函数的单调性与奇偶性

函数的单调性与奇偶性

函数单调性定义

1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义． 注意：

1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○

2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1

2．函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间： 3．判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：

1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

2 作差f(x1) －f(x2) ； ○

3 变形（通常是因式分解和配方）○； 4 定号（即判断差f(x1) －f(x2) 的正负）○；

5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性 ○

函数的奇偶性定义

1．偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

2．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意：

1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○

2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任○

意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

3. 奇、偶函数的性质

（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.

（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称. （3）若奇函数的定义域包含数0，则f （0）=0. （4）奇函数的反函数也为奇函数.

（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f （x ）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.

（6）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，相反的最值，偶函数在关于原点对称的区间上

有相反的单调性相同的最值

4奇函数。偶函数的判断方法

（1）定义法，（2）图像法

（二）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y 轴对称； 奇函数的图象关于原点对称．

5复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：

题型分析

一、 . 单调性的概念

1．函数f (x ) 在(a , b ) 和(c , d ) 都是增函数，若x 1∈(a , b ), x 2∈(c , d ) ，且x 1

二、 函数单调性的判断

1．在区间(-∞, 0) 上为增函数的是

A ．y =1

2

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间

B ．f (x 1) >f (x 2) D ．无法确定

B ．y =

（ ）

C ．y =-x -2x -1

x

+2 1-x

2

D ．y =1+x

2. 下列函数为奇函数，且在(-∞, 0)上单调递减的函数是

A. f (x )=x B. f (x )=x C. f (x )=x D. f (x )=x

-2

-1

3

12

3．下列函数中, 在区间(0,1)上是增函数的是（ ）

A ．y =x B ．

三、 单调性与参数范围

y =3-x C ．y =

12

D ．y =-x +4 x

1．函数y =(2k +1) x +b 在实数集上是增函数，则

A ．k >-

D ．b >0

（ ）

11

B ．k

C ．b >0

2．函数y =x 2+bx +c (x ∈(-∞, 1)) 是单调函数时，b 的取值范围 A ．b ≥-2 B ．b ≤-2 C ．b >-2 D ． b

四、 用单调性的比较大小

1．已知f (x ) 在实数集上是减函数，若a +b ≤0，则下列正确的是 A ．f (a ) +f (b ) ≤-[f (a ) +f (b )]

（ ）

（ ）

B ． f (a ) +f (b ) ≤f (-a ) +f (-b )

C ．f (a ) +f (b ) ≥-[f (a ) +f (b )] D ．f (a ) +f (b ) ≥f (-a ) +f (-b )

2．设函数f (x ) 是（－∞，+∞）上的减函数，又若a ∈R ，则 （ ）

A ．f (a )>f (2a ) C ．f (a 2+a )

B ．f (a2)

3. 若偶函数f (x ) 在(0, +∞

)上是增函数，则a =f ，b =f 系是

(⎛π⎫⎛3⎫

c =f ，⎪ ⎪的大小关

⎝2⎭⎝2⎭

A ．b

五、 单调性的判定 1．指出函数f (x ) =x +

1

在(-∞, -1], [-1, 0)上的单调性，并证明之. x

六、 求单调区间、单调性的其他运用

1．若函数 f (x )=(K-2)x 2+(K-1)x +3是偶函数，则f (x ) 的递减区间是

2．函数f (x ) 在区间[-2, 3]是增函数，则y =f (x +5) 的递增区间是 （ ）

A ．[3, 8]

B ． [-7, -2]

C ．[0, 5]

D ．[-2, 3]

3．已知f (x ) =(x -2) 2, x ∈[-1, 3]，求函数f (x +1) 得单调递减区间.

2

4．函数y =-x +|x |，单调递减区间为.

七、 奇偶性的概念与解析式

1．函数f (x ) 在R 上为奇函数，且f (x ) =

f (x ) =.

x +1, x >0，则当x

2. 已知函数f (x ) =a -

1

, 若f (x ) 为奇函数，则a =__________ x

2+1

八、 奇偶性与函数值

1．如果偶函数在[a , b ]具有最大值，那么该函数在[-b , -a ]有 A ．最大值 B ．最小值 C ．没有最大值

2．已知f (x ) =x

2005

（ ） D ． 没有最小值

+ax 3-

b

-8，f (-2) =10，求f (2) . x

3．若f (x ) 是偶函数，且当x ∈[0, +∞) 时，f (x ) = x －1，则f (x －1)

