选修2-2 2.2.2 反证法
一、选择题
1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )
A．有一个解
B．有两个解
C．至少有三个解
D．至少有两个解
[答案] C
[解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.
2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( )
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c都是偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数
[答案] B
[解析] a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
[答案] B
[解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B.
4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a、b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个偶数
D．假设a，b，c至多有两个偶数
[答案] B
[解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数．
5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是( )
A．a
B．a≤b
C．a＝b
D．a≥b
[答案] B
[解析] “a>b”的否定应为“a＝b或a
6．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
[答案] C
[解析] 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.
7．设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋1b，c＋1a，b＋1c中( )
A．都不大于－2
B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2
D．至少有一个不小于－2
[答案] C
[解析] a＋1b＋c＋1a＋b＋1c
＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c
∵a，b，c∈(－∞，0)，
∴a＋1a＝－－a＋－1a≤－2
b＋1b＝－－b＋－1b≤－2
c＋1c＝－－c＋－1c≤－2
∴a＋1b＋c＋1a＋b＋1c≤－6
∴三数a＋1b、c＋1a、b＋1c中至少有一个不大于－2，故应选C.
8．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则( )
A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
[答案] B
[解析] 对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m
则有l∥m，与l、m异面矛盾；对于C，过点P与l、m都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥α)；对于D，过点P与l、m都异面的直线不唯一．
9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
[答案] C
[解析] 因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C.
10．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝xn(x2n＋3)3x2n＋1(n＝1,2…)，试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xnxn＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为( )
A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1
B．存在正整数n，使xn＝xn＋1
C．存在正整数n，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1
D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0
[答案] D
[解析] 命题的结论是“对任意正整数n，数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”．故应选D.
二、填空题
11．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．
[答案] 没有一个是三角形或四边形或五边形
[解析] “至少有一个”的否定是“没有一个”．
12．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．
[答案] a，b都不能被5整除
[解析] “至少有一个”的否定是“都不能”．
13．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为____________．
[答案] ③①②
[解析] 由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.
14．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：
假设______________．设全体质数为p1、p2、…、pn，令p＝p1p2…pn＋1.
显然，p不含因数p1、p2、…、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、…、pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．
[答案] 质数只有有限多个 除p1、p2、…、pn之外
[解析] 由反证法的步骤可得．
三、解答题
15．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.
求证：a>0，b>0，c>0.
[证明] 用反证法：
假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数， 不妨设a0，则由a＋b＋c>0，
可得c>－(a＋b)，
又a＋b
ab＋c(a＋b)
即ab＋bc＋ca
∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)0矛盾，所以假设不成立．
因此a>0，b>0，c>0成立．
16．已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于14.
[证明] 证法1：假设(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正数，∴1－a、1－b、1－c都是正数.(1－a)＋b2≥(1－a)b＞14＝12，
同理(1－b)＋c2＞12，(1－c)＋a2＞12.
三式相加，得
(1－a)＋b2＋(1－b)＋c2＋(1－c)＋a2＞32，
即32＞32，矛盾．
所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都大于14.
证法2：假设三个式子同时大于14，即(1－a)b>14，(1－b)c>14，(1－c)a>14，三式相乘得
(1－a)b(1－b)c(1－c)a>143①
因为0
同理，0
所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤143.②
因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．
17．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.
(1)若a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．
[解析] (1)证明：∵a＋b≥0，∴a≥－b.
由已知f(x)的单调性得f(a)≥f(－b)．
又a＋b≥0⇒b≥－a⇒f(b)≥f(－a)．
两式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)逆命题：
f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)⇒a＋b≥0.
下面用反证法证之．
假设a＋b
a＋b
⇒f(a)＋f(b)
这与已知矛盾，故只有a＋b≥0.逆命题得证．
18．(2010•湖北理，20改编)已知数列{bn}的通项公式为bn＝1423n－1.求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．
[解析] 假设数列{bn}存在三项br、bs、bt(rbs>br，则只可能有2bs＝br＋bt成立． ∴2•1423s－1＝1423r－1＋1423t－1.
两边同乘3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝2•2s－r3t－s，
由于r
选修2-2 2.2.2 反证法
一、选择题
1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )
A．有一个解
B．有两个解
C．至少有三个解
D．至少有两个解
[答案] C
[解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.
