高考数学数列部分知识点梳理
一数列的概念
1）数列的前n 项和与通项的公式①S n =a 1+a 2+ +a n ； a n =⎨
⎧S 1(n =1)
⎩S n -S n -1(n ≥2)
2）数列的分类：①递增数列:对于任何n ∈N +, 均有a n +1>a n . ②递减数列:对于任何
n ∈N +, 均有a n +1
如:6,6,6,6,„„. ⑤有界数列:存在正数M 使a n ≤M , n ∈N +. ⑥无界数列:对于任何正
1）通项公式a n =a 1+(n -1) d ，a 1为首项，d 为公差。前n 项和公式S n =
1n 或2
1
n (n -1) d . 2
2）等差中项：2A =a +b 。 S n =na 1+
3）等差数列的判定方法：⑴定义法：a n +1-a n =d （n ∈N +，d 是常数）⇔{a n }是等差数列；⑵中项法：2a n +1=a n +a n +2(n ∈N +) ⇔{a n }是等差数列.
4）等差数列的性质：
⑴数列{a n }是等差数列，则数列{a n +p }、{pa n }（p 是常数）都是等差数列；
⑵在等差数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即⑶a n =a m +(n -m ) d ；a n =an +b (a , b 是常数) ；S n =an 2+bn (a , b 是常数，
a n , a n +k , a n +2k , a n +3k , 为等差数列，公差为kd .
a ≠0)
⑷若m +n =p +q (m , n , p , q ∈N +) ，则a m +a n =a p +a q ；
⎧S n ⎫
⎬是等差数列； ⎩n ⎭
S a
⑹当项数为2n (n ∈N +) ，则S 偶-S 奇=nd , 偶=n +1；
S 奇a n
⑸若等差数列{a n }的前n 项和S n ，则⎨ 当项数为2n -1(n ∈N +) ，则S 奇
-S 偶=a n , (7)
设 (8)设则有 (9)
；
是等差数列的前项和，则
；
，公差为
，前项和为
，则
是等差数列，则
，
（
S 偶n -1
. =
S 奇n
的等差数列；
，
是常数）是公差为
，
(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列
①．
②．
为等差数列，公差为
（即
）为等差数列，公差
；
；
③．（即）为等差数列，公差为.
二、等比数列 1）通项公式：a n =a 1q n -1，a 1为首项，q 为公比 。前n 项和公式：①当q =1时，S n =na 1
a 1(1-q n ) a 1-a n q ②当q ≠1时，S n =. =
1-q 1-q
2
2）等比中项：G =a ⋅b 。
；
3）等比数列的判定方法：⑴定义法：
2
a n +1
=q （n ∈N +，q ≠0是常数）⇔{a n }是等比a n
数列；⑵中项法：a n +1=a n ⋅a n +2(n ∈N +) 且a n ≠0⇔{a n }是等比数列.
4）等比数列的性质：
⑴数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }、{pa n }（q ≠0是常数）都是等比数列；
n -m
a =a ⋅q (n , m ∈N +) m （2）n
（3）若m +n =p +q (m , n , p , q ∈N +) ，则a m ⋅a n =a p ⋅a q ；
（4）若等比数列{a n }的前n 项和S n ，则S k 、S 2k -S k 、S 3k -S 2k 、S 4k -S 3k 是等比数列. （5）设 （6）设
，
是等比数列，则
也是等比数列。
则
也是等比数列（即等比数
是等比数列，是等差数列，且
列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）； （7）设
（8
）设
则有
；
，公比为
； （即
）为
，前项和为
，则
是正项等比数列，则
，
是等差数列； ，
，
（9）其他衍生等比数列：若已知等比数列 ①．
②．
为等比数列，公比为
等比数列，公比为；
三、解题技巧： A 、数列求和的常用方法：
1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。 2、错项相减法：适用于差比数列（如果{a n }等差，{b n }等比，那么{a n b n }叫做差比数列） 即把每一项都乘以{b n }的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。 3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适
⎧⎫⎧1⎫用于数列⎨和（其中{a n }等差）。可裂项为：⎬
⎩a n ⋅a n +1⎭
11111
=(-) =
a n ⋅
a n +1d a n a n +1d
B 、等差数列前n 项和的最值问题：
1、若等差数列{a n }的首项a 1>0，公差d
⎧a n ≥0（ⅰ）若已知通项a n ，则S n 最大⇔⎨；
a ≤0⎩n +1
（ⅱ）若已知S n =pn 2+qn ，则当n 取最靠近-
q
的非零自然数时S n 最大； 2p
2、若等差数列{a n }的首项a 10，则前n 项和S n 有最小值 （ⅰ）若已知通项a n ，则S n 最小⇔⎨
⎧a n ≤0
；
⎩a n +1≥0
q
的非零自然数时S n 最小； 2p
（ⅱ）若已知S n =pn 2+qn ，则当n 取最靠近-C 、根据递推公式求通项： 1、构造法：
1°递推关系形如“a n +1=pa n +q ”，利用待定系数法求解 2°递推关系形如“，两边同除p
n +1
【例题】已知数列{a n }中，a 1=1, a n +1=2a n +3，求数列{a n }的通项公式.
