、／｛ｃｌｘ２
７‘
已知函数八菇）＝２ｘ２＋一１＋
≥３万（当且仅当戈。菇：＝譬时等号成立），即３聋。菇：＋
ｘ（ｘ＞０）以石）的导数是厂（石），对于任意的两
ｌ
个不等的正数戈ｌ、茗２，Ｉ厂（龙１）一厂（戈２）Ｉ＞Ｉ菇ｌ＿名２恒成立，求实数Ａ的取值范围．
解
毪兰竺＞３缸成立，所以ｌ厂（算。）一厂（戈：）Ｉ＞Ｉ
菇：Ｉ恒成立，故Ａ＝３万符合题意．
综上，Ａ的取值范围是Ａ≤３籀．（摘录完）
Ｘ１一
设ｇ（ｘ）＝厂（石）＝４ｘ一专＋ｅ，ｇ’（茗）＝
石
＾
反思上述解法，总感觉美中不足，因为在检验Ａ
４＋丢一丢，由题意ｌ丛生Ｌ＿尘丝ｌ＞ｌ，由Ｉｇ，（戈）
再
互
＝３福是否符合题意时却另起炉灶，采用基本不等
式法，检验过程不轻松，而且不容易想到，那么是否有一种融解答与检验为一体的导数解法呢？要回答这个问题，关键得弄清如下实质问题：何时曲线的割线斜率的取值范围等于切线斜率的取值范围，即Ｐ＝Ｑ？何时Ｐ霎Ｑ，且Ｑ比Ｐ多了区间Ｐ的端点值？这些端点值究竟是何值？曲线ｃ上与这些端点值对应点的位置在哪里？本文对这些问题作深度探析，作为文［１］的补充．２结论构建
定理
设Ｙ＝以龙）是定义在连通开区间，（，∈
Ｒ）上的二阶可导函数，其对应曲线ｃ上任意两点的连线（称为割线）斜率的取值集合为Ｐ，曲线Ｃ上任
ｘｌ一戈２
Ｉ＞１得，１４＋了２一毒Ｉ＞ｌ，以上替换茗，则有Ｉ
戈
２菇，
菇
丑
一Ａ戈２＋４
ｌ＞１对任意的戈＞０恒成立．
（１）当Ａ≤０时，显然符合题意；
（２）当Ａ＞０时，令ｈ（ｘ）＝２ｘ３一Ａｘ２＋４（ｘ＞０），显然ｈ（算）的图象经过（０，４），＾’（戈）＝６ｘ２—
２Ａｘ，由＾’ｘ）＜０得ｈ（ｘ）在《０，÷Ａｌ上递减，由
．１ｌ
７（ｚ）＞０得ｈ（ｘ）在ｆ÷Ａ，＋∞）上递增，所以
ｈ（ｘ）“。＝ｈ（÷Ａ）＝一未ｉＡ３＋４．
若ｈ（ｘ）。；。≤０，则Ｉｈ（ｘ）Ｉ。ｉ。＝０，此时ｌ
Ａｘ２＋４
２名３一
意一点处的切线斜率的取值集合为Ｑ，则有：
（１）Ｐ∈Ｑ；
Ｉ＞１对任意的石＞０不能恒成立，故必有
万方数据
（２）当曲线Ｃ不存在拐点时，Ｐ＝Ｑ；
（３）Ｐ军Ｑ的充要条件是曲线ｃ存在这样的拐点，使得平行于该拐点处切线的任意直线与曲线Ｃ至多有一个交点；
（４）在（３）的前提下，设所有这样的拐点处的
切线的斜率组成集合Ｓ，则ｂＰ＝Ｓ．
证明定理前先介绍曲线凸性和拐点有关的两个引理（见文［２］）：
引理ｌ
函数Ｙ＝以戈）在（ａ，６）内二阶可导，则
曲线Ｙ＝八菇）在（口，ｂ）内向上凸（向下凸）的充要条件是：对一切髫Ｅ（ａ，６）有尸（戈）≤０（≥０），而且在（ａ，６）的任何子区间上尸（戈）不恒为零．
引理２
曲线的向上凸与向下凸部分的分界点
称为该陆线的拐点，若函数Ｙ＝火菇）在一个连通开区间，（，∈Ｒ）上二阶可导，则（戈。以‰））为曲线Ｙ＝八菇）拐点的必要条件是尸（菇。）＝０．
下面给出定理的证明：证明
（１）Ｖ石ｌ，戈２∈
Ｃ
，，设茄１＜筇２，由于函数Ｙ＝（名。，戈：）内可导，由拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）中值定理可得，在开区间（菇，，菇：）内至少存在一点亭，使得厂（亭）＝，所以Ｐ∈Ｑ；
