高中数学三角函数复习专题
一、知识点整理:
1、角的概念的推广：
正负，范围，象限角，坐标轴上的角； 2、角的集合的表示：
①终边为一射线的角的集合：⇔{x x =2k π+α, k ∈Z }={β|β=α+k ⋅360, k ∈Z }
②终边为一直线的角的集合：⇔{x x =k π+α, k ∈Z }；
③两射线介定的区域上的角的集合：⇔{x 2k π+β
（1） 弧长公式：l =a R R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，l 为弧长。 （2） 扇形的面积公式：S =
12
lR R 为圆弧的半径，l 为弧长。
{x k π+β
（3） 三角函数定义：角α中边上任意一点P 为(x , y ) ，设|OP |=r 则：
sin α=
y r
, cos α=
x r
, tan α=
y x
r=a +b
22
P (r cos α, r sin α)比 反过来，角α的终边上到原点的距离为r 的点P 的坐标可写为：
如：公式cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β 的证明
（6）
如图，角α 垂足为M 过点A(1,0)作x （7 tan a cot a =1tan a =
③平方关系：sin 2a +cos 2a =1
（8) 诱导公试
cos a
三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限
三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;
即函数名改变，符号看象限:
π⎫π⎫⎛⎛π⎫⎛
sin x +⎪=cos -x ⎪=cos x -⎪
4⎭⎝4⎭⎝比如⎝4⎭
π⎫⎛⎛π⎫
cos x +⎪=sin -x ⎪
4⎭⎝⎝4⎭
4. 两角和与差的三角函数： （1）两角和与差公式：
cos(α±β) =cos a cos β sin a sin β
s i n a (±β) =s i n a c o s β±c o s a s i n β
tan a (a ±β) =
tan a ±tan β1 tan a tan β
注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．．
（2）二倍角公式：
sin 2a =2sin a cos a c o s
2a =c o s 2
a -s i n 2
a =1-2s i n 2
a =2c o s 2
a -1 tan 2a =
2tan a 1-tan 2
a
(3)几个派生公式：
①辅助角公式：a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +ϕ) =a 2+b 2cos(x -ϕ) 例如：sin α±cos α＝2sin ⎛⎝
α±
π⎫
⎛
4⎪＝2α±
π⎫
⎭
cos ⎝
4⎪⎭
． sin α±3cos α＝2sin ⎛
α±
π⎫
π⎫⎝
3⎪＝2cos ⎛
⎭ α±⎝
3⎪等．
⎭②降次公式： (sinα±cos α) 2
=1±sin 2α
cos 2α=1+cos 2α2
1-cos 2α2
, sin α=2
③tan
α+tan β=tan(α+β)(1-tan α⋅tan β)
5
6、. 函数y =A sin(ωx +ϕ) 的图像与性质：
（本节知识考察一般能化成形如y =A sin(ωx +ϕ) 图像及性质）
2π
（1） 函数y =A sin(ωx +ϕ) 和y =A cos(ωx +ϕ) 的周期都是T =
π
（2） 函数y =A tan(ωx +ϕ) 和y =A cot(ωx +ϕ) 的周期都是T =
3π2
（3） 五点法作y =A sin(ωx +ϕ) 的简图，设t =ωx +ϕ，取0、
π2
、π、、2π来求相应x
的值以及对应的y 值再描点作图。
（4） 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总
是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。（附上函
数平移伸缩变换）:
函数的平移变换：
①y =f (x ) →y =f (x ±a )(a >0) 将y =f (x ) 图像沿x 轴向左（右）平移a 个单位 （左加右减）
②y =f (x ) →y =f (x ) ±b (b >0) 将y =f (x ) 图像沿y 轴向上（下）平移b 个单位 （上加下减）
函数的伸缩变换：
①y =f (x ) →y =f (wx )(w >0) 将y =f (x ) 图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的（w >1缩短， 0
②y =f (x ) →y =Af (x )(A >0) 将y =f (x ) 图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A 倍（A >1伸长，0
①y =f (x ) →y =f (-x ) ) 将y =f (x ) 图像沿y 轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于y 轴对称）
②y =f (x ) →y =-f (x ) 将y =f (x ) 图像沿x 轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于x 轴对称）
1w
倍
③y =f (x ) →y =f (x ) 将y =f (x ) 图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）
④y =f (x ) →y =f (x ) 保留y =f (x ) 在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动）
7、解三角形
(1)正弦定理：
a sin A
=
b sin B
=
c sin C
=2R
，
222
⎧b +c -a
, ⎪cos A =
2bc
⎧a 2=b 2+c 2-2bc cos A , 222⎪
a +c -b ⎪2⎪22
,
(2)余弦定理：⎨b 2=a 2+c 2-2ac cos B , ⇒⎨cos B =2ac ⎪⎪222⎩c =a +b -2ab cos C . a +b -c ⎪cos C =.