或待定系数法求解
【例题】a 1=1, a n +1=2a n +3n ，求数列{a n }的通项公式.
3°递推已知数列{a n }中，关系形如“a n +2=p ⋅a n +1+q ⋅a n ”，利用待定系数法求解 4°递推关系形如" a n -pa n -1=qa n a n -, 两边同除以a n a n -1 （1p,q ≠0)
【例题】已知数列{a n }中，a 1=1, a 2=2, a n +2=3a n +1-2a n ，求数列{a n }的通项公式.
【例题】已知数列a n 中，a n -a n -1=2a n a n -（a n 的通项公式. 1n ≥2),a 1=2，求数列 【例题】数列{a n }中，a 1=2, a n +1=
2a n
(n ∈N +) ，求数列{a n }的通项公式.
4+a n
2、迭代法：
a 、⑴已知关系式a n +1=a n +f (n ) ，可利用迭加法或迭代法；
a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) +(a n -2-a n -3) + +(a 2-a 1) +a 1
【例题】已知数列{a n }中，a 1=2, a n =a n -1+2n -1(n ≥2) ，求数列{a n }的通项公式
a a a a a
b、已知关系式a n +1=a n ⋅f (n ) ，可利用迭乘法. a n =n ⋅n -1⋅n -2⋅ ⋅3⋅2⋅a 1
a n -1a n -2a n -3a 2a 1
a n -1
【例题】已知数列{a n }满足：n =(n ≥2), a 1=2，求求数列{a n }的通项公式；
a n -1n +1
3、给出关于S n 和a m 的关系
【例题】设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=a , a n +1=S n +3n (n ∈N +) ，设
b n =S n -3n ，
求数列{b n }的通项公式．
五、典型例题： A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列） 1）根据基本量求解（方程的思想）
【例题】已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 4=9, a 9=-6, S n =63，求n ； 2）根据数列的性质求解（整体思想）
【例题】已知S n 为等比数列{a n }前n 项和，S n =54，S 2n =60，则S 3n = . B 、求数列通项公式（参考前面根据递推公式求通项部分） C 、证明数列是等差或等比数列 1) 证明数列等差
【例题】已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，b n =
S n
(n ∈N +) . 求证：数列{b n }是等差n
数列.
2）证明数列等比
【例题】数列{an }的前n 项和为S n ，数列{bn }中，若a n +Sn =n.设c n =an －1，求证：数列{cn }是等比数列；
D 、求数列的前n 项和
【例题1】求数列{2n +2n -3}的前n 项和S n . （拆项求和法） 【例题2】求和：S=1+
111++ +（裂项相消法） 1+21+2+31+2+3+ +n
x 2
【例题3】设f (x ) =，求：⑴f () +f () +f () +f (2) +f (3) +f (4) ； 2
1+x
⑵f () +f () + +f () +f (2010). ) +f () +f (2) + +f (2009
倒序相加
（
法 ）
【例题4】若数列{a n }的通项a n =(2n -1) ⋅3n ，求此数列的前n 项和S n . （错位相减法） 【例题5】已知数列{an }的前n 项和S n =12n－n ，求数列{|an |}的前n 项和T n . E 、数列单调性最值问题
【例题】数列{a n }中，a n =2n -49，当数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，n =
2
高考数学数列部分知识点梳理
一数列的概念
1）数列的前n 项和与通项的公式①S n =a 1+a 2+ +a n ； a n =⎨
⎧S 1(n =1)
⎩S n -S n -1(n ≥2)
2）数列的分类：①递增数列:对于任何n ∈N +, 均有a n +1>a n . ②递减数列:对于任何
n ∈N +, 均有a n +1
如:6,6,6,6,„„. ⑤有界数列:存在正数M 使a n ≤M , n ∈N +. ⑥无界数列:对于任何正
1）通项公式a n =a 1+(n -1) d ，a 1为首项，d 为公差。前n 项和公式S n =
1n 或2
1
n (n -1) d . 2
2）等差中项：2A =a +b 。 S n =na 1+
3）等差数列的判定方法：⑴定义法：a n +1-a n =d （n ∈N +，d 是常数）⇔{a n }是等差数列；⑵中项法：2a n +1=a n +a n +2(n ∈N +) ⇔{a n }是等差数列.
