第５卷第６期
２００９年１２月教育学报ＪｏｕｒｎａＩＯｆＥｄｕｃａｔｉｏｎａＩＳｔｕｄｉｅｓＶ０１．５。Ｎｏ．６Ｄｅｃ．２００９
高中数学课程标准实验问题研究
俞求是
（人民教育出版社课程教材研究所，北京１０００８１）
摘要：在高中数学课程标准的教学实验取得巨大成绩的同时，尚有若干重要问题需要研究解决。高中数学
五个必修模块比较好的教学顺序是１４５２３；映射和反函数是重要基本概念，应先教映射后教函数；在立体几何教学
中应先教直线、平面的基本性质，再教几何体的结构；一系列关于垂直、平行的判定定理比相应的性质定理更重要，
应该予以证明；极限是微积分的重要概念，在微积分初步教学中应该引入极限概念；应该考虑适当增加课时，删去
某些次要内容以解决高中学生学习负担过重的问题；应遵循教材结构安排的一些基本原则调整新高中数学内容结
构，并解决好初、高中数学教学的衔接等问题。
关键词：模块顺序；映射；函数；立体几何；极限；学业负担
中图分类号：Ｇ６３８．３文献标识码：Ａ文章编号：１６７３—１２９８（２００９）０６—００３６－０９
根据教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）编写的实验教材于２００４年秋开始在广东等四省进行实验，目前，全国已经有约三分之二省市进入了新课程的实验，实验取得了丰硕成果。通过实验，我国中学数学教学工作者在数学教育的观念上有了新的认识和提高，对于数学发展及其价值的认识有了普遍提高，就社会对数学的需求状况、进一步提高学生的数学素养必要性有了更深的理解，对于国际数学课程发展情况有了较广阔的视野和初步认识，对于我国数学教育的发展历史，尤其是建国后数学教育的改革发展有了一定的了解，对于改革开放后我国中学数学教学的优点以及我国基础教育数学课程存在的不足和问题也有所认识和反思，对新高中数学课程的基本理念、课程目标进行了认真的学习和研究并予以贯彻落实，我国高中数学课程取得了巨大的发展和新的成绩。
与此同时，正如《普通高中数学课程标准解读》所指出的，《课程标准》中还有一些问题需要进一步探讨和研究，需要社会各界关注新一轮高中数学课程改革，对新的高中数学课程中存在的问题开展研究和讨论，使我国的高中数学课程体系更加趋于完善，并形成具有鲜明中国特色的数学课程体系［１］。智者千虑总有一失，通过试验发现，我国正在进行的高中数学课程标准实验仍然存在一些问题，许多研究者（如人民教育出版社中学数学室等）也对出现的问题进行了广泛深入的调查研究。笔者参加了课程标准实验教科书的研究、编写，也赴部分试验区进行了教材介绍、回访等工作，对课程标准和实验教材进行了反复学习，对试验中出现的一些问题作了初步研究，本文概述课程标准实验问题研究，并进一步对这些问题作了分析，希望有助于后续实验推广以及课程标准、实验教科书的修订完善。
一、必修模块的教学顺序问题
《课程标准》对必修五个模块的教学顺序没有作明确规定，实验出现了一些较突出的问题，如某些地区甚至连续三年按照不同的模块顺序进行教学［２］。对模块顺序问题，老师们发表了许多意见，如江苏省常州市教研室孙福明老师认为：“按照常规理解，教材必修１—５应该是有顺序的，而且这种顺序应该体现编者的整体意图和编者对高中数学的整体认识，但课程标准制订组提出以数学１为基础，其余四个模块在不影响相关联系和知识准备的条件下，学校可以根据学生的选择和本校的具体情况进行安排，原则上没有顺序要求。纵观
收稿日期：２００９—０９—２８
作者简介：俞求是（１９６１一），男，汉族，浙江人，人民教育出版社副编审，课程教材研究所副研究员，硕士，主要从事数学教育、中学数学课程教材、数学教学的理论与实践、比较数学教育研究。
第６期高中数学课程标准实验问题研究３７各地的教学顺序，几乎都回归到老教材原有的以学科体系为主的顺序，例如有些地方教学顺序是必修１４５２３，有些地方是必修１５４２３等。＂［３。。为了确定必修五个模块的教学顺序，许多老师作了深入的研究‘４］［５］［６］。
我们先考察五个必修模块的教学内容及内容之间的联系。
《数学１》包括集合、函数，幂函数、指数函数、对数函数，以及函数的应用。集合是高中数学基础知识，为后续教学内容准备了集合语言和思考问题的观点，为从集合、对应语言描述函数概念提供了准备；函数概念是基本而重要的概念，幂函数、指数函数、对数函数是三类应用广泛的基本初等函数；《数学２》包括立体几何初步、解析几何初步。这些内容涉及直线、平面之间的垂直、平行，直线的倾斜角和斜率等有关图形相互关系的讨论；《数学３》包括算法初步、统计和概率的部分内容。《数学４》包括任意角三角函数概念、平面向量、三角恒等变形，为涉及角的问题准备了工具；《数学５》包括解三角形，数列，不等式的初步知识。数列内容主要包括等差数列和等比数列的内容，不等式部分有线性规划内容。
在五个必修模块的教学内容中，集合是最基础的概念；函数建立在集合概念基础上，实际上是两个数集之间的特殊映射；三角函数是一类特殊函数；向量概念本身非常简单，但需要讨论向量之问的关系，如两个向量的和，差、数量积等，要涉及向量间的夹角，应该安排在三角函数之后；立体几何与解析几何都要讨论几何图形间的位置关系，以三角函数和向量作工具；解三角形必须在三角函数之后，并应用于立体几何与解析几何；线性规划以直线方程为前提，须安排在解析几何初步之后；其他的内容（数列、不等式、算法、统计、概率）所需要的准备知识不多，可以相对比较灵活地安排在不同的位置（当然也会使能够解决的问题范围有所变化）。五个必修模块之间有以下的逻辑结构关系。
数学３
根据以上分析，如按照必修模块１２３４５的顺序进行教学，《数学２》教学涉及斜率，讨论垂直、平行关系需要三角函数知识，就应该在需要时加以补充；另外，《数学３》的难点内容相对靠前了，且把《数学１》《数学４》和《数学５》中一些联系密切的内容隔开了。必修模块比较好的教学顺序是１４５２３。按照此顺序，《数学１》后紧接《数学４》《数学５》可使函数相关的基础知识内容比较集中；《数学４》提前，可以为后续需要应用三角函数的内容（如《数学２》立体几何初步，解析几何初步，《数学５》的解三角形）作好准备。《数学５》的另外两章内容（“数列”和“不等式”）安排在比较靠前的位置，有利于从函数的观点来认识数列和不等式，加强了内容间的联系。不等式是高中数学的基础，在其他数学问题中有广泛的应用，予以适当提前；《数学５》中解三角形的知识为解决《数学２》中立体几何的某些问题作了准备，也为学习物理课等创造条件。但《数学５》不等式部分的线性规划应该安排在《数学２》直线方程内容之后教学；《数学２》后移，适当缩短了与后续课程中有关联知识的时间问隔；教师对于《数学３》的内容相对比较生疏，后移有利于教学。从试验的情况看，大多数教师对这种顺序是认同的［７］。
