十、平面直角坐标系与一次函数；10.1平面直角坐标系；1.有序实数对；有顺序的两个数
a
、
b
组成的数对叫做有序数对，
记作；2、平面直角坐标系的含义及有关概念；
（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组；3、平面直角坐标系的意义；（1）建立平面直角坐标系后，平面上的任意一点都可；（3）可灵活运用多种方式确定点的位置，并在同一坐；4.点的坐标的概念；如图2，
十、平面直角坐标系与一次函数
10.1平面直角坐标系
1.有序实数对
有顺序的两个数a、b组成的数对叫做有序数对，记作（a,b）.注意（a,b）中的a,b的顺序不能改变。
2、平面直角坐标系的含义及有关概念
（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，平面直角坐标系也简称直角坐标系。通常，两条数轴分别位于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫X轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，X轴和y轴统称坐标轴，两条数轴的交点O称为直角坐标系的原点。 （2）如图1，对于平面内任意一点P，过点P分别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X轴、Y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序实数对（a,b）叫做点P的坐标。
3、平面直角坐标系的意义
（1）建立平面直角坐标系后，平面上的任意一点都可以用一对有序实数对（即坐标）来表示，且任一有序实数对都表示平面内唯一确定 的点，所以点的坐标是属性结合的桥梁，为解决几何、代数问题提供了便利，且直角坐标内的点与有序实数对是一一对应的关系。 （2）建立直角坐标系后，可以由点的坐标确定点的位置，也可由点的位置写出点的坐标，由已知点的位置求出未知点的位置。
（3）可灵活运用多种方式确定点的位置，并在同一坐标系中，感受图形变化后点的坐标的变化和坐标变化后的变化。
4.点的坐标的概念
如图2，点A是平面直角坐标系内的一点，由点A向x轴做垂线，垂足在x轴上的坐标是2，在Y轴上的坐标是-4，合起来A的坐标记作（2，-4）。横坐标写在前面。类似地，点B的坐标为（-2，0），点C的坐标是（0，4）。
5.由点的坐标描述
设点P的坐标为（a,b）,在平面直角坐标系中描出这个点的方法是：先在X轴上找到坐标是a的点A，在y轴上找到坐标是b的点b，在分别从点A，点B作X轴，Y轴的垂线，两垂线的交点就是所要描出的点P。（如图3）
6.坐标平面图
坐标平面是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分成六个区域：x轴上，y轴上，第一象限中，第二象限中，第三象限中，第四象限中。在这六个区域中，除X轴和y轴的一个公共点（原点）之外，其它区域之间都没有公共点。 如图4，点A在第一象限，点B在第二象限，点C在第三象限，点D在第四象限，点E在x轴上，点F在y轴上，点O为原点。
坐标平面内的点P（a,b）的坐标特征：
7.两坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征
（1） 第一、第三象限两坐标轴夹角平分线上的点的横、纵坐标相等，一般记作（a,a）; （2） 第二、第四象限两坐标轴夹角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数，一般记作
（a,-a）.
8.与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特点
（1）与X轴平行的直线上各点的纵坐标都相等； （2）与Y轴平行的直线上各点的横坐标都相等。
若A(a1,b1),B(a2,b2)在平行于X轴的直线上，则a1?a2,b1?b2； 在平行于Y轴的直线上，则a1?a2,b1?b2。
9.两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特点
若点P（a,b）在第一、三象限夹角的平分线上，则y=x. 若点P（a,b）在第二、四象限夹角的平分线上，则y=-x.
10.坐标平面内的点到X轴、y轴及到原点的距离及任意两点间距离
（1）点P（a,b）到x轴的距离为|b|,到Y轴的距离为|a|. （2）点P（a,b
（3）平面内任意两点P1(a1,b1),P2(a2,b
2)的距离为：P1P2?
。
11.易错点
（1）不能确定点所在的象限
例题1：点A（x,y）的坐标满足xy>0,试确定点A所在的象限。 错解：因为xy>0,所以x>0,y>0,所以点A在第一象限。
错解分析：本题出错的原因在于漏掉了当x0的情况，此时点A在第三象限。 正解：因为xy>0,所以x、y同号，即x>0,y>0或x0,y>0时，点A在第一象限；当x
例题2：求点A（-3，-4）到坐标轴的距离。
错解：点A（-3，-4）到X轴的距离为3，到Y轴的距离为4. 错解分析：错误的原因是误以为点A(X,Y)到x轴的距离等于|x|,到Y轴的距离等于|y|,事实上，点A(X,Y)到x轴的距离等于|y|,到Y轴的距离等于|x|.不熟悉时，可结合图形进行分析。 正解：点A（-3，-4）到X轴的距离为4，到Y轴的距离为3.
12．图形上点的坐标变化与图形的平移、轴对称、伸长、压缩之间的关系
设A（a,b）为原图案上任一点，经某种变换后，得到新图案上一对应点A(a,b)。
（1） 设n为大于或等于1的正整数，点A（a,b）为某一图案上任一点。
'
①若纵坐标保持不变，横坐标变成原来的n倍。即点A（a,bA(na,b)，所得图案与原图案相比，被横向拉长为原来的n倍。 ②若纵坐标保持不变，横坐标变成原来的与原图案相比，被横向拉长为原来的③类似地，若A（a,b）④若A（a,b⑤若A（a,b）
'
'''
an
倍。即点A（a,b）A(na,b)，所得图案
'
1n
。
A(a,nb)，则所得图案被纵向拉长为原来的n倍。
bn
)，则所得图案被纵向拉长为原来的
'
'
(a'
1n
。
(na,nb)或A(a,b)?A(,)，则所得图案被纵向拉长为原来的
nn
ab
n倍或原来的
2
1n
2
.