4）等差数列的性质：
⑴数列{a n }是等差数列，则数列{a n +p }、{pa n }（p 是常数）都是等差数列；
⑵在等差数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即⑶a n =a m +(n -m ) d ；a n =an +b (a , b 是常数) ；S n =an 2+bn (a , b 是常数，
a n , a n +k , a n +2k , a n +3k , 为等差数列，公差为kd .
a ≠0)
⑷若m +n =p +q (m , n , p , q ∈N +) ，则a m +a n =a p +a q ；
⎧S n ⎫
⎬是等差数列； ⎩n ⎭
S a
⑹当项数为2n (n ∈N +) ，则S 偶-S 奇=nd , 偶=n +1；
S 奇a n
⑸若等差数列{a n }的前n 项和S n ，则⎨ 当项数为2n -1(n ∈N +) ，则S 奇
-S 偶=a n , (7)
设 (8)设则有 (9)
；
是等差数列的前项和，则
；
，公差为
，前项和为
，则
是等差数列，则
，
（
S 偶n -1
. =
S 奇n
的等差数列；
，
是常数）是公差为
，
(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列
①．
②．
为等差数列，公差为
（即
）为等差数列，公差
；
；
③．（即）为等差数列，公差为.
二、等比数列 1）通项公式：a n =a 1q n -1，a 1为首项，q 为公比 。前n 项和公式：①当q =1时，S n =na 1
a 1(1-q n ) a 1-a n q ②当q ≠1时，S n =. =
1-q 1-q
2
2）等比中项：G =a ⋅b 。
；
3）等比数列的判定方法：⑴定义法：
2
a n +1
=q （n ∈N +，q ≠0是常数）⇔{a n }是等比a n
数列；⑵中项法：a n +1=a n ⋅a n +2(n ∈N +) 且a n ≠0⇔{a n }是等比数列.
4）等比数列的性质：
⑴数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }、{pa n }（q ≠0是常数）都是等比数列；
n -m
a =a ⋅q (n , m ∈N +) m （2）n
（3）若m +n =p +q (m , n , p , q ∈N +) ，则a m ⋅a n =a p ⋅a q ；
（4）若等比数列{a n }的前n 项和S n ，则S k 、S 2k -S k 、S 3k -S 2k 、S 4k -S 3k 是等比数列. （5）设 （6）设
，
是等比数列，则
也是等比数列。
则
也是等比数列（即等比数
是等比数列，是等差数列，且
列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）； （7）设
（8
）设
则有
；
，公比为
； （即
）为
，前项和为
，则
是正项等比数列，则
，
是等差数列； ，
，
（9）其他衍生等比数列：若已知等比数列 ①．
②．
为等比数列，公比为
等比数列，公比为；
三、解题技巧： A 、数列求和的常用方法：
1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。 2、错项相减法：适用于差比数列（如果{a n }等差，{b n }等比，那么{a n b n }叫做差比数列） 即把每一项都乘以{b n }的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。 3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适
⎧⎫⎧1⎫用于数列⎨和（其中{a n }等差）。可裂项为：⎬
⎩a n ⋅a n +1⎭
11111
=(-) =
a n ⋅
a n +1d a n a n +1d
B 、等差数列前n 项和的最值问题：
1、若等差数列{a n }的首项a 1>0，公差d
⎧a n ≥0（ⅰ）若已知通项a n ，则S n 最大⇔⎨；
a ≤0⎩n +1
（ⅱ）若已知S n =pn 2+qn ，则当n 取最靠近-
q
的非零自然数时S n 最大； 2p
2、若等差数列{a n }的首项a 10，则前n 项和S n 有最小值 （ⅰ）若已知通项a n ，则S n 最小⇔⎨
⎧a n ≤0
；
⎩a n +1≥0
q
的非零自然数时S n 最小； 2p
（ⅱ）若已知S n =pn 2+qn ，则当n 取最靠近-C 、根据递推公式求通项： 1、构造法：
1°递推关系形如“a n +1=pa n +q ”，利用待定系数法求解 2°递推关系形如“，两边同除p
n +1
【例题】已知数列{a n }中，a 1=1, a n +1=2a n +3，求数列{a n }的通项公式.
