光学教程答案(第二章)

1. 单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。求第к个带的半径。若极点到观察点的距离r0为1m，单色光波长为450nm，求此时第一半波带的半径。

解：

rr 而

rkr0

2k2k20

rkr0k



2

kk

k2r02r0

2 2

将上式两边平方，得

k22

rrkr0

4

2

k

20

20

22

略去k项，则 k

kr0

-8

k1,r100cm,450010cm带入上式，得 0 将

0.067cm

2. 平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机光圈那样改变大小。问：（1）小孔半径满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小空孔中心4m的P点的光强分别得到极大值和极小值；（2）P点最亮时，小孔直径应为多大？设此时的波长为500nm。

解：（1）根据上题结论

kkr0

-5

r400cm,510cm代入，得 将0

k4005105k0.1414kcm

当k为奇数时，P点为极大值； k为偶数时，P点为极小值。 （2）P点最亮时，小孔的直径为

3．波长为500nm的单色点光源离光阑1m，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和1mm的透光圆环，接收点P离光阑1m，求P点的光强I与没有光阑时的光强度I0之比。

212r00.2828cm

r1m Rhk10.5mm Rhk21mm 500nm解：根据题意 R1m 0

22

11Rh(Rr0)Rhkr0Rr0R 有光阑时，由公式

2Rhk10.521111k116r0R5001010001000

得

2Rhk11221k2500106rR0

11

410001000

按圆孔里面套一个小圆屏幕

11111

apa1a3a1a2a2a3a1

22222

没有光阑时

a0

a1

2

2

2

a1Iap4Iaa1/2 所以 00

4．波长为632.8nm的平行光射向直径为2.76mm的圆孔，与孔相距1m处放一屏。试问：（1）屏上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？（2）要使P点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕分别向前或向后移动多少？

解：（1）P点的亮暗取决于圆孔中包含的波代数是奇数还是偶数.当平行光如射时, 波带数为

k

r0

2

d2

r0

1.382

3632.8106103

故P点为亮点.

(2) 当P点向前移向圆孔时,相应的波带数增加;波带数增大到4时, P点变成 暗点,此时, P点至圆孔的距离为

21.382

r0mm750mm6

k4632.810

则P点移动的距离为

rr0r100cm-75cm25cm

当P点向后移离圆孔时,波带数减少,减少为2时, P点也变成暗点。

与此对应的P到圆孔的距离为

21.382

r0mm1500mm6

k2632.810



则P点移动的距离为

５.一波带片由五个半波带组成.第一波带片为半径r1的不透明圆盘,第二半波带是半径r1

至r2的透明圆环,第三半波带是r2至r3的不透明圆环,第四半波带是r3至r4的透明圆环,第五半波带是r4至无穷大的不透明区域,已知r1:r2：r3:r4=1:2:3:4,用波长500nm的平行单色光照明,最亮的像点在距波带片1m的轴上.试求:(1) r1; (2) 像点的光强; (3) 光强极大值出现在轴上哪些位置上.

解：因为5个半波带组成的半波带片上,K11,r1不透光;K22,r1至r2透

光;



rr0r0150cm-100cm50cm

K33,r2至r3不透光;K44,r3至r4透光;K55,r4至无穷大不透光.

r1:r2:r3:rr1:2:3:4 单色平行光500nm R0

fr0103mmr1m1000mm10第一条最亮的像点在的轴上,即

2

Rhr12

fr0

k1 (1)

r1r0k31500106.50.707

2222I4a16I0IA(aa)4apP24(2) 像点的光强:P 所以

fff

,,357) (3) 光强极大值出现在轴的位置是(即



f1r1m103mm

f2





f111f11f1m f3m f5m 335577

6. 波长为λ的点光源经波带片成一个像点,该波带片有100个透明奇数半波带

(1,3,5,……)。另外100个不透明偶数半波带.比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时该像点的强度比I:I0.

解: 100个奇数半波带通光总振幅

A100a100a

1

100

2

I(100a)

同样焦距和口径的透镜可划分为200个半波带通光

总振幅为

A200a1a1200a

1

2

199200

2

I200a4(100a)0

2

I(100a)21

2

I4 4(100a)0

7. 平面光的波长为480nm,垂直照射到宽度为0.4mm的狭缝上,会聚透镜的焦距为60cm.

