北京市朝阳区高三学习目标与检测(理)讲义复习第三章答案

第三章 算法初步

3.1 算法与程序框图

二、复习要点

1．在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序和步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法等等．

2．算法虽然没有一个明确的概念，但其特点还是很鲜明的，不仅要注意理解算法的程序性、有限性、构造性、精确性的特点，还应该充分理解算法的问题指向性，即算法往往指向解决某一个或某一类问题，泛泛地谈算法是没有意义的，算法一定以问题为载体.

3．程序框图又称流程图（flow chart），是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形． 4．算法步骤，程序框图，程序 5．顺序，条件，循环

6．构成程序框的图形符号及其作用（见教材第6页）． 7．循环结构，循环体，循环结构，条件结构 8．当型，直到型

9． 条件结构，计数变量，累加变量，计数变量，累加变量 三、课前热身：

1． D 2．B 3．（文）C （理）A 4．A 5．A 6．0，1 四、例题分析

例1 写出1×2×4×8×16值的一个算法． 解析：算法1：

• S1：先求1×2，得到2；

• S2：将S1得到的结果再乘以4，得到8 ； • S3：将S2得到的结果再乘以8，得到64 ；

• S4：将S3得到的结果再乘以16，得到最后结果1024 ；．

算法2：

• S1：T←1，使T=1； • S2：I←2，使I=1；

• S3：T←T×I （ 将T×I的结果仍放在变量T中 ）； • S4：I←I×2（ 使I的值增加之前的2倍 ）；．

• S5：如果I不大于16，返回重新执行步骤S3、S4、S5，否则算法结束，

这样得到T的值就是所求的结果．

点评：

（1）述算法语言时，要满足算法的两个特点（有限性和确定性），把一个问题合理地分解为若干个有限的步骤，一步一步地执行，是书写算法语言的一个重要思想方法，也是教学的重点．教学时应该注重书写过程的步骤化、条理化的分析，使用“按部就班”等形象语言进行解释描述，使教学更加贴切生动；

（2）对于三种表示方法的教学，应该采用螺旋上升、渐次递进的方式，注意三种表示方法的整合渗透与前引后联关系；

（3）本例中算法1思路简单，但在计算较多乘积时，算法步骤太多；算法2形式简练，且具有一定的通用性和灵活性．

（4）算法语句中S3到S5组成了一个循环结构，在实现算法时要反复多次执行．在实际问题中通常需要顺序结构、条件结构和循环结构的相互嵌套使用．

例2 将三个数a，b，c中的最大数输出．

分析：将max＝a定义为最大值，依次与b，c比较大小，遇到大的就替换max的值，最后输出max的值．

解：

第一步，输 入a，b，c的值,并且令max＝a；

第二步，若b＞max成立，则用b的值替换max的值；否则直接执行下一步； 第三步，若c＞max成立，则用c的值替换max的值；否则直接执行下一步； 第四步，最后输出max的值．

例3 某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下面的方法计算：

ìï0.53wf=ïí

ïïî50?0.53

(w£50),

0.85?(w50)(w

其中f（单位：元）为托运费，w为托运物品的重量（单位：千克），试画出计算费用f的程序框图． 自然语言是：

第一步，输入物品重量w；

第二步，如果w£50，那么f=0.53w，否则f=50?0.53第三步，输出物品重量w和托运费f．

0.85?(w50)；

程序框图如下：

例4 设计计算

1

55555555

的值的算法．

解：算法： 第一步，x

1； 5

第二步，i1； 第三步，x

1

； 5x

第四步，ii1；

第五步，如果i7，则输出x，否则，返回第3步，重新执行3，4，5步．

程序框图如右图：

例5 （2008广东卷）阅读图1的程序框图，若输入m4，n6，则输出ai．

解法1：要结束程序的运算，就必须通过n整除a的条件运算，而同时m也整除a，那么a的最小值应为m和n的最小公倍数12，即此时有i3．

解法2：

输入m4，n6，则i1时，ami4,n6不能整除4,

所以，i2，ami8,n6不能整除8, 所以，i3，ami12,n6能整除12.于是，

a12,i3.