从参照现行大纲高中数学教科书相关内容的体系安排来看必修１４５２３的教学顺序安排，《全日制普通高级中学教科书（试验修订本）・数学》（必修）的各章内容与以上必修模块按必修数学１４５２３的顺序比较接近，说明这是一种比较稳妥的安排。当然，按照１４５２３的顺序，《数学３》放在五个模块最后，产生的一个突出问
３８教育学报２００９焦题是对于课程标准提出的要把算法思想贯穿在整个课程中的设想不能很好地落实，应该在后续的教学中设法加以弥补。鉴于此，有意见认为可以调整最后的２、３模块顺序，这也值得考虑。当然，也可以考虑把算法的基本内容提前教学来解决此问题。
除了模块顺序问题外，笔者认为，改变高中课程的模块化设置和调整教学内容安排体系的问题是值得进一步研究的。由于一个模块课时少，教学内容安排难度增加，为了符合模块的课时要求，就导致教材内容结构逻辑性的降低，这与数学学科逻辑严密性和数学教材系统性的突出特点不相符合，影响教学。
二、映射、函数、反函数的教学
函数概念是高中数学极其重要的概念，《课程标准》强调了函数是刻画现实世界中一类重要变化规律的模型，一种变量间有相互依赖关系，通过某一事物的变化信息推知另一事物信息的对应关系的数学模型，并结合实际问题感受运用函数概念建立模型的过程与方法。函数教学加强了应用，注重知识之间的联系，重视数形结合和几何直观，加强了与信息技术的整合，削弱了对定义域、值域的过于繁难、技巧化训练，使学生更好地理解函数的基本思想和实质。我们看到，新课程的函数教学有了重大创新和发展。
但是，新课程中映射与函数的安排顺序、反函数概念的教学要求问题引起了广泛研究和讨论。安徽省萧县教育局教研室吴仲奇老师认为：“关于函数与映射概念的处理，新教材是先给出函数后再给出映射概念，即由特殊到一般。在教学中，我们就这两个概念作了对比试验，结果发现，先讲函数定义的班级，普遍反映对定义中的“ｆ”表示对应关系理解不清，而先讲映射后讲函数的班级，对函数概念的理解要好得多。另外，对函数概念新教材上给出的就是映射观点下的定义，从这方面看，也应是先讲映射为宜。”［８］。我们在许多高中数学教学实验研究文献中看到多数老师也持同样的观点。广州市执信中学特级教师刘仕森校长探访了一些学生，特别是学习困难生，学生们认为越讲不清，他们的负担越重，他们希望学得更明白一些，不知其理，反而学得辛苦。［９］
下图给出与映射、函数相关的概念结构。从图中可以看出映射概念的重要地位。映射是重要数学基本概念，已经成为数学科学中普遍使用的语言，也是发展许多其他重要概念的基础。用映射观点来认识函数，是在初中用变量观点认识函数基础上的深化。映射概念也是学习后续反函数概念的基础。从中学数学教学的发展历史看，改革开放以来数学教学的一个重要成果就是集合与映射的引入和广泛渗透，集合的引入也使映射的引入顺理成章，先讲映射后讲函数，概念得到清楚的描述，另外，映射比函数更具有一般性，有更广泛的应用价值。在学生认知水平范围内，由于一般性的概念、法则具有更广泛的应用性，应该让其在课程结构中处于更核心和重要的地位。所以笔者认为，求值得商榷。
第６期高中数学课程标准实验问题研究３９下图是新高中数学课程中相关概念的结构。
在以上结构中，映射概念是函数概念的推广，映射概念没有处于核心的位置，仅仅引入了概念，在课程体系中没有发挥应有作用。与映射相关的许多概念如一一映射（对应）、逆映射（对应）、反函数及反三角函数等在数学和其他学科中有广泛应用的重要而基本的数学概念都因此没有得到重视。而函数概念本身已经引入了对应的语言，但对于对应的概念本身学生并不很清晰，这就导致准确理解函数概念的困难。
课程标准强调函数内容与实际的联系和应用价值，实际上，这与重视映射并不矛盾，如果能够结合起来，即，既重视映射概念的教学，又重视函数与实际的联系和应用价值，就能使函数教学达到更高的水平。另外，新课程中反函数概念的教学要求大大降低。实际上，反函数的概念为认识后续各类函数及其关系、性质提供理论支撑，有利于学生从联系的观点认识各类函数，例如，对于对数函数，学生可以借助已经熟悉的指数函数的性质和反函数性质而容易地得到其相关性质，而不必再作很精细的研究。对反函数这样的基本概念的教学课时投入是有价值的，教学效率是高的。从国际比较看，俄罗斯教育部２００４年颁布的国家教育标准为基础水平设置的内容中就有反函数、反函数的定义域和值域、反函数图像、反三角函数等内容ｏ［－ｘｏ］最近出版的日本高中数学教科书中也有反函数和复合函数等内容。笔者认为，反函数概念（包括反三角函数）的教学要求应该予以提高。
三、立体几何的内容结构和教学要求
１．内容结构问题
立体几何是高中数学的重要组成部分，新课程对立体几何的教学作了重大的结构和教学要求调整，“《课程标准》中的立体几何定位于培养和发展学生把握图形的能力、空间想象与几何直觉的能力、逻辑推理能力等。在处理方式上，与以往点、线、面、体，从局部到整体展开几何内容的方式不同，《课程标准》按照从整体到局部的方式展开几何内容，并突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索研究几何的过程。立体几何内容分层设计，在必修课程中，主要是通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证～些几何性质。对于进一步的论证与度量则放在选修系列２中用向量处理”。口］
立体几何的教学问题是目前教材试验讨论的又一个重点问题。在课程标准实验教科书的实验回访和调研中，老师们对于立体几何的教学提出了许多意见，其中一方面集中在几何体内容与点线面位置关系的先后顺序上。新课程首先安排简单几何体的内容，要求利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。对于结构特征，江苏省运河高等师范学校彭玉忠老师指出：“所谓结构特征，就是几何体的特征性质，换言之，即本质属性。确认几何体的结构特征，就是揭示几何体生成的过程和规律……由于此阶段对几何体结构特征的研究尚无理
４０教育学报２００９年论根据，全凭观察和操作来确认，单从单一角度分析不足以使学生全面而准确地认识几何体的结构特征。，，［１１］上面的结构实际上就是指多面体的棱、表面多边形，或者旋转体轴、母线等之间的位置关系，结构特征就是位置关系的特征、特点，实际上应该看成是几何体概念的本质属性。但是由于学生尚未学习空间直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的基本知识，包括对于描述几何体结构至关重要的平行、垂直等概念，所以，对于空间图形的结构特征的描述实际上是不可能真正达到的一个教学要求。笔者认为，正如新高中数学课程中不等式有关内容的教学不应该先安排基本不等式、柯西不等式、排序不等式的教学，然后再安排不等式基本性质的教学；也正如在平面几何内容的教学中，不应该先安排多边形和圆的性质的研究，然后再安排有关两条直线相交、平行、垂直等基本关系的教学等等。同样，直线与平面的基本关系知识的教学，为几何体的研究奠定了知识基础，使几何体的研究可以顺利推进。