分别计算当缝的两边到P点的相位为π/2和π/6时,P点离焦点的距离.

解：设P点离焦点的距离为y，透镜的焦距为f。缝宽为b，则位相差和光程差的关



系式为

2





2



bsin

2



btan

2



b

y

f

y

故

f

2b



当缝的两边到P点的位相差为2时，P点离焦点的距离为

f4.8104600y0.18mm

2b20.42



当缝的两边到P点的位相差为6时，P点离焦点的距离为

f4.8104600y0.06mm

2b20.46

8. 白光形成的单缝衍射图样中,其中某一波长的第三个次最大值与波长为600nm的光

波的第二个次最大值重合.求该光波的波长.

解：由单缝衍射次最大值的位置公式可知

1

bsink0

2 

11

bsin32

22  得



所以

5

428.67nm

所以该光为紫色光.

9. 波长为546.1nm的平行光垂直地射在1mm宽的缝上,若将焦距为100cm的透镜紧贴于缝的后面,并使光焦距到屏上,问衍射图样的中央到(1)第一最小值;(2)第一最大值;(3)第三最小值的距离分别为多少?

解: 根据单缝衍射图样的最小值位置的公式可知:

bsinbtanb

y

kf

得第一、第三最小值的位置分别为

y1

f1000

5.4611040.5461mmb1 f

1.638mmb

y33

由单缝衍射的其它最大值（即次最大）位置的近似式

bsink0b

y1

k0f2

得

10. 钠光通过宽0.2mm的狭缝后,投射到与缝相距300cm的照相底片上.所得的第一最小

值与第二最小值间的距离为0.885cm,问钠光的波长为多少?若改用X射线(λ=0.1nm)做此实验,问底片上这两个最小值之间的距离是多少?

解：如果近似按夫琅和费单缝衍射处理，则根据公式

sink

2k012b

得第二最小值与第一最小值之间的距离近似地为

yy2y12f



b

f



b

f



b



那么

yb0.020.885

590nmf300

8

4010cm时 如果改用

f30040108

y6103cm

b0.02

12. 一束平行白光垂直入射在每毫米50条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二

光谱的始端的衍射角θ之差为多少？(设可见光中最短的紫光波长为400nm，最长的红光波长为760nm)

解：由光栅方程 dsinj得

7.6104

sin13.8102

d0.02

所以 12.18

红

4.0104

sin2224.0102

d0.02

所以 22.29

紫

d

式中

1

0.02mm50

3

2.292.18636210rad 21所以

13. 用可见光(760～400nm)照射光栅是，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级和三级怎

样？若重叠，则重叠范围是多少？

解：根据光栅方程

dsinj

得 j1,

sin1

红

d



760nmd 800nmd

j2，

因为

sin22

紫

d



2>1 所以 一级和二级不重叠.

红



1520nmd

而 j2, sin22d

j3,

因为

sin33

紫

d



1200nmd

3

紫

d

设第3级紫光和第2级波长的光重合

2

则

1

d

3

所以

1

33

紫400600nm22

设第2级红光和第3级波长为2的光重合

3

则

2

d

2

红

d

2

760506.7nm3

所以

2红

2

3

综上,一级光谱与二级光谱不重叠;二级光谱的600~700nm与三级光谱的

400~506.7nm重叠.

14. 用波长为589nm的单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最大值之间的衍射角为15°10'，求该光栅1cm内的缝数是多少？

）解: dsinj(j0,1,2,12



1sin15101

222(条/cm）djj1802589107

15. 用每毫米内有400条刻痕的平面透射光栅观察波长为589nm的钠光谱。试问：(1)光垂直入射时，最多能观察到几级光谱？(2)光以30角入射时,最多能观察到几级光谱?

解:(1) 根据光栅方程 dsinj 得

j

d



sin

可见j的最大值与sin1的情况相对应(sin真正等于1时,光就不能到达屏上).

d

根据已知条件

11mmcm4004000,并取sin1,则得

1

40004.2j

5890108 (此处j只能取整数,分数无实际意义)

即能得到最大为第四级的光谱线. (2) 根据平行光倾斜入射时的光栅方程

d(sinsin0)j(j0,1,2,),可

j

得

d(sinsin0)



同样,取sin1,得

1

(sin301)

j6.48

589010

即能得到最大为第六级的光谱线.