2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( )
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c都是偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数
[答案] B
[解析] a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
[答案] B
[解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B.
4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a、b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个偶数
D．假设a，b，c至多有两个偶数
[答案] B
[解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数．
5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是( )
A．a
B．a≤b
C．a＝b
D．a≥b
[答案] B
[解析] “a>b”的否定应为“a＝b或a
6．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
[答案] C
[解析] 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.
7．设a，b，c∈(－∞，0)，则三数a＋1b，c＋1a，b＋1c中( )
A．都不大于－2
B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2
D．至少有一个不小于－2
[答案] C
[解析] a＋1b＋c＋1a＋b＋1c
＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c
∵a，b，c∈(－∞，0)，
∴a＋1a＝－－a＋－1a≤－2
b＋1b＝－－b＋－1b≤－2
c＋1c＝－－c＋－1c≤－2
∴a＋1b＋c＋1a＋b＋1c≤－6
∴三数a＋1b、c＋1a、b＋1c中至少有一个不大于－2，故应选C.
8．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则( )
A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
[答案] B
[解析] 对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m
则有l∥m，与l、m异面矛盾；对于C，过点P与l、m都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥α)；对于D，过点P与l、m都异面的直线不唯一．
9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
[答案] C
[解析] 因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C.
10．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝xn(x2n＋3)3x2n＋1(n＝1,2…)，试证“数列{xn}或者对任意正整数n都满足xnxn＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为( )
A．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1
B．存在正整数n，使xn＝xn＋1
C．存在正整数n，使xn≥xn＋1且xn≤xn－1
D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0
[答案] D
[解析] 命题的结论是“对任意正整数n，数列{xn}是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”．故应选D.
二、填空题
11．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．
[答案] 没有一个是三角形或四边形或五边形
[解析] “至少有一个”的否定是“没有一个”．
12．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．
[答案] a，b都不能被5整除
[解析] “至少有一个”的否定是“都不能”．
13．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为____________．
[答案] ③①②
[解析] 由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.
14．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：
假设______________．设全体质数为p1、p2、…、pn，令p＝p1p2…pn＋1.
显然，p不含因数p1、p2、…、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、…、pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．
[答案] 质数只有有限多个 除p1、p2、…、pn之外
[解析] 由反证法的步骤可得．
三、解答题
15．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.
求证：a>0，b>0，c>0.
[证明] 用反证法：
假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数， 不妨设a0，则由a＋b＋c>0，
可得c>－(a＋b)，
又a＋b
ab＋c(a＋b)
即ab＋bc＋ca
∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)0矛盾，所以假设不成立．
因此a>0，b>0，c>0成立．
16．已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于14.
[证明] 证法1：假设(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于14.∵a、b、c都是小于1的正数，∴1－a、1－b、1－c都是正数.(1－a)＋b2≥(1－a)b＞14＝12，
同理(1－b)＋c2＞12，(1－c)＋a2＞12.
三式相加，得
(1－a)＋b2＋(1－b)＋c2＋(1－c)＋a2＞32，
即32＞32，矛盾．
所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都大于14.
证法2：假设三个式子同时大于14，即(1－a)b>14，(1－b)c>14，(1－c)a>14，三式相乘得
(1－a)b(1－b)c(1－c)a>143①
因为0
同理，0
所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤143.②
因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．
17．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.
(1)若a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．
[解析] (1)证明：∵a＋b≥0，∴a≥－b.
由已知f(x)的单调性得f(a)≥f(－b)．
又a＋b≥0⇒b≥－a⇒f(b)≥f(－a)．
两式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)逆命题：
f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)⇒a＋b≥0.
下面用反证法证之．
假设a＋b
a＋b
⇒f(a)＋f(b)
这与已知矛盾，故只有a＋b≥0.逆命题得证．
18．(2010•湖北理，20改编)已知数列{bn}的通项公式为bn＝1423n－1.求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．
[解析] 假设数列{bn}存在三项br、bs、bt(rbs>br，则只可能有2bs＝br＋bt成立． ∴2•1423s－1＝1423r－1＋1423t－1.
两边同乘3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝2•2s－r3t－s，
由于r