笔者认为，立体几何的教学确实可以首先借助信息技术和实物展示丰富的立体图形，让学生认识学习立体几何知识的必要性与重要性，然后就应该很快转入直线、平面关系核心知识学习，在此基础上，再研究几何体的性质。当然，对于几何体的研究的详略程度，则应该有所选择，有所侧重，不必面面俱到，另外几何体表面积、体积公式，从把数学也作为工具性、应用性学科的角度看，其推导则应该根据实际情况有详有略（有些国家在小学就直接教给学生一些面积、体积计算公式）。另外，课程标准把几何体看成“整体”，这个观点也值得商榷，笔者认为，一个几何体就立体几何知识的学习而言只应该看成局部，而不应该看成整体，因为立体几何的研究对象并非仅仅几何体而是包括几何体在内的各种空间立体图形及其关系，几何体只是其中一部分图形而已，而一般位置关系才真正具有某种“整体”性的属性。
此外，课程标准要求以长方体模型为载体直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，使得空间位置关系的讨论背景过于单一，不能反映现实空间问题背景的丰富性，这样的引导也许并不妥当。而三垂线定理（及逆定理）给出了一种判定平面内一条直线与平面的斜线（或斜线的射影）垂直的方法，解决了一类重要的问题，具有广泛应用。新课程把它安排到了选修２—１，教材中只在一个例题中证明了此结论，但没有相应的巩固和应用性的训练，导致此定理的地位下降了，作用减弱了。
立体几何课程是高中数学课程的重要组成部分，其结构问题是中学数学课程的一个重要问题，影响很大。众所周知，俄罗斯的数学教育一直具有很高水平，其逻辑严密性是其显著特点，如格拉哥列夫著的《初等几何学（立体几何）》（人民教育出版社翻译出版）就在讨论直线与平面垂直关系时首先证明存在性，即先证明如果直线垂直于平面内两条相交直线则直线垂直于平面内所有直线，在此基础上再引入直线与平面垂直的定义，并把前面已经证明的定理称为直线与平面垂直的判定定理。俄罗斯的中学数学教材对于我国的数学教学有极其深远的影响，我们看到，目前俄罗斯中学数学课程也已经有很大发展。上述的严密性特点在俄罗斯的立体几何教材结构中也同样表现出来。２００２年出版的俄罗斯高中《几何》（１０、１１年级）的教科书的前三章保留了传统高中几何的课程结构，第一章首先讨论了空间直线与平面的基本性质，空间直线和平面位置关系，平面与平面平行的判定和性质、平行六面体的性质、多面体的截面；第二章包括直线与平面垂直的判定、三垂线定理、平面与平面的位置关系，平面与平面垂直的判定；第三章才研究棱柱、棱锥、棱台概念和性质，正多面体的讨论等。第四章则引入了空间向量，第五章引入了空间直角坐标系，并和向量综合运用，介绍了空间解析几何的最基本的知识，如空间两点间距离公式、两直线夹角的余弦（借助向量内积得到），在后续章节引入了计算几何体体积的积分思想和方法并用于计算柱体、锥体、台体、球体、球台、球扇形等体积。对于立体几何课程的结构体系，著名的俄罗斯数学物理学校（高中）的《几何学》课程的结构体系对于我国高中立体几何教学也有重要的参考价值，很值得研究和借鉴［１纠。俄罗斯２００４年颁布的国家教育标准，其高中几何课程内容结构，首先是安排直线与平面，相交直线、平行线和异面直线、两直线的角，直线和平面的平行、垂直及其判定和性质，三垂线定理，平面的垂线和斜线、直线和平面的角，平面间的平行、垂直及其判定和性质，二面角、二面角的平面角，点到平面的距离、直线到平面的距离、平行平面间的距离、异面直线间的距离，平行投影、多边形的垂直投影面积、立体几何图形的画法，后续内容中才安排多面体、旋转体的表面积、体积，以及坐标与向量等内容［１…。俄罗斯高中立体几何课程的结构对于我国高中立体几何课程建设具有重要借鉴参考
第６期
价值。
２．判定定理的证明问题高中数学课程标准实验问题研究４１
课程标准提倡合情推理与演绎推理的结合，对直线与平面平行、平面与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理都不要求作证明，只是通过操作就加以“确认”。课程标准认为这是培养了合情推理。笔者认为，这与数学的科学性要求不相符合，因为通过合情推理只能得到结论成立的一种猜测，结论的正确性还有待于严格证明才能真正加以“确认”。此外，如果是从课时的角度来考虑省略证明的话，那么，判定定理的证明比性质定理的证明更显得重要，因为判定定理的作用在于确定垂直或平行等关系的存在，它处于基础的、重要的地位，如果这种重要基础地位不能确定，就没有什么性质可言了。另外，大多性质定理的证明比判定定理的证明要容易，学生的理解不会存在什么困难。所以，从提高学生认识能力的角度看，对于一些不容易证明的判定定理的证明更有必要性。例如，对于直线与平面垂直的判定定理，定理的证明条件已经完全具备了，可以很直接地加以证明，过去大纲教材的证明方法简捷、直观，是培养学生几何直觉的一个好时机。现在的教学安排，放弃定理的证明，又承认定理并在需要时就加以应用，定理的证明安排在后续选修２—１模块的“空间向量与立体几何”部分借助空间向量的方法来证明，虽然方法简捷，但相隔时间很久。笔者认为，判定定理的证明是培养学生理性思维的良好时机，从教学经验看，高中学生对于定理证明一般都有浓厚兴趣。平行与垂直判定定理是立体几何中重要而基本的内容，让学生能够证明这些定理达到理解定理的程度，比对结论不求甚解而盲目加以应用要好。著名数学家姜伯驹院士就曾经指出“没有了严格的证明就没有了数学的灵魂和数学的精华。”另外，现在对于空间关系判定定理的证明安排在了数学２—１的“空间向量与立体几何”部分，这对于选学１—１和１—２的学生就失去了知识的完整性。
四、极限概念和微积分的教学
课程标准对微积分知识的教学作了重大的改革，加强了导数与积分应用的教学。《课程标准解读》介绍了新课程对“导数及其应用”教学处理上的主要变化：“１．突出导数概念的本质。以往教材在编排上从极限概念开始学习，学生对极限概念认识和理解的困难，影响了对导数本质的认识和理解。因此，《课程标准》在这部分的处理有了大的变化，不讲极限概念，不是把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是直接通过实际背景和具体应用实例——速度、膨胀率、效率、增长率等反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数概念；同时加强对导数几何意义的认识和理解；２．强调导数在研究事物的变化率、变化的快慢，研究函数的基本性质和优化问题中的应用，并通过与初等方法比较，感受和体会导数在处理上述问题中的一般性和有效性。”［１］可以看到，新课程中这部分内容确有新意，反映了数学理论的应用。不过对于导数概念教学的改革，即在不讲极限概念的基础上讲导数和积分等概念，许多老师发表了意见［１３］［１４］［１引。