例6 （2008山东13）执行程序框图（图2），若p＝0.8，则输出的n＝ ． 解：

111

0.8，因此输出n

4248

图2

例7（08海南）如程序框图（图3），如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）

A．cx B．xc C．cb D．bc

解：Ａ．变量x的作用是保留3个数中的最大值，所以第二个条件结构的判断框内语句为“c＞x”，满足“是”则交换两个变量的数值后输出x的值结束程序，满足“否”直接输出x的值结束程序．

例8（2007，广东）下面左图是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、„、A10（如A2表示身高（单位：cm）（150，155）内的学生人数）．右图是统计左图中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm (含160cm，不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ）

（A）i＜6 （B）i＜7 （C）i＜8 （D） i＜9

分析：由右图可知A4表示身高（单位：cm）（160，165）内的学生人数，A7表示身高（单位：cm）（175，180）内的学生人数．本题要统计在160～180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数．故i＜8．

例9 根据条件把程序框图补充完整，求1→1000内所有奇数的和． 答案：

（1） S=S＋i ； （2） i =i ＋2 ．

例10 分析：本题设计角度新颖，融数列算法知识于一体，可有效考查学生对数列、框图等知识掌握的情况，培养学生分析和解决问题的能力。解题关键是对框图功能要十分清楚．

五、巩固练习 1．D． 2．解析：

a

b12



0(ab),，

22

a

bab∴(ab)，故最后打印出来的一定是．选A．

22

3．D．

4．答案：89． 解：根据算法可知，X的值xn构成了一个等差数列{xn}，S的值是数列{xn}相应的前n项和，且x13,d2，所以xn2n1.又S2007，所以n44，故xn89.所以输出的X的值等于89．

5．625 6．13,21

3.2 基本算法语句

二、复习要点

1于算法中的顺序结构。输入和输出语句分别用来实现算法的输入信息，输出结果的功能。 2．

3．赋值语句中的“=”叫做赋值号，赋值语句的作用是：先计算出赋值号右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值。 4一般格式是IF-THEN-ELSE格式。条件语句的作用是：在程序执行过程中，根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转换到何处去。需要计算机按条件进行分析、比较、判断，并按判断后的不同情况进行不同的处理。

5．算法中的循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。

6．当计算机遇到WHILEWHILE与WEND过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND循环。

三、课前热身：

1．答案：C 解析：在算法语句中，“＝”具有赋值功能，aa1表示将a1的值赋给a． 2．答案：A 3．答案：C 4．答案：32 解析：因为A3,B6，所以C36523． 5．B

四、例题分析

例1 解：程序：INPUT“x＝”；x 输入语句

y＝x^3＋3*x^2－24*x＋30 赋值语句 PRINT x 打印语句 PRINT y 打印语句 END

点评：要熟悉三种语句的格式与功能．

例2 解：

例3 解析：先把解决问题的思路用程序框图表示出来，然后再根据程序框图给出的算法步骤，逐步把算法用对应的程序语句表达出来．

算法分析：我们知道：

若b4ac0，原方程有两个不相等的实数根，

即x1

2

bb，x2； 2a2a

b

； 2a

若0，原方程有两个相等的实数根x1x2

若0，原方程没有实数根．

也就是说，在求解方程之前，需要首先判断判别式的符号．因此，这个过程可以用算法中的条件结构来实现．又因为方程的两个根有相同的部分，为了避免重复计算，可

b

以在计算x1和x2之前，先计算p

，q．

2a

（程序）

INPUT “Please input a，b，c =”;a，b，c d=b*b-4*a*c p=-b/(2*a)

q=SQR(ABS(d))/(2*a) IF d>=0 THEN x1=p+q

x2=p-q

IF x1=x2 THEN

PRINT “One real root:”;x1 ELSE

PRINT “Two real roots:x1”;x1,“and x2”;x2 END IF ELSE

PRINT “No real root!” END IF END

例4

分析：这是一个累加问题。我们可以用WHILE型语句，也可以用UNTIL型语句。由此看来，解决问题的方法不是惟一的，当然程序的设计也是有多种的，只是程序简单与复杂的问题．