⎪2ab ⎩
(3)推论：正余弦定理的边角互换功能
① a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C
②sin A = ③
a sin A
a 2R =
，sin B =
b
=
c sin C
b 2R
，sin C =
c 2R
=2R
sin B
=
a +b +c sin A +sin B +sin C
④a :b :c =sin A :sin B :sin C (4)面积公式：S=二、练习题
1、sin 330︒等于 （ ） A
．-
2
12
ab*sinC=
12
bc*sinA=
12
ca*sinB
．-
12
C．
12
D
2
2、若sin α0是，则α是 （ ） A ．第一象限角
B ． 第二象限角
C ． 第三象限角
D ． 第四象限角
3、如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长为 ( )
1
A ． B ．sin0.5 C ．2sin0.5 D ．tan0.5
sin0.5
1
4、在△ABC 中，“A ＞30°”是“sinA ＞的 ( )
2
A ．仅充分条件B ．仅必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
（-b , 4), 且cos α=-5、角α的终边过点
35
, 则b 的值（ ）
A、3 B、-3 C、±3 D、5 6、已知ππ32
2
+θ) =-
5
，则tan(π-θ) 的值为（ ）
A ．
34
B ．
443
C ．-
34
D ．-3
7、y =(sinx -cos x ) 2-1是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数
D ．最小正周期为π的奇函数
8、若动直线x =a 与函数f (x ) =sin x 和g (x ) =cos x 的图像分别交于M ，N 两点，则
MN 的最大值为 （ ）
A．1 B
C
．2
9、为得到函数y =cos ⎛π x +⎫
⎝
3⎪的图象，只需将函数y =sin x 的图像（ ）
⎭
A ．向左平移π
6个长度单位 B ．向右平移π
6
个长度单位
C ．向左平移
5π
个长度单位
5π6
D ．向右平移
6
个长度单位
10、正弦型函数在一个周期内的图象如图所示，则该函数的表达式是( )
A. y = 2sin(x-
ππ4
) B. y = 2sin(x +
4
)
C. y = 2sin (2x -π8
) D. y = 2sin (2x +
π8
)
11、函数y =-cos(x π2-
3
) 的单调递增区间是（ ）
A ．⎡
⎢2k π-
4π, 2k π+
2π⎤(k ∈Z ) B. ⎡42⎤⎣33⎦
⎥⎣
⎢4k π-
3
π, 4k π+
3
π⎦
⎥(k ∈Z )
C ．⎡
28⎤⎡2⎤⎢2k π+
3
π, 2k π+
3
π⎣
⎦
⎥(k ∈Z ) D. ⎣
⎢4k π+
3
π, 4k π+
83
π⎦
⎥(k ∈Z )
12、在∆ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，
已知A =π3
, a =
b =1，
则c = （ A.1
B.2
1
13、在△ABC 中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC 上的高为（ ）
）
A.
322
B.
332
C.