16. 白光垂直照射到一个每毫米250条刻痕的透射光栅上，试问在衍射角为30°处会出现哪些波长的光？其颜色如何？

1

250条毫米

解: 由题意可知 d 30 390nm760nm

当760nm时,

由公

dsinj

j

得

d



sin30

1

2.6

2507601062 jdsin30

1

5.16

250390102

当390nm时,



所以 2.6j5.1 这里j可取3, 4, 5

当j3时



dsin1

667nm6j3250102 (为红色) dsin1500nm6j4250102 (为绿色) dsin1400nm6j5250102 (为紫色)

当j4时



当j5时



17. 用波长为624nm的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽b为0.012mm，不透明部分的宽度a为0.029mm，缝数N为103条。求：(1)单缝衍射图样的中央角宽度；(2)单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？(3)谱线的半宽度为多少？ 解：（1）单缝衍射图样的中央角宽度

226.2401052

2110.410rad3

b1.210

(2) 单缝衍射图样包络下的范围内共有光谱级数由下列式子确定

d0.041

3.42b0.012

式中d为光栅的光栅常数. 所以看到的级数为3.



(3) 谱线的半角宽度的公式为: 令 cos1(即0）



Ndcos

6.24105

＝31.52105rad

Nd100.0041



18. NaCl的晶体结构是简单的立方点阵，其分子量M=58.5，密度ρ=2.17g/cm3，(1)试证

明相邻两离子间的平均距离为

3

M

0.28192NA

nm

式中NA=6.02×1023/mol为阿伏加德罗常数；（2）用X射线照射晶面时，第二级光谱的最大值在掠射角为1°的方向上出现.试计算该X射线的波长.

解: (1) 晶胞的棱边为棱边长d,由于每个晶胞包含四个NaCl分子,那么密度ρ为



m4mNaCl

Vd3

这里,NaCl分子的质量由下式给出

mNaCl

M

N

13

所以晶胞的棱边由上面两式联立解得

4MdN

 



那么相邻两离子间的平均距离

d0为

d0

dM58.50.2819nm2322N26.02102.17时

2d0sin0j 在j2时

(2) 根据布喇格方程



2d0sin0

2.819sin10.0049nm2

19 波长为0.00147nm的平行X射线射在晶体界面上，晶体原子层的间距为0.28nm问光线

与界面成什么角度时，能观察到二级光谱。 解：

2dsin0j

j20.01471010

sin00.005259

2d20.2810 



0.318' 0

光线与界面成18′的角度时，能观察到二级光谱。

20 如图所示有三条彼此平行的狭缝，宽度均为b，缝距分别为d和2d，试用振幅矢量叠加法证明正入射时，夫琅禾费衍射强度公式为：

sin2ubsindsin

u,vII0[32(cos2vcos4vcos6v)]

u2 式中

证明：设单缝衍射的振幅为

a,三缝衍射的总振幅为A，则

Ax＝a（１＋cos+cos3）

Ay＝a（１＋sin+sin3）,

I=A2=A2x+Ay=a [（１＋cos+cos3）2+（１＋sin+sin3）2]

2a= [3+2 (cos+cos2+cos3)]

又

2

2

a＝

a0

sinubsin

u， u=

2dsin2u



dsin

 v=



Ia0(

2

sinu2sinu2

)[32(cos2vcos4vcos6v)]I0()[32(cos2vcos4vcos6v)]uu u

其中

bsindsin

,v，得证．

21一宽度为2cm的衍射光栅上刻有12000条刻痕。如图所示，以波长500nm的单色光垂直投射，将折射率为1.5

端由1mm均匀变薄到0.5mmtanA

解：首先求玻璃片的顶角A,

10.5

0.02520

21 题图

A0.025rad1.43

(n1)A0.0125rad

单色平行光经劈后的偏向角为 0

故玻片未加前的光栅方程为 dsinj ，

j1时，

sin

16



d，

500nm,d104nm

将

代入上式，得



arcsin()17.46

d

玻片加入后的光栅方程为

d(sin'sin0)

代入数据得：sin'0.2875或sin'0.3125



即 '16.71或'18.21

那么，第一级最大的方向改变为 '45'

