第6卷第4期2006年12月湖南冶金职业技术学院学报
JournalofHunanMetallurgicalProfessionalTechnologyCollege
Vol.6 No.4Dec. 2006
二重积分的对称性及其应用
黄萱平
(湖南冶金职业技术学院,湖南 株洲,412000)
摘要:证明了二重积分的变量轮换对称性和奇偶对称性;在二重积分计算中,增强对称性的使用意识,利用对称性简化解题过程。
关键词:二重积分;对称性;计算
中图分类号:0172.2 文献标识码:A 文章编号:1672-7142(2006)04-516-03
与定积分相比,重积分的计算显得困难得多,
仅就二重积分来说,按常规解法既要根据积分区域选择积分次序,还要正确地定好积分上下限,将二重积分转化为二次积分。然而,当积分区域或被积函数具有某种对称性时,若利用对称性进行合理地搭配,就能变难为易,简化解题过程,提高解题效率。
二重积分的对称性有两种:变量轮换对称性和奇偶对称性。
一、定理1.若f(,区域D关于直线y=,则
定理2.(1)若积分区域D关于x(或y)轴对称,设D1是D在x轴上方(或y轴右侧)的部分,则
κf(x,y)dxdy=
D
0 f(x,y)关于(或x)为奇函数,2
(x,yf)y或x)为偶函数.
D
1
x,y轴均对称,设D1
,则
κf(x,y)dxdy=
D
0 f(x,y)关于x或y为奇函数,4
κf(x,y)dxdy=κf(y.x)dxdy.
D
D
κf(x,y)dxdy f(x,y)关于x和y均为偶函数.
D
1
证明:在直角坐标系下,不妨设区域D是X-型区域,D由曲线y=φ1(x)和y=φ2(x)围成(aΦxΦb,φ2(x)ΦyΦφ1),且D1,D2分别是区域D在直线y=x的左、右两侧部分.(D为其他情形时可分块转化成若干个X-型区域或Y-型区域,并利用可加性证之).
因为D1和D2关于直线y=x对称,所以,有
(3)若积分区域D关于原点对称,设D1是D
的右半平面或上半平面部分.则
κf(x,y)dxdy=
D
0 f(x,y)关于(x,y)为奇函数,2
κf(x,y)dxdy f(x,y)关于(x,y)为偶函数.
D
1
κ
D
f(x,y)dxdy=
b
dyf(x,y)dx∫∫φ(y)
a
b
φ2(y)
1-1
-1
证明:(1)在区域D关于x轴对称的条件下,仅证明D为X-型区域时的情形.设D由不等式
φ2(x)ΦyΦφ1(x)确定,D1,D2分别是区aΦxΦb,
域D在x轴上方、下方部分,则有
D
2
==
dxf(y,x)dy(换元:y=x)∫∫φ(x)
a
φ2(x)
1
dxf(y,x)dy∫∫φ(x)=f(y,x)dxdyκ
a
b
φ1(x)
2
κf(x,y)dxdy
dx
∫∫=dx∫∫=
a
2
b0
φ(x)
f(x,y)dyf(x,y)dy
D
b
二、奇偶对称性
a
-φ(x)
1
收稿日期:2006-10-08
作者简介:黄萱平(1955-),女,湖南长沙人,湖南冶金职业技术学院基础课部教师。
第4期
黄萱平:二重积分的对称性及其应用
b
517
∫∫f(x,-u)du(换元:y=-=dx
∫∫f(x,-u)du=dx
∫∫f(x,-y)dy(换字母)=
κf(x,-y)dxdy
=-a
dx
φ(x)
1
u)
b
φ(x)
1
a0
对积分区域关于坐标轴对称,同时被积函数关于变量具有奇偶性的二重积分,应当考虑运用奇偶对称性来简化二重积分的计算。
例
2.计算二重积分
2
b
φ(x)
1
a0
κ(x+y)dxdy,其中D
D
D
1
由二重积分的可加性,得
为抛物线y=x,y=4x及直线y=1所围成的区域.[2]
2
κf(x,y)dxdy=κf(x,y)dxdy+κf(x,y)dxdy
D
D
1
D
2
==
κf(x,y)dxdy+κf(x,-D
y)dxdy
1
D
1
κ[f(x,y)+f(x,-D
y)]dxdy
1
所以,有f(x,y)dxdy=
D
κ
0 f(x,y)关于y为奇函数,2
κf(x,y)dxdy f(x,y)关于y为偶函数.
