常用的数学思想方法有哪些?

中考数学专题复习一常用的数学思想和方法 北师大版

一、常用的数学思想(数学中的四大思想)

1.函数与方程的思想

用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想,函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。

深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础,运用方程思想解题可归纳为三个步骤:①将所面临的问题转化为方程问题;②解这个方程或讨论这个方程,得出相关的结论;③将所得出的结论再返回到原问题中去。

2.数形结合思想

在中学数学里,我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开,也就是说,代数问题可以几何化,几何问题也可以代数化,“数”和“形 ”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。

3.分类讨论思想

在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异。分各种不同情况予以考察,这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略 ,引起分类讨论的因素较多,归纳起来主要有以下几个方面:(1)由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论;(2)由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论;(3)由于图形的不确定性引起的讨论;(4)由于题目含有字母而引起的讨论。

分类讨论的解题步骤一般是:(1)确定讨论的对象以及被讨论对象的全体;(2)合理分类,统一标准,做到既无遗漏又无重复 ;(3)逐步讨论,分级进行;(4)归纳总结作出整个题目的结论。

4.等价转化思想

等价转化是指同一命题的等价形式.可以通过变量问题的条件和结论,或通过适当的代换转化问题的形式,或利用互为逆否命题的等价关系来实现。

常用的转化策略有:已知与未知的转化;正向与反向的转化;数与形的转化;一般于特殊的转化;复杂与简单的转化。

二、常用的数学方法

主要有换元法、配方法和待定系数法三种。

三、例题解析

【例1】(2004年北京市东城区)解方程:x+1-3x+1=2.

解:设x+1=y,则原方程化为y-3y=2

去分母,得y2-2y-3=0.

解这个方程,得y1=-1,y2=3.

当y=-1时,x+1=-1,所以x=-2;

当y=3时,x+1=3,所以x=2.

经检验,x=2和x=-2均为原方程的解.

〖点拨〗解分式方程通常是采用去分母或还元法化为整式方程,并特别要注意验根。

【例2】已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为 。

〖解析〗∵函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,∴b=-4a …①将点(1,4)、(5,0)的坐标分别代入y=ax2+bx+c得:a+b+c=4…② 25a+5b+c=0③.解①②③得a=-12,b=2,c=52.故抛物线的解析式为y=-12x2+2x+52.

〖点拨〗利用待定系数法可求函数的解析式、代数式及多项式的因式分解等符合题设条件的数学式。

【例3】(05年长沙市)某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品.已知每件产品的进价为40元,每年销售该种产品的总开支(不含进价)总计120 万元.在销售过程中发现,年销售量y(万件)与销售单价x(元)之问存在着如图所示的一次函数关系.

⑴求y关于x的函数关系式;

⑵试写出该公司销售该种产品的年获利z(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式(年获利=年销售额一年销售产品总进价一年总开支).当销售单价x为何值时,年获利最大?并求这个最大值;

⑶若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元,借助⑵中函数的图象,请你帮助该公司确定销售单价的范围.在此情况下,要使产品销售量最大,你认为销售单价应定为多少元?

〖解〗:⑴设y=kx+b ,它过点(60,5),(80,4)

∴5=60k+b4=80k+b 解得k=-120b=8

∴y=-120x+8,

⑵z=yx-40y-120=(-120x+8)(x-40)-120=-120x2+10x-440;

∴当x=100元时,最大年获得为60万元.

⑶令z=40,得40=-120x2+10x-440,整理得:

x2-200x+9600=0

解得:x1=80,x2=120,

由图象可知,要使年获利不低于40万元,销售单价应在80元到120元之间.…(8分)又因为销售单价越低,销售量越大,所以要使销售量最大,又要使年获利不低于40万元,销售单价应定为80元.

〖点拨〗解此类问题,要仔细阅读题目,理清思路,从而建立数学模型(函数模型)

【例4】(2007年福建漳州)如图,已知矩形ABCD,AB=3,BC=3,在BC上取两点E、F(E在F左边),以EF为边作等边三角形PEF,使顶点P在AD上,PE、PF分别交AC于点G、H.

(1)求△PEF的边长;

(2)在不添加辅助线的情况下,当F与C不重合时,从图中找出一对相似三角形,并说明理由;

(3)若△PEF的边EF在线段BC上移动.试猜想:PH与BE有何数量关系?并证明你猜想的结论.

[解] (1)过P作PQ⊥BC于Q

矩形ABCD

∴∠B=90°,即AB⊥BC,又AD∥BC

∴PQ=AB=3

...........

