鋼珠在旋輪線軌道上運動的研究
李文堂
國立嘉義高中，嘉義市東區60069 摘要
用電腦繪圖，畫出旋輪線，再用電腦割字，在壓克力上割出旋
輪線，組合成旋輪線軌道。用積
分法推導鋼珠在軌道上簡諧運
動的週期，質心速度(v)對高度(h)
的關係式，由v -h 及t-h 關係圖可求得鋼珠和軌道的摩擦係
數。
原理
半徑r 的輪子在水平面上純滾動時，輪緣上一點的軌跡為旋輪線。
x =r φ-r sin φ…(1)
y =r -r cos φ…(2)
圖一：旋輪線
由鋼珠在軌道上受力及簡諧運動公
式積分可得週期T
T =2π
m k =4π7r 5g
…(3) 鋼珠半徑R ，軌道距離d ，鋼珠在軌道上純滾動的有效半徑r
R 2-d 2r =R cos β=R /4
R 2
…(4) 因此，週期修正為：
T =4πr 2+5cos 2β
5g cos 2
β
…(5) 由高h 處純滾動至底端的質心速度v
v =10gh cos 2β2+5cos 2β
…(6)
鋼珠和軌道的靜摩擦係數μs
μ2tan θcos β
s =
2+5cos 2
β
…(7) 器材製作
用Sigma 繪圖軟體畫出旋輪線，用“電腦割字“割成旋輪線軌
道(A)完整軌道半徑9.4cm ，軌
距1.04cm ，(B)半旋輪線軌道半徑17.6cm ，軌距1.04cm 。
圖二：旋輪線曲面 實驗及討論
1. 半徑1.11cm 的鋼珠在完整的旋輪線軌道純滾動來回超過75次，任選
10次用碼表量得平均週期1.514秒和由公式(5)計算的結果1.510秒，誤差-0.26%。
2. 半旋輪線軌道固定在桌緣，軌道出口上方放光電閘，出口正下方置白紙
上方放複寫紙。
啟動光電計時器，同並算出質心速度。
圖三：實驗裝置
3.
0.60
0.55
)
(s e i m T 0.50
0.45
5.0
7.0
9.0
11.013.0
15.0
h (cm)
圖四：鋼珠的t-h 圖 半徑1.11cm 及0.75cm 兩鋼珠在h 小於10.6cm 及10.1cm 時，因純滾動所以有等時性，超過此臨界高度因有滑
動現象，不再等時，將h 代入公式(2)得θ=33.28∘代入公式(7)得靜摩擦係數0.20。 4.
140130
s ) /120m (c y 110t i c o l
100e V 9080702.0
2.5
3.0
3.5
4.0
h (cm )
圖五：鋼珠的v -h 圖 圖五的斜率分別為35.9及33.3和公式(6)計算得36.0及33.4相近，臨界高度為10.6cm 及10.1cm ，亦可得靜摩擦係數0.20。 結論
1. 鋼珠在旋輪線軌道上做純滾動的簡諧運動時，有等時性，即週期和振幅無關。
2. 鋼珠由旋輪線軌道上釋放到底端，若純滾動v -h 圖為直線，t-h 圖為水平線，滑動兼滾動時，則不再為線性，找出此臨界點可算出鋼珠和軌道的靜摩擦
參考資料
1. Myung-hyun, Yang-kie and Sang Bub Lee,"Development of an apparatus for two-dimensional collision experiment using a cycloidal slide," Am. J. Phys. 69, 1187-1190 (November 2001).
2. R. A. Bachman, “Sphere rolling down a grooved track, ” Am. J. Phys. 53, 765-767 (August 1985).
鋼珠在旋輪線軌道上運動的研究
李文堂
國立嘉義高中，嘉義市東區60069 摘要
用電腦繪圖，畫出旋輪線，再用電腦割字，在壓克力上割出旋
輪線，組合成旋輪線軌道。用積
分法推導鋼珠在軌道上簡諧運
動的週期，質心速度(v)對高度(h)
的關係式，由v -h 及t-h 關係圖可求得鋼珠和軌道的摩擦係
數。
原理
半徑r 的輪子在水平面上純滾動時，輪緣上一點的軌跡為旋輪線。
x =r φ-r sin φ…(1)
y =r -r cos φ…(2)
圖一：旋輪線
由鋼珠在軌道上受力及簡諧運動公
式積分可得週期T
T =2π
m k =4π7r 5g
…(3) 鋼珠半徑R ，軌道距離d ，鋼珠在軌道上純滾動的有效半徑r
R 2-d 2r =R cos β=R /4
R 2
…(4) 因此，週期修正為：
T =4πr 2+5cos 2β
5g cos 2
β
…(5) 由高h 處純滾動至底端的質心速度v
v =10gh cos 2β2+5cos 2β
…(6)
鋼珠和軌道的靜摩擦係數μs
μ2tan θcos β
s =
2+5cos 2
β
…(7) 器材製作
用Sigma 繪圖軟體畫出旋輪線，用“電腦割字“割成旋輪線軌
道(A)完整軌道半徑9.4cm ，軌
距1.04cm ，(B)半旋輪線軌道半徑17.6cm ，軌距1.04cm 。
圖二：旋輪線曲面 實驗及討論
1. 半徑1.11cm 的鋼珠在完整的旋輪線軌道純滾動來回超過75次，任選
10次用碼表量得平均週期1.514秒和由公式(5)計算的結果1.510秒，誤差-0.26%。
2. 半旋輪線軌道固定在桌緣，軌道出口上方放光電閘，出口正下方置白紙
上方放複寫紙。
啟動光電計時器，同並算出質心速度。
圖三：實驗裝置
3.
0.60
0.55
)
(s e i m T 0.50
0.45
5.0
7.0
9.0
11.013.0
15.0
h (cm)
圖四：鋼珠的t-h 圖 半徑1.11cm 及0.75cm 兩鋼珠在h 小於10.6cm 及10.1cm 時，因純滾動所以有等時性，超過此臨界高度因有滑
動現象，不再等時，將h 代入公式(2)得θ=33.28∘代入公式(7)得靜摩擦係數0.20。 4.
140130
s ) /120m (c y 110t i c o l
100e V 9080702.0
2.5
3.0
3.5
4.0
h (cm )
圖五：鋼珠的v -h 圖 圖五的斜率分別為35.9及33.3和公式(6)計算得36.0及33.4相近，臨界高度為10.6cm 及10.1cm ，亦可得靜摩擦係數0.20。 結論
1. 鋼珠在旋輪線軌道上做純滾動的簡諧運動時，有等時性，即週期和振幅無關。
2. 鋼珠由旋輪線軌道上釋放到底端，若純滾動v -h 圖為直線，t-h 圖為水平線，滑動兼滾動時，則不再為線性，找出此臨界點可算出鋼珠和軌道的靜摩擦
參考資料
1. Myung-hyun, Yang-kie and Sang Bub Lee,"Development of an apparatus for two-dimensional collision experiment using a cycloidal slide," Am. J. Phys. 69, 1187-1190 (November 2001).
2. R. A. Bachman, “Sphere rolling down a grooved track, ” Am. J. Phys. 53, 765-767 (August 1985).