22一平行单色光投射于衍射光栅上，其方向与光栅的法线成53°的方向上出现第一级谱线，且位于法线的两侧。 （1） 试求入射角

0角，在和法线成11°和

0；

（2） 试问为什么在法线两侧能观察到一级谱线，而在法线同侧则能观察到二级谱线？ 解：（1）如图(a)所示，若入射方向与衍射方向处于法线的同侧， 根据光程差的计算，

d(sinsin0) (1)

光栅方程为

如图(b)所示，若入射方向与衍射方向处于法线的两侧， 根据光程差的计算， 光栅方程为：

d

dsin'sin0 (2)

1

(sin'sin)2 (3)

(1)- (2)，得

sin0

(a)



17.711,'53将代入(3)得 0

（2）当位于法线两侧时，满足

sinsin0j



d

d

sin53sin17.7

一级谱线：



d 故d

sin53sin17.7

(4)

(b)

二级谱线：

sinsin02



d (5)

将(4)代入(5)得

sin

sin02(sin'sin0)1.291

故当位于法线两侧时，第二级谱线无法观察到。 当位于法线同侧时，满足

dsinjdsin0 ，

j2时，sin2



d

sin0

（6）

将(4)代入（6）得sin0.68551 故位于法线同侧时，第二级谱线也可观察到。

23 波长为600nm的单色光正入射到一透射光栅上，有两个相邻的主最大分别出现在

sin10.2和sin20.3处，第四级为缺级。

（1）试求光栅常量；

（2）试求光栅的缝可能的最小宽度；

（3）在确定了光栅常量与缝宽之后，试列出在光屏上世纪呈现的全部级数。 解：(1)光栅方程为 dsin1j dsin2(j1)

sin2j10.3

sinj0.2 ，j2 1故

d

故

j2600

6000nm6103mmsin0.2

3

即光栅常量为610mm

b

(2) 由第四级缺级，得

d

1.5103mm4

31.510mm 即光栅上缝的最小宽度为

sinsin

(3)



2 故最大的级次为 j10

故其时最多观察到 j9,又考虑到缺级4,8，所以能呈现的全部级次为

j0,1,2,35,6,7,9

1. 单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。求第к个带的半径。若极点到观察点的距离r0为1m，单色光波长为450nm，求此时第一半波带的半径。

解：

rr 而

rkr0

2k2k20

rkr0k



2

kk

k2r02r0

2 2

将上式两边平方，得

k22

rrkr0

4

2

k

20

20

22

略去k项，则 k

kr0

-8

k1,r100cm,450010cm带入上式，得 0 将

0.067cm

2. 平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机光圈那样改变大小。问：（1）小孔半径满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小空孔中心4m的P点的光强分别得到极大值和极小值；（2）P点最亮时，小孔直径应为多大？设此时的波长为500nm。

解：（1）根据上题结论

kkr0

-5

r400cm,510cm代入，得 将0

k4005105k0.1414kcm

当k为奇数时，P点为极大值； k为偶数时，P点为极小值。 （2）P点最亮时，小孔的直径为

3．波长为500nm的单色点光源离光阑1m，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和1mm的透光圆环，接收点P离光阑1m，求P点的光强I与没有光阑时的光强度I0之比。

212r00.2828cm

r1m Rhk10.5mm Rhk21mm 500nm解：根据题意 R1m 0

22

11Rh(Rr0)Rhkr0Rr0R 有光阑时，由公式

2Rhk10.521111k116r0R5001010001000

得

2Rhk11221k2500106rR0

11

410001000

按圆孔里面套一个小圆屏幕

11111

apa1a3a1a2a2a3a1

22222

没有光阑时

a0

a1

2

2

2

a1Iap4Iaa1/2 所以 00

4．波长为632.8nm的平行光射向直径为2.76mm的圆孔，与孔相距1m处放一屏。试问：（1）屏上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？（2）要使P点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕分别向前或向后移动多少？

解：（1）P点的亮暗取决于圆孔中包含的波代数是奇数还是偶数.当平行光如射时, 波带数为

k

r0

2

d2

r0

1.382

3632.8106103

故P点为亮点.