中考数学专题复习一常用的数学思想和方法 北师大版

一、常用的数学思想(数学中的四大思想)

1.函数与方程的思想

用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想,函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。

深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础,运用方程思想解题可归纳为三个步骤:①将所面临的问题转化为方程问题;②解这个方程或讨论这个方程,得出相关的结论;③将所得出的结论再返回到原问题中去。

2.数形结合思想

在中学数学里,我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开,也就是说,代数问题可以几何化,几何问题也可以代数化,“数”和“形 ”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。

3.分类讨论思想

在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异。分各种不同情况予以考察,这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略 ,引起分类讨论的因素较多,归纳起来主要有以下几个方面:(1)由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论;(2)由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论;(3)由于图形的不确定性引起的讨论;(4)由于题目含有字母而引起的讨论。

分类讨论的解题步骤一般是:(1)确定讨论的对象以及被讨论对象的全体;(2)合理分类,统一标准,做到既无遗漏又无重复 ;(3)逐步讨论,分级进行;(4)归纳总结作出整个题目的结论。

4.等价转化思想

等价转化是指同一命题的等价形式.可以通过变量问题的条件和结论,或通过适当的代换转化问题的形式,或利用互为逆否命题的等价关系来实现。

常用的转化策略有:已知与未知的转化;正向与反向的转化;数与形的转化;一般于特殊的转化;复杂与简单的转化。

二、常用的数学方法

主要有换元法、配方法和待定系数法三种。

三、例题解析

【例1】(2004年北京市东城区)解方程:x+1-3x+1=2.

解:设x+1=y,则原方程化为y-3y=2

去分母,得y2-2y-3=0.

解这个方程,得y1=-1,y2=3.

当y=-1时,x+1=-1,所以x=-2;

当y=3时,x+1=3,所以x=2.

经检验,x=2和x=-2均为原方程的解.

〖点拨〗解分式方程通常是采用去分母或还元法化为整式方程,并特别要注意验根。

【例2】已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为 。

〖解析〗∵函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,∴b=-4a …①将点(1,4)、(5,0)的坐标分别代入y=ax2+bx+c得:a+b+c=4…② 25a+5b+c=0③.解①②③得a=-12,b=2,c=52.故抛物线的解析式为y=-12x2+2x+52.

〖点拨〗利用待定系数法可求函数的解析式、代数式及多项式的因式分解等符合题设条件的数学式。

【例3】(05年长沙市)某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品.已知每件产品的进价为40元,每年销售该种产品的总开支(不含进价)总计120 万元.在销售过程中发现,年销售量y(万件)与销售单价x(元)之问存在着如图所示的一次函数关系.

⑴求y关于x的函数关系式;

⑵试写出该公司销售该种产品的年获利z(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式(年获利=年销售额一年销售产品总进价一年总开支).当销售单价x为何值时,年获利最大?并求这个最大值;

⑶若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元,借助⑵中函数的图象,请你帮助该公司确定销售单价的范围.在此情况下,要使产品销售量最大,你认为销售单价应定为多少元?

〖解〗:⑴设y=kx+b ,它过点(60,5),(80,4)

∴5=60k+b4=80k+b 解得k=-120b=8

∴y=-120x+8,

⑵z=yx-40y-120=(-120x+8)(x-40)-120=-120x2+10x-440;

∴当x=100元时,最大年获得为60万元.

⑶令z=40,得40=-120x2+10x-440,整理得:

x2-200x+9600=0

解得:x1=80,x2=120,

由图象可知,要使年获利不低于40万元,销售单价应在80元到120元之间.…(8分)又因为销售单价越低,销售量越大,所以要使销售量最大,又要使年获利不低于40万元,销售单价应定为80元.

〖点拨〗解此类问题,要仔细阅读题目,理清思路,从而建立数学模型(函数模型)

【例4】(2007年福建漳州)如图,已知矩形ABCD,AB=3,BC=3,在BC上取两点E、F(E在F左边),以EF为边作等边三角形PEF,使顶点P在AD上,PE、PF分别交AC于点G、H.

(1)求△PEF的边长;

(2)在不添加辅助线的情况下,当F与C不重合时,从图中找出一对相似三角形,并说明理由;

(3)若△PEF的边EF在线段BC上移动.试猜想:PH与BE有何数量关系?并证明你猜想的结论.

[解] (1)过P作PQ⊥BC于Q

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∴∠B=90°,即AB⊥BC,又AD∥BC

∴PQ=AB=3

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