《经济数学基础-微积分及应用》课程教案
课题：第5章 线性代数 §5.1行列式
1．行列式的概念
教学目标：理解二阶、三阶行列式的概念，会求二阶、三阶行列式的值与排列
逆序数。
重点难点：二阶、三阶行列式的概念 教学过程与内容： ⒈引入新课
考虑二元一次方程组（也叫二元线性方程组）的解
⎧a 11x 1⎨⎩a 21x 1
+a 12x 2+a 22x 2
=b 1⎧⎪(a a -a a )x
⇒⎨112212211
=b 2⎪⎩(a 11a 22-a 12a 21)x 2
课时：2
=a 22b 1
=a 11b 2-a 12b 2
（第一个方程式乘-a 21b 1
以a 22, 第二个方程式乘以a 12，然后相减；第二个方程式乘以a 11，第一个方程式乘以a 21，然后相减）
当a 11a 22-a 12a 21≠0时，此方程组有唯一解
⎧⎪x 1⎪⎨⎪x 2⎪⎩
==
a 22b 1-a 12b 2
a 11a 22-a 12a 21a 11b 2-a 21b 1a 11a 22-a 12a 21
⒉提出课题
⎧a 11x 1⎨a x
由上面的讨论，我们发现二元方程组⎩211
+a 12x 2+a 22x 2
=b 1=b 2
是否有解，主要由式子a 11a 22-a 12a 21决定，为了研究这个问题，我们用记号
a 11
a 21
a 12
来表示这个式子 a 22
a 12
=a 11a 22-a 12a 21我们把它叫做二阶行列式，其中a 11, a 12, a 21, a 22称为a 22
即
a 11a 21
元素，这四个元素排成一个方阵，横排称为行，竖排称为列，二阶行列式共有两
行两列，每个元素有两个脚标，第一脚标称为行标，第二脚标称为列标，从左上角到右下的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线， ⒊二阶行列式
a 11a 21
a 12
的计算 a 22
主对角线上的元素乘积减去次对角线上的元素乘积 例2二阶行列式
a b
=ad -bc c d
例3若二阶行列式D =解：计算二阶行列式
D =
k 22
4k
=k 3-8，从已知得到式子k 3-8=0⇒k =2
k 22
4k
=0, 则元素k =______________
⒋三阶行列式
前面我们为了研究二元线性方程组的解引进二阶行列式，同理，为了研究三元线性方程组的解，我们引进三阶行列式
a 11a 21a 31
a 12a 22a 32
a 13a 23= a 33
a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32-a 13a 22a 31-a 12a 21a 33-a 11a 23a 32 ⒌三阶行列式的计算 例4， 三阶行列式
1
-1-234
-3= 5
2
-4
1⨯3⨯5+(-1)⨯(-3)⨯(-4)+(-2)⨯2⨯4-(-2)⨯3⨯(-4)-(-1)⨯2⨯5-1⨯(-3)⨯4
=15
⒍排列的逆序数
由前n 个自然数组成的数字不重复的排列j 1j 2 j n 中，若有较大的数排在较
小的数前面，则称它们构成一个逆序，并称逆序的总数为排列j 1j 2 j n 的逆序数
记为：N =(j 1j 2 j n )
例：由1，2，3这三个数字组成的排列的逆序数为 N =(123)=0 N =(231)=2 又如：N =(2小结：略
413)=3
课题：第5章 线性代数 §5.1行列式
2．n 阶行列式的概念
课时：2
教学目标：理解n 阶行列式、转置行列式、三角形行列式的概念，会求三角形行
列式的值。
重点难点：n 阶行列式的概念，三角形行列式的运算。 教学过程与内容： 1．n 阶行列式的概念
a 11
a 12
a 1n
a 21 a n 1
a 22 a 2n a n 2 a nn
记号 称为n 阶行列式
注： ⑴它是n ！项的代数和
⑵每项为来自不同行、不同列的n 个元素乘积
⑶适当交换每项中元素的次序，使得它们的行标按顺排列，这时若相应列标逆序数为零或偶数，则这项前面取正号，若相应列标排列逆序数为奇数，则这项前面取负号 2. 一阶行列式 a 11=a 11
例7乘积a 34a 21a 42a 23是否为四阶行列式D 中的项？
解：元素a 21与a 23的行标相同，所以乘积a 34a 21a 42a 23，不是四阶行列式D 的项
例8在四阶行列式中，项a 31a 24a 43a 12前面应取的正负号是
______________
解：适当交换所给项中元素的次序，使得它们的行标按顺序排列，得到
a 31a 24a 43a 12=a 12a 24a 31a 43
这时相应列标排列逆序数为 N =(2413)=3 是奇数，因此项a 31a 24a 43a 12前面应取负号