或待定系数法求解
【例题】a 1=1, a n +1=2a n +3n ，求数列{a n }的通项公式.
3°递推已知数列{a n }中，关系形如“a n +2=p ⋅a n +1+q ⋅a n ”，利用待定系数法求解 4°递推关系形如" a n -pa n -1=qa n a n -, 两边同除以a n a n -1 （1p,q ≠0)
【例题】已知数列{a n }中，a 1=1, a 2=2, a n +2=3a n +1-2a n ，求数列{a n }的通项公式.
【例题】已知数列a n 中，a n -a n -1=2a n a n -（a n 的通项公式. 1n ≥2),a 1=2，求数列 【例题】数列{a n }中，a 1=2, a n +1=
2a n
(n ∈N +) ，求数列{a n }的通项公式.
4+a n
2、迭代法：
a 、⑴已知关系式a n +1=a n +f (n ) ，可利用迭加法或迭代法；
a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) +(a n -2-a n -3) + +(a 2-a 1) +a 1
【例题】已知数列{a n }中，a 1=2, a n =a n -1+2n -1(n ≥2) ，求数列{a n }的通项公式
a a a a a
b、已知关系式a n +1=a n ⋅f (n ) ，可利用迭乘法. a n =n ⋅n -1⋅n -2⋅ ⋅3⋅2⋅a 1
a n -1a n -2a n -3a 2a 1
a n -1
【例题】已知数列{a n }满足：n =(n ≥2), a 1=2，求求数列{a n }的通项公式；
a n -1n +1
3、给出关于S n 和a m 的关系
【例题】设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=a , a n +1=S n +3n (n ∈N +) ，设
b n =S n -3n ，
求数列{b n }的通项公式．
五、典型例题： A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列） 1）根据基本量求解（方程的思想）
【例题】已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 4=9, a 9=-6, S n =63，求n ； 2）根据数列的性质求解（整体思想）
【例题】已知S n 为等比数列{a n }前n 项和，S n =54，S 2n =60，则S 3n = . B 、求数列通项公式（参考前面根据递推公式求通项部分） C 、证明数列是等差或等比数列 1) 证明数列等差
【例题】已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，b n =
S n
(n ∈N +) . 求证：数列{b n }是等差n
数列.
2）证明数列等比
【例题】数列{an }的前n 项和为S n ，数列{bn }中，若a n +Sn =n.设c n =an －1，求证：数列{cn }是等比数列；
D 、求数列的前n 项和
【例题1】求数列{2n +2n -3}的前n 项和S n . （拆项求和法） 【例题2】求和：S=1+
111++ +（裂项相消法） 1+21+2+31+2+3+ +n
x 2
【例题3】设f (x ) =，求：⑴f () +f () +f () +f (2) +f (3) +f (4) ； 2
1+x
⑵f () +f () + +f () +f (2010). ) +f () +f (2) + +f (2009
倒序相加
（
法 ）
【例题4】若数列{a n }的通项a n =(2n -1) ⋅3n ，求此数列的前n 项和S n . （错位相减法） 【例题5】已知数列{an }的前n 项和S n =12n－n ，求数列{|an |}的前n 项和T n . E 、数列单调性最值问题
【例题】数列{a n }中，a n =2n -49，当数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，n =
2