例5 分析：从1997年底开始，经过x年后生产总值为300×（1+5﹪）x，可将1997年生产总值赋给变量a，然后对其进行累乘，用n作为计数变量进行循环，直到a的值超过400万元为止。

解：

程序框图为： 程序：

五、巩固练习

1．6 2． B 3．B 4． D 5． D

3.3 算法案例

二、复习要点

1．两个正整数最大公约数 欧几里德算法 《九章算术》 2．除以 减

3．秦九韶 《数书九章》 一元求n次多项式的值 4．k进制 k

5．用各位上的数字与k的幂的乘积之和 按照十进制数的运算规则计算出结果 6．除k取余法 用k连续去除十进制数或所得的商 把各步得到的余数倒着写出 三、课前热身：

1．B 2．D 3．D 4．C 5．A

四、例题分析

例1解：（1）第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146 ；

第二步 对6105和2146重复第一步的做法：6105=2146×2+1813； 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。 2146=1813×1+333 ；

1813=333×5+148 ； 333=148×2+37 ； 148=37×4+0 ．

所以37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数．

（2）由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减 ，即

98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7

所以，98和63的最大公约数等于7 ．

例2 f(x)=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8,

解：将多项式变形： f(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8.按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值， 所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2 ．

543210例3解：（1） 110011;（2）12120202121251

（2）利用除2取余法，把各步所得的余数从下到上排列，得到89=1011001（2）．

五、巩固练习

1．A 2．D 3．Ｃ．提示：800=360×2+80，360=80×4+40，80=40×2． 4．F(x)=x3+x2+2x+3 ．

第三章 算法初步

3.1 算法与程序框图

二、复习要点

1．在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序和步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法等等．

2．算法虽然没有一个明确的概念，但其特点还是很鲜明的，不仅要注意理解算法的程序性、有限性、构造性、精确性的特点，还应该充分理解算法的问题指向性，即算法往往指向解决某一个或某一类问题，泛泛地谈算法是没有意义的，算法一定以问题为载体.

3．程序框图又称流程图（flow chart），是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形． 4．算法步骤，程序框图，程序 5．顺序，条件，循环

6．构成程序框的图形符号及其作用（见教材第6页）． 7．循环结构，循环体，循环结构，条件结构 8．当型，直到型

9． 条件结构，计数变量，累加变量，计数变量，累加变量 三、课前热身：

1． D 2．B 3．（文）C （理）A 4．A 5．A 6．0，1 四、例题分析

例1 写出1×2×4×8×16值的一个算法． 解析：算法1：

• S1：先求1×2，得到2；

• S2：将S1得到的结果再乘以4，得到8 ； • S3：将S2得到的结果再乘以8，得到64 ；

• S4：将S3得到的结果再乘以16，得到最后结果1024 ；．

算法2：

• S1：T←1，使T=1； • S2：I←2，使I=1；

• S3：T←T×I （ 将T×I的结果仍放在变量T中 ）； • S4：I←I×2（ 使I的值增加之前的2倍 ）；．

• S5：如果I不大于16，返回重新执行步骤S3、S4、S5，否则算法结束，

这样得到T的值就是所求的结果．

点评：

（1）述算法语言时，要满足算法的两个特点（有限性和确定性），把一个问题合理地分解为若干个有限的步骤，一步一步地执行，是书写算法语言的一个重要思想方法，也是教学的重点．教学时应该注重书写过程的步骤化、条理化的分析，使用“按部就班”等形象语言进行解释描述，使教学更加贴切生动；