'
（2）若A?a,b??A(a?n,b),则所得图案与原图案相比，大小、形状不变，图案向右或向左平移了n个长度单位。
（3）若A?a,b??A(a,b?n),则所得图案与原图案相比，大小、形状不变，图案向上或
'
向下平移了n个长度单位。
（4）若A(a,b)?A'(a,?b)，则所得图案与原来图案关于x轴对称。 （5）若A(a,b)?A'(?a,b)，则所得图案与原来图案关于y轴对称。
（6）A(a,b)?A'(?a,?b)，则所得图案与原来图案关于原点O成中心对称图形。
13.在同一直角坐标系中，图形的变化与坐标变化的关系
（1）图形的平移
①横坐标保持不变，纵坐标分别加上3，图形保持形状、大小不变，被向上平移了3个单位；
②纵坐标保持不变，横坐标分别加上3，图形保持形状、大小不变，被向右平移了3个单位。
（2）图形的轴对称
①横坐标保持不变，纵坐标分别乘以-1，所得图形与原图形关于X轴对称； ②纵坐标保持不变，横坐标分别乘以-1，所得图形与原图形关于y轴对称； ③横坐标分别乘以-1，纵坐标分别乘以-1，所得图形与原图形关于原点对称。 （3）图形的伸长
横坐标、纵坐标分别变成原来的3倍，所得图形与原图形相似，形状不变，大小改变了（变为原来的9倍）。 （4）图形的压缩
横坐标、纵坐标分别变成原来的1/3，所得图形与原图形相似，形状不变，大小改变了（变为原来的1/9）。
（5）常见的对称关系
（1）点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A1（a,-b）; （2）点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A2（-a,b）; （3）点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A3（-a,-b）;
（4）点A（a,b）关于第一、第三象限的平分线对称的点的坐标为A4（b,a）; （5）点A（a,b）关于第二、第四象限的平分线对称的点的坐标为A5（-b,-a）. 识记点：点的坐标变化与图形的变化（平移、轴对称、伸长、压缩）之间的关系
注意点：点的变化与图形的变化是一个互逆的过程，即点的变化可引起图形的变化；反之，由图形的变化可反映点的坐标变化。
易错点：易混淆点的坐标变化与图形变化间的对应关系。
技巧点：图形的变化及点的坐标变化应有机地结合在一起，要善于观察图形的位置变化。在研究两者变化关系时，可选取代表点研究它们位置关系的变化及坐标的变化，从而分析、总结出图形及坐标的变化特征。
例题：平面直角坐标系中，有一点A的坐标为（5,4）,能否经过适当的变化，使其坐标变成（3，2）呢？
解：能，先将点A沿着纵轴方向向下平移2个单位得点A1（5，2），在将A1沿着横轴方向向左平移2个单位即得点B（3，2）。 思考：想一想还有其他方法吗？
10.2 函数与一次函数
1.函数的概念
一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和Y，如果在x的允许范围内给定一个x值，相应地就唯一确定了一个Y值，称x是自变量，y是因变量，y是x的函数。如汽车的速度一定，路程s是时间t的函数。
例题:下列变化过程得出的函数关系式是否正确，如果错误，请写出正确的结果；如果正确，请写出式子中的自变量和因变量。
（1）设一长方体盒子高为8cm，底面是正方形，这个长方形的体积V?cm3?与底面边长a（cm）的关系式为V=8a3;
（2）小军计划用20元购买练习本，所能购买的总数n(本)与单价a(元)的关系式为n=20/a; （3）小茜用总长为60cm的铁丝围成一个矩形，矩形的面积S（cm2）与一边长l(cm)之间的关系式为s=l(60-l). 解：（1）正确，a是自变量，V是因变量； （2） 正确，a是自变量，n是因变量； （3） 错误，应为S=l(30-l).
2.对函数定义的理解
（1）在一个变化过程中必须有两个变量x和y，如x+y=3,x-y=5,xy=4,y=5x+6等。
（2）对于自变量x的取值，必须要使代数式有意义，如y=2x+1中自变量可以从实数范围内
取值：y?2x?1?0，另外，在实际问题中，自变量x的取值必须有实际的意义，如多边形边数、人数、机器数……要为正数，时间要为非负数等。 （3）函数的实质是揭示了两个变量之间的关系：x每取一个值，Y要有一个且只有一个值与之对应，否则y就不是x
的函数，如y?
y就不一定是x的函数，因
为在x
函数；在如y?x?0),当x=4时，y??2，此时y有两个值与x对应，所以y就不是x的函数。
（4）判断两个函数是不是同一个函数，应该以自变量的取值范围，函数y的取值范围，函数解析式是否一致来判断。如①y=x和②y?等于0的实数，所以y=x与y?
x
2
x
2
x
，其中①的x可以取任意实数，②中x取不
x
不是同一个函数。
3.函数值
对于一个函数，当自变量x=a时，我们可以求出与它对应的y的值，我们就说这个值是当x=a时的函数值。
注意：对于一个函数，可能有若干个函数值，x取不同的值，函数值可能不相同，因此应该说明自变量x取什么值时，如函数y=x-3，当x=0时的函数值-3；x=3时的函数值为0……，所以不能简单地说函数Y=X-3的函数值是3.
4．函数图像
把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有的点组成的图形叫做该函数的图像。反之，函数图像上所有点的横坐标、纵坐标作为自变量、因变量满足函数表达式。作函数图像的一般步骤：列表、描点、连线。
5、表示一个函数的方法及其优缺点 （1
）解析法；两个变量之间的函数关系，有时可以用一个含有这两个；把自变量
x
的一系列值和函数值
y
列成一个表来表示函；用图像来表示函数关系的方法叫做图像法；6．由函数解析式画出图像的一般步骤；（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描的点；注意：列表时自变量的取值要
（1）解析法
两个变量之间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数学运算符号的等式表示，这种表示方法叫做解析法。解析法简单明了，能准确反映整个变化过程中自变量与函数的相依关系，但求对应值时，往往要经过复杂的计算，且不够直观。 （2）列表法
把自变量x的一系列值和函数值y列成一个表来表示函数关系，这种表示方法叫做列表法。如平方表、立方表等。列表法一目了然，表格中已有的自变量的每一个值，不需计算就能直接查出与它对应的函数值，使用很方便，但是因为列出的对应值有限，所以不容易看出变量与函数之间的对应规律。 （3）图像法
用图像来表示函数关系的方法叫做图像法。图像法形象直观，通过函数图像可以直接、形象地把函数关系表示出来，能很直观地研究函数的一些性质。但是，由于图像只能得到近似的数量关系，所以不够精确。
6．由函数解析式画出图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值。
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点。
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连接起来。 注意：列表 时自变量的取值要注意兼顾原则，既要有代表性，又不能过大或过小，以利于描点和全面反映图像情况。
7.一次函数和正比例函数的定义
x2
等都是一次函数。特别地，当一次函数y=kx+b中的b为0时，则y=kx（k是常数，k?0），
1
这时，y叫做x的正比例函数。如：y=2x,y?x等都是正比例函数。
2
一般地，如果y=kx+b(k,b是常数，k?0),那么y叫做x的一次函数。如：y=2x-1,y?