为分析极限概念的地位和教学价值，下面给出微积分基本知识结构框架图。
Ｉ…’’…’一
极限｛
●’有界性
ｌＬ函数极限——连续函数——一璺囊阕占蔫续墨售荐銮剐、值ｊ函数的性质荠霍是笾
ｌ一致连续性
Ｌ－…导数（导函数）——不定积分、’、・定积分——
｝
一定积分的应用
：巾值定理泰勒公式
；函数升降、凸性、极值
ｌ平面曲线曲率不定型
：方程近似解Ｎｅｗｔｏｎ—Ｌｅｉｂｎｉｚ公式——
从上面的结构酉币可酉看可极限褫蓉的重要地位。极限概念是自始至终贯穿于微积分和数学分析学科
４２教育学报２００９年的重要概念，微积分和数学分析几乎可以看成是一门研究“极限论”的学科，微积分基本知识中一些最重要的概念如导数、连续函数、定积分概念都直接建立在极限概念之上。笔者认为，新课程中不讲极限的概念，以上概念就不容易讲清楚，也不太好描述。极限思想是一种重要数学思想，不讲极限概念本身，也就很难把握极限思想。实际上，在后续许多内容的教学中，极限的符号广泛使用，没有极限使教学中的表达很不自然。山东省聊城大学房元霞、宋宝和老师通过教学实验得到结论：“极限是学生学习导数的关键和难点”，大多数学生认为“导数概念不难学”，“教师对无极限的导数表现出不适应。…‘微积分中的重要概念都是用极限定义的，导数也不例外，讲导数想避开极限是不可能的……与其若隐若现、马马虎虎，倒不如尊重学生的认知基础，把函数极限的知识提出来，当然表现形式上要自然流畅，淡化形式，重在极限思想的描述。”［１５］笔者认为这些意见值得重视。
在高中数学中安排微积分知识的教学当然有重要价值，许多国家也已经引入了微积分知识的教学。但是，微积分本身是数学的一个重要分支，其内容很丰富，在中学数学课程中应该考虑中学生的年龄特点，控制微积分教学的内容范围、要求和难度。而极限概念作为必要的基本概念，在微积分中有不可替代的重要地位，应该在这部分内容的教学中予以重视，教学则应该考虑教学时数限制，过去我国中学数学教学中曾经引入比较严格的极限概念，包括了数列极限和函数极限的内容，从教学经验看多数学生经过努力也基本上能够理解极限概念，这种教学安排对于牢固建立极限概念和思想是有利的，不足之处也许是在极限概念上花费较多的教学课时。笔者认为，一方面，数学概念的教学尽量不要有一点困难就后退，不求甚解，而是应该设法寻找克服困难的办法。当然，对于极限教学，也可适当降低教学要求，考虑通过一些学生容易接受和理解的数列极限的例子，让学生学习直观的极限概念，建立不很严密但对于后续概念（如导数、连续函数、定积分等）教学所必需的极限概念。
另外，新课程的导数和定积分的教学中不定积分的内容几乎不被重视，这对于后续定积分教学的顺利进行也会有影响。
微积分教学也是国际中学数学课程的一个共同课题。我们考察日本的高中数学课程，平成１１年（即１９９９年）由东京书籍出版，藤田宏、前原昭三等编写的《数学三》（全书１１９页，３２开本）的内容实际上就是微积分初步，全书共分四章，分别为函数和极限、微分、微分的应用、积分及其应用，在极限一节中就包括数列极限、无限级数、分式、函数极限、函数连续性等内容，在积分及其应用一章，包括了不定积分、定积分、面积体积长度三大节。而东京书籍在平成１９年（即２００７年）１月印刷，饭高茂、松本幸夫等编写的《新编数学三》（全书１７５页，３２开本）全书包括六章，分别是数列极限、函数极限、微分、微分的应用、积分（包括不定积分与定积分两节）、积分及其应用。我们看到，日本的微积分内容已经与曾经在数学分析或高等数学的相应内容相差不大了，达到了相当高的科学性水平。考察日本微积分教学，使我们反思。第一，有学者批评我国曾经进入高中数学课程的微积分课程是高等学校相应内容的“简单下放”。实际上，我国高中学制从二年制改为后来三年制，学习年限增加，课时增加，学生的年龄、认知能力都有相应提高，把本来属于普通高校低年级学生学习的高等数学基础知识经过适度简化、改编移入高中阶段，并注意把握好教学内容的严密性程度，这不应该受到批评和指责。第二，日本属于发达国家，其信息技术具有较高水平，但他们仍让学生规规矩矩地学习微积分的基本而基础的理论，这在计算机广泛应用的时代，也是值得我们思考的。人民教育出版社中学数学室曾邀请北京大学数学科学学院田刚教授等谈数学教育的有关问题，他们的看法是：“数学主要还是计算与推理，从数学中能学到的，最重要的是逻辑思维，抽象化的方法，这是一些普遍有用的东西；数学教育中逻辑思维能力的培养要加强……，美国进行微积分的教学改革，用高级的图形计算器，能直观地看，用逼近的方法；技术能对直观地把握数学有一定的帮助，不过真正重要、有用的还是用逻辑推导公式；数学教育要教一些基本的东西。”对于计算机广泛应用的时代背景下数学教育的问题，许多著名数学家和数学教育专家都有论述。最近，著名数学家杨乐院士就指出，计算机时代数学得到了更广泛的应用同时也更多地需要数学。第三，从昭和５４年（即１９７９年）伊藤正清等编写的《新编数学三》，到平成２年（即１９９０年）由小平邦彦、藤田宏等编写的《微分、积分》，再到最近出版的高中数学教科书，其微积分内容保持了稳健发展状态。我国的中学
第６期高中数学课程标准实验问题研究４３数学教育也要处理好稳定和发展的关系，继承和改革的关系。中学数学课程内容大多是数学基础知识，这些基础知识的一个特点是极其成熟稳定（当然，信息技术的影响是应该予以适当考虑的一个因素）。第四，尽管我国数学教育已经得到巨大的发展，但从高中微积分内容的教学看，Ｅｌ本至少从三十年前起就有了很高水平，这与我国这三十年中微积分教学的发展轨迹形成了鲜明的对比，我们与ｌｔｔ本仍有距离。笔者认为，改革开放三十年后的今天，从全国范围看中学数学师资状况已经有了很大改善，微积分则是大家较熟悉的内容，又有广泛的应用，高中学生经过努力可以学到其基本的知识，微积分教学应该得到更多的重视。而改革开放之初设计的《微积分初步》课程其基本理论的教学设计达到了很高的水平，应该是高中微积分初步课程的一个重要参考，当然，涉及的实际应用问题应该随时代的发展作适当更换、调整。
五、其他教学问题
新高中数学课程实施以来，学生学习负担过重是一个相当突出的问题ｍ［８ｉｔ－１６］［”］［１８。，影响了学生身心健康发展，也影响学生对于数学知识的理解和掌握，导致了相当部分学生对于数学学习的兴趣下降。适当增加教学课时是解决内容多、课时紧矛盾的有效办法，在实际教学和课程标准修订中应该考虑增加必修课等的教学时间。另外，可以考虑删去一些相对次要的教学内容，如中心投影、三视图、框图、部分统计内容等。
对于不同模块中的内容安排，我们作教材回访时老师们就指出“四种命题应该在高中内容的比较前面来讲，这些内容比较基础与有用”；“简易逻辑的知识，应是学生基本数学修养的一个重要部分，应该贯穿整个高中数学”；“四种命题的知识应该在高中开始阶段教给学生，而且结合集合中的并集、交集、补集关系讲解或、且、非，学生也易于掌握。”另外，在《数学２》中，第２章《平面解析几何初步》中安排了“２．３空间直角坐标系”，这与整章的标题是不吻合的。实际上把这节内容移至选修２—１第３章《空间中的向量与立体几何》应更妥当。