(2) 当P点向前移向圆孔时,相应的波带数增加;波带数增大到4时, P点变成 暗点,此时, P点至圆孔的距离为

21.382

r0mm750mm6

k4632.810

则P点移动的距离为

rr0r100cm-75cm25cm

当P点向后移离圆孔时,波带数减少,减少为2时, P点也变成暗点。

与此对应的P到圆孔的距离为

21.382

r0mm1500mm6

k2632.810



则P点移动的距离为

５.一波带片由五个半波带组成.第一波带片为半径r1的不透明圆盘,第二半波带是半径r1

至r2的透明圆环,第三半波带是r2至r3的不透明圆环,第四半波带是r3至r4的透明圆环,第五半波带是r4至无穷大的不透明区域,已知r1:r2：r3:r4=1:2:3:4,用波长500nm的平行单色光照明,最亮的像点在距波带片1m的轴上.试求:(1) r1; (2) 像点的光强; (3) 光强极大值出现在轴上哪些位置上.

解：因为5个半波带组成的半波带片上,K11,r1不透光;K22,r1至r2透

光;



rr0r0150cm-100cm50cm

K33,r2至r3不透光;K44,r3至r4透光;K55,r4至无穷大不透光.

r1:r2:r3:rr1:2:3:4 单色平行光500nm R0

fr0103mmr1m1000mm10第一条最亮的像点在的轴上,即

2

Rhr12

fr0

k1 (1)

r1r0k31500106.50.707

2222I4a16I0IA(aa)4apP24(2) 像点的光强:P 所以

fff

,,357) (3) 光强极大值出现在轴的位置是(即



f1r1m103mm

f2





f111f11f1m f3m f5m 335577

6. 波长为λ的点光源经波带片成一个像点,该波带片有100个透明奇数半波带

(1,3,5,……)。另外100个不透明偶数半波带.比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时该像点的强度比I:I0.

解: 100个奇数半波带通光总振幅

A100a100a

1

100

2

I(100a)

同样焦距和口径的透镜可划分为200个半波带通光

总振幅为

A200a1a1200a

1

2

199200

2

I200a4(100a)0

2

I(100a)21

2

I4 4(100a)0

7. 平面光的波长为480nm,垂直照射到宽度为0.4mm的狭缝上,会聚透镜的焦距为60cm.

分别计算当缝的两边到P点的相位为π/2和π/6时,P点离焦点的距离.

解：设P点离焦点的距离为y，透镜的焦距为f。缝宽为b，则位相差和光程差的关



系式为

2





2



bsin

2



btan

2



b

y

f

y

故

f

2b



当缝的两边到P点的位相差为2时，P点离焦点的距离为

f4.8104600y0.18mm

2b20.42



当缝的两边到P点的位相差为6时，P点离焦点的距离为

f4.8104600y0.06mm

2b20.46

8. 白光形成的单缝衍射图样中,其中某一波长的第三个次最大值与波长为600nm的光

波的第二个次最大值重合.求该光波的波长.

解：由单缝衍射次最大值的位置公式可知

1

bsink0

2 

11

bsin32

22  得



所以

5

428.67nm

所以该光为紫色光.

9. 波长为546.1nm的平行光垂直地射在1mm宽的缝上,若将焦距为100cm的透镜紧贴于缝的后面,并使光焦距到屏上,问衍射图样的中央到(1)第一最小值;(2)第一最大值;(3)第三最小值的距离分别为多少?

解: 根据单缝衍射图样的最小值位置的公式可知:

bsinbtanb

y

kf

得第一、第三最小值的位置分别为

y1

f1000

5.4611040.5461mmb1 f

1.638mmb

y33

由单缝衍射的其它最大值（即次最大）位置的近似式

bsink0b

y1

k0f2

得

10. 钠光通过宽0.2mm的狭缝后,投射到与缝相距300cm的照相底片上.所得的第一最小

值与第二最小值间的距离为0.885cm,问钠光的波长为多少?若改用X射线(λ=0.1nm)做此实验,问底片上这两个最小值之间的距离是多少?