A ．{x |－1

7

B ．{x | x

4．已知f (x ) =ax -bx +cx +2，且

53

f (-5) =m , 则f (5)+f (-5) 的值

为（ ）．A ．4 B ．0 C ．2m D ．-m +4

九、 奇偶性的判断 1．函数y=-x +

2

9

是（ ） 1+x

A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶数

2．函数y =x |x |+px ，x ∈R 是 A ．偶函数 B ．奇函数

3．判断下列函数的奇偶性

（ ） C ．不具有奇偶函 D ．与p 有关

①y =x +

3

1

； ②y =2x -1+-2x ； x

⎧x 2+2(x >0) ⎪

③y =x 4+x ； ④y =⎨0(x =0) 。

⎪-x 2-2(x

十、 用单调性与奇偶性比较大小

1、若偶函数f (x ) 在(-∞, -1]上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）

33

f (-)

22

3

C f (2)

22

2．定义在R 上的奇函数f (x ) 在[0，2 ]上为增函数，在[2, +∞) 上为减函数， 且x

(A)f (-1)

3、设偶函数f(x)的定义域为R ，当x ∈[0, +∞]时f(x)是增函数，

则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是

A 、f(π)>f(-3)>f(-2) B 、f(π)>f(-2)>f(-3) C 、f(π)

f (x ) 是定义在[-6，6]上的偶函数，且f (3) >f (1) ，则下列各式一定成立的

是( )

A f (0) f (2) C f (-1) f (0)

十一：解不等式

1 定义在R 上的奇函数f (x ) 在[0，2 ]上为增函数，且f(1)=0,求使f(x)>0成立的x 的范围

十二证明函数的奇偶性 1）．判断下列函数的奇偶性：

（1）f (x ) =2x 4+3x 2； （2）f (x ) =x 3-2x

x 2+12

（3）f (x ) =； （4）f (x ) =x +1.

x

2. 已知f (x ) 是偶函数，g (x ) 是奇函数，试将下图补充完整.

3．已知f (x )是定义(-∞, +∞)上的奇函数，且f (x )在[0, +∞)上是减函数．下列关系式中正确的是 ( )

Ａ．f (5)>f (-5) Ｃ．f (-2)>f (2)

Ｂ．f (4)>f (3) Ｄ．f (-8)≥f (8)

4．如果奇函数f (x )在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f (x )在区间[-7, -3]上是 ( )

Ａ．增函数且最小值为-5 Ｃ．减函数且最小值为-5

5．如果偶函数在[a , b ]具有最大值，那么该函数在[-b , -a ]有

（ ）

Ｂ．增函数且最大值为-5 Ｄ．减函数且最大值为-5

A ．最大值 B ．最小值 C ．没有最大值 D ． 没有最小值

6. 如果f (x ) 是偶函数，g (x ) 是奇函数，且满足f (x ) +g (x ) =

2

7. 已知f (x ) 是奇函数，且当x ≥0时f (x ) =x -2x ，求y =f (x ) 的解析式.

1

，求f (x ) 和g (x ) . x -1

8. 如果f (x ) 是奇函数，则f (x ) +f (-x ) = .

⎧-2x -1(x >0) ⎪

9. 已知f (x ) =⎨0(x =0) 是奇函数，求实数a 的值.

⎪2x +a (x

10设f(x)＝ax 7＋bx ＋5，已知f(－7) ＝－17, 求f(7)的值。

B 组 ．

1、下列函数中是偶函数的是（ ）

一、y=x4 (x

2、若函数f (x )(f (x ) ≠0) 为奇函数，则必有

（A ）f (x ) ⋅f (-x ) >0 （B ）f (x ) ⋅f (-x ) f (-x )

3、设偶函数f(x)的定义域为R ，当x ∈[0, +∞]时f(x)是增函数，则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是（ ）

（A ）f(π)>f(-3)>f(-2) （B ）f(π)>f(-2)>f(-3) （C ）f(π)

2

D 、y=3x-1 x +1

a 2

4已知f （x ）、g （x ）都是奇函数，f （x ）＞0的解集是（a2，b ），g （x ）＞0的解集是（2，

b b 2），2＞a2，那么f （x ）·g （x ）＞0的解集是 b a 2

A. （2，2）

B. （－b ，－a2）

b b

C. （a2，2）∪（－2，－a2）

a 2

D. （2，b ）∪（－b2，－a2）

5、（14分）若非零函数f (x ) 对任意实数a , b 均有f (a +b ) =f (a ) ⋅f (b ) ，且当x

f (x ) >1；

（1）求证：f (x ) >0 （2）求证：f (x ) 为减函数 3）当f (4) =

112

时，解不等式f (x -3) ⋅f (5-x ) ≤

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函数的单调性与奇偶性

函数单调性定义

1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义． 注意：

1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○

2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1

2．函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间： 3．判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：

1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

2 作差f(x1) －f(x2) ； ○

3 变形（通常是因式分解和配方）○； 4 定号（即判断差f(x1) －f(x2) 的正负）○；

5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性 ○

函数的奇偶性定义

1．偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

2．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意：

1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○

2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任○

意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

3. 奇、偶函数的性质

（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.