根据我国中学数学教材编写长期的经验，安排中学数学教学内容顺序结构应该遵循一些基本原则：１．注意与初中数学的衔接；２．符合数学教学内容之间的逻辑关系；３．考虑学生的心理发展，在内容深浅、难易程度上有坡度设计，从易到难，从单一到复合，从简单到复杂；４．工具性内容靠前；５．相关内容适当集中；６．内容安排有利于按教学时段划分。以上原则对于调整目前的新高中数学教学内容结构有重要的指导意义。
新课程对于初高中的教学要求作了调整，也引起了初、高中数学衔接的一些问题。如初中阶段对于配方法、乘法公式、分解因式的要求降得很低，多项式相乘的一次式限制条件，初中根式运算（根号内含字母的）特别是分母有理化要求的降低使高中代数恒等变形和求圆锥曲线的标准方程产生困难，初中对于绝对值符号内不含字母的不合情理的规定影响了高中数学中一些问题的顺利解决，等等。解决这些问题有两种途径，一是目前先编写供高中学生使用的衔接教材，二是今后进一步修订课程标准的教学要求。
（此文在写作过程中得到许多朋友的指导和帮助，在此表示诚挚的感谢）
参考文献：
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ＲｅｓｅａｒｃｈｏｎＰｒｏｂｌｅｍｓｉｎＥｘｐｅｒｉｍｅｎｔｏｆＮｅｗＮａｔｉｏｎａｌＳｅｎｉｏｒ
ＨｉｇｈＳｃｈｏｏｌＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
ＹＵＱｉｕ－ｓｈｉＳｔａｎｄａｒｄ
（Ｐｅｏｐｌｅ’ｓＥｄｕｃａｔｉｏｎＰｒｅｓｓ，ＣｕｒｒｉｃｕｌｕｍａｎｄＴｅａｃｈｉｎｇＭａｔｅｒｉａｌｓＲｅｓｅａｒｃｈＩｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００８１，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｏｆｎａｔｉｏｎａｌｓｅｎｉｏｒｈｉｇｈｓｃｈｏｏｌｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｓｔａｎｄａｒｄｈａｓｍａｄｅｇｒｅａｔａｃｈｉｅｖｅ—ｍｅｎｔｓ；ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ｔｈｅｒｅａｒｅｓｏｍｅｐｒｏｂｌｅｍｓｉｎｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｔｏｂｅｒｅｓｅａｒｃｈｅｄａｎｄｓｏｌｖｅｄ．Ｔｈｅｐｒｅｆｅｒａｂｌｅｉｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎａｌｏｒｄｅｒｏｆｆｉｖｅｃｏｍｐｕｌｓｏｒｙｍｏｄｕｌｅｓｏｆｓｅｎｉｏｒｈｉｇｈｓｃｈｏｏｌｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｉｓ１－４—５—２—３．Ｍａｐｐｉｎｇａｎｄｉｎｖｅｒｓｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｒｅｔｗｏｉｍｐｏｒｔａｎｔｂａｓｉｃｃｏｎｃｅｐｔｓ，ａｎｄｍａｐｐｉｎｇｓｈｏｕｌｄｂｅｔａｕｇｈｔｂｅｆｏｒｅｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｂａｓｉｃｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｒｅｌａｔｉｏｎｓｏｆｓｔｒａｉｇｈｔｌｉｎｅａｎｄｐｌａｎｅｓｈｏｕｌｄｂｅｔａｕｇｈｔｂｅｆｏｒｅｇｅｏｍｅｔｒｉｃｓｏｌｉｄｓｔｒｕｃｔｕｒｅ．Ｔｈｅｏ—ｒｅｍｓｔｏｄｅｔｅｒｍｉｎｅｖｅｒｔｉｃａｌｒｅｌａｔｉｏｎｓｏｒｐａｒａｌｌｅｌｒｅｌａｔｉｏｎｓａｒｅｍｏｒｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｔｈａｎｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｐｒｏｐｅｒｔｙ
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ｓｔｕｄｅｎｔ’Ｓｓｔｕｄｙｂｕｒ—ｃａｌｃｕｌｕｓ，ａｎｄｓｈｏｕｌｄｂｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｉｎｐｒｉｍａｒｙｃａｌｃｕｌｕｓｔｅａｃｈｉｎｇ．Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｒｅｄｕｃｅ
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（责任编辑
（上接第２２页）郭华唐英）
ＴｈｅＩｎｄｉｇｅｎｉｚｅｄＰｒａｃｔｉｃｅｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎａｌＡｎｔｈｒｏｐｏｌｏｇｙＲｅｓｅａｒｃｈ
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（ＴｈｅＣｏｌｌｅｇｅｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ，ＳｏｕｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ４００７１５，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｆｔｈｅｉｎｄｉｇｅｎｉｚａｔｉｏｎｏｆｅｄｕｃａｔｉｏｎａｌａｎｔｈｒｏｐｏｌｏｇｙｉｓｃｌｏｓｅｌｙｒｅｌａｔｅｄｗｉｔｈｔｈｅｃｏｎｆｕｓｉｏｎｔｈａｔｗｈｅｔｈｅｒｉｔｓｈｏｕｌｄｂｅｇｌｏｂａｌｉｚｅｄｏｒｉｎｄｉｇｅｎｉｚｅｄｏｒｔａｋｅｔｈｅｍｅｒｉｔｓｏｆｂｏｔｈｔｈｅｐｒｏｃｅｓｓｅｓ；ｉｔｉｓａｌｓｏｃｏｒｒｅｌａｔｅｄｗｉｔｈｔｈｅａｗａｒｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｃｒｉｓｉｓｉｎｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅａｎｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｔｈｅｄｉｓｃｉｐｌｉｎｅｉｔｓｅｌｆ．ＩｎｏｒｄｅｒｔｏｍａｋｅｅｄｕｃａｔｉｏｎａｌａｎｔｈｒｏｐｏｌｏｇｙｉｎＣｈｉｎａｔａｋｅｔｈｅｍｅｒｉｔｓｏｆｂｏｔｈｇｌｏｂａｌｉｚａｔｉｏｎａｎｄｉｎｄｉｇｅｎｉｚａｔｉｏｎ，
ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅｓａｎｄｔｈｕｓｉｎｄｉｇｅｎｉｚｅｕｌｔｉｍａｔｅｌｙ，ｔｈｉｓｒｅｓｅａｒｃｈｒｅｖｅａｌｓｔｈｅｉｎｄｉｇｅｎｉｚｉｎｇ
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ｓｅａｒｃｈｓｕｂｊｅｃｔａｎｄｃｏｎｔｅｎｔ，ｔｈｅｐｒａｃｔｉｃｅｏｆｉｎｄｉｇｅｎｉｚｅｄｒｅｓｅａｒｃｈｍｅｔｈｏｄａｎｄｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙａｎｄｔｈｅｐｕｒｓｕｉｔｏｆｉｎｄｉｇｅｎｉｚｅｄｄｉｓｃｉｐｌｉｎｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎａｎｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｉｓ，ｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈａｎｓｗｅｒｓｔｈｅｑｕｅｓｔｉｏｎｔｈａｔ
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Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｅｄｕｃａｔｉｏｎａｌａｎｔｈｒｏｐｏｌｏｇｙ；ｆｉｅｌｄｗｏｒｋ；ｉｎｄｉｇｅｎｉｚｅｄｐｒａｃｔｉｃｅｂｅａｃｈｉｅｖｅｄ．
（责任编辑李涛唐英）
高中数学课程标准实验问题研究
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：俞求是， YU Qiu-shi人民教育出版社,课程教材研究所,北京,100081教育学报JOURNAL OF EDUCATIONAL STUDIES2009,5(6)1次
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本文读者也读过(10条)
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本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_xkjy200906006.aspx
第５卷第６期
２００９年１２月教育学报ＪｏｕｒｎａＩＯｆＥｄｕｃａｔｉｏｎａＩＳｔｕｄｉｅｓＶ０１．５。Ｎｏ．６Ｄｅｃ．２００９
高中数学课程标准实验问题研究
俞求是
（人民教育出版社课程教材研究所，北京１０００８１）
摘要：在高中数学课程标准的教学实验取得巨大成绩的同时，尚有若干重要问题需要研究解决。高中数学
五个必修模块比较好的教学顺序是１４５２３；映射和反函数是重要基本概念，应先教映射后教函数；在立体几何教学
中应先教直线、平面的基本性质，再教几何体的结构；一系列关于垂直、平行的判定定理比相应的性质定理更重要，
应该予以证明；极限是微积分的重要概念，在微积分初步教学中应该引入极限概念；应该考虑适当增加课时，删去
某些次要内容以解决高中学生学习负担过重的问题；应遵循教材结构安排的一些基本原则调整新高中数学内容结
构，并解决好初、高中数学教学的衔接等问题。
关键词：模块顺序；映射；函数；立体几何；极限；学业负担
中图分类号：Ｇ６３８．３文献标识码：Ａ文章编号：１６７３—１２９８（２００９）０６—００３６－０９
根据教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）编写的实验教材于２００４年秋开始在广东等四省进行实验，目前，全国已经有约三分之二省市进入了新课程的实验，实验取得了丰硕成果。通过实验，我国中学数学教学工作者在数学教育的观念上有了新的认识和提高，对于数学发展及其价值的认识有了普遍提高，就社会对数学的需求状况、进一步提高学生的数学素养必要性有了更深的理解，对于国际数学课程发展情况有了较广阔的视野和初步认识，对于我国数学教育的发展历史，尤其是建国后数学教育的改革发展有了一定的了解，对于改革开放后我国中学数学教学的优点以及我国基础教育数学课程存在的不足和问题也有所认识和反思，对新高中数学课程的基本理念、课程目标进行了认真的学习和研究并予以贯彻落实，我国高中数学课程取得了巨大的发展和新的成绩。
与此同时，正如《普通高中数学课程标准解读》所指出的，《课程标准》中还有一些问题需要进一步探讨和研究，需要社会各界关注新一轮高中数学课程改革，对新的高中数学课程中存在的问题开展研究和讨论，使我国的高中数学课程体系更加趋于完善，并形成具有鲜明中国特色的数学课程体系［１］。智者千虑总有一失，通过试验发现，我国正在进行的高中数学课程标准实验仍然存在一些问题，许多研究者（如人民教育出版社中学数学室等）也对出现的问题进行了广泛深入的调查研究。笔者参加了课程标准实验教科书的研究、编写，也赴部分试验区进行了教材介绍、回访等工作，对课程标准和实验教材进行了反复学习，对试验中出现的一些问题作了初步研究，本文概述课程标准实验问题研究，并进一步对这些问题作了分析，希望有助于后续实验推广以及课程标准、实验教科书的修订完善。
一、必修模块的教学顺序问题
《课程标准》对必修五个模块的教学顺序没有作明确规定，实验出现了一些较突出的问题，如某些地区甚至连续三年按照不同的模块顺序进行教学［２］。对模块顺序问题，老师们发表了许多意见，如江苏省常州市教研室孙福明老师认为：“按照常规理解，教材必修１—５应该是有顺序的，而且这种顺序应该体现编者的整体意图和编者对高中数学的整体认识，但课程标准制订组提出以数学１为基础，其余四个模块在不影响相关联系和知识准备的条件下，学校可以根据学生的选择和本校的具体情况进行安排，原则上没有顺序要求。纵观
收稿日期：２００９—０９—２８
作者简介：俞求是（１９６１一），男，汉族，浙江人，人民教育出版社副编审，课程教材研究所副研究员，硕士，主要从事数学教育、中学数学课程教材、数学教学的理论与实践、比较数学教育研究。
第６期高中数学课程标准实验问题研究３７各地的教学顺序，几乎都回归到老教材原有的以学科体系为主的顺序，例如有些地方教学顺序是必修１４５２３，有些地方是必修１５４２３等。＂［３。。为了确定必修五个模块的教学顺序，许多老师作了深入的研究‘４］［５］［６］。
我们先考察五个必修模块的教学内容及内容之间的联系。