（2）对于三种表示方法的教学，应该采用螺旋上升、渐次递进的方式，注意三种表示方法的整合渗透与前引后联关系；

（3）本例中算法1思路简单，但在计算较多乘积时，算法步骤太多；算法2形式简练，且具有一定的通用性和灵活性．

（4）算法语句中S3到S5组成了一个循环结构，在实现算法时要反复多次执行．在实际问题中通常需要顺序结构、条件结构和循环结构的相互嵌套使用．

例2 将三个数a，b，c中的最大数输出．

分析：将max＝a定义为最大值，依次与b，c比较大小，遇到大的就替换max的值，最后输出max的值．

解：

第一步，输 入a，b，c的值,并且令max＝a；

第二步，若b＞max成立，则用b的值替换max的值；否则直接执行下一步； 第三步，若c＞max成立，则用c的值替换max的值；否则直接执行下一步； 第四步，最后输出max的值．

例3 某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下面的方法计算：

ìï0.53wf=ïí

ïïî50?0.53

(w£50),

0.85?(w50)(w

其中f（单位：元）为托运费，w为托运物品的重量（单位：千克），试画出计算费用f的程序框图． 自然语言是：

第一步，输入物品重量w；

第二步，如果w£50，那么f=0.53w，否则f=50?0.53第三步，输出物品重量w和托运费f．

0.85?(w50)；

程序框图如下：

例4 设计计算

1

55555555

的值的算法．

解：算法： 第一步，x

1； 5

第二步，i1； 第三步，x

1

； 5x

第四步，ii1；

第五步，如果i7，则输出x，否则，返回第3步，重新执行3，4，5步．

程序框图如右图：

例5 （2008广东卷）阅读图1的程序框图，若输入m4，n6，则输出ai．

解法1：要结束程序的运算，就必须通过n整除a的条件运算，而同时m也整除a，那么a的最小值应为m和n的最小公倍数12，即此时有i3．

解法2：

输入m4，n6，则i1时，ami4,n6不能整除4,

所以，i2，ami8,n6不能整除8, 所以，i3，ami12,n6能整除12.于是，

a12,i3.

例6 （2008山东13）执行程序框图（图2），若p＝0.8，则输出的n＝ ． 解：

111

0.8，因此输出n

4248

图2

例7（08海南）如程序框图（图3），如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）

A．cx B．xc C．cb D．bc

解：Ａ．变量x的作用是保留3个数中的最大值，所以第二个条件结构的判断框内语句为“c＞x”，满足“是”则交换两个变量的数值后输出x的值结束程序，满足“否”直接输出x的值结束程序．

例8（2007，广东）下面左图是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、„、A10（如A2表示身高（单位：cm）（150，155）内的学生人数）．右图是统计左图中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm (含160cm，不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ）

（A）i＜6 （B）i＜7 （C）i＜8 （D） i＜9

分析：由右图可知A4表示身高（单位：cm）（160，165）内的学生人数，A7表示身高（单位：cm）（175，180）内的学生人数．本题要统计在160～180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数．故i＜8．

例9 根据条件把程序框图补充完整，求1→1000内所有奇数的和． 答案：

（1） S=S＋i ； （2） i =i ＋2 ．

例10 分析：本题设计角度新颖，融数列算法知识于一体，可有效考查学生对数列、框图等知识掌握的情况，培养学生分析和解决问题的能力。解题关键是对框图功能要十分清楚．

五、巩固练习 1．D． 2．解析：

a

b12



0(ab),，

22

a

bab∴(ab)，故最后打印出来的一定是．选A．

22

3．D．

4．答案：89． 解：根据算法可知，X的值xn构成了一个等差数列{xn}，S的值是数列{xn}相应的前n项和，且x13,d2，所以xn2n1.又S2007，所以n44，故xn89.所以输出的X的值等于89．