D1
解:积分区域D(如图)关于y轴对称,虽然被积函数f(x,y)关于变量并不具有奇偶性,但偶函数,应用
κxdxdy与κydxdyx为奇、
2有=2ydxdy
κ
D
D
D
D
1
类似地可证积分区域D关于y轴对称及(2),(3)两种情形.
怎样应用对称性简化二重积分的计算呢?例1.设区域D为x2+y222[1]2)dxdyb
D
(22
(1D在y轴右侧的部分)
由此可得
解:积分区域D关于直线y=x对称,且函数f(x,y)=1,有
2+2在D上是连续的.所以,利用定理ab
2
2
22
κ(x+y)dxdy
=
κxdxdy+κydxdy=2ydxdy
κ
D
D
D
D1
κ
D
(2+2)dxdy=ab
κ
D
(2+2)dxdyab
22
=2
1
y2dy=
5
从而,
=====
κ)dxdy+([(++
κab)dxdy]2κab
(x+y)+(x+y)]dxdy[
κ2ab()(x+y)dxdy)+2abκ()θrdr+d2ab∫∫
D
22
(2+2)dxdyab
2
22
2
222
在计算这类二重积分时,容易得知被积函数
关于变量是否对称或是否可以转化为关于某个变量对称,但积分区域
D是否关于坐标轴对称,却常常需要作出图形观察后才能确定。
例3.设D是xoy平面上以点(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域.
2
DD
2
22
2
22
D
22
22
D
2π0
R
22
3
πR4(2+2)4ab
若直接采用极坐标系去求解,则需要用到三角公式,计算较繁.而抓住被积函数与积分区域的特点,利用变量轮换对称性将被积函数化为简单的函数x2+y2后,再利用极坐标系化为二次积分,
使得二重积分计算化繁为简。
求κ(xy+cosxsiny)dxdy
D
作出积分区域D(如图)观察知,它关于坐标
518湖南冶金职业技术学院学报
=2
10
2
第6卷
轴并不具有对称性,是否能用奇偶对称性解决问
题呢?
解:将区域D划分为D1和D2,则D1,D2分别关于x轴、y轴对称,由于被积函数中的xy在区域D1上是关于变量y的奇函数,在区域D2上是关于变量x的奇函数;cosxsiny在区域D1上是关于变量y的奇函数,在区域D2上是关于变量x的偶函数,所以应用奇偶对称性,有
sinydy∫
=1-
sin22
细心观察积分区域图形,善于将积分区域进行划分,变不对称为对称,并利用可加性将被积函数进行合理的组合、搭配,有意识地应用二重积分的奇偶对称性,使计算量大大减少,从而简化了二重积分的计算。
在二重积分计算问题中,所要研究的数学对象常常会是:有些具有对称性,有些隐含对称性,也有些却并不具有对称性,但在解题过程中,我们都需要具有对称性的使用意识,即使对一些不具有对称性的数学对象,有时也需要做一点人为的加工,制造某种对称性,巧妙的将问题转化为具有对称性的二重积分计算问题,减少计算量,优化解题方法,以达到事半功倍的效果。
κxydxdy=0,κxydxdy=0,
D
1
D
2
κcosxsinydxdy=0,
D
1
κcosxsinydxdy=2κcosxsinydxdy
D
2
D
3
(其中D3为D2在y轴右侧的部分)
从而 (xy+cosxsiny)dxdy
D
κ
=
κxydxdy
D
+
1
κcosxsinydxdy
D
+
1
κxydxdy
D
+
2
参考文献
[1]华中科技大学出版社,
[2].高等数学全版辅导〔M〕.北京:学苑出版社,2001.