解：如果近似按夫琅和费单缝衍射处理，则根据公式

sink

2k012b

得第二最小值与第一最小值之间的距离近似地为

yy2y12f



b

f



b

f



b



那么

yb0.020.885

590nmf300

8

4010cm时 如果改用

f30040108

y6103cm

b0.02

12. 一束平行白光垂直入射在每毫米50条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二

光谱的始端的衍射角θ之差为多少？(设可见光中最短的紫光波长为400nm，最长的红光波长为760nm)

解：由光栅方程 dsinj得

7.6104

sin13.8102

d0.02

所以 12.18

红

4.0104

sin2224.0102

d0.02

所以 22.29

紫

d

式中

1

0.02mm50

3

2.292.18636210rad 21所以

13. 用可见光(760～400nm)照射光栅是，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级和三级怎

样？若重叠，则重叠范围是多少？

解：根据光栅方程

dsinj

得 j1,

sin1

红

d



760nmd 800nmd

j2，

因为

sin22

紫

d



2>1 所以 一级和二级不重叠.

红



1520nmd

而 j2, sin22d

j3,

因为

sin33

紫

d



1200nmd

3

紫

d

设第3级紫光和第2级波长的光重合

2

则

1

d

3

所以

1

33

紫400600nm22

设第2级红光和第3级波长为2的光重合

3

则

2

d

2

红

d

2

760506.7nm3

所以

2红

2

3

综上,一级光谱与二级光谱不重叠;二级光谱的600~700nm与三级光谱的

400~506.7nm重叠.

14. 用波长为589nm的单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最大值之间的衍射角为15°10'，求该光栅1cm内的缝数是多少？

）解: dsinj(j0,1,2,12



1sin15101

222(条/cm）djj1802589107

15. 用每毫米内有400条刻痕的平面透射光栅观察波长为589nm的钠光谱。试问：(1)光垂直入射时，最多能观察到几级光谱？(2)光以30角入射时,最多能观察到几级光谱?

解:(1) 根据光栅方程 dsinj 得

j

d



sin

可见j的最大值与sin1的情况相对应(sin真正等于1时,光就不能到达屏上).

d

根据已知条件

11mmcm4004000,并取sin1,则得

1

40004.2j

5890108 (此处j只能取整数,分数无实际意义)

即能得到最大为第四级的光谱线. (2) 根据平行光倾斜入射时的光栅方程

d(sinsin0)j(j0,1,2,),可

j

得

d(sinsin0)



同样,取sin1,得

1

(sin301)

j6.48

589010

即能得到最大为第六级的光谱线.

16. 白光垂直照射到一个每毫米250条刻痕的透射光栅上，试问在衍射角为30°处会出现哪些波长的光？其颜色如何？

1

250条毫米

解: 由题意可知 d 30 390nm760nm

当760nm时,

由公

dsinj

j

得

d



sin30

1

2.6

2507601062 jdsin30

1

5.16

250390102

当390nm时,



所以 2.6j5.1 这里j可取3, 4, 5

当j3时



dsin1

667nm6j3250102 (为红色) dsin1500nm6j4250102 (为绿色) dsin1400nm6j5250102 (为紫色)

当j4时



当j5时



17. 用波长为624nm的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽b为0.012mm，不透明部分的宽度a为0.029mm，缝数N为103条。求：(1)单缝衍射图样的中央角宽度；(2)单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？(3)谱线的半宽度为多少？ 解：（1）单缝衍射图样的中央角宽度

226.2401052

2110.410rad3

b1.210

(2) 单缝衍射图样包络下的范围内共有光谱级数由下列式子确定

d0.041

3.42b0.012

式中d为光栅的光栅常数. 所以看到的级数为3.



(3) 谱线的半角宽度的公式为: 令 cos1(即0）



Ndcos

6.24105

＝31.52105rad

Nd100.0041



18. NaCl的晶体结构是简单的立方点阵，其分子量M=58.5，密度ρ=2.17g/cm3，(1)试证

明相邻两离子间的平均距离为

3

M

0.28192NA

nm

式中NA=6.02×1023/mol为阿伏加德罗常数；（2）用X射线照射晶面时，第二级光谱的最大值在掠射角为1°的方向上出现.试计算该X射线的波长.