（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称. （3）若奇函数的定义域包含数0，则f （0）=0. （4）奇函数的反函数也为奇函数.

（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f （x ）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.

（6）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，相反的最值，偶函数在关于原点对称的区间上

有相反的单调性相同的最值

4奇函数。偶函数的判断方法

（1）定义法，（2）图像法

（二）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y 轴对称； 奇函数的图象关于原点对称．

5复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：

题型分析

一、 . 单调性的概念

1．函数f (x ) 在(a , b ) 和(c , d ) 都是增函数，若x 1∈(a , b ), x 2∈(c , d ) ，且x 1

二、 函数单调性的判断

1．在区间(-∞, 0) 上为增函数的是

A ．y =1

2

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间

B ．f (x 1) >f (x 2) D ．无法确定

B ．y =

（ ）

C ．y =-x -2x -1

x

+2 1-x

2

D ．y =1+x

2. 下列函数为奇函数，且在(-∞, 0)上单调递减的函数是

A. f (x )=x B. f (x )=x C. f (x )=x D. f (x )=x

-2

-1

3

12

3．下列函数中, 在区间(0,1)上是增函数的是（ ）

A ．y =x B ．

三、 单调性与参数范围

y =3-x C ．y =

12

D ．y =-x +4 x

1．函数y =(2k +1) x +b 在实数集上是增函数，则

A ．k >-

D ．b >0

（ ）

11

B ．k

C ．b >0

2．函数y =x 2+bx +c (x ∈(-∞, 1)) 是单调函数时，b 的取值范围 A ．b ≥-2 B ．b ≤-2 C ．b >-2 D ． b

四、 用单调性的比较大小

1．已知f (x ) 在实数集上是减函数，若a +b ≤0，则下列正确的是 A ．f (a ) +f (b ) ≤-[f (a ) +f (b )]

（ ）

（ ）

B ． f (a ) +f (b ) ≤f (-a ) +f (-b )

C ．f (a ) +f (b ) ≥-[f (a ) +f (b )] D ．f (a ) +f (b ) ≥f (-a ) +f (-b )

2．设函数f (x ) 是（－∞，+∞）上的减函数，又若a ∈R ，则 （ ）

A ．f (a )>f (2a ) C ．f (a 2+a )

B ．f (a2)

3. 若偶函数f (x ) 在(0, +∞

)上是增函数，则a =f ，b =f 系是

(⎛π⎫⎛3⎫

c =f ，⎪ ⎪的大小关

⎝2⎭⎝2⎭

A ．b

五、 单调性的判定 1．指出函数f (x ) =x +

1

在(-∞, -1], [-1, 0)上的单调性，并证明之. x

六、 求单调区间、单调性的其他运用

1．若函数 f (x )=(K-2)x 2+(K-1)x +3是偶函数，则f (x ) 的递减区间是

2．函数f (x ) 在区间[-2, 3]是增函数，则y =f (x +5) 的递增区间是 （ ）

A ．[3, 8]

B ． [-7, -2]

C ．[0, 5]

D ．[-2, 3]

3．已知f (x ) =(x -2) 2, x ∈[-1, 3]，求函数f (x +1) 得单调递减区间.

2

4．函数y =-x +|x |，单调递减区间为.

七、 奇偶性的概念与解析式

1．函数f (x ) 在R 上为奇函数，且f (x ) =

f (x ) =.

x +1, x >0，则当x

2. 已知函数f (x ) =a -

1

, 若f (x ) 为奇函数，则a =__________ x

2+1

八、 奇偶性与函数值

1．如果偶函数在[a , b ]具有最大值，那么该函数在[-b , -a ]有 A ．最大值 B ．最小值 C ．没有最大值

2．已知f (x ) =x

2005

（ ） D ． 没有最小值

+ax 3-

b

-8，f (-2) =10，求f (2) . x

3．若f (x ) 是偶函数，且当x ∈[0, +∞) 时，f (x ) = x －1，则f (x －1)