1
注意：
（1）由一次函数和正比例函数的定义可知：
函数是一次函数?其解析式可化为y=kx+b(k,b是常数，k?0)的形式。 函数是正比例函数?其解析式可化为y=kx（k是常数，k?0）的形式。 （2）一次函数解析式y=kx+b(k,b是常数，k?0)的结构特征： ①k?0；
②x的次数为1；
③常数项b可以是任意实数。
（3）正比例函数解析式y= kx（k是常数，k?0）的结构特征： ①k?0；
②x的次数为1； ③常数项b=0.
说明：因为若K=0,则y=b（b为常数）。这样的函数叫做常量函数，它不是一次函数。 （4）自变量x的取值范围：x?R。
8.一次函数与正比例函数的关系
正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数。用集合表示正比例函数与一次函数的关系如图所示。 一次函数
?b?0时，是特殊的一次函数（正比例函数）
y?kx?b(k?0)?
b?0时，是一般的一次函数?
注意点：求一次函数的解析式与自变量的取值范围时，容易忽视k?0和实际问题的限制。 易错点：认真分析实际问题，找出规律，寻求解题思路。 技巧点：设法找出两个变量的关系，注意条件的合理运用。
例题：当K为何值时，函数y?(k2?2k)*xk错解：要使函数y?(k2?2k)*xk
k1?1,k2??2.
2
2
?k?1
是正比例函数？
?k?1
是正比例函数，只要k2?k?1?1，解这个方程，得
2
所以当k1?1或-2时，函数y?(k2?2k)*xk
2
?k?1
是正比例函数。
2
?k?k?1?1①
正解：要是函数y?(k2?2k)*xk?k?1是正比例函数，必须?2
?k?2k?0②
2
由①得k1?1,k2??2.带入②中检验：当k=1时，k2?2k?3?0，当K=-2时，k?2k?0， 应舍去。
2k?当k=1时，函数y?(k?2k)*x
2
?k?1
是正比例函数。
错解分析：错解忽视了k2?2k?0这一条件，k=-2应舍去。
10．3一次函数的图像与表达式
1.正比例函数的图像
正比例函数的图像是一条经过原点（0，0）的直线。
特点：正比例函数的图像是一条经过原点的直线，当K>0时，y随x的增大而增大；当k
例题：在同一坐标系中，画出函数y=2x，y=-2x的图像。 解：因为函数y=2x,y=-2x都是正比例函数，所以他们的图像都是直线，故可用两点确定一条直线的方法画这两个函数的图像。画函数y=2x的图像，取（0，0）、（1，2）较简单。画函数y=-2x的图像，取（0，0）、（1，-2）较简便。
2、一次函数的图像
（1）把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图像。
（2）一次函数y=kx+b的图像是一条直线，因此画一次函数的图像时，只要确定两个点，就可画出一次函数y=kx+b的图像，称直线y=kx+b。
3.一次函数的性质
在一次函数y=kx+b中，
（1） 当K>0时，y的值随着x值的增大而增大；
（2） 当k
例题：某校办工厂现在年产值是15万元，计划今后每年增加2万元。 ① 写出年产值y（万元）与年数x之间的函数关系式； ② 画出函数的图像； ③ 求5年后的产值。 解：①y=15+2x（x>0）;
（3）当x=5时，y=15+2x=25.
4.做函数图像的一般步骤
（1）列表：在自变量允许的范围内任意取x的值，计算出相应的y的值；
（2）描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点；
（3）连线：将所描出的点用一条光滑的曲线连接起来。 易错点和易忽视点：
确定实际问题和几何问题中的一次函数自变量的取值范围时，往往把实际问题忽略，使自变量的取值范围变大或变小。
例题：一矩形的周长为10厘米，长为x厘米，宽为y厘米，把矩形的宽表示为长的函数，并画出它的图像。 错解：因为矩形的周长是10厘米，所以它的半周长为5厘米，所以y=5-x.
取x=0得y=5;取x=5得y=0。经过点A（0，5）与点B（5，0）的直线就是所求的图像，如右图。
正解：矩形的宽与长之间的函数关系式为： Y=5-x(0
取x=0得y=5;取x=5得y=0。描出点A（0，5）与点B（5，0），连接AB，并出去
A、B两点，则所得的图像就是所求的图像，如右图。
技巧点：
熟记作法的步骤，从实际中得出的函数表达式一定要注意自变量的取值范围，灵活作图，并利用图像上的特征点解题。
例题：已知函数y=(2m-1)x+1-3m,当m为何值时，（1）这个函数为正比例函数；
（2）这个函数为一次函数；（3）函数值y随着x的增大而减小；（4）这个函数图像与直线y=x+1的交点在x轴上。 解析：形如y=kx+b的函数解析式，当k?0且b=0时为正比例函数；当k?0时为一次函数；当k
所以可设交点为（x0，0）。那么交点（x0，0）适合这两个函数解析式。 解：（1）若y=(2m-1)x+1-3m是正比例函数， 则m应满足?
?2m?1?0?1?3m?0
解得m=1/3,当m=1/3时，这个函数是正比例函数；
12
（2）当2m?1?0时，即m?时，这个函数为一次函数；
（3）根据一次函数的性质可知当2m?1?0，即m
（4）方法一：设函数y=(2m-1)x+1-3m的图像与直线y=x+1的交点为（x0，0），
?x0??1
??2m?1?x0?1?3m=0?则得?解得?2 所以当m=2/5时，两个函数图像的交点在x x0?1?0??m?
5?
轴上。
方法二：先求出直线y=x+1与x轴的交点（x0，0），再将（x0，0）带入y=(2m-1)x+1-3m，解方程即可求出m的值。令y=0,由y=x+1得x=-1. 所以直线y=x+1与x轴的交点为（-1，0）。
把（-1，0）带入y=(2m-1)x+1-3m，得y=(2m-1)（-1）+1-3m=0.解得m=2/5，即当m=2/5时，函数y=(2m-1)x+1-3m的图像与直线y=x+1的交点在x轴上。
5.确定正比例函数与一次函数的表达式应具备的条件
（1）由于正比例函数y=kx（k?0）中只有一个待定系数K，故只要一个条件[如一对（x,y）的值或一个点]，就可求得k的值。
（2）一次函数y=kx+b中有两个待定系数k,b，需要两个独立的条件确定两个关于k,b的方程，求得k，b的值。这两个条件通常是两个点，或两对（x,y）的值。 例题：已知如右图，一次函数y=kx+b的图像过点A（3，0）且与坐标轴围成的三角形的面积为6，求这个一次函数的解析式。
解：在表示三角形的面积时，用的是长度，不要忽视b取绝对值，否则会丢掉一个解。
令x=0,得y=b,所以一次函数与y轴的交点是（0，b）.