例9确定元素列标l , m 的值，使得乘积a 31a 22a 5m a 1l a 43为五阶行列式D 中前面取
正号的项
解：在乘积a 31a 22a 5m a 1l a 43中，元素的行标各不相同，说明它们来自不同行，元素的列标分别为1,2, m , l ,3，欲使它们也来自不同列，必须l =4, m =5, 或
l =5, m =4，这时乘积才是五阶行列式中的项，
当l =4, m =5时，得到
a 31a 22a 55a 14a 43=a 14a 22a 31a 42a 55
相应列标排列逆序数
N =(42135)=4
是偶数，因此项a 31a 22a 55a 14a 42前面应取正号； 当l =5, m =4时，得到
a 31a 22a 54a 15a 43=a 15a 22a 31a 43a 54
相应列标排列逆序数
N =(52134)=5
是奇数，因此项a 31a 22a 54a 15a 43前面应取负号
所以当元素列标l =4, m =5时，乘积a 31a 22a 5m a 1l a 43为五阶行列式D 中前面取正号的项
3. 转置行列式 定义 已知行列式
a 11
D =
a 21 a n 1
a 12
a 1n
a 22 a 2n a n 2 a nn
若将行列互换，得到新的行列式，则称这个新的行列式为行列式D 的转置行列式，记为
a 11
D T =
a 21 a 1n
a 21 a n 1a 22 a 2n
a 2n a nn
4. 定理 (p 6) D T =D
5. 三角形行列式 (p 8例10) 6. 对角形行列式 (p 8例11) 小结：
⑴一．二．三．――― n阶行列式的有关概念， ⑵行列式的计算 ⑶排列的逆序数 ⑷转置行列式 ⑸三角形行列式 ⑹对角形行列式
课题：第5章 线性代数 §5.1行列式
3．行列式的性质
教学目标：掌握行列式的性质，利用性质求行列式的值。 重点难点：行列式的性质 教学过程与内容：
性质1 交换行列式的任意两行（列），行列式变号
a 11
a 12a 22a 32
a 13a 23= a 33
课时：2
D =a 21
a 31
a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32-a 13a 22a 31-a 12a 21a 33-a 11a 23a 32 把行列式D 的第一行与第二行交换，得到
a 21
D 1=a 11
a 31
a 22a 12a 32
a 23a 13= a 33
a 21a 12a 33+a 22a 13a 31+a 23a 11a 32-a 23a 12a 31-a 22a 11a 33-a 21a 13a 32 =-a 11a 22a 33-a 12a 23a 31-a 13a 21a 32+a 13a 22a 31+a 12a 21a 33+a 11a 23a 32=-D 性质2 行列式的任意一行（列）的公因子可以提到行列式外面
ka 11
ka 12a 22a 32
ka 13
a 23=kD a 33
D 2=a 21
a 31
性质3 行列式的任意一行（列）的k 倍加到另外一行（列）上去，行列式的值不变
a 11
a 12a 22+ka 12
a 32
a 13a 33
a 11a 31
a 12a 22a 32
a 13
a 23=D a 33
D 3=a 21+ka 11
a 31
a 23+ka 13=a 21
推论：行列式的值一定等于零的情况 ⒈有一行（列）的元素全为零 ⒉有两行（列）的对应元素相同 ⒊有两行（列）的对应元素成比例
学生练习 ：
a 1
b 1b 2b 3
c 1c 3
a 3a 2
b 3b 1b 2
c 3c 1 c 2
例1 已知三阶行列式a 2
a 3的值。
解：三阶行列式
a 3
b 3b 1b 2
c 3c 1 c 2
c 2=10, 求三阶行列式a 1
a 1
a 2
（交换第1行与第2行，性质1）
a 1=-a 3
a 2
b 1b 3b 2
c 1c 3 c 2
（交换第2行与第3行）
a 1
=(-1)a 2
a 3
2
b 1b 2b 3
c 2=(-12)⨯10=10 c 3
x 1
y 1y 2y 3
z 1
z 2=3，求三阶行列式 z 3
c 1
例2 已知三行阶列式x 2
x 3
2x 12x 22x 3
2y 12y 22y 3
2z 12z 2 2z 3
的值。
解：三阶行列式
2x 1
2y 12y 22y 3
2z 12z 2 2z 3
2x 2
2x 3
（第一行至第三行各行的公因子2皆提到行列式外面，性质2）
x 1
=2⨯2⨯2x 2
y 1y 2y 3
z 1
z 2=23⨯3=24 z 3
x 3