5．625 6．13,21

3.2 基本算法语句

二、复习要点

1于算法中的顺序结构。输入和输出语句分别用来实现算法的输入信息，输出结果的功能。 2．

3．赋值语句中的“=”叫做赋值号，赋值语句的作用是：先计算出赋值号右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值。 4一般格式是IF-THEN-ELSE格式。条件语句的作用是：在程序执行过程中，根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转换到何处去。需要计算机按条件进行分析、比较、判断，并按判断后的不同情况进行不同的处理。

5．算法中的循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。

6．当计算机遇到WHILEWHILE与WEND过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND循环。

三、课前热身：

1．答案：C 解析：在算法语句中，“＝”具有赋值功能，aa1表示将a1的值赋给a． 2．答案：A 3．答案：C 4．答案：32 解析：因为A3,B6，所以C36523． 5．B

四、例题分析

例1 解：程序：INPUT“x＝”；x 输入语句

y＝x^3＋3*x^2－24*x＋30 赋值语句 PRINT x 打印语句 PRINT y 打印语句 END

点评：要熟悉三种语句的格式与功能．

例2 解：

例3 解析：先把解决问题的思路用程序框图表示出来，然后再根据程序框图给出的算法步骤，逐步把算法用对应的程序语句表达出来．

算法分析：我们知道：

若b4ac0，原方程有两个不相等的实数根，

即x1

2

bb，x2； 2a2a

b

； 2a

若0，原方程有两个相等的实数根x1x2

若0，原方程没有实数根．

也就是说，在求解方程之前，需要首先判断判别式的符号．因此，这个过程可以用算法中的条件结构来实现．又因为方程的两个根有相同的部分，为了避免重复计算，可

b

以在计算x1和x2之前，先计算p

，q．

2a

（程序）

INPUT “Please input a，b，c =”;a，b，c d=b*b-4*a*c p=-b/(2*a)

q=SQR(ABS(d))/(2*a) IF d>=0 THEN x1=p+q

x2=p-q

IF x1=x2 THEN

PRINT “One real root:”;x1 ELSE

PRINT “Two real roots:x1”;x1,“and x2”;x2 END IF ELSE

PRINT “No real root!” END IF END

例4

分析：这是一个累加问题。我们可以用WHILE型语句，也可以用UNTIL型语句。由此看来，解决问题的方法不是惟一的，当然程序的设计也是有多种的，只是程序简单与复杂的问题．

例5 分析：从1997年底开始，经过x年后生产总值为300×（1+5﹪）x，可将1997年生产总值赋给变量a，然后对其进行累乘，用n作为计数变量进行循环，直到a的值超过400万元为止。

解：

程序框图为： 程序：

五、巩固练习

1．6 2． B 3．B 4． D 5． D

3.3 算法案例

二、复习要点

1．两个正整数最大公约数 欧几里德算法 《九章算术》 2．除以 减

3．秦九韶 《数书九章》 一元求n次多项式的值 4．k进制 k

5．用各位上的数字与k的幂的乘积之和 按照十进制数的运算规则计算出结果 6．除k取余法 用k连续去除十进制数或所得的商 把各步得到的余数倒着写出 三、课前热身：

1．B 2．D 3．D 4．C 5．A

四、例题分析

例1解：（1）第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146 ；

第二步 对6105和2146重复第一步的做法：6105=2146×2+1813； 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。 2146=1813×1+333 ；

1813=333×5+148 ； 333=148×2+37 ； 148=37×4+0 ．

所以37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数．

（2）由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减 ，即

98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7

所以，98和63的最大公约数等于7 ．

例2 f(x)=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8,

解：将多项式变形： f(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8.按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值， 所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2 ．

543210例3解：（1） 110011;（2）12120202121251

（2）利用除2取余法，把各步所得的余数从下到上排列，得到89=1011001（2）．

五、巩固练习

1．A 2．D 3．Ｃ．提示：800=360×2+80，360=80×4+40，80=40×2． 4．F(x)=x3+x2+2x+3 ．