《数学１》包括集合、函数，幂函数、指数函数、对数函数，以及函数的应用。集合是高中数学基础知识，为后续教学内容准备了集合语言和思考问题的观点，为从集合、对应语言描述函数概念提供了准备；函数概念是基本而重要的概念，幂函数、指数函数、对数函数是三类应用广泛的基本初等函数；《数学２》包括立体几何初步、解析几何初步。这些内容涉及直线、平面之间的垂直、平行，直线的倾斜角和斜率等有关图形相互关系的讨论；《数学３》包括算法初步、统计和概率的部分内容。《数学４》包括任意角三角函数概念、平面向量、三角恒等变形，为涉及角的问题准备了工具；《数学５》包括解三角形，数列，不等式的初步知识。数列内容主要包括等差数列和等比数列的内容，不等式部分有线性规划内容。
在五个必修模块的教学内容中，集合是最基础的概念；函数建立在集合概念基础上，实际上是两个数集之间的特殊映射；三角函数是一类特殊函数；向量概念本身非常简单，但需要讨论向量之问的关系，如两个向量的和，差、数量积等，要涉及向量间的夹角，应该安排在三角函数之后；立体几何与解析几何都要讨论几何图形间的位置关系，以三角函数和向量作工具；解三角形必须在三角函数之后，并应用于立体几何与解析几何；线性规划以直线方程为前提，须安排在解析几何初步之后；其他的内容（数列、不等式、算法、统计、概率）所需要的准备知识不多，可以相对比较灵活地安排在不同的位置（当然也会使能够解决的问题范围有所变化）。五个必修模块之间有以下的逻辑结构关系。
数学３
根据以上分析，如按照必修模块１２３４５的顺序进行教学，《数学２》教学涉及斜率，讨论垂直、平行关系需要三角函数知识，就应该在需要时加以补充；另外，《数学３》的难点内容相对靠前了，且把《数学１》《数学４》和《数学５》中一些联系密切的内容隔开了。必修模块比较好的教学顺序是１４５２３。按照此顺序，《数学１》后紧接《数学４》《数学５》可使函数相关的基础知识内容比较集中；《数学４》提前，可以为后续需要应用三角函数的内容（如《数学２》立体几何初步，解析几何初步，《数学５》的解三角形）作好准备。《数学５》的另外两章内容（“数列”和“不等式”）安排在比较靠前的位置，有利于从函数的观点来认识数列和不等式，加强了内容间的联系。不等式是高中数学的基础，在其他数学问题中有广泛的应用，予以适当提前；《数学５》中解三角形的知识为解决《数学２》中立体几何的某些问题作了准备，也为学习物理课等创造条件。但《数学５》不等式部分的线性规划应该安排在《数学２》直线方程内容之后教学；《数学２》后移，适当缩短了与后续课程中有关联知识的时间问隔；教师对于《数学３》的内容相对比较生疏，后移有利于教学。从试验的情况看，大多数教师对这种顺序是认同的［７］。
从参照现行大纲高中数学教科书相关内容的体系安排来看必修１４５２３的教学顺序安排，《全日制普通高级中学教科书（试验修订本）・数学》（必修）的各章内容与以上必修模块按必修数学１４５２３的顺序比较接近，说明这是一种比较稳妥的安排。当然，按照１４５２３的顺序，《数学３》放在五个模块最后，产生的一个突出问
３８教育学报２００９焦题是对于课程标准提出的要把算法思想贯穿在整个课程中的设想不能很好地落实，应该在后续的教学中设法加以弥补。鉴于此，有意见认为可以调整最后的２、３模块顺序，这也值得考虑。当然，也可以考虑把算法的基本内容提前教学来解决此问题。
除了模块顺序问题外，笔者认为，改变高中课程的模块化设置和调整教学内容安排体系的问题是值得进一步研究的。由于一个模块课时少，教学内容安排难度增加，为了符合模块的课时要求，就导致教材内容结构逻辑性的降低，这与数学学科逻辑严密性和数学教材系统性的突出特点不相符合，影响教学。
二、映射、函数、反函数的教学
函数概念是高中数学极其重要的概念，《课程标准》强调了函数是刻画现实世界中一类重要变化规律的模型，一种变量间有相互依赖关系，通过某一事物的变化信息推知另一事物信息的对应关系的数学模型，并结合实际问题感受运用函数概念建立模型的过程与方法。函数教学加强了应用，注重知识之间的联系，重视数形结合和几何直观，加强了与信息技术的整合，削弱了对定义域、值域的过于繁难、技巧化训练，使学生更好地理解函数的基本思想和实质。我们看到，新课程的函数教学有了重大创新和发展。
但是，新课程中映射与函数的安排顺序、反函数概念的教学要求问题引起了广泛研究和讨论。安徽省萧县教育局教研室吴仲奇老师认为：“关于函数与映射概念的处理，新教材是先给出函数后再给出映射概念，即由特殊到一般。在教学中，我们就这两个概念作了对比试验，结果发现，先讲函数定义的班级，普遍反映对定义中的“ｆ”表示对应关系理解不清，而先讲映射后讲函数的班级，对函数概念的理解要好得多。另外，对函数概念新教材上给出的就是映射观点下的定义，从这方面看，也应是先讲映射为宜。”［８］。我们在许多高中数学教学实验研究文献中看到多数老师也持同样的观点。广州市执信中学特级教师刘仕森校长探访了一些学生，特别是学习困难生，学生们认为越讲不清，他们的负担越重，他们希望学得更明白一些，不知其理，反而学得辛苦。［９］
下图给出与映射、函数相关的概念结构。从图中可以看出映射概念的重要地位。映射是重要数学基本概念，已经成为数学科学中普遍使用的语言，也是发展许多其他重要概念的基础。用映射观点来认识函数，是在初中用变量观点认识函数基础上的深化。映射概念也是学习后续反函数概念的基础。从中学数学教学的发展历史看，改革开放以来数学教学的一个重要成果就是集合与映射的引入和广泛渗透，集合的引入也使映射的引入顺理成章，先讲映射后讲函数，概念得到清楚的描述，另外，映射比函数更具有一般性，有更广泛的应用价值。在学生认知水平范围内，由于一般性的概念、法则具有更广泛的应用性，应该让其在课程结构中处于更核心和重要的地位。所以笔者认为，求值得商榷。
第６期高中数学课程标准实验问题研究３９下图是新高中数学课程中相关概念的结构。
在以上结构中，映射概念是函数概念的推广，映射概念没有处于核心的位置，仅仅引入了概念，在课程体系中没有发挥应有作用。与映射相关的许多概念如一一映射（对应）、逆映射（对应）、反函数及反三角函数等在数学和其他学科中有广泛应用的重要而基本的数学概念都因此没有得到重视。而函数概念本身已经引入了对应的语言，但对于对应的概念本身学生并不很清晰，这就导致准确理解函数概念的困难。
课程标准强调函数内容与实际的联系和应用价值，实际上，这与重视映射并不矛盾，如果能够结合起来，即，既重视映射概念的教学，又重视函数与实际的联系和应用价值，就能使函数教学达到更高的水平。另外，新课程中反函数概念的教学要求大大降低。实际上，反函数的概念为认识后续各类函数及其关系、性质提供理论支撑，有利于学生从联系的观点认识各类函数，例如，对于对数函数，学生可以借助已经熟悉的指数函数的性质和反函数性质而容易地得到其相关性质，而不必再作很精细的研究。对反函数这样的基本概念的教学课时投入是有价值的，教学效率是高的。从国际比较看，俄罗斯教育部２００４年颁布的国家教育标准为基础水平设置的内容中就有反函数、反函数的定义域和值域、反函数图像、反三角函数等内容ｏ［－ｘｏ］最近出版的日本高中数学教科书中也有反函数和复合函数等内容。笔者认为，反函数概念（包括反三角函数）的教学要求应该予以提高。