《经济数学基础-微积分及应用》课程教案
课题：第5章 线性代数 §5.1行列式
1．行列式的概念
教学目标：理解二阶、三阶行列式的概念，会求二阶、三阶行列式的值与排列
逆序数。
重点难点：二阶、三阶行列式的概念 教学过程与内容： ⒈引入新课
考虑二元一次方程组（也叫二元线性方程组）的解
⎧a 11x 1⎨⎩a 21x 1
+a 12x 2+a 22x 2
=b 1⎧⎪(a a -a a )x
⇒⎨112212211
=b 2⎪⎩(a 11a 22-a 12a 21)x 2
课时：2
=a 22b 1
=a 11b 2-a 12b 2
（第一个方程式乘-a 21b 1
以a 22, 第二个方程式乘以a 12，然后相减；第二个方程式乘以a 11，第一个方程式乘以a 21，然后相减）
当a 11a 22-a 12a 21≠0时，此方程组有唯一解
⎧⎪x 1⎪⎨⎪x 2⎪⎩
==
a 22b 1-a 12b 2
a 11a 22-a 12a 21a 11b 2-a 21b 1a 11a 22-a 12a 21
⒉提出课题
⎧a 11x 1⎨a x
由上面的讨论，我们发现二元方程组⎩211
+a 12x 2+a 22x 2
=b 1=b 2
是否有解，主要由式子a 11a 22-a 12a 21决定，为了研究这个问题，我们用记号
a 11
a 21
a 12
来表示这个式子 a 22
a 12
=a 11a 22-a 12a 21我们把它叫做二阶行列式，其中a 11, a 12, a 21, a 22称为a 22
即
a 11a 21
元素，这四个元素排成一个方阵，横排称为行，竖排称为列，二阶行列式共有两
行两列，每个元素有两个脚标，第一脚标称为行标，第二脚标称为列标，从左上角到右下的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线， ⒊二阶行列式
a 11a 21
a 12
的计算 a 22
主对角线上的元素乘积减去次对角线上的元素乘积 例2二阶行列式
a b
=ad -bc c d
例3若二阶行列式D =解：计算二阶行列式
D =
k 22
4k
=k 3-8，从已知得到式子k 3-8=0⇒k =2
k 22
4k
=0, 则元素k =______________
⒋三阶行列式
前面我们为了研究二元线性方程组的解引进二阶行列式，同理，为了研究三元线性方程组的解，我们引进三阶行列式
a 11a 21a 31
a 12a 22a 32
a 13a 23= a 33
a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32-a 13a 22a 31-a 12a 21a 33-a 11a 23a 32 ⒌三阶行列式的计算 例4， 三阶行列式
1
-1-234
-3= 5
2
-4
1⨯3⨯5+(-1)⨯(-3)⨯(-4)+(-2)⨯2⨯4-(-2)⨯3⨯(-4)-(-1)⨯2⨯5-1⨯(-3)⨯4
=15
⒍排列的逆序数
由前n 个自然数组成的数字不重复的排列j 1j 2 j n 中，若有较大的数排在较
小的数前面，则称它们构成一个逆序，并称逆序的总数为排列j 1j 2 j n 的逆序数
记为：N =(j 1j 2 j n )
例：由1，2，3这三个数字组成的排列的逆序数为 N =(123)=0 N =(231)=2 又如：N =(2小结：略
413)=3
课题：第5章 线性代数 §5.1行列式
2．n 阶行列式的概念
课时：2
教学目标：理解n 阶行列式、转置行列式、三角形行列式的概念，会求三角形行
列式的值。
重点难点：n 阶行列式的概念，三角形行列式的运算。 教学过程与内容： 1．n 阶行列式的概念
a 11
a 12
a 1n
a 21 a n 1
a 22 a 2n a n 2 a nn
记号 称为n 阶行列式
注： ⑴它是n ！项的代数和
⑵每项为来自不同行、不同列的n 个元素乘积
⑶适当交换每项中元素的次序，使得它们的行标按顺排列，这时若相应列标逆序数为零或偶数，则这项前面取正号，若相应列标排列逆序数为奇数，则这项前面取负号 2. 一阶行列式 a 11=a 11
例7乘积a 34a 21a 42a 23是否为四阶行列式D 中的项？
解：元素a 21与a 23的行标相同，所以乘积a 34a 21a 42a 23，不是四阶行列式D 的项
例8在四阶行列式中，项a 31a 24a 43a 12前面应取的正负号是
______________
解：适当交换所给项中元素的次序，使得它们的行标按顺序排列，得到
a 31a 24a 43a 12=a 12a 24a 31a 43
这时相应列标排列逆序数为 N =(2413)=3 是奇数，因此项a 31a 24a 43a 12前面应取负号
