第 23 卷 第 1期 014 2 3年月
南教河学育院学( 自然科学报版)J ornualo Hfeann nsIttuti ofe Eduacito n(Na uralt cienSce dEiton)i
oVl 23． N． 1o Mar 2．01
4d
o： 10i ．939 6/j． i ssn 100．7 0－83．4 201． 014．00 3
解线性求程组的方单简方
张法亮来，吕 濯
缨(山东 技大科 公学课部共 山， 东南济2 5031 0)1 ］摘：要对 文［献中的求 解性线方程组的单简方进法了改进，行 到得了更简单、 实更的用法．方关 词：键线 性方组程;列初等 换变; 础基解; 系通解中 图类分： O1号7 文献4识标： 码A文 编章：号 001 7 083－4 （2 014） 1 0－ 0070－ 0
2
1 文献］［ 绍介了种求一解线方程性组简的方法 ，单仔 细研究发：现① 介绍的所法中的符号表示方与内 用国来不方起； 便②求解齐非线性次程组的方法方中 有，限地使用列制、行 等变初换 现行大多，数材不教一致，容 混易， 淆导致易误错生发 本文．符对表号运用国内通用示表的方示 法 对求，解齐非次性方线程组的法方 ［进 2 ］得只到利初用等列变且不换限制的加简单、 效有的法 方 ．行改进， 1求齐解线次方程性组简的方法 单考方察组 程A m×n xn × 1 = 0 m ×1 ，（ ）1
假设
r A （）= r， 令 C =
(
(（
m D r × ， m × 0 （n － r）） Pn
)
(
Am) n ×nE
，
这 E里 n是 n阶 单位 矩 ，阵对矩 C阵作 系列一初等变列将换 C化为
， Pn为 n阶 逆矩阵（可 一列初等矩阵系之积 ） ，其中D m× r 为一列满 矩阵， 秩则P n 的 后n － r
列向个即量为（ ） 的1个一础基系． 解明 证mA n×P n n =P0 m ×（ n－ r ）） ，由 于 r （ ）A = ，r则 在 n 阶存 可 矩逆 阵Pn 使 得m ×A Pnn= （D m× r ，（ Dm r×， 0m × n（ －） r）Pn
)
(
)(
Am × ) Enn
P
n=
， Pn =（ p 1， p ， 2…，p ， pr +r 1， pr + ，2 … pn ，）， pr + 2，…， p n ） = 这里 mA ×n （ p +r1 ，
m ×0 （ － n） ，r ］ 1r + p2， 它表 明 P 的n后 n－ r个向量列为即 1（ ）的一组线性无 关解 由．献文［第 17 页注 （ 43 ） 知 r + p1 ， …，p n就 （ 1是 的一个）基解础系． 2求 解非齐线次方性程组简单的方法 考方程察 A组 m n x×n × 1 =b ×m1 ， （2
假） 设（ Ar =） r ，令C
(
(
Am= n E×
n－bm ×10 n ×
Dm × r 1n M×
r
0 × （ nm－ r ） nN× n（ r－
－）b ×m1 n0× 1
))
， 这 En 是 n里阶 位单矩阵 对矩阵， C作 系列一等列初变换将C 化为 G=
，其 N n中× （ n－ r） 的列向量 方是组程 （ ） 的1个一基解系础
， ） 1若 r（D m ×r ，－ b m× ）1 =r + 1 则，程方（ 组 ） 2无；解 2 ） 若r（ D m× ， r － b ×m ）1 r，=则 程组（方 ）2 有解 且当；r ＜ n时 无有穷多解，当 r = 时有n唯解一 ．
当方程组
有收稿期：日 2130－ 0 7－ 82“ 群星划”计基金项 目： 东科山技学教大育教研学究重 项目点（ Q2X013145 ） 作者简介 ：来张亮 （1596 ） ，— ，男 东山临人朐 ，东山科大技公共学课教授，部主要研究 方：向应用数学 及教．
学
8
南教河学育学院( 自然科报版学)
2014年
时解， 矩阵 G 对进再行系一初列等变列，换将矩阵 G 变 为 换Dm × r 0 m （×n － r ）0m × 1 G— =，M n × r N n ×（n － r） n × 1
U(
)
（
2） 的通 为解：x n × 1 U=n × 1+ N n× （n r）－K （ n－ r）则 U ×n 1就是（ 2 的一个特）解，k i 是任 意数．常证
明
1
×
T ，里这K （ n －r
）
1
× （ =k 1 k，1， … ，kn－ r ） ，
由齐解次线性程方的组论知结 存在， n 可逆矩阶阵P1 使 mA× nA m ×n P1D m r×0 × （ n m r） P－1 = = ，En 1 M Pn× r N n × （ －nr ）
()(
)
()
N n
（ ×n － ） r ） 这里 P， =1 M （n ×r， 且N n× （ n－ r ） 是（ ）1 的一基个解系础 ．1P n × 01 mA× n － bm × 1 ， 则P 2可 逆， P 2 令= P 2=0 1 × 1 Enn 0n×
(1
(
A
m ×nP 1P1
－ bm × 1 n ×0
1
)(=
)
Dm× r n ×M r
0 m× （ n － r ）N n × （n－ ）r
－
bm× 1 0 ×n1
)
(
)
(
m ×A nE
n －m ×b 0n 1×
1(
)
P10 n ×1
0
1× n
I)
=
由于 ，r （ Dm × r， － b m × 1 ）= r（ Dm ×r = r， ） －则b m 1× 可由D m × 的
