证明切线的两种方法
朱元生
判定直线与圆相切是有关圆的问题中经常会遇到的问题,现将常用的两种思路与方法说明如下： 一、运用判定定理是证明切线最常用的方法,即如果直线与圆有交点,则连接交点与圆心得半径,只要证明这条半径与该直线垂直即可.这种方法可简单概括为:连半径,证垂直.
例1 如图1,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AC于E. 求证:DE是⊙O的切线.
分析:由题设可知,DE与⊙O有交点D,要证明DE是⊙O的切线,只要连接OD,证明OD⊥DE即可. 证明:连接OD.
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∴∠ODB=∠ACB. ∴OD∥AC.
∴∠ODE=∠DEC.
∵DE⊥AC,
∴∠DEC=900.
∴∠ODE=900, 即OD⊥DE.
∴DE是⊙O的切线.
二 、当不明确直线与圆的交点个数或交点的位置时,可以经过圆心作直线的垂线,然后证明圆心到直线的距离等于圆的半径即可.这种方法可简单概括为:作垂线,证半径.
例2 如图2,在Rt△AOB中,AO=3,BO=65,以点O为圆心,6为半径作⊙O.
求证:AB是⊙O的切线.
分析:由题设知,⊙O与直线AB是独立的,既没有指明交点个数,也没有指明交点位置,这时要证明AB是⊙O的切线,只能证明圆心O到直线AB的距离等于圆的半径6即可.
证明:过点O作OC⊥AB于点C.
在Rt△AOB中,AO=3,BO=65,由勾股定理,得 AB=OA+OB=223+6522=15.
11根据三角形面积公式,得AB⋅OC=OA⋅OB. 22
∴OC=OA⋅OB3⨯6==6. AB15
∴点O到直线AB的距离等于⊙O的半径.
∴AB是⊙O的切线.
[牛刀小试]
如图3,,点O是等腰三角形ABC底边BC的中点,若AB是⊙O的切线,试证明AC也是⊙O的切线.
提示: 设点D为AB与⊙O的切点,连接OD,过点
O作
OE⊥AC
于点E,
证明OE=OD即可.
证明切线的两种方法
朱元生
判定直线与圆相切是有关圆的问题中经常会遇到的问题,现将常用的两种思路与方法说明如下： 一、运用判定定理是证明切线最常用的方法,即如果直线与圆有交点,则连接交点与圆心得半径,只要证明这条半径与该直线垂直即可.这种方法可简单概括为:连半径,证垂直.
例1 如图1,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AC于E. 求证:DE是⊙O的切线.
分析:由题设可知,DE与⊙O有交点D,要证明DE是⊙O的切线,只要连接OD,证明OD⊥DE即可. 证明:连接OD.
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∴∠ODB=∠ACB. ∴OD∥AC.
∴∠ODE=∠DEC.
∵DE⊥AC,
∴∠DEC=900.
∴∠ODE=900, 即OD⊥DE.
∴DE是⊙O的切线.
二 、当不明确直线与圆的交点个数或交点的位置时,可以经过圆心作直线的垂线,然后证明圆心到直线的距离等于圆的半径即可.这种方法可简单概括为:作垂线,证半径.
例2 如图2,在Rt△AOB中,AO=3,BO=65,以点O为圆心,6为半径作⊙O.
求证:AB是⊙O的切线.
分析:由题设知,⊙O与直线AB是独立的,既没有指明交点个数,也没有指明交点位置,这时要证明AB是⊙O的切线,只能证明圆心O到直线AB的距离等于圆的半径6即可.
证明:过点O作OC⊥AB于点C.
在Rt△AOB中,AO=3,BO=65,由勾股定理,得 AB=OA+OB=223+6522=15.
11根据三角形面积公式,得AB⋅OC=OA⋅OB. 22
∴OC=OA⋅OB3⨯6==6. AB15
∴点O到直线AB的距离等于⊙O的半径.
∴AB是⊙O的切线.
[牛刀小试]
如图3,,点O是等腰三角形ABC底边BC的中点,若AB是⊙O的切线,试证明AC也是⊙O的切线.
提示: 设点D为AB与⊙O的切点,连接OD,过点
O作
OE⊥AC
于点E,
证明OE=OD即可.