32
D.33
14、 在△A B C 中，
已知sin 2B -sin 2C -sin 2A =A sin C ，则∠B 的大小为 （ ） B . 30︒ C . 120︒ D . 60︒ A . 150︒
15、∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且c =2a ， 则cos B = ( )
A.
14
B.
34
4
3
16、若sin θ+cos θ=2，则sin θcos θ=12
17、已知函数f (x ) 是周期为6的奇函数，且f (-1) =1，则f (-5) = ．
18、在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4,0) 和C (4,0)，顶点B 在椭圆
x 2y 2sin A ＋sin C ＝1上，则＝________.
259sin B
19、函数y =+2cos x +lg(2sin x +3) 的定义域 ___________ 20、已知f (x ) =sin
π
21、关于函数f(x)=4sin(2x+) (x∈R) ，其中正确的命题序号是___________．
3
π
（1）y=f(x )的表达式可改写为y=4cos(2x- );
6
（2）y=f(x )是以2π为最小正周期的周期函数；
π
（3）y=f(x ) 的图象关于点(- ,0) 对称;
6
π
（4）y=f(x ) 的图象关于直线x=-对称;
622、给出下列四个命题，则其中正确命题的序号为 _________ （1）存在一个△ABC ，使得sinA+cosA=1 （2）在△ABC 中，A>B⇔sinA>sinB （3）终边在y 轴上的角的集合是{α|α=
π2
k π2
, k ∈Z }
n π4
(n ∈N ), 则f （1）+f （2）+f (3) +f (4)... +f (100) =
*
_________
（4）在同一坐标系中，函数y=sinx的图象与函数y=x的图象有三个公共点 （5）函数y =sin(x -
) 在[0，π]上是减函数
23、在∆ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c
，且满足cos
A 2=5
，
AB ⋅AC =3． （I ）求∆ABC 的面积； （II ）若c =1，求a 的值．
24、已知函数f (x
) x cos x +2cos 2x -1(x ∈R ) ．
(Ⅰ) 求函数f (x ) 的最小正周期及在区间⎡
π⎤
⎢0, 2⎥上的最大值和最小值；
⎣⎦(Ⅱ) 若f (x 6
0) =，x ⎡ππ⎤
50∈⎢, 2⎥，求cos 2x 0的值． ⎣4⎦
参考答案：1-5BCABA 6-10BDBCB 11-15CBBAB 16、
12
5
17、-1 18、4 19、[-
π
3
+2k π,
4π3
+2k π] 20、1+2
21、(1)(3) 22、（1)(2)(4) 23、（1
）由cos
得=25, 5
25
因AB ⋅AC =3，所以bc=5,故S ∆ABC =2
A
sin
A
=
5
cos A =
3
, sin A =
45
（2）由（1）bc=5,且c=1，所以b=5, 由余弦定理易得a =25
24、
（Ⅰ）解：由f (x ) =x cos x +2cos 2x -1，得
f (x ) =
sin x cos x ) +(2cos x -1) =
2
2x +cos 2x =2sin(2x +
π
6
) .
所以函数f (x ) 的最小正周期为π.
⎛⎝
因为f (x ) =2sin 2x +
π⎫
6⎭
⎪在区间⎢0,
⎣
⎡
π⎤
6⎦
上为增函数，在区间⎢
⎥
⎡ππ⎤
, ⎥上为减函数，又 62⎦⎣
⎡π⎤⎛π⎫⎛π⎫
f (0)=1, f ⎪=2, f ⎪=-1，所以函数f (x ) 在区间⎢0, ⎥上的最大值为2，最小值为-1.
⎣2⎦⎝6⎭⎝2⎭
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知f (x 0) =2sin 2x 0+
⎝
⎛
π⎫
⎪.