rl1 l1 l 2 2lr 个列 向线性表量示，l 2 …， ，lr 使得 D m×r － mb× 1 =0 ． L 记r× 1 = ．存即 在r个常数 1 l， l r lr 令P3 =
(
Dm
×rM n× r 0m 1
×
0m ×（ n r－）N n × （ n －r）
(D
× mr Mn ×r
0 m （ ×n－ ） N r n （ n －× ）
rU
n 1
)×
E －r b ×m1 0（n － r） 0n × 1 0 1 r
×)
0
r （ n×－ r）
r
×L
r × 1 0 （n －r） 1×1
n － Er 1 ×0 n（ － ）
r =
(m D×r Mn r
×0m × （ －n r） Nn ×（n － r
0）m× 1 M n× rL r ×1
)
，=这 里 nU× 1 = nM r × Lr ×1 ．0 m × （ n － r ）)
由 于 b m×1 = D m× L r r× =1( Dm × r n ×U 1是就（ 2） 的 一个特解．而 x= Nn × n （－r ） （ n K－ ）
r×1
(
r ×L1 0 n －（r） ×
)
= 1A1
P(
L
r× 10 n（ － ）r×
1)
，
1 所P，
(
以
Lr× 1 0 （ n r）
－1
×
)
=
M n×r L r 1 =×
T +
Un ×1 就（是 2） 的通解，这里 K （ n －r
）×1
=
（k 1 ， k2 ，，… nk－ r） ， k 是i意任常．数
考参文 献
1［ 王卿］文．线性代数 心思核及想用应 ［］ M． 北： 京学出科社， 20版2 ：1 415 － 161．［ ］2上 海通交学大学数系． 大学数学— — —性线代 ［ M］数 2 版．．北京 高：教育等版社出
， 021 ： 2011－ 54．
Si1mle pSoution lMthed ofo ysStmeLin ea Erqatuio
ZnAHNG Liailnag ，V ZLuohiyng（ D
parteemtn f Poulic boCrseuS，anhodn gciSnce eadn Tcehnoogly nUveisrti，Jynina 25030 ，1hCia）n
Ab
stact ：r imSpl eslotuoinm etho dof systemli nare qeutioa nni iletartrue［ 1］s rivisede ，ad tne hnwe olsutin omethd oof ystsme lneia requtian iso etber tthn befaoer ．eK ywros：d sstye ofm lniae erqatuoi； nleeenmaryt coumnlope rtainos；sy tsme fo unfdmantale slouiotns； egneal sorltiuon
第 23 卷 第 1期 014 2 3年月
南教河学育院学( 自然科学报版)J ornualo Hfeann nsIttuti ofe Eduacito n(Na uralt cienSce dEiton)i
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o： 10i ．939 6/j． i ssn 100．7 0－83．4 201． 014．00 3
解线性求程组的方单简方
张法亮来，吕 濯
缨(山东 技大科 公学课部共 山， 东南济2 5031 0)1 ］摘：要对 文［献中的求 解性线方程组的单简方进法了改进，行 到得了更简单、 实更的用法．方关 词：键线 性方组程;列初等 换变; 础基解; 系通解中 图类分： O1号7 文献4识标： 码A文 编章：号 001 7 083－4 （2 014） 1 0－ 0070－ 0
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1 文献］［ 绍介了种求一解线方程性组简的方法 ，单仔 细研究发：现① 介绍的所法中的符号表示方与内 用国来不方起； 便②求解齐非线性次程组的方法方中 有，限地使用列制、行 等变初换 现行大多，数材不教一致，容 混易， 淆导致易误错生发 本文．符对表号运用国内通用示表的方示 法 对求，解齐非次性方线程组的法方 ［进 2 ］得只到利初用等列变且不换限制的加简单、 效有的法 方 ．行改进， 1求齐解线次方程性组简的方法 单考方察组 程A m×n xn × 1 = 0 m ×1 ，（ ）1
假设
r A （）= r， 令 C =
(
(（
m D r × ， m × 0 （n － r）） Pn
)
(
Am) n ×nE
，
这 E里 n是 n阶 单位 矩 ，阵对矩 C阵作 系列一初等变列将换 C化为
， Pn为 n阶 逆矩阵（可 一列初等矩阵系之积 ） ，其中D m× r 为一列满 矩阵， 秩则P n 的 后n － r
列向个即量为（ ） 的1个一础基系． 解明 证mA n×P n n =P0 m ×（ n－ r ）） ，由 于 r （ ）A = ，r则 在 n 阶存 可 矩逆 阵Pn 使 得m ×A Pnn= （D m× r ，（ Dm r×， 0m × n（ －） r）Pn
)
(
)(
Am × ) Enn
P
n=
， Pn =（ p 1， p ， 2…，p ， pr +r 1， pr + ，2 … pn ，）， pr + 2，…， p n ） = 这里 mA ×n （ p +r1 ，