因为一次函数的图像与坐标轴围成的三角形的面积是6，所以
12
*3*|b|?6,解得b??4,
所以一次函数与Y轴的交点为（0，-4）或（0，-4）.将交点的坐标带入解析式得 4?
?3k1?b?0,?3k2?b?0,?k1??
解得?3??
b?4,b?4,???b?4,
?
4?
,?k2?,
3 ?
?b??4?
所以这个一次函数的解析式为y??
43
x?4或y?
43
x?4.
6.正比例函数与一次函数表达式的确定方法
（1）对于正比例函数：将一个已知点的纵、横坐标带入y=kx(k?0)中，解一元一次方程，求出K,从而确定此表达式。
（2）对于一次函数，将两个已知点的横、纵坐标分别带入y=kx+b((k?0))中，建立关于K,b的二元一次方程组，求出k、b的值，从而确定表达式。
7、用待定系数法求一次函数的解析式
（1）待定系数法：先设待求函数表达式（其中含有未知常数系数），在根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。
（2）用待定系数法求一次函数的解析式：先设出一次函数的关系式y=kx+b(k?0)，由于它有两个待定系数，需要用两个条件建立两个方程的方程组，借以求得k,b的值。
（3）用待定系数法求函数表达式的一般步骤为：①设出函数的一般形式；②把自变量与函数的对应值代入所设式子中，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，并写出函数表达式。
8.函数与方程、函数与不等式之间的联系
（1）直线y=kx+b(k?0)与x轴交点的横坐标，是一元二次方程kx+b=0的解。求直线y=kx+b与x轴的交点，可令y=0,得到方程kx+b=0，解方程得x??
bk,?bk
就是直线y=kx+b与x轴
交点的横坐标；反之，根据函数的图像也能求出对应的一元一次方程的解。
（2）使一次函数y=kx+b(k?0)的函数值y>0（或y0（或kx+b
9.能由两个条件求出一次函数的表达式，并解决有关的现实问题
例题：辽宁省是水资源比较贫乏的省份之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，各地采用了价格调控等手段达到节约用水的目的。某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6立方米时，水费按每立方米a元收费；超过6立方米时，超过的部分每立方米
。
（1）求a、c的值，并写出用水不超过6立方米和超过6立方米时，y和x之间的函数关系式；
（2）若该户5月份的用水量为8立方米，求该户5月份的水费是多少元？
解：若每户每月用水量不超过6立方米时，y是x的正比例函数时，若超过6立方米时，y是x的一次函数。
（1）根据题意，得当x?6时，y=ax,当x>6时，y=6a+c(x-6). 由已知，得? ?a?1.5
,解得?
27?6a?3cc?6???
7.5?5a
所以用水量不超过6立方米时，y与x的函数关系式为y=1.5x(0?x?6).
用水量超过6立方米时，y与x的函数关系式为y=9+6(x-6)=6x-27(x>6).即y=6x-27(x>6). (2)当x=8时，y=6x-27=6*8-27=21(元)。故该户5月份的水费是21元。 10.一次函数图像的应用问题的主要类型；（1）根据函数表达式，确定函数图像的位置；；（2）给定x值（或y值），利用图像求y值（或x值；（3）行程问题的图像题型；；（4）销售问题的图像题型；；（5）手机话费、行李费等图像题型；例题：对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方；定y与x之间的函数关系式；（2）某天，南昌的最高气温是8℃，澳大利亚悉；尼的最高气温是
10.一次函数图像的应用问题的主要类型
（1）根据函数表达式，确定函数图像的位置；
（2）给定x值（或y值），利用图像求y值（或x值）；
（3）行程问题的图像题型；
（4）销售问题的图像题型；
（5）手机话费、行李费等图像题型。
例题：对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方用华氏文都表示，摄氏温度与华氏温度之间存在着某种函数关系。从温度计上的刻度可以看出，摄氏（℃）温度x与华氏（。F）
定y与x之间的函数关系式。
（2） 某天，南昌的最高气温是8℃，澳大利亚悉
尼的最高气温是91。F，问这一天悉尼的最
高气温比南昌的最高气温高多少摄氏度（结
果保留整数）？
解：（1）①描点连线，如图。②通过观察可猜测：y
与x的一次函数。③设y=kx+b(k?0).将两对数值
?x?0,?x?10,分别代入??
?y?32,?y?50,
32?b??k?1.8,，解得 ??50?10k?bb?32.??
所以y=1.8x+32;
④验证：将其余三对数值 y=kx+b,得
?x??10,?x?20,?x?30, ???
?y?14,?y?68,
?y?86.
分别代入y=1.8x+32，得1.8*（-10）+32=14， 1.8*20+32=68， 1.8*30+32=86.结果都成立。 所以y与函数关系式是y=1.8x+32;
(2)当y=91时，由91=1.8x+32，解得x?32.8,32.8?8?24.8?25(℃)。
答：这一天悉尼的最高温度比南昌的最高温度高约25℃。
11.理解两条直线交点的含义
两个一次函数图像的交点，表示此点在两条直线上的纵坐标相同，横坐标也相同。 例题：小宇开了一家小公司，为联
系业务，急需用车，但资金不足不
准备买车，他打算与以为个体车主
或一家国营出租车公司中的一个签
定租车合同，设汽车每月行驶ｘ千
米，应付给个体车主的月费用是y1
（元），应付给出租车公司的月费用
是y2（元），y1、y2分别与x之间
的函数关系的图像（两条射线）如
右图。
（1） 每月行驶的路程在什么范围内时，租国营公司的车合算？
（2） 每月行驶的路程为多少千米时，租两家车的费用一样多？
（3） 如果小宇估计每月行驶的路程为3200千米，那么他租哪家的车合算？
解：观察图形，得（1）每月行驶的路程超过1500千米时，租国营公司的扯合算；
（2）每月行驶的路程为1500千米时，两家费用一样多；
（3）小宇租国营公司的扯合算。
注意点：一次函数特征点的实际意义
易错点：将实际问题与一次函数的图像联系起来，灵活运用
技巧点：实际意义与图像紧密结合，数与式相结合，利用一次函数的性质，灵活解决实际问题。
12．正确认识实际问题的应用
（1）函数建模
在实际生活问题中，如果应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解。
（2）信息重组