6⎭
又因为f (x 0) =
65
，所以sin 2x 0+
⎝
⎛
π⎫
3. =⎪
6⎭5
π⎡2π7π⎤⎡ππ⎤
由x 0∈⎢, ⎥，得2x 0+∈⎢, ⎥. 42636⎣⎦⎣⎦
高中数学三角函数复习专题
一、知识点整理:
1、角的概念的推广：
正负，范围，象限角，坐标轴上的角； 2、角的集合的表示：
①终边为一射线的角的集合：⇔{x x =2k π+α, k ∈Z }={β|β=α+k ⋅360, k ∈Z }
②终边为一直线的角的集合：⇔{x x =k π+α, k ∈Z }；
③两射线介定的区域上的角的集合：⇔{x 2k π+β
（1） 弧长公式：l =a R R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，l 为弧长。 （2） 扇形的面积公式：S =
12
lR R 为圆弧的半径，l 为弧长。
{x k π+β
（3） 三角函数定义：角α中边上任意一点P 为(x , y ) ，设|OP |=r 则：
sin α=
y r
, cos α=
x r
, tan α=
y x
r=a +b
22
P (r cos α, r sin α)比 反过来，角α的终边上到原点的距离为r 的点P 的坐标可写为：
如：公式cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β 的证明
（6）
如图，角α 垂足为M 过点A(1,0)作x （7 tan a cot a =1tan a =
③平方关系：sin 2a +cos 2a =1
（8) 诱导公试
cos a
三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限
三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;
即函数名改变，符号看象限:
π⎫π⎫⎛⎛π⎫⎛
sin x +⎪=cos -x ⎪=cos x -⎪
4⎭⎝4⎭⎝比如⎝4⎭
π⎫⎛⎛π⎫
cos x +⎪=sin -x ⎪
4⎭⎝⎝4⎭
4. 两角和与差的三角函数： （1）两角和与差公式：
cos(α±β) =cos a cos β sin a sin β
s i n a (±β) =s i n a c o s β±c o s a s i n β
tan a (a ±β) =
tan a ±tan β1 tan a tan β
注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．．
（2）二倍角公式：
sin 2a =2sin a cos a c o s
2a =c o s 2
a -s i n 2
a =1-2s i n 2
a =2c o s 2
a -1 tan 2a =
2tan a 1-tan 2
a
(3)几个派生公式：
①辅助角公式：a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +ϕ) =a 2+b 2cos(x -ϕ) 例如：sin α±cos α＝2sin ⎛⎝
α±
π⎫
⎛
4⎪＝2α±
π⎫
⎭
cos ⎝
4⎪⎭
． sin α±3cos α＝2sin ⎛
α±
π⎫
π⎫⎝
3⎪＝2cos ⎛
⎭ α±⎝
3⎪等．
⎭②降次公式： (sinα±cos α) 2
=1±sin 2α
cos 2α=1+cos 2α2
1-cos 2α2
, sin α=2
③tan
α+tan β=tan(α+β)(1-tan α⋅tan β)
5
6、. 函数y =A sin(ωx +ϕ) 的图像与性质：
（本节知识考察一般能化成形如y =A sin(ωx +ϕ) 图像及性质）
2π
（1） 函数y =A sin(ωx +ϕ) 和y =A cos(ωx +ϕ) 的周期都是T =
π
（2） 函数y =A tan(ωx +ϕ) 和y =A cot(ωx +ϕ) 的周期都是T =
3π2
（3） 五点法作y =A sin(ωx +ϕ) 的简图，设t =ωx +ϕ，取0、
π2
、π、、2π来求相应x
的值以及对应的y 值再描点作图。
（4） 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总
是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。（附上函
数平移伸缩变换）:
函数的平移变换：
①y =f (x ) →y =f (x ±a )(a >0) 将y =f (x ) 图像沿x 轴向左（右）平移a 个单位 （左加右减）
②y =f (x ) →y =f (x ) ±b (b >0) 将y =f (x ) 图像沿y 轴向上（下）平移b 个单位 （上加下减）
函数的伸缩变换：
①y =f (x ) →y =f (wx )(w >0) 将y =f (x ) 图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的（w >1缩短， 0
②y =f (x ) →y =Af (x )(A >0) 将y =f (x ) 图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A 倍（A >1伸长，0
①y =f (x ) →y =f (-x ) ) 将y =f (x ) 图像沿y 轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于y 轴对称）
②y =f (x ) →y =-f (x ) 将y =f (x ) 图像沿x 轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于x 轴对称）
1w
倍
③y =f (x ) →y =f (x ) 将y =f (x ) 图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）
④y =f (x ) →y =f (x ) 保留y =f (x ) 在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动）
7、解三角形
(1)正弦定理：
a sin A
=
b sin B
=
c sin C
=2R
，
222
⎧b +c -a
, ⎪cos A =
2bc
⎧a 2=b 2+c 2-2bc cos A , 222⎪
a +c -b ⎪2⎪22
,
(2)余弦定理：⎨b 2=a 2+c 2-2ac cos B , ⇒⎨cos B =2ac ⎪⎪222⎩c =a +b -2ab cos C . a +b -c ⎪cos C =.