菇２一咒１
图ｌ
（２）由于曲线Ｃ不存在
拐点，所以曲线ｃ的凸性是确定的，不妨设是下凸的（如图１），设Ｚ是曲线Ｃ的任意一条切线，则Ｃ必在Ｚ的上方，将直线Ｚ向上平移很小一段距离至直线ｍ位置，则直线ｍ必定与曲线Ｃ交于两个不同的点Ｅ和Ｆ，割线ＥＦ的斜率等于切线Ｚ的斜率，所以Ｑ∈Ｐ，又由（１）知Ｐ∈Ｑ，所以Ｐ＝Ｑ；
（３）一方面，因为曲线Ｃ存在这样的拐点，使得平行于该拐点处切线的任意直线与曲线Ｃ至多有一个交点，所以曲线Ｃ上任意两点的连线的斜率都不等于该拐点处切线的斜率，所以Ｐ辜Ｑ，充分性成立；
另一方面，因为Ｐ辜Ｑ，所以ｊｋ∈Ｑ，但ｋ隹Ｐ，
令曲线在点（粕以‰））处的切线为ｚ，其斜率为ｋ．若
（ｘ。以菇。））不是拐点，则必存在开区间，ｏ∈，，使得戈。∈，０，且曲线在开区间，ｏ上凸性是确定的，由（２）的证明可知，曲线ｃ在开区间厶上必存在某两点的割线斜率等于ｋ，所以ｋ
Ｅ
Ｐ，与ｋ隹Ｐ矛盾，所以
（‰以‰））一定是拐点．又ｋ薯Ｐ，所以曲线ｃ不存
２２
万方数据
在与ｚ平行的割线，也即平行于拐点（茗。以‰））处切线的任意直线与曲线Ｃ至多有一个交点，必要性成立．
（４）由（３）的证明易知结论成立．
由上述定理可知，对于二阶可导曲线Ｃ：ｙ＝“菇）有：①当且仅当曲线Ｃ不存在拐点，或对曲线Ｃ的每一个拐点，都存在平行于该拐点处切线的直线与曲线ｃ至少有两个交点时，Ｐ＝Ｑ；②可导曲线Ｃ：Ｙ＝八菇）的切线斜率的取值区间Ｑ至多比割线斜率的取值区间Ｐ多了区间Ｐ的端点值，这些端点值就是定理的结论（３）条件中的拐点处切线的斜率，即函数在这些拐点处的导数．
对于只有一个拐点的二阶可导函数，定理有如下推论：
推论
设ｙ＝以戈）是定义在连通开区间１（ｔ∈
Ｒ）上的二阶可导函数，其对应曲线Ｃ上任意两点的连线（称为割线）斜率的取值集合为Ｐ，曲线Ｃ上任
意一点处的切线斜率的取值集合为Ｑ，当曲线ｃ只
有一个拐点Ａ（‰以龙。））时，必有Ｐ拿Ｑ，而且ｋＰ：
｛．尸（‰）｝．
证明
根据定理的
论（３），只需证明斜率为ｋ厂（髫。）的任意直线与曲线至多有一个交点即可．设率为ｋ＝ｆ（ｘ。）的任意一
直线为ｇ（菇）＝ｋ戈＋ｂ，－ＦＮ图２，
考察方程“石）一ｇ（石）＝０在区间，上的解的个数．
令矗（菇）＝以菇）一ｇ（名）＝以茹）一缸一ｂ，贝０＾’（石）＝厂（名）一ｋ＝厂（菇）一厂（石。），因为曲线Ｃ只有一个拐点Ａ（戈。’，（ｘ。）），所以在
Ａ（ｘ。以粕））的两侧曲线ｃ的凸性相反，不妨设左侧
上凸，右侧下凸（如图２）．
则当菇＜菇。时／（石）＜０，所以厂（ｚ）递减，ｈ’（菇）＝厂（菇）一厂（茗ｏ）＞０；
则当ｚ＞‰时，（龙）＞０，所以ｙ（ｘ）递增，＾’（戈）＝厂（髫）一厂（菇ｏ）＞０；
所以ｈ（ｘ）在区间，上递增，所以方程八髫）一ｇ（ｘ）＝０至多一解，即直线ｇ（茗）＝ｋｘ＋ｂ与曲线Ｃ的交点至多一个，根据定理的结论（３）（４），推论得证．
定理及其推论从本质上反应了二阶可导曲线的切线斜率与割线斜率之间的具体关系，提供了借助切线斜率范围求解割线斜率范围的一种全新的导数解法，看下面的例子：
以茁）在［菇。，省：］连续，在以戈：）一八石。）