作者：杨桂元
财贸研究 1996年07期
一、线性规划问题及其对偶问题
某企业由A[,1] A[,2]A[,3]…A[,M]这m种资源生产B[,1]B[,2]…B[,M]产品，资源的投入限量分别为b[,1]b[,2]b[,3]…b[,m]； 产品的单位价格分别为c[,1]c[,2]c[,3…c[,m]；每单位产品b[,j]对资源a[,ij](i=1,2,.....,m;j=1,2,3,...,n)的消耗量为。应如何安排生产可使总收益最大？
根据这一问题可建立线性规划数学模型：
由于影子价格是资源在最优决策下边际价值的反映，所以没有最优决策就没有影子价格。同一种资源在不同的经济结构和不同的决策之下其影子价格可能不同，因此影子价格是受经济结构本身客观的条件制约的。由问题（Ⅰ） 与（Ⅱ）的最优解之间的关系，这表明资源影子价格定量地反映了单位资源在最优决策之下为总收益的提供的产值。
三、影子价格的计算方法
由问题（Ⅰ’）的最优基B， 则资源的影子价格就是对偶问题（Ⅱ）的最优解。因此我们可以利用问题（Ⅰ’）的最优基B 的单纯形表T（B）来求出各种资源的影子价格。最优基B所对应的单纯形表中第i种资源（第i个约束条件）对应的松驰变量的检验数的相反数就是第i种资源的影子价格。
引进松弛变量x[,3]x[,4]x[,5]化成标准形，其最优基B=p[,4]p[,1]p[,2]对应的单纯形表为：（见表1）
问题的最优解为x[,1]=300，x[,2]=300，[,max]S=6600。在此最优方案之下三种资源的影子价格分别为：y[,1]=2,y[,2]=0,y[,3]=6。显然，在最优生产方案之下第一、三两种资源已被耗尽，其影子价格均大于零，而这两种资源若仅有一种资源增加一个单位（在不改变最优基的前提下），其他条件不变，可分别使总收益增加2或6。在增加投入扩大生产规模的过程中，我们应将投入资源的影子价格与其市场价格比较，若其影子价格大于市场价格，则继续投入就会增加利润，反之则亏损，所以影子 价格可以作为企业经营决策的依据。在上述最优决策之下，第二种资源虽被耗尽，但其影子价格等于零，这说明仅仅增加第二种资源的投入而不增加其他资源的投入，不能满足扩大生产规模的条件或者即使改变最优方案也不会使总收益增加。
四、影子价格在经济管理中的应用
影子价格真实地反映了资源在经济结构中最优决策下对总收益（目标函数）的影响和贡献大小，资源的影子价格越高，表明该种资源对总收益的贡献越大。
当影子价格为正数，表明该种资源在最优决策之下已充分耗尽，并成为增加总收益的紧缺资源，为短线资源；对于在最优决策下尚有闲置的资源，其影子价格为零，则成了长线资源。影子价格在经济管理中有以下几个方面的应用：
1.影子价格从资源利用的最优角度指出了企业挖潜革新、扬长避短的方向。
由于影子价格为正数的短线资源已成为企业进一步扩大生产增加总收益的瓶颈，所以企业管理者一方面可在影子价格大于该种资源的市场价格时适量地增加投入这种资源，即可增加企业的总利润；另一方面在生产工艺上革新、加强管理，降低这种资源的消耗，也必将使企业增收节支，提高经济效益。对于在最优决策下尚有闲置的长线资源，其剩余资源就是进一步发展生产的潜在优势，它给企业管理者提供了以增加长线资源为主要资源的新产品投产的可能性，或对于物资供应部门将剩余资源调拨给其他生产企业，为资源的合理配置、调剂余缺、实现资源最大使用价值提供了依据。
2.影子价格可以用来估算资源的价格。
对于某种资源，买方希望以尽可能低的价格购入，卖方希望以尽可能高的价格出售。买方购入这种资源作为自己的生产投入，只有资源的价格小于其影子价格时进一步的投入才能获得利润，否则将无利可图；卖方生产这种资源出售，要求产品的价格必须大于自己的生产成本，否则就会亏本。因此，资源的合理价格必在其成本与影子价格之间。但随着最优决策的不同，影子价格也在不断变化，资源的市场价格也随之而波动。
3.影子价格可作为企业调整生产方案的依据。
由此可知，各种资源的限制向量b、各种产品的价格向量C以及产品对资源的消耗系数矩阵A的变化，均可能改变最优基， 均有可能使资源的影子价格发生变化。至于这些系数的变化对最优基和影子价格的影响，可结合灵敏度分析进行讨论，此不赘述。
注释：
〔1〕管梅谷，郑汉鼎：《线性规划》，山东科技出版社，1983年。
〔2〕〔3〕杨桂元：《再论影子价格的经济含义》，《数量经济技术经济研究》1993年第11期。