在具体数学问题中，常常数据较多，反映的内容也很复杂，如何把众多的信息组织起来是解题的核心，要认真读题，分析题意，理顺关系，寻求解题途径。
（3）注意问题
①现实生活中的数量关系错综复杂，我们要根据实践经验分析，有时需要近似计算和修正，从而建立正确的函数关系。
②要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点。
10.4 单元知识梳理与能力整合
十、平面直角坐标系与一次函数；10.1平面直角坐标系；1.有序实数对；有顺序的两个数
a
、
b
组成的数对叫做有序数对，
记作；2、平面直角坐标系的含义及有关概念；
（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组；3、平面直角坐标系的意义；（1）建立平面直角坐标系后，平面上的任意一点都可；（3）可灵活运用多种方式确定点的位置，并在同一坐；4.点的坐标的概念；如图2，
十、平面直角坐标系与一次函数
10.1平面直角坐标系
1.有序实数对
有顺序的两个数a、b组成的数对叫做有序数对，记作（a,b）.注意（a,b）中的a,b的顺序不能改变。
2、平面直角坐标系的含义及有关概念
（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，平面直角坐标系也简称直角坐标系。通常，两条数轴分别位于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫X轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，X轴和y轴统称坐标轴，两条数轴的交点O称为直角坐标系的原点。 （2）如图1，对于平面内任意一点P，过点P分别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X轴、Y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序实数对（a,b）叫做点P的坐标。
3、平面直角坐标系的意义
（1）建立平面直角坐标系后，平面上的任意一点都可以用一对有序实数对（即坐标）来表示，且任一有序实数对都表示平面内唯一确定 的点，所以点的坐标是属性结合的桥梁，为解决几何、代数问题提供了便利，且直角坐标内的点与有序实数对是一一对应的关系。 （2）建立直角坐标系后，可以由点的坐标确定点的位置，也可由点的位置写出点的坐标，由已知点的位置求出未知点的位置。
（3）可灵活运用多种方式确定点的位置，并在同一坐标系中，感受图形变化后点的坐标的变化和坐标变化后的变化。
4.点的坐标的概念
如图2，点A是平面直角坐标系内的一点，由点A向x轴做垂线，垂足在x轴上的坐标是2，在Y轴上的坐标是-4，合起来A的坐标记作（2，-4）。横坐标写在前面。类似地，点B的坐标为（-2，0），点C的坐标是（0，4）。
5.由点的坐标描述
设点P的坐标为（a,b）,在平面直角坐标系中描出这个点的方法是：先在X轴上找到坐标是a的点A，在y轴上找到坐标是b的点b，在分别从点A，点B作X轴，Y轴的垂线，两垂线的交点就是所要描出的点P。（如图3）
6.坐标平面图
坐标平面是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分成六个区域：x轴上，y轴上，第一象限中，第二象限中，第三象限中，第四象限中。在这六个区域中，除X轴和y轴的一个公共点（原点）之外，其它区域之间都没有公共点。 如图4，点A在第一象限，点B在第二象限，点C在第三象限，点D在第四象限，点E在x轴上，点F在y轴上，点O为原点。
坐标平面内的点P（a,b）的坐标特征：
7.两坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征
（1） 第一、第三象限两坐标轴夹角平分线上的点的横、纵坐标相等，一般记作（a,a）; （2） 第二、第四象限两坐标轴夹角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数，一般记作
（a,-a）.
8.与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特点
（1）与X轴平行的直线上各点的纵坐标都相等； （2）与Y轴平行的直线上各点的横坐标都相等。
若A(a1,b1),B(a2,b2)在平行于X轴的直线上，则a1?a2,b1?b2； 在平行于Y轴的直线上，则a1?a2,b1?b2。
9.两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特点
若点P（a,b）在第一、三象限夹角的平分线上，则y=x. 若点P（a,b）在第二、四象限夹角的平分线上，则y=-x.
10.坐标平面内的点到X轴、y轴及到原点的距离及任意两点间距离
（1）点P（a,b）到x轴的距离为|b|,到Y轴的距离为|a|. （2）点P（a,b
（3）平面内任意两点P1(a1,b1),P2(a2,b
2)的距离为：P1P2?
。
11.易错点
（1）不能确定点所在的象限
例题1：点A（x,y）的坐标满足xy>0,试确定点A所在的象限。 错解：因为xy>0,所以x>0,y>0,所以点A在第一象限。
错解分析：本题出错的原因在于漏掉了当x0的情况，此时点A在第三象限。 正解：因为xy>0,所以x、y同号，即x>0,y>0或x0,y>0时，点A在第一象限；当x
例题2：求点A（-3，-4）到坐标轴的距离。
错解：点A（-3，-4）到X轴的距离为3，到Y轴的距离为4. 错解分析：错误的原因是误以为点A(X,Y)到x轴的距离等于|x|,到Y轴的距离等于|y|,事实上，点A(X,Y)到x轴的距离等于|y|,到Y轴的距离等于|x|.不熟悉时，可结合图形进行分析。 正解：点A（-3，-4）到X轴的距离为4，到Y轴的距离为3.
12．图形上点的坐标变化与图形的平移、轴对称、伸长、压缩之间的关系
设A（a,b）为原图案上任一点，经某种变换后，得到新图案上一对应点A(a,b)。
（1） 设n为大于或等于1的正整数，点A（a,b）为某一图案上任一点。
'
①若纵坐标保持不变，横坐标变成原来的n倍。即点A（a,bA(na,b)，所得图案与原图案相比，被横向拉长为原来的n倍。 ②若纵坐标保持不变，横坐标变成原来的与原图案相比，被横向拉长为原来的③类似地，若A（a,b）④若A（a,b⑤若A（a,b）
'
'''
an
倍。即点A（a,b）A(na,b)，所得图案
'
1n
。
A(a,nb)，则所得图案被纵向拉长为原来的n倍。
bn
)，则所得图案被纵向拉长为原来的
'
'
(a'
1n
。
(na,nb)或A(a,b)?A(,)，则所得图案被纵向拉长为原来的
nn
ab
n倍或原来的
2
1n
2
.
