三角形的证明第一单元测试题

三角形的证明第一单元测试题

一、选择题

1．如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（ ）去配.

A. ① B. ② C. ③ D. ①和②

2．下列说法中，正确的是（ ）.

A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等

B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等

C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等

D．面积相等的两个三角形全等

3．如图2，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm，那么AC长为（ ）.

A．4cm B．5cm C．8cm D．cm

4．如图3，在等边ABC中，D,E分别是BC,AC上的点，且BDCE，AD与BE相交于点P，则12的度数是（ ）.

A．450 B．550 C．600 D．750

5．如图4，在ABC中，AB=AC，A360，BD和CE分别是ABC和ACB的平分线，且相交于点P. 在图4中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（ ）.

A．9个 B．8个 C．7个 D．6个

6．如图5，l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路

的距离相等，则可供选择的地址有（ ）.

A．1处 B．2处 C．3处 D．4处

7．如图6，A、C、E三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是

等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有

如下结论：① △ACE≌△DCB；② CM＝CN；③ AC＝DN. 其

中，正确结论的个数是（ ）.

A．3个 B．2个 C． 1个 D．0个

8．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E 在同一条直

线上（如图7），可以证明ABC≌EDC，得ED=AB. 因

此，测得DE的长就是AB的长，在这里判定ABC≌EDC

的条件是( ).

A．ASA B．SAS C．SSS D．HL

9．如图8，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的

位置，BE交AD于点F.

求证：重叠部分（即BDF）是等腰三角形.

证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥

BC

又∵BDE与BDC关于BD对称，

图8

∴ 23. ∴BDF是等腰三角形.

请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（ ）.

①12；②13；③34；④BDCBDE

A．①③ B．②③ C．②① D．③④

10.如图9，已知线段a，h作等腰△ABC，使AB＝AC，

且

BC＝a，BC边上的高AD＝h. 张红的作法是：（1）

作线段

BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与

BC相

交于点D；（3）在直线MN上截取线段h；（4）连

结AB，

AC，则△ABC为所求的等腰三角形.

上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）.

A. （1） B. （2） C. （3） D. （4）

二、填空题（每小题3分，共30分）

1．如图10，已知，在△ABC和△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使

△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是____________.

2．如图11，在RtABC中，BAC900,ABAC，分别过点B,C作经过点A的直线的垂线段BD，CE，若BD=3厘米，CE=4厘米，则DE的长为

_______.

3．如图12，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠

ABC

等于_________度.

4．如图13，在等腰ABC中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若BCE 的周长为50，则底边BC的长为_________.

5．在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为500，则底角B的大小为________.

6．在《三角形的证明》一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是________.(填序号)

7．如图14，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为________.

8．如图15，在ABC中，AB=AC，A1200，D是BC上任意一点，分别做DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如果BC=20cm，那么

DE+DF= _______cm.

9．如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于点E，若BE4，则AC_______ .

10．如图17，有一块边长为24m的长方形绿地，在绿地旁边B

处有健身器材， 由于居住在A处的居民践踏了绿地，小颖想在

A处立一个标牌“少走_____步，踏之何忍？”但小颖不知在

“_____”处应填什么数字，请你帮助她填上好吗？（假设两步

为1米）？

三、解答题（本大题共48分）

1．（7分）如图18，在ABC中，ACB900，CD是AB边

上的高，

A300. 求证：AB= 4BD.

2．（7分）如图19，在ABC中，C900，AC=BC，AD平

分CAB

交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm. 你能否求出

BDE的

周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.

3．（10分）如图20，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，

BE与CD相交于O点. 现有四个条件：①AB＝AC；②OB＝OC；

③∠ABE＝∠ACD；④BE＝CD.

(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正．

确的命题： ．

命题的条件是 和 ，命题的结论是 和 (均填序号).

(2)证明你写出的命题.

已知：求证：证明

4．（8分）如图21，在ABC中，A900，AB=AC，ABC的 平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E. 1求证：CEBD. 2

5．（8分）如图22，在ABC中，C900.

（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A

的度数.

6．（8分）如图23，AOB900，OM平分AOB，将直角三角板的顶 点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问 PC与PD相等吗？试说明理由.

四、拓广探索（本大题12分）

图23 如图24，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，

交BC的延长线于点M，若A400.

（1）求NMB的度数；（2）如果将（1）中A的度数改为700，其余条件不变，再求NMB的度数；（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；

（4）若将（1）中的A改为钝角，你对这个规律性的认识是

否需要加以修改？ 图21

图24

三角形的证明第一单元测试题

一、选择题

1．如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（ ）去配.