A ．{x |－1

7

B ．{x | x

4．已知f (x ) =ax -bx +cx +2，且

53

f (-5) =m , 则f (5)+f (-5) 的值

为（ ）．A ．4 B ．0 C ．2m D ．-m +4

九、 奇偶性的判断 1．函数y=-x +

2

9

是（ ） 1+x

A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶数

2．函数y =x |x |+px ，x ∈R 是 A ．偶函数 B ．奇函数

3．判断下列函数的奇偶性

（ ） C ．不具有奇偶函 D ．与p 有关

①y =x +

3

1

； ②y =2x -1+-2x ； x

⎧x 2+2(x >0) ⎪

③y =x 4+x ； ④y =⎨0(x =0) 。

⎪-x 2-2(x

十、 用单调性与奇偶性比较大小

1、若偶函数f (x ) 在(-∞, -1]上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）

33

f (-)

22

3

C f (2)

22

2．定义在R 上的奇函数f (x ) 在[0，2 ]上为增函数，在[2, +∞) 上为减函数， 且x

(A)f (-1)

3、设偶函数f(x)的定义域为R ，当x ∈[0, +∞]时f(x)是增函数，

则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是

A 、f(π)>f(-3)>f(-2) B 、f(π)>f(-2)>f(-3) C 、f(π)

f (x ) 是定义在[-6，6]上的偶函数，且f (3) >f (1) ，则下列各式一定成立的

是( )

A f (0) f (2) C f (-1) f (0)

十一：解不等式

1 定义在R 上的奇函数f (x ) 在[0，2 ]上为增函数，且f(1)=0,求使f(x)>0成立的x 的范围

十二证明函数的奇偶性 1）．判断下列函数的奇偶性：

（1）f (x ) =2x 4+3x 2； （2）f (x ) =x 3-2x

x 2+12

（3）f (x ) =； （4）f (x ) =x +1.

x

2. 已知f (x ) 是偶函数，g (x ) 是奇函数，试将下图补充完整.

3．已知f (x )是定义(-∞, +∞)上的奇函数，且f (x )在[0, +∞)上是减函数．下列关系式中正确的是 ( )

Ａ．f (5)>f (-5) Ｃ．f (-2)>f (2)

Ｂ．f (4)>f (3) Ｄ．f (-8)≥f (8)

4．如果奇函数f (x )在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f (x )在区间[-7, -3]上是 ( )

Ａ．增函数且最小值为-5 Ｃ．减函数且最小值为-5

5．如果偶函数在[a , b ]具有最大值，那么该函数在[-b , -a ]有

（ ）

Ｂ．增函数且最大值为-5 Ｄ．减函数且最大值为-5

A ．最大值 B ．最小值 C ．没有最大值 D ． 没有最小值

6. 如果f (x ) 是偶函数，g (x ) 是奇函数，且满足f (x ) +g (x ) =

2

7. 已知f (x ) 是奇函数，且当x ≥0时f (x ) =x -2x ，求y =f (x ) 的解析式.

1

，求f (x ) 和g (x ) . x -1

8. 如果f (x ) 是奇函数，则f (x ) +f (-x ) = .

⎧-2x -1(x >0) ⎪

9. 已知f (x ) =⎨0(x =0) 是奇函数，求实数a 的值.

⎪2x +a (x

10设f(x)＝ax 7＋bx ＋5，已知f(－7) ＝－17, 求f(7)的值。

B 组 ．

1、下列函数中是偶函数的是（ ）

一、y=x4 (x

2、若函数f (x )(f (x ) ≠0) 为奇函数，则必有

（A ）f (x ) ⋅f (-x ) >0 （B ）f (x ) ⋅f (-x ) f (-x )

3、设偶函数f(x)的定义域为R ，当x ∈[0, +∞]时f(x)是增函数，则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是（ ）

（A ）f(π)>f(-3)>f(-2) （B ）f(π)>f(-2)>f(-3) （C ）f(π)

2

D 、y=3x-1 x +1

a 2

4已知f （x ）、g （x ）都是奇函数，f （x ）＞0的解集是（a2，b ），g （x ）＞0的解集是（2，

b b 2），2＞a2，那么f （x ）·g （x ）＞0的解集是 b a 2

A. （2，2）

B. （－b ，－a2）

b b

C. （a2，2）∪（－2，－a2）

a 2

D. （2，b ）∪（－b2，－a2）

5、（14分）若非零函数f (x ) 对任意实数a , b 均有f (a +b ) =f (a ) ⋅f (b ) ，且当x

f (x ) >1；

（1）求证：f (x ) >0 （2）求证：f (x ) 为减函数 3）当f (4) =

112

时，解不等式f (x -3) ⋅f (5-x ) ≤

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