'
（2）若A?a,b??A(a?n,b),则所得图案与原图案相比，大小、形状不变，图案向右或向左平移了n个长度单位。
（3）若A?a,b??A(a,b?n),则所得图案与原图案相比，大小、形状不变，图案向上或
'
向下平移了n个长度单位。
（4）若A(a,b)?A'(a,?b)，则所得图案与原来图案关于x轴对称。 （5）若A(a,b)?A'(?a,b)，则所得图案与原来图案关于y轴对称。
（6）A(a,b)?A'(?a,?b)，则所得图案与原来图案关于原点O成中心对称图形。
13.在同一直角坐标系中，图形的变化与坐标变化的关系
（1）图形的平移
①横坐标保持不变，纵坐标分别加上3，图形保持形状、大小不变，被向上平移了3个单位；
②纵坐标保持不变，横坐标分别加上3，图形保持形状、大小不变，被向右平移了3个单位。
（2）图形的轴对称
①横坐标保持不变，纵坐标分别乘以-1，所得图形与原图形关于X轴对称； ②纵坐标保持不变，横坐标分别乘以-1，所得图形与原图形关于y轴对称； ③横坐标分别乘以-1，纵坐标分别乘以-1，所得图形与原图形关于原点对称。 （3）图形的伸长
横坐标、纵坐标分别变成原来的3倍，所得图形与原图形相似，形状不变，大小改变了（变为原来的9倍）。 （4）图形的压缩
横坐标、纵坐标分别变成原来的1/3，所得图形与原图形相似，形状不变，大小改变了（变为原来的1/9）。
（5）常见的对称关系
（1）点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A1（a,-b）; （2）点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A2（-a,b）; （3）点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A3（-a,-b）;
（4）点A（a,b）关于第一、第三象限的平分线对称的点的坐标为A4（b,a）; （5）点A（a,b）关于第二、第四象限的平分线对称的点的坐标为A5（-b,-a）. 识记点：点的坐标变化与图形的变化（平移、轴对称、伸长、压缩）之间的关系
注意点：点的变化与图形的变化是一个互逆的过程，即点的变化可引起图形的变化；反之，由图形的变化可反映点的坐标变化。
易错点：易混淆点的坐标变化与图形变化间的对应关系。
技巧点：图形的变化及点的坐标变化应有机地结合在一起，要善于观察图形的位置变化。在研究两者变化关系时，可选取代表点研究它们位置关系的变化及坐标的变化，从而分析、总结出图形及坐标的变化特征。
例题：平面直角坐标系中，有一点A的坐标为（5,4）,能否经过适当的变化，使其坐标变成（3，2）呢？
解：能，先将点A沿着纵轴方向向下平移2个单位得点A1（5，2），在将A1沿着横轴方向向左平移2个单位即得点B（3，2）。 思考：想一想还有其他方法吗？
10.2 函数与一次函数
1.函数的概念
一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和Y，如果在x的允许范围内给定一个x值，相应地就唯一确定了一个Y值，称x是自变量，y是因变量，y是x的函数。如汽车的速度一定，路程s是时间t的函数。
例题:下列变化过程得出的函数关系式是否正确，如果错误，请写出正确的结果；如果正确，请写出式子中的自变量和因变量。
（1）设一长方体盒子高为8cm，底面是正方形，这个长方形的体积V?cm3?与底面边长a（cm）的关系式为V=8a3;
（2）小军计划用20元购买练习本，所能购买的总数n(本)与单价a(元)的关系式为n=20/a; （3）小茜用总长为60cm的铁丝围成一个矩形，矩形的面积S（cm2）与一边长l(cm)之间的关系式为s=l(60-l). 解：（1）正确，a是自变量，V是因变量； （2） 正确，a是自变量，n是因变量； （3） 错误，应为S=l(30-l).
2.对函数定义的理解
（1）在一个变化过程中必须有两个变量x和y，如x+y=3,x-y=5,xy=4,y=5x+6等。
（2）对于自变量x的取值，必须要使代数式有意义，如y=2x+1中自变量可以从实数范围内
取值：y?2x?1?0，另外，在实际问题中，自变量x的取值必须有实际的意义，如多边形边数、人数、机器数……要为正数，时间要为非负数等。 （3）函数的实质是揭示了两个变量之间的关系：x每取一个值，Y要有一个且只有一个值与之对应，否则y就不是x
的函数，如y?
y就不一定是x的函数，因
为在x
函数；在如y?x?0),当x=4时，y??2，此时y有两个值与x对应，所以y就不是x的函数。
（4）判断两个函数是不是同一个函数，应该以自变量的取值范围，函数y的取值范围，函数解析式是否一致来判断。如①y=x和②y?等于0的实数，所以y=x与y?
x
2
x
2
x
，其中①的x可以取任意实数，②中x取不
x
不是同一个函数。
3.函数值
对于一个函数，当自变量x=a时，我们可以求出与它对应的y的值，我们就说这个值是当x=a时的函数值。
注意：对于一个函数，可能有若干个函数值，x取不同的值，函数值可能不相同，因此应该说明自变量x取什么值时，如函数y=x-3，当x=0时的函数值-3；x=3时的函数值为0……，所以不能简单地说函数Y=X-3的函数值是3.
4．函数图像
把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有的点组成的图形叫做该函数的图像。反之，函数图像上所有点的横坐标、纵坐标作为自变量、因变量满足函数表达式。作函数图像的一般步骤：列表、描点、连线。
5、表示一个函数的方法及其优缺点 （1
）解析法；两个变量之间的函数关系，有时可以用一个含有这两个；把自变量
x
的一系列值和函数值
y
列成一个表来表示函；用图像来表示函数关系的方法叫做图像法；6．由函数解析式画出图像的一般步骤；（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描的点；注意：列表时自变量的取值要
（1）解析法
两个变量之间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数学运算符号的等式表示，这种表示方法叫做解析法。解析法简单明了，能准确反映整个变化过程中自变量与函数的相依关系，但求对应值时，往往要经过复杂的计算，且不够直观。 （2）列表法
把自变量x的一系列值和函数值y列成一个表来表示函数关系，这种表示方法叫做列表法。如平方表、立方表等。列表法一目了然，表格中已有的自变量的每一个值，不需计算就能直接查出与它对应的函数值，使用很方便，但是因为列出的对应值有限，所以不容易看出变量与函数之间的对应规律。 （3）图像法
用图像来表示函数关系的方法叫做图像法。图像法形象直观，通过函数图像可以直接、形象地把函数关系表示出来，能很直观地研究函数的一些性质。但是，由于图像只能得到近似的数量关系，所以不够精确。
6．由函数解析式画出图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值。
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点。
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连接起来。 注意：列表 时自变量的取值要注意兼顾原则，既要有代表性，又不能过大或过小，以利于描点和全面反映图像情况。
7.一次函数和正比例函数的定义
x2
等都是一次函数。特别地，当一次函数y=kx+b中的b为0时，则y=kx（k是常数，k?0），
1
这时，y叫做x的正比例函数。如：y=2x,y?x等都是正比例函数。
2
一般地，如果y=kx+b(k,b是常数，k?0),那么y叫做x的一次函数。如：y=2x-1,y?