解: (1) 晶胞的棱边为棱边长d,由于每个晶胞包含四个NaCl分子,那么密度ρ为



m4mNaCl

Vd3

这里,NaCl分子的质量由下式给出

mNaCl

M

N

13

所以晶胞的棱边由上面两式联立解得

4MdN

 



那么相邻两离子间的平均距离

d0为

d0

dM58.50.2819nm2322N26.02102.17时

2d0sin0j 在j2时

(2) 根据布喇格方程



2d0sin0

2.819sin10.0049nm2

19 波长为0.00147nm的平行X射线射在晶体界面上，晶体原子层的间距为0.28nm问光线

与界面成什么角度时，能观察到二级光谱。 解：

2dsin0j

j20.01471010

sin00.005259

2d20.2810 



0.318' 0

光线与界面成18′的角度时，能观察到二级光谱。

20 如图所示有三条彼此平行的狭缝，宽度均为b，缝距分别为d和2d，试用振幅矢量叠加法证明正入射时，夫琅禾费衍射强度公式为：

sin2ubsindsin

u,vII0[32(cos2vcos4vcos6v)]

u2 式中

证明：设单缝衍射的振幅为

a,三缝衍射的总振幅为A，则

Ax＝a（１＋cos+cos3）

Ay＝a（１＋sin+sin3）,

I=A2=A2x+Ay=a [（１＋cos+cos3）2+（１＋sin+sin3）2]

2a= [3+2 (cos+cos2+cos3)]

又

2

2

a＝

a0

sinubsin

u， u=

2dsin2u



dsin

 v=



Ia0(

2

sinu2sinu2

)[32(cos2vcos4vcos6v)]I0()[32(cos2vcos4vcos6v)]uu u

其中

bsindsin

,v，得证．

21一宽度为2cm的衍射光栅上刻有12000条刻痕。如图所示，以波长500nm的单色光垂直投射，将折射率为1.5

端由1mm均匀变薄到0.5mmtanA

解：首先求玻璃片的顶角A,

10.5

0.02520

21 题图

A0.025rad1.43

(n1)A0.0125rad

单色平行光经劈后的偏向角为 0

故玻片未加前的光栅方程为 dsinj ，

j1时，

sin

16



d，

500nm,d104nm

将

代入上式，得



arcsin()17.46

d

玻片加入后的光栅方程为

d(sin'sin0)

代入数据得：sin'0.2875或sin'0.3125



即 '16.71或'18.21

那么，第一级最大的方向改变为 '45'

22一平行单色光投射于衍射光栅上，其方向与光栅的法线成53°的方向上出现第一级谱线，且位于法线的两侧。 （1） 试求入射角

0角，在和法线成11°和

0；

（2） 试问为什么在法线两侧能观察到一级谱线，而在法线同侧则能观察到二级谱线？ 解：（1）如图(a)所示，若入射方向与衍射方向处于法线的同侧， 根据光程差的计算，

d(sinsin0) (1)

光栅方程为

如图(b)所示，若入射方向与衍射方向处于法线的两侧， 根据光程差的计算， 光栅方程为：

d

dsin'sin0 (2)

1

(sin'sin)2 (3)

(1)- (2)，得

sin0

(a)



17.711,'53将代入(3)得 0

（2）当位于法线两侧时，满足

sinsin0j



d

d

sin53sin17.7

一级谱线：



d 故d

sin53sin17.7

(4)

(b)

二级谱线：

sinsin02



d (5)

将(4)代入(5)得

sin

sin02(sin'sin0)1.291

故当位于法线两侧时，第二级谱线无法观察到。 当位于法线同侧时，满足

dsinjdsin0 ，

j2时，sin2



d

sin0

（6）

将(4)代入（6）得sin0.68551 故位于法线同侧时，第二级谱线也可观察到。

23 波长为600nm的单色光正入射到一透射光栅上，有两个相邻的主最大分别出现在

sin10.2和sin20.3处，第四级为缺级。

（1）试求光栅常量；

（2）试求光栅的缝可能的最小宽度；

（3）在确定了光栅常量与缝宽之后，试列出在光屏上世纪呈现的全部级数。 解：(1)光栅方程为 dsin1j dsin2(j1)

sin2j10.3

sinj0.2 ，j2 1故

d

故

j2600

6000nm6103mmsin0.2

3

即光栅常量为610mm

b

(2) 由第四级缺级，得

d

1.5103mm4

31.510mm 即光栅上缝的最小宽度为

sinsin

(3)



2 故最大的级次为 j10

故其时最多观察到 j9,又考虑到缺级4,8，所以能呈现的全部级次为

j0,1,2,35,6,7,9