m ×0 （ － n） ，r ］ 1r + p2， 它表 明 P 的n后 n－ r个向量列为即 1（ ）的一组线性无 关解 由．献文［第 17 页注 （ 43 ） 知 r + p1 ， …，p n就 （ 1是 的一个）基解础系． 2求 解非齐线次方性程组简单的方法 考方程察 A组 m n x×n × 1 =b ×m1 ， （2
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(
(
Am= n E×
n－bm ×10 n ×
Dm × r 1n M×
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－）b ×m1 n0× 1
))
， 这 En 是 n里阶 位单矩阵 对矩阵， C作 系列一等列初变换将C 化为 G=
，其 N n中× （ n－ r） 的列向量 方是组程 （ ） 的1个一基解系础
， ） 1若 r（D m ×r ，－ b m× ）1 =r + 1 则，程方（ 组 ） 2无；解 2 ） 若r（ D m× ， r － b ×m ）1 r，=则 程组（方 ）2 有解 且当；r ＜ n时 无有穷多解，当 r = 时有n唯解一 ．
当方程组
有收稿期：日 2130－ 0 7－ 82“ 群星划”计基金项 目： 东科山技学教大育教研学究重 项目点（ Q2X013145 ） 作者简介 ：来张亮 （1596 ） ，— ，男 东山临人朐 ，东山科大技公共学课教授，部主要研究 方：向应用数学 及教．
学
8
南教河学育学院( 自然科报版学)
2014年
时解， 矩阵 G 对进再行系一初列等变列，换将矩阵 G 变 为 换Dm × r 0 m （×n － r ）0m × 1 G— =，M n × r N n ×（n － r） n × 1
U(
)
（
2） 的通 为解：x n × 1 U=n × 1+ N n× （n r）－K （ n－ r）则 U ×n 1就是（ 2 的一个特）解，k i 是任 意数．常证
明
1
×
T ，里这K （ n －r
）
1
× （ =k 1 k，1， … ，kn－ r ） ，
由齐解次线性程方的组论知结 存在， n 可逆矩阶阵P1 使 mA× nA m ×n P1D m r×0 × （ n m r） P－1 = = ，En 1 M Pn× r N n × （ －nr ）
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N n
（ ×n － ） r ） 这里 P， =1 M （n ×r， 且N n× （ n－ r ） 是（ ）1 的一基个解系础 ．1P n × 01 mA× n － bm × 1 ， 则P 2可 逆， P 2 令= P 2=0 1 × 1 Enn 0n×
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m ×nP 1P1
－ bm × 1 n ×0
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由于 ，r （ Dm × r， － b m × 1 ）= r（ Dm ×r = r， ） －则b m 1× 可由D m × 的
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由 于 b m×1 = D m× L r r× =1( Dm × r n ×U 1是就（ 2） 的 一个特解．而 x= Nn × n （－r ） （ n K－ ）
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(
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)
=
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=
（k 1 ， k2 ，，… nk－ r） ， k 是i意任常．数
考参文 献
1［ 王卿］文．线性代数 心思核及想用应 ［］ M． 北： 京学出科社， 20版2 ：1 415 － 161．［ ］2上 海通交学大学数系． 大学数学— — —性线代 ［ M］数 2 版．．北京 高：教育等版社出
， 021 ： 2011－ 54．
Si1mle pSoution lMthed ofo ysStmeLin ea Erqatuio
ZnAHNG Liailnag ，V ZLuohiyng（ D
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stact ：r imSpl eslotuoinm etho dof systemli nare qeutioa nni iletartrue［ 1］s rivisede ，ad tne hnwe olsutin omethd oof ystsme lneia requtian iso etber tthn befaoer ．eK ywros：d sstye ofm lniae erqatuoi； nleeenmaryt coumnlope rtainos；sy tsme fo unfdmantale slouiotns； egneal sorltiuon