1
注意：
（1）由一次函数和正比例函数的定义可知：
函数是一次函数?其解析式可化为y=kx+b(k,b是常数，k?0)的形式。 函数是正比例函数?其解析式可化为y=kx（k是常数，k?0）的形式。 （2）一次函数解析式y=kx+b(k,b是常数，k?0)的结构特征： ①k?0；
②x的次数为1；
③常数项b可以是任意实数。
（3）正比例函数解析式y= kx（k是常数，k?0）的结构特征： ①k?0；
②x的次数为1； ③常数项b=0.
说明：因为若K=0,则y=b（b为常数）。这样的函数叫做常量函数，它不是一次函数。 （4）自变量x的取值范围：x?R。
8.一次函数与正比例函数的关系
正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数。用集合表示正比例函数与一次函数的关系如图所示。 一次函数
?b?0时，是特殊的一次函数（正比例函数）
y?kx?b(k?0)?
b?0时，是一般的一次函数?
注意点：求一次函数的解析式与自变量的取值范围时，容易忽视k?0和实际问题的限制。 易错点：认真分析实际问题，找出规律，寻求解题思路。 技巧点：设法找出两个变量的关系，注意条件的合理运用。
例题：当K为何值时，函数y?(k2?2k)*xk错解：要使函数y?(k2?2k)*xk
k1?1,k2??2.
2
2
?k?1
是正比例函数？
?k?1
是正比例函数，只要k2?k?1?1，解这个方程，得
2
所以当k1?1或-2时，函数y?(k2?2k)*xk
2
?k?1
是正比例函数。
2
?k?k?1?1①
正解：要是函数y?(k2?2k)*xk?k?1是正比例函数，必须?2
?k?2k?0②
2
由①得k1?1,k2??2.带入②中检验：当k=1时，k2?2k?3?0，当K=-2时，k?2k?0， 应舍去。
2k?当k=1时，函数y?(k?2k)*x
2
?k?1
是正比例函数。
错解分析：错解忽视了k2?2k?0这一条件，k=-2应舍去。
10．3一次函数的图像与表达式
1.正比例函数的图像
正比例函数的图像是一条经过原点（0，0）的直线。
特点：正比例函数的图像是一条经过原点的直线，当K>0时，y随x的增大而增大；当k
例题：在同一坐标系中，画出函数y=2x，y=-2x的图像。 解：因为函数y=2x,y=-2x都是正比例函数，所以他们的图像都是直线，故可用两点确定一条直线的方法画这两个函数的图像。画函数y=2x的图像，取（0，0）、（1，2）较简单。画函数y=-2x的图像，取（0，0）、（1，-2）较简便。
2、一次函数的图像
（1）把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图像。
（2）一次函数y=kx+b的图像是一条直线，因此画一次函数的图像时，只要确定两个点，就可画出一次函数y=kx+b的图像，称直线y=kx+b。
3.一次函数的性质
在一次函数y=kx+b中，
（1） 当K>0时，y的值随着x值的增大而增大；
（2） 当k
例题：某校办工厂现在年产值是15万元，计划今后每年增加2万元。 ① 写出年产值y（万元）与年数x之间的函数关系式； ② 画出函数的图像； ③ 求5年后的产值。 解：①y=15+2x（x>0）;
（3）当x=5时，y=15+2x=25.
4.做函数图像的一般步骤
（1）列表：在自变量允许的范围内任意取x的值，计算出相应的y的值；
（2）描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点；
（3）连线：将所描出的点用一条光滑的曲线连接起来。 易错点和易忽视点：
确定实际问题和几何问题中的一次函数自变量的取值范围时，往往把实际问题忽略，使自变量的取值范围变大或变小。
例题：一矩形的周长为10厘米，长为x厘米，宽为y厘米，把矩形的宽表示为长的函数，并画出它的图像。 错解：因为矩形的周长是10厘米，所以它的半周长为5厘米，所以y=5-x.
取x=0得y=5;取x=5得y=0。经过点A（0，5）与点B（5，0）的直线就是所求的图像，如右图。
正解：矩形的宽与长之间的函数关系式为： Y=5-x(0
取x=0得y=5;取x=5得y=0。描出点A（0，5）与点B（5，0），连接AB，并出去
A、B两点，则所得的图像就是所求的图像，如右图。
技巧点：
熟记作法的步骤，从实际中得出的函数表达式一定要注意自变量的取值范围，灵活作图，并利用图像上的特征点解题。
例题：已知函数y=(2m-1)x+1-3m,当m为何值时，（1）这个函数为正比例函数；
（2）这个函数为一次函数；（3）函数值y随着x的增大而减小；（4）这个函数图像与直线y=x+1的交点在x轴上。 解析：形如y=kx+b的函数解析式，当k?0且b=0时为正比例函数；当k?0时为一次函数；当k
所以可设交点为（x0，0）。那么交点（x0，0）适合这两个函数解析式。 解：（1）若y=(2m-1)x+1-3m是正比例函数， 则m应满足?
?2m?1?0?1?3m?0
解得m=1/3,当m=1/3时，这个函数是正比例函数；
12
（2）当2m?1?0时，即m?时，这个函数为一次函数；
（3）根据一次函数的性质可知当2m?1?0，即m
（4）方法一：设函数y=(2m-1)x+1-3m的图像与直线y=x+1的交点为（x0，0），
?x0??1
??2m?1?x0?1?3m=0?则得?解得?2 所以当m=2/5时，两个函数图像的交点在x x0?1?0??m?
5?
轴上。
方法二：先求出直线y=x+1与x轴的交点（x0，0），再将（x0，0）带入y=(2m-1)x+1-3m，解方程即可求出m的值。令y=0,由y=x+1得x=-1. 所以直线y=x+1与x轴的交点为（-1，0）。
把（-1，0）带入y=(2m-1)x+1-3m，得y=(2m-1)（-1）+1-3m=0.解得m=2/5，即当m=2/5时，函数y=(2m-1)x+1-3m的图像与直线y=x+1的交点在x轴上。
5.确定正比例函数与一次函数的表达式应具备的条件
（1）由于正比例函数y=kx（k?0）中只有一个待定系数K，故只要一个条件[如一对（x,y）的值或一个点]，就可求得k的值。
（2）一次函数y=kx+b中有两个待定系数k,b，需要两个独立的条件确定两个关于k,b的方程，求得k，b的值。这两个条件通常是两个点，或两对（x,y）的值。 例题：已知如右图，一次函数y=kx+b的图像过点A（3，0）且与坐标轴围成的三角形的面积为6，求这个一次函数的解析式。
解：在表示三角形的面积时，用的是长度，不要忽视b取绝对值，否则会丢掉一个解。
令x=0,得y=b,所以一次函数与y轴的交点是（0，b）.