A. ① B. ② C. ③ D. ①和②

2．下列说法中，正确的是（ ）.

A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等

B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等

C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等

D．面积相等的两个三角形全等

3．如图2，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm，那么AC长为（ ）.

A．4cm B．5cm C．8cm D．cm

4．如图3，在等边ABC中，D,E分别是BC,AC上的点，且BDCE，AD与BE相交于点P，则12的度数是（ ）.

A．450 B．550 C．600 D．750

5．如图4，在ABC中，AB=AC，A360，BD和CE分别是ABC和ACB的平分线，且相交于点P. 在图4中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（ ）.

A．9个 B．8个 C．7个 D．6个

6．如图5，l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路

的距离相等，则可供选择的地址有（ ）.

A．1处 B．2处 C．3处 D．4处

7．如图6，A、C、E三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是

等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有

如下结论：① △ACE≌△DCB；② CM＝CN；③ AC＝DN. 其

中，正确结论的个数是（ ）.

A．3个 B．2个 C． 1个 D．0个

8．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E 在同一条直

线上（如图7），可以证明ABC≌EDC，得ED=AB. 因

此，测得DE的长就是AB的长，在这里判定ABC≌EDC

的条件是( ).

A．ASA B．SAS C．SSS D．HL

9．如图8，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的

位置，BE交AD于点F.

求证：重叠部分（即BDF）是等腰三角形.

证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥

BC

又∵BDE与BDC关于BD对称，

图8

∴ 23. ∴BDF是等腰三角形.

请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（ ）.

①12；②13；③34；④BDCBDE

A．①③ B．②③ C．②① D．③④

10.如图9，已知线段a，h作等腰△ABC，使AB＝AC，

且

BC＝a，BC边上的高AD＝h. 张红的作法是：（1）

作线段

BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与

BC相

交于点D；（3）在直线MN上截取线段h；（4）连

结AB，

AC，则△ABC为所求的等腰三角形.

上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）.

A. （1） B. （2） C. （3） D. （4）

二、填空题（每小题3分，共30分）

1．如图10，已知，在△ABC和△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使

△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是____________.

2．如图11，在RtABC中，BAC900,ABAC，分别过点B,C作经过点A的直线的垂线段BD，CE，若BD=3厘米，CE=4厘米，则DE的长为

_______.

3．如图12，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠

ABC

等于_________度.

4．如图13，在等腰ABC中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若BCE 的周长为50，则底边BC的长为_________.

5．在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为500，则底角B的大小为________.

6．在《三角形的证明》一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是________.(填序号)

7．如图14，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为________.

8．如图15，在ABC中，AB=AC，A1200，D是BC上任意一点，分别做DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如果BC=20cm，那么

DE+DF= _______cm.

9．如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于点E，若BE4，则AC_______ .

10．如图17，有一块边长为24m的长方形绿地，在绿地旁边B

处有健身器材， 由于居住在A处的居民践踏了绿地，小颖想在

A处立一个标牌“少走_____步，踏之何忍？”但小颖不知在

“_____”处应填什么数字，请你帮助她填上好吗？（假设两步

为1米）？

三、解答题（本大题共48分）

1．（7分）如图18，在ABC中，ACB900，CD是AB边

上的高，

A300. 求证：AB= 4BD.

2．（7分）如图19，在ABC中，C900，AC=BC，AD平

分CAB

交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm. 你能否求出

BDE的

周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.

3．（10分）如图20，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，

BE与CD相交于O点. 现有四个条件：①AB＝AC；②OB＝OC；

③∠ABE＝∠ACD；④BE＝CD.

(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正．

确的命题： ．

命题的条件是 和 ，命题的结论是 和 (均填序号).

(2)证明你写出的命题.

已知：求证：证明

4．（8分）如图21，在ABC中，A900，AB=AC，ABC的 平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E. 1求证：CEBD. 2

5．（8分）如图22，在ABC中，C900.

（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A

的度数.

6．（8分）如图23，AOB900，OM平分AOB，将直角三角板的顶 点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问 PC与PD相等吗？试说明理由.

四、拓广探索（本大题12分）

图23 如图24，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，

交BC的延长线于点M，若A400.

（1）求NMB的度数；（2）如果将（1）中A的度数改为700，其余条件不变，再求NMB的度数；（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；

（4）若将（1）中的A改为钝角，你对这个规律性的认识是

否需要加以修改？ 图21

图24