例9确定元素列标l , m 的值，使得乘积a 31a 22a 5m a 1l a 43为五阶行列式D 中前面取
正号的项
解：在乘积a 31a 22a 5m a 1l a 43中，元素的行标各不相同，说明它们来自不同行，元素的列标分别为1,2, m , l ,3，欲使它们也来自不同列，必须l =4, m =5, 或
l =5, m =4，这时乘积才是五阶行列式中的项，
当l =4, m =5时，得到
a 31a 22a 55a 14a 43=a 14a 22a 31a 42a 55
相应列标排列逆序数
N =(42135)=4
是偶数，因此项a 31a 22a 55a 14a 42前面应取正号； 当l =5, m =4时，得到
a 31a 22a 54a 15a 43=a 15a 22a 31a 43a 54
相应列标排列逆序数
N =(52134)=5
是奇数，因此项a 31a 22a 54a 15a 43前面应取负号
所以当元素列标l =4, m =5时，乘积a 31a 22a 5m a 1l a 43为五阶行列式D 中前面取正号的项
3. 转置行列式 定义 已知行列式
a 11
D =
a 21 a n 1
a 12
a 1n
a 22 a 2n a n 2 a nn
若将行列互换，得到新的行列式，则称这个新的行列式为行列式D 的转置行列式，记为
a 11
D T =
a 21 a 1n
a 21 a n 1a 22 a 2n
a 2n a nn
4. 定理 (p 6) D T =D
5. 三角形行列式 (p 8例10) 6. 对角形行列式 (p 8例11) 小结：
⑴一．二．三．――― n阶行列式的有关概念， ⑵行列式的计算 ⑶排列的逆序数 ⑷转置行列式 ⑸三角形行列式 ⑹对角形行列式
课题：第5章 线性代数 §5.1行列式
3．行列式的性质
教学目标：掌握行列式的性质，利用性质求行列式的值。 重点难点：行列式的性质 教学过程与内容：
性质1 交换行列式的任意两行（列），行列式变号
a 11
a 12a 22a 32
a 13a 23= a 33
课时：2
D =a 21
a 31
a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32-a 13a 22a 31-a 12a 21a 33-a 11a 23a 32 把行列式D 的第一行与第二行交换，得到
a 21
D 1=a 11
a 31
a 22a 12a 32
a 23a 13= a 33
a 21a 12a 33+a 22a 13a 31+a 23a 11a 32-a 23a 12a 31-a 22a 11a 33-a 21a 13a 32 =-a 11a 22a 33-a 12a 23a 31-a 13a 21a 32+a 13a 22a 31+a 12a 21a 33+a 11a 23a 32=-D 性质2 行列式的任意一行（列）的公因子可以提到行列式外面
ka 11
ka 12a 22a 32
ka 13
a 23=kD a 33
D 2=a 21
a 31
性质3 行列式的任意一行（列）的k 倍加到另外一行（列）上去，行列式的值不变
a 11
a 12a 22+ka 12
a 32
a 13a 33
a 11a 31
a 12a 22a 32
a 13
a 23=D a 33
D 3=a 21+ka 11
a 31
a 23+ka 13=a 21
推论：行列式的值一定等于零的情况 ⒈有一行（列）的元素全为零 ⒉有两行（列）的对应元素相同 ⒊有两行（列）的对应元素成比例
学生练习 ：
a 1
b 1b 2b 3
c 1c 3
a 3a 2
b 3b 1b 2
c 3c 1 c 2
例1 已知三阶行列式a 2
a 3的值。
解：三阶行列式
a 3
b 3b 1b 2
c 3c 1 c 2
c 2=10, 求三阶行列式a 1
a 1
a 2
（交换第1行与第2行，性质1）
a 1=-a 3
a 2
b 1b 3b 2
c 1c 3 c 2
（交换第2行与第3行）
a 1
=(-1)a 2
a 3
2
b 1b 2b 3
c 2=(-12)⨯10=10 c 3
x 1
y 1y 2y 3
z 1
z 2=3，求三阶行列式 z 3
c 1
例2 已知三行阶列式x 2
x 3
2x 12x 22x 3
2y 12y 22y 3
2z 12z 2 2z 3
的值。
解：三阶行列式
2x 1
2y 12y 22y 3
2z 12z 2 2z 3
2x 2
2x 3
（第一行至第三行各行的公因子2皆提到行列式外面，性质2）
x 1
=2⨯2⨯2x 2
y 1y 2y 3
z 1
z 2=23⨯3=24 z 3
x 3