因为一次函数的图像与坐标轴围成的三角形的面积是6，所以
12
*3*|b|?6,解得b??4,
所以一次函数与Y轴的交点为（0，-4）或（0，-4）.将交点的坐标带入解析式得 4?
?3k1?b?0,?3k2?b?0,?k1??
解得?3??
b?4,b?4,???b?4,
?
4?
,?k2?,
3 ?
?b??4?
所以这个一次函数的解析式为y??
43
x?4或y?
43
x?4.
6.正比例函数与一次函数表达式的确定方法
（1）对于正比例函数：将一个已知点的纵、横坐标带入y=kx(k?0)中，解一元一次方程，求出K,从而确定此表达式。
（2）对于一次函数，将两个已知点的横、纵坐标分别带入y=kx+b((k?0))中，建立关于K,b的二元一次方程组，求出k、b的值，从而确定表达式。
7、用待定系数法求一次函数的解析式
（1）待定系数法：先设待求函数表达式（其中含有未知常数系数），在根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。
（2）用待定系数法求一次函数的解析式：先设出一次函数的关系式y=kx+b(k?0)，由于它有两个待定系数，需要用两个条件建立两个方程的方程组，借以求得k,b的值。
（3）用待定系数法求函数表达式的一般步骤为：①设出函数的一般形式；②把自变量与函数的对应值代入所设式子中，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，并写出函数表达式。
8.函数与方程、函数与不等式之间的联系
（1）直线y=kx+b(k?0)与x轴交点的横坐标，是一元二次方程kx+b=0的解。求直线y=kx+b与x轴的交点，可令y=0,得到方程kx+b=0，解方程得x??
bk,?bk
就是直线y=kx+b与x轴
交点的横坐标；反之，根据函数的图像也能求出对应的一元一次方程的解。
（2）使一次函数y=kx+b(k?0)的函数值y>0（或y0（或kx+b
9.能由两个条件求出一次函数的表达式，并解决有关的现实问题
例题：辽宁省是水资源比较贫乏的省份之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，各地采用了价格调控等手段达到节约用水的目的。某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6立方米时，水费按每立方米a元收费；超过6立方米时，超过的部分每立方米
。
（1）求a、c的值，并写出用水不超过6立方米和超过6立方米时，y和x之间的函数关系式；
（2）若该户5月份的用水量为8立方米，求该户5月份的水费是多少元？
解：若每户每月用水量不超过6立方米时，y是x的正比例函数时，若超过6立方米时，y是x的一次函数。
（1）根据题意，得当x?6时，y=ax,当x>6时，y=6a+c(x-6). 由已知，得? ?a?1.5
,解得?
27?6a?3cc?6???
7.5?5a
所以用水量不超过6立方米时，y与x的函数关系式为y=1.5x(0?x?6).
用水量超过6立方米时，y与x的函数关系式为y=9+6(x-6)=6x-27(x>6).即y=6x-27(x>6). (2)当x=8时，y=6x-27=6*8-27=21(元)。故该户5月份的水费是21元。 10.一次函数图像的应用问题的主要类型；（1）根据函数表达式，确定函数图像的位置；；（2）给定x值（或y值），利用图像求y值（或x值；（3）行程问题的图像题型；；（4）销售问题的图像题型；；（5）手机话费、行李费等图像题型；例题：对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方；定y与x之间的函数关系式；（2）某天，南昌的最高气温是8℃，澳大利亚悉；尼的最高气温是
10.一次函数图像的应用问题的主要类型
（1）根据函数表达式，确定函数图像的位置；
（2）给定x值（或y值），利用图像求y值（或x值）；
（3）行程问题的图像题型；
（4）销售问题的图像题型；
（5）手机话费、行李费等图像题型。
例题：对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方用华氏文都表示，摄氏温度与华氏温度之间存在着某种函数关系。从温度计上的刻度可以看出，摄氏（℃）温度x与华氏（。F）
定y与x之间的函数关系式。
（2） 某天，南昌的最高气温是8℃，澳大利亚悉
尼的最高气温是91。F，问这一天悉尼的最
高气温比南昌的最高气温高多少摄氏度（结
果保留整数）？
解：（1）①描点连线，如图。②通过观察可猜测：y
与x的一次函数。③设y=kx+b(k?0).将两对数值
?x?0,?x?10,分别代入??
?y?32,?y?50,
32?b??k?1.8,，解得 ??50?10k?bb?32.??
所以y=1.8x+32;
④验证：将其余三对数值 y=kx+b,得
?x??10,?x?20,?x?30, ???
?y?14,?y?68,
?y?86.
分别代入y=1.8x+32，得1.8*（-10）+32=14， 1.8*20+32=68， 1.8*30+32=86.结果都成立。 所以y与函数关系式是y=1.8x+32;
(2)当y=91时，由91=1.8x+32，解得x?32.8,32.8?8?24.8?25(℃)。
答：这一天悉尼的最高温度比南昌的最高温度高约25℃。
11.理解两条直线交点的含义
两个一次函数图像的交点，表示此点在两条直线上的纵坐标相同，横坐标也相同。 例题：小宇开了一家小公司，为联
系业务，急需用车，但资金不足不
准备买车，他打算与以为个体车主
或一家国营出租车公司中的一个签
定租车合同，设汽车每月行驶ｘ千
米，应付给个体车主的月费用是y1
（元），应付给出租车公司的月费用
是y2（元），y1、y2分别与x之间
的函数关系的图像（两条射线）如
右图。
（1） 每月行驶的路程在什么范围内时，租国营公司的车合算？
（2） 每月行驶的路程为多少千米时，租两家车的费用一样多？
（3） 如果小宇估计每月行驶的路程为3200千米，那么他租哪家的车合算？
解：观察图形，得（1）每月行驶的路程超过1500千米时，租国营公司的扯合算；
（2）每月行驶的路程为1500千米时，两家费用一样多；
（3）小宇租国营公司的扯合算。
注意点：一次函数特征点的实际意义
易错点：将实际问题与一次函数的图像联系起来，灵活运用
技巧点：实际意义与图像紧密结合，数与式相结合，利用一次函数的性质，灵活解决实际问题。
12．正确认识实际问题的应用
（1）函数建模
在实际生活问题中，如果应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解。
（2）信息重组
在具体数学问题中，常常数据较多，反映的内容也很复杂，如何把众多的信息组织起来是解题的核心，要认真读题，分析题意，理顺关系，寻求解题途径。
（3）注意问题
①现实生活中的数量关系错综复杂，我们要根据实践经验分析，有时需要近似计算和修正，从而建立正确的函数关系。
②要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点。
10.4 单元知识梳理与能力整合