⎪2ab ⎩
(3)推论：正余弦定理的边角互换功能
① a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C
②sin A = ③
a sin A
a 2R =
，sin B =
b
=
c sin C
b 2R
，sin C =
c 2R
=2R
sin B
=
a +b +c sin A +sin B +sin C
④a :b :c =sin A :sin B :sin C (4)面积公式：S=二、练习题
1、sin 330︒等于 （ ） A
．-
2
12
ab*sinC=
12
bc*sinA=
12
ca*sinB
．-
12
C．
12
D
2
2、若sin α0是，则α是 （ ） A ．第一象限角
B ． 第二象限角
C ． 第三象限角
D ． 第四象限角
3、如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长为 ( )
1
A ． B ．sin0.5 C ．2sin0.5 D ．tan0.5
sin0.5
1
4、在△ABC 中，“A ＞30°”是“sinA ＞的 ( )
2
A ．仅充分条件B ．仅必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
（-b , 4), 且cos α=-5、角α的终边过点
35
, 则b 的值（ ）
A、3 B、-3 C、±3 D、5 6、已知ππ32
2
+θ) =-
5
，则tan(π-θ) 的值为（ ）
A ．
34
B ．
443
C ．-
34
D ．-3
7、y =(sinx -cos x ) 2-1是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数
D ．最小正周期为π的奇函数
8、若动直线x =a 与函数f (x ) =sin x 和g (x ) =cos x 的图像分别交于M ，N 两点，则
MN 的最大值为 （ ）
A．1 B
C
．2
9、为得到函数y =cos ⎛π x +⎫
⎝
3⎪的图象，只需将函数y =sin x 的图像（ ）
⎭
A ．向左平移π
6个长度单位 B ．向右平移π
6
个长度单位
C ．向左平移
5π
个长度单位
5π6
D ．向右平移
6
个长度单位
10、正弦型函数在一个周期内的图象如图所示，则该函数的表达式是( )
A. y = 2sin(x-
ππ4
) B. y = 2sin(x +
4
)
C. y = 2sin (2x -π8
) D. y = 2sin (2x +
π8
)
11、函数y =-cos(x π2-
3
) 的单调递增区间是（ ）
A ．⎡
⎢2k π-
4π, 2k π+
2π⎤(k ∈Z ) B. ⎡42⎤⎣33⎦
⎥⎣
⎢4k π-
3
π, 4k π+
3
π⎦
⎥(k ∈Z )
C ．⎡
28⎤⎡2⎤⎢2k π+
3
π, 2k π+
3
π⎣
⎦
⎥(k ∈Z ) D. ⎣
⎢4k π+
3
π, 4k π+
83
π⎦
⎥(k ∈Z )
12、在∆ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，
已知A =π3
, a =
b =1，
则c = （ A.1
B.2
1
13、在△ABC 中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC 上的高为（ ）
）
A.
322
B.
332
C.