κcosxsinydxdy
D
2
=2=2
κcosxsinydxdy
D
3
dy∫∫
1y
SymmetryofDoubleIntegralandItsApplication
HUANGXuan-ping
(HunanMetallurgicalProfessionalTechnologyCollege,ZhuzhouHunan412000,China)
Abstract:Thepaperdemonstratesthevariablerotatingandevenparityofdoubleintegra.Indoubleintegralcalcu2lating,symmetrycanbeappliedmoretosimplifytheprocessofsolvingproblems.Keywords:doubleintegral;symmetry;calculating
〔责任编辑:尹志诚〕
第6卷第4期2006年12月湖南冶金职业技术学院学报
JournalofHunanMetallurgicalProfessionalTechnologyCollege
Vol.6 No.4Dec. 2006
二重积分的对称性及其应用
黄萱平
(湖南冶金职业技术学院,湖南 株洲,412000)
摘要:证明了二重积分的变量轮换对称性和奇偶对称性;在二重积分计算中,增强对称性的使用意识,利用对称性简化解题过程。
关键词:二重积分;对称性;计算
中图分类号:0172.2 文献标识码:A 文章编号:1672-7142(2006)04-516-03
与定积分相比,重积分的计算显得困难得多,
仅就二重积分来说,按常规解法既要根据积分区域选择积分次序,还要正确地定好积分上下限,将二重积分转化为二次积分。然而,当积分区域或被积函数具有某种对称性时,若利用对称性进行合理地搭配,就能变难为易,简化解题过程,提高解题效率。
二重积分的对称性有两种:变量轮换对称性和奇偶对称性。
一、定理1.若f(,区域D关于直线y=,则
定理2.(1)若积分区域D关于x(或y)轴对称,设D1是D在x轴上方(或y轴右侧)的部分,则
κf(x,y)dxdy=
D
0 f(x,y)关于(或x)为奇函数,2
(x,yf)y或x)为偶函数.
D
1
x,y轴均对称,设D1
,则
κf(x,y)dxdy=
D
0 f(x,y)关于x或y为奇函数,4
κf(x,y)dxdy=κf(y.x)dxdy.
D
D
κf(x,y)dxdy f(x,y)关于x和y均为偶函数.
D
1
证明:在直角坐标系下,不妨设区域D是X-型区域,D由曲线y=φ1(x)和y=φ2(x)围成(aΦxΦb,φ2(x)ΦyΦφ1),且D1,D2分别是区域D在直线y=x的左、右两侧部分.(D为其他情形时可分块转化成若干个X-型区域或Y-型区域,并利用可加性证之).
因为D1和D2关于直线y=x对称,所以,有
(3)若积分区域D关于原点对称,设D1是D
的右半平面或上半平面部分.则
κf(x,y)dxdy=
D
0 f(x,y)关于(x,y)为奇函数,2
κf(x,y)dxdy f(x,y)关于(x,y)为偶函数.
D
1
κ
D
f(x,y)dxdy=
b
dyf(x,y)dx∫∫φ(y)
a
b
φ2(y)
1-1
-1
证明:(1)在区域D关于x轴对称的条件下,仅证明D为X-型区域时的情形.设D由不等式
φ2(x)ΦyΦφ1(x)确定,D1,D2分别是区aΦxΦb,
域D在x轴上方、下方部分,则有
D
2
==
dxf(y,x)dy(换元:y=x)∫∫φ(x)
a
φ2(x)
1
dxf(y,x)dy∫∫φ(x)=f(y,x)dxdyκ
a
b
φ1(x)
2
κf(x,y)dxdy
dx
∫∫=dx∫∫=
a
2
b0
φ(x)
f(x,y)dyf(x,y)dy
D
b
二、奇偶对称性
a
-φ(x)
1
收稿日期:2006-10-08
作者简介:黄萱平(1955-),女,湖南长沙人,湖南冶金职业技术学院基础课部教师。
第4期
黄萱平:二重积分的对称性及其应用
b
517
∫∫f(x,-u)du(换元:y=-=dx
∫∫f(x,-u)du=dx
∫∫f(x,-y)dy(换字母)=
κf(x,-y)dxdy
=-a
dx
φ(x)
1
u)
b
φ(x)
1
a0
对积分区域关于坐标轴对称,同时被积函数关于变量具有奇偶性的二重积分,应当考虑运用奇偶对称性来简化二重积分的计算。
例
2.计算二重积分
2
b
φ(x)
1
a0
κ(x+y)dxdy,其中D
D
D
1
由二重积分的可加性,得
为抛物线y=x,y=4x及直线y=1所围成的区域.[2]
2
κf(x,y)dxdy=κf(x,y)dxdy+κf(x,y)dxdy
D
D
1
D
2
==
κf(x,y)dxdy+κf(x,-D
y)dxdy
1
D
1
κ[f(x,y)+f(x,-D
y)]dxdy
1
所以,有f(x,y)dxdy=
D
κ
0 f(x,y)关于y为奇函数,2
κf(x,y)dxdy f(x,y)关于y为偶函数.