作者：杨桂元
财贸研究 1996年07期
一、线性规划问题及其对偶问题
某企业由A[,1] A[,2]A[,3]…A[,M]这m种资源生产B[,1]B[,2]…B[,M]产品，资源的投入限量分别为b[,1]b[,2]b[,3]…b[,m]； 产品的单位价格分别为c[,1]c[,2]c[,3…c[,m]；每单位产品b[,j]对资源a[,ij](i=1,2,.....,m;j=1,2,3,...,n)的消耗量为。应如何安排生产可使总收益最大？
根据这一问题可建立线性规划数学模型：
由于影子价格是资源在最优决策下边际价值的反映，所以没有最优决策就没有影子价格。同一种资源在不同的经济结构和不同的决策之下其影子价格可能不同，因此影子价格是受经济结构本身客观的条件制约的。由问题（Ⅰ） 与（Ⅱ）的最优解之间的关系，这表明资源影子价格定量地反映了单位资源在最优决策之下为总收益的提供的产值。
三、影子价格的计算方法
由问题（Ⅰ’）的最优基B， 则资源的影子价格就是对偶问题（Ⅱ）的最优解。因此我们可以利用问题（Ⅰ’）的最优基B 的单纯形表T（B）来求出各种资源的影子价格。最优基B所对应的单纯形表中第i种资源（第i个约束条件）对应的松驰变量的检验数的相反数就是第i种资源的影子价格。
引进松弛变量x[,3]x[,4]x[,5]化成标准形，其最优基B=p[,4]p[,1]p[,2]对应的单纯形表为：（见表1）
问题的最优解为x[,1]=300，x[,2]=300，[,max]S=6600。在此最优方案之下三种资源的影子价格分别为：y[,1]=2,y[,2]=0,y[,3]=6。显然，在最优生产方案之下第一、三两种资源已被耗尽，其影子价格均大于零，而这两种资源若仅有一种资源增加一个单位（在不改变最优基的前提下），其他条件不变，可分别使总收益增加2或6。在增加投入扩大生产规模的过程中，我们应将投入资源的影子价格与其市场价格比较，若其影子价格大于市场价格，则继续投入就会增加利润，反之则亏损，所以影子 价格可以作为企业经营决策的依据。在上述最优决策之下，第二种资源虽被耗尽，但其影子价格等于零，这说明仅仅增加第二种资源的投入而不增加其他资源的投入，不能满足扩大生产规模的条件或者即使改变最优方案也不会使总收益增加。
四、影子价格在经济管理中的应用
影子价格真实地反映了资源在经济结构中最优决策下对总收益（目标函数）的影响和贡献大小，资源的影子价格越高，表明该种资源对总收益的贡献越大。
当影子价格为正数，表明该种资源在最优决策之下已充分耗尽，并成为增加总收益的紧缺资源，为短线资源；对于在最优决策下尚有闲置的资源，其影子价格为零，则成了长线资源。影子价格在经济管理中有以下几个方面的应用：
1.影子价格从资源利用的最优角度指出了企业挖潜革新、扬长避短的方向。
由于影子价格为正数的短线资源已成为企业进一步扩大生产增加总收益的瓶颈，所以企业管理者一方面可在影子价格大于该种资源的市场价格时适量地增加投入这种资源，即可增加企业的总利润；另一方面在生产工艺上革新、加强管理，降低这种资源的消耗，也必将使企业增收节支，提高经济效益。对于在最优决策下尚有闲置的长线资源，其剩余资源就是进一步发展生产的潜在优势，它给企业管理者提供了以增加长线资源为主要资源的新产品投产的可能性，或对于物资供应部门将剩余资源调拨给其他生产企业，为资源的合理配置、调剂余缺、实现资源最大使用价值提供了依据。
2.影子价格可以用来估算资源的价格。
对于某种资源，买方希望以尽可能低的价格购入，卖方希望以尽可能高的价格出售。买方购入这种资源作为自己的生产投入，只有资源的价格小于其影子价格时进一步的投入才能获得利润，否则将无利可图；卖方生产这种资源出售，要求产品的价格必须大于自己的生产成本，否则就会亏本。因此，资源的合理价格必在其成本与影子价格之间。但随着最优决策的不同，影子价格也在不断变化，资源的市场价格也随之而波动。
3.影子价格可作为企业调整生产方案的依据。
由此可知，各种资源的限制向量b、各种产品的价格向量C以及产品对资源的消耗系数矩阵A的变化，均可能改变最优基， 均有可能使资源的影子价格发生变化。至于这些系数的变化对最优基和影子价格的影响，可结合灵敏度分析进行讨论，此不赘述。
注释：
〔1〕管梅谷，郑汉鼎：《线性规划》，山东科技出版社，1983年。
〔2〕〔3〕杨桂元：《再论影子价格的经济含义》，《数量经济技术经济研究》1993年第11期。