32
D.33
14、 在△A B C 中，
已知sin 2B -sin 2C -sin 2A =A sin C ，则∠B 的大小为 （ ） B . 30︒ C . 120︒ D . 60︒ A . 150︒
15、∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且c =2a ， 则cos B = ( )
A.
14
B.
34
4
3
16、若sin θ+cos θ=2，则sin θcos θ=12
17、已知函数f (x ) 是周期为6的奇函数，且f (-1) =1，则f (-5) = ．
18、在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4,0) 和C (4,0)，顶点B 在椭圆
x 2y 2sin A ＋sin C ＝1上，则＝________.
259sin B
19、函数y =+2cos x +lg(2sin x +3) 的定义域 ___________ 20、已知f (x ) =sin
π
21、关于函数f(x)=4sin(2x+) (x∈R) ，其中正确的命题序号是___________．
3
π
（1）y=f(x )的表达式可改写为y=4cos(2x- );
6
（2）y=f(x )是以2π为最小正周期的周期函数；
π
（3）y=f(x ) 的图象关于点(- ,0) 对称;
6
π
（4）y=f(x ) 的图象关于直线x=-对称;
622、给出下列四个命题，则其中正确命题的序号为 _________ （1）存在一个△ABC ，使得sinA+cosA=1 （2）在△ABC 中，A>B⇔sinA>sinB （3）终边在y 轴上的角的集合是{α|α=
π2
k π2
, k ∈Z }
n π4
(n ∈N ), 则f （1）+f （2）+f (3) +f (4)... +f (100) =
*
_________
（4）在同一坐标系中，函数y=sinx的图象与函数y=x的图象有三个公共点 （5）函数y =sin(x -
) 在[0，π]上是减函数
23、在∆ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c
，且满足cos
A 2=5
，
AB ⋅AC =3． （I ）求∆ABC 的面积； （II ）若c =1，求a 的值．
24、已知函数f (x
) x cos x +2cos 2x -1(x ∈R ) ．
(Ⅰ) 求函数f (x ) 的最小正周期及在区间⎡
π⎤
⎢0, 2⎥上的最大值和最小值；
⎣⎦(Ⅱ) 若f (x 6
0) =，x ⎡ππ⎤
50∈⎢, 2⎥，求cos 2x 0的值． ⎣4⎦
参考答案：1-5BCABA 6-10BDBCB 11-15CBBAB 16、
12
5
17、-1 18、4 19、[-
π
3
+2k π,
4π3
+2k π] 20、1+2
21、(1)(3) 22、（1)(2)(4) 23、（1
）由cos
得=25, 5
25
因AB ⋅AC =3，所以bc=5,故S ∆ABC =2
A
sin
A
=
5
cos A =
3
, sin A =
45
（2）由（1）bc=5,且c=1，所以b=5, 由余弦定理易得a =25
24、
（Ⅰ）解：由f (x ) =x cos x +2cos 2x -1，得
f (x ) =
sin x cos x ) +(2cos x -1) =
2
2x +cos 2x =2sin(2x +
π
6
) .
所以函数f (x ) 的最小正周期为π.
⎛⎝
因为f (x ) =2sin 2x +
π⎫
6⎭
⎪在区间⎢0,
⎣
⎡
π⎤
6⎦
上为增函数，在区间⎢
⎥
⎡ππ⎤
, ⎥上为减函数，又 62⎦⎣
⎡π⎤⎛π⎫⎛π⎫
f (0)=1, f ⎪=2, f ⎪=-1，所以函数f (x ) 在区间⎢0, ⎥上的最大值为2，最小值为-1.
⎣2⎦⎝6⎭⎝2⎭
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知f (x 0) =2sin 2x 0+
⎝
⎛
π⎫
⎪.
6⎭
又因为f (x 0) =
65
，所以sin 2x 0+
⎝
⎛
π⎫
3. =⎪
6⎭5
π⎡2π7π⎤⎡ππ⎤
由x 0∈⎢, ⎥，得2x 0+∈⎢, ⎥. 42636⎣⎦⎣⎦