D1
解:积分区域D(如图)关于y轴对称,虽然被积函数f(x,y)关于变量并不具有奇偶性,但偶函数,应用
κxdxdy与κydxdyx为奇、
2有=2ydxdy
κ
D
D
D
D
1
类似地可证积分区域D关于y轴对称及(2),(3)两种情形.
怎样应用对称性简化二重积分的计算呢?例1.设区域D为x2+y222[1]2)dxdyb
D
(22
(1D在y轴右侧的部分)
由此可得
解:积分区域D关于直线y=x对称,且函数f(x,y)=1,有
2+2在D上是连续的.所以,利用定理ab
2
2
22
κ(x+y)dxdy
=
κxdxdy+κydxdy=2ydxdy
κ
D
D
D
D1
κ
D
(2+2)dxdy=ab
κ
D
(2+2)dxdyab
22
=2
1
y2dy=
5
从而,
=====
κ)dxdy+([(++
κab)dxdy]2κab
(x+y)+(x+y)]dxdy[
κ2ab()(x+y)dxdy)+2abκ()θrdr+d2ab∫∫
D
22
(2+2)dxdyab
2
22
2
222
在计算这类二重积分时,容易得知被积函数
关于变量是否对称或是否可以转化为关于某个变量对称,但积分区域
D是否关于坐标轴对称,却常常需要作出图形观察后才能确定。
例3.设D是xoy平面上以点(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域.
2
DD
2
22
2
22
D
22
22
D
2π0
R
22
3
πR4(2+2)4ab
若直接采用极坐标系去求解,则需要用到三角公式,计算较繁.而抓住被积函数与积分区域的特点,利用变量轮换对称性将被积函数化为简单的函数x2+y2后,再利用极坐标系化为二次积分,
使得二重积分计算化繁为简。
求κ(xy+cosxsiny)dxdy
D
作出积分区域D(如图)观察知,它关于坐标
518湖南冶金职业技术学院学报
=2
10
2
第6卷
轴并不具有对称性,是否能用奇偶对称性解决问
题呢?
解:将区域D划分为D1和D2,则D1,D2分别关于x轴、y轴对称,由于被积函数中的xy在区域D1上是关于变量y的奇函数,在区域D2上是关于变量x的奇函数;cosxsiny在区域D1上是关于变量y的奇函数,在区域D2上是关于变量x的偶函数,所以应用奇偶对称性,有
sinydy∫
=1-
sin22
细心观察积分区域图形,善于将积分区域进行划分,变不对称为对称,并利用可加性将被积函数进行合理的组合、搭配,有意识地应用二重积分的奇偶对称性,使计算量大大减少,从而简化了二重积分的计算。
在二重积分计算问题中,所要研究的数学对象常常会是:有些具有对称性,有些隐含对称性,也有些却并不具有对称性,但在解题过程中,我们都需要具有对称性的使用意识,即使对一些不具有对称性的数学对象,有时也需要做一点人为的加工,制造某种对称性,巧妙的将问题转化为具有对称性的二重积分计算问题,减少计算量,优化解题方法,以达到事半功倍的效果。
κxydxdy=0,κxydxdy=0,
D
1
D
2
κcosxsinydxdy=0,
D
1
κcosxsinydxdy=2κcosxsinydxdy
D
2
D
3
(其中D3为D2在y轴右侧的部分)
从而 (xy+cosxsiny)dxdy
D
κ
=
κxydxdy
D
+
1
κcosxsinydxdy
D
+
1
κxydxdy
D
+
2
参考文献
[1]华中科技大学出版社,
[2].高等数学全版辅导〔M〕.北京:学苑出版社,2001.
κcosxsinydxdy
D
2
=2=2
κcosxsinydxdy
D
3
dy∫∫
1y
SymmetryofDoubleIntegralandItsApplication
HUANGXuan-ping
(HunanMetallurgicalProfessionalTechnologyCollege,ZhuzhouHunan412000,China)
Abstract:Thepaperdemonstratesthevariablerotatingandevenparityofdoubleintegra.Indoubleintegralcalcu2lating,symmetrycanbeappliedmoretosimplifytheprocessofsolvingproblems.Keywords:doubleintegral;symmetry;calculating
〔责任编辑:尹志诚〕