【知识点2】集合的应用
拟稿：储鹏
【练习1】集合M ={x |x =
A. M =N
【解答】 kx πkx π+, k ∈Z },N ={x |x =+, k ∈Z },则( ) 2442 C. M N D. M ∩N =∅ B. M N
对M 将k 分成两类：k =2n 或k =2n +1(n ∈Z ), M ={x |x =n π+
n π+π4, n ∈Z }∪{x |x = 3π, n ∈Z },对N 将k 分成四类，k =4n 或k =4n +1,k =4n +2,k =4n +3(n ∈Z ), N ={x |x =n π4
π3π5π+, n ∈Z }∪{x |x =n π+, n ∈Z }∪{x |x =n π+π, n ∈Z }∪{x |x =n π+, n ∈Z }. 442
答案：C
【练习2】已知集合A ={x ∈R |ax 2－3x +2=0,a∈R },若A 中元素至多有1个， 则a 的取值范围是_________.
【答案】a =0或a ≥9 8
【练习3】设f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f［f(x)］=x}.
(1)求证：A ⊆B ;
(2)如果A ={－1，3}，求B .
【解答】(1)证明：设x 0是集合A 中的任一元素，即有x 0∈A .
∵A ={x |x =f (x )},∴x 0=f (x 0).
即有f ［f (x 0) ］=f (x 0)=x 0, ∴x 0∈B , 故A ⊆B .
(2)证明：∵A ={－1,3}={x |x 2+px +q =x },
∴方程x 2+(p －1) x +q =0有两根－1和3，应用韦达定理，得
⎧-1+3=-(p -1), ⎧p =-1 ⇒⎨⎨(-1) ⨯3=q q =-3⎩⎩
∴f (x )=x 2－x －3.
于是集合B 的元素是方程f ［f (x ) ］=x , 也即(x 2－x －3) 2－(x 2－x －3) －3=x ①的根. 将方程①变形，得(x 2－x －3）2－x 2=0
解得x =1,3,3, －3.
故B ={－3，－1，，3}.
【练习4】对于集合M 、N ，定义M -N ={x |x ∈M , x ∉N }，
M ⊕N =(M -N ) ⋃(N -M ) 。设M={y|y =x 2-3x +1, x ∈R }， N={y|y =-2x +1, x ∈R }，则M+N=__________。
【练习5】正整数集合A K 中的最小元素是1，最大元素为2010， 并且各元素可以从小到大排成一个公差为K 的等差数列，并集A 7⋃A 41 中的元素个数为______。
【知识点2】集合的应用
拟稿：储鹏
【练习1】集合M ={x |x =
A. M =N
【解答】 kx πkx π+, k ∈Z },N ={x |x =+, k ∈Z },则( ) 2442 C. M N D. M ∩N =∅ B. M N
对M 将k 分成两类：k =2n 或k =2n +1(n ∈Z ), M ={x |x =n π+
n π+π4, n ∈Z }∪{x |x = 3π, n ∈Z },对N 将k 分成四类，k =4n 或k =4n +1,k =4n +2,k =4n +3(n ∈Z ), N ={x |x =n π4
π3π5π+, n ∈Z }∪{x |x =n π+, n ∈Z }∪{x |x =n π+π, n ∈Z }∪{x |x =n π+, n ∈Z }. 442
答案：C
【练习2】已知集合A ={x ∈R |ax 2－3x +2=0,a∈R },若A 中元素至多有1个， 则a 的取值范围是_________.
【答案】a =0或a ≥9 8
【练习3】设f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f［f(x)］=x}.
(1)求证：A ⊆B ;
(2)如果A ={－1，3}，求B .
【解答】(1)证明：设x 0是集合A 中的任一元素，即有x 0∈A .
∵A ={x |x =f (x )},∴x 0=f (x 0).
即有f ［f (x 0) ］=f (x 0)=x 0, ∴x 0∈B , 故A ⊆B .
(2)证明：∵A ={－1,3}={x |x 2+px +q =x },
∴方程x 2+(p －1) x +q =0有两根－1和3，应用韦达定理，得
⎧-1+3=-(p -1), ⎧p =-1 ⇒⎨⎨(-1) ⨯3=q q =-3⎩⎩
∴f (x )=x 2－x －3.
于是集合B 的元素是方程f ［f (x ) ］=x , 也即(x 2－x －3) 2－(x 2－x －3) －3=x ①的根. 将方程①变形，得(x 2－x －3）2－x 2=0
解得x =1,3,3, －3.
故B ={－3，－1，，3}.
【练习4】对于集合M 、N ，定义M -N ={x |x ∈M , x ∉N }，
M ⊕N =(M -N ) ⋃(N -M ) 。设M={y|y =x 2-3x +1, x ∈R }， N={y|y =-2x +1, x ∈R }，则M+N=__________。
【练习5】正整数集合A K 中的最小元素是1，最大元素为2010， 并且各元素可以从小到大排成一个公差为K 的等差数列，并集A 7⋃A 41 中的元素个数为______。