三、立体几何的内容结构和教学要求
１．内容结构问题
立体几何是高中数学的重要组成部分，新课程对立体几何的教学作了重大的结构和教学要求调整，“《课程标准》中的立体几何定位于培养和发展学生把握图形的能力、空间想象与几何直觉的能力、逻辑推理能力等。在处理方式上，与以往点、线、面、体，从局部到整体展开几何内容的方式不同，《课程标准》按照从整体到局部的方式展开几何内容，并突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索研究几何的过程。立体几何内容分层设计，在必修课程中，主要是通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证～些几何性质。对于进一步的论证与度量则放在选修系列２中用向量处理”。口］
立体几何的教学问题是目前教材试验讨论的又一个重点问题。在课程标准实验教科书的实验回访和调研中，老师们对于立体几何的教学提出了许多意见，其中一方面集中在几何体内容与点线面位置关系的先后顺序上。新课程首先安排简单几何体的内容，要求利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。对于结构特征，江苏省运河高等师范学校彭玉忠老师指出：“所谓结构特征，就是几何体的特征性质，换言之，即本质属性。确认几何体的结构特征，就是揭示几何体生成的过程和规律……由于此阶段对几何体结构特征的研究尚无理
４０教育学报２００９年论根据，全凭观察和操作来确认，单从单一角度分析不足以使学生全面而准确地认识几何体的结构特征。，，［１１］上面的结构实际上就是指多面体的棱、表面多边形，或者旋转体轴、母线等之间的位置关系，结构特征就是位置关系的特征、特点，实际上应该看成是几何体概念的本质属性。但是由于学生尚未学习空间直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的基本知识，包括对于描述几何体结构至关重要的平行、垂直等概念，所以，对于空间图形的结构特征的描述实际上是不可能真正达到的一个教学要求。笔者认为，正如新高中数学课程中不等式有关内容的教学不应该先安排基本不等式、柯西不等式、排序不等式的教学，然后再安排不等式基本性质的教学；也正如在平面几何内容的教学中，不应该先安排多边形和圆的性质的研究，然后再安排有关两条直线相交、平行、垂直等基本关系的教学等等。同样，直线与平面的基本关系知识的教学，为几何体的研究奠定了知识基础，使几何体的研究可以顺利推进。
笔者认为，立体几何的教学确实可以首先借助信息技术和实物展示丰富的立体图形，让学生认识学习立体几何知识的必要性与重要性，然后就应该很快转入直线、平面关系核心知识学习，在此基础上，再研究几何体的性质。当然，对于几何体的研究的详略程度，则应该有所选择，有所侧重，不必面面俱到，另外几何体表面积、体积公式，从把数学也作为工具性、应用性学科的角度看，其推导则应该根据实际情况有详有略（有些国家在小学就直接教给学生一些面积、体积计算公式）。另外，课程标准把几何体看成“整体”，这个观点也值得商榷，笔者认为，一个几何体就立体几何知识的学习而言只应该看成局部，而不应该看成整体，因为立体几何的研究对象并非仅仅几何体而是包括几何体在内的各种空间立体图形及其关系，几何体只是其中一部分图形而已，而一般位置关系才真正具有某种“整体”性的属性。
此外，课程标准要求以长方体模型为载体直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，使得空间位置关系的讨论背景过于单一，不能反映现实空间问题背景的丰富性，这样的引导也许并不妥当。而三垂线定理（及逆定理）给出了一种判定平面内一条直线与平面的斜线（或斜线的射影）垂直的方法，解决了一类重要的问题，具有广泛应用。新课程把它安排到了选修２—１，教材中只在一个例题中证明了此结论，但没有相应的巩固和应用性的训练，导致此定理的地位下降了，作用减弱了。
立体几何课程是高中数学课程的重要组成部分，其结构问题是中学数学课程的一个重要问题，影响很大。众所周知，俄罗斯的数学教育一直具有很高水平，其逻辑严密性是其显著特点，如格拉哥列夫著的《初等几何学（立体几何）》（人民教育出版社翻译出版）就在讨论直线与平面垂直关系时首先证明存在性，即先证明如果直线垂直于平面内两条相交直线则直线垂直于平面内所有直线，在此基础上再引入直线与平面垂直的定义，并把前面已经证明的定理称为直线与平面垂直的判定定理。俄罗斯的中学数学教材对于我国的数学教学有极其深远的影响，我们看到，目前俄罗斯中学数学课程也已经有很大发展。上述的严密性特点在俄罗斯的立体几何教材结构中也同样表现出来。２００２年出版的俄罗斯高中《几何》（１０、１１年级）的教科书的前三章保留了传统高中几何的课程结构，第一章首先讨论了空间直线与平面的基本性质，空间直线和平面位置关系，平面与平面平行的判定和性质、平行六面体的性质、多面体的截面；第二章包括直线与平面垂直的判定、三垂线定理、平面与平面的位置关系，平面与平面垂直的判定；第三章才研究棱柱、棱锥、棱台概念和性质，正多面体的讨论等。第四章则引入了空间向量，第五章引入了空间直角坐标系，并和向量综合运用，介绍了空间解析几何的最基本的知识，如空间两点间距离公式、两直线夹角的余弦（借助向量内积得到），在后续章节引入了计算几何体体积的积分思想和方法并用于计算柱体、锥体、台体、球体、球台、球扇形等体积。对于立体几何课程的结构体系，著名的俄罗斯数学物理学校（高中）的《几何学》课程的结构体系对于我国高中立体几何教学也有重要的参考价值，很值得研究和借鉴［１纠。俄罗斯２００４年颁布的国家教育标准，其高中几何课程内容结构，首先是安排直线与平面，相交直线、平行线和异面直线、两直线的角，直线和平面的平行、垂直及其判定和性质，三垂线定理，平面的垂线和斜线、直线和平面的角，平面间的平行、垂直及其判定和性质，二面角、二面角的平面角，点到平面的距离、直线到平面的距离、平行平面间的距离、异面直线间的距离，平行投影、多边形的垂直投影面积、立体几何图形的画法，后续内容中才安排多面体、旋转体的表面积、体积，以及坐标与向量等内容［１…。俄罗斯高中立体几何课程的结构对于我国高中立体几何课程建设具有重要借鉴参考
第６期
价值。
２．判定定理的证明问题高中数学课程标准实验问题研究４１
课程标准提倡合情推理与演绎推理的结合，对直线与平面平行、平面与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理都不要求作证明，只是通过操作就加以“确认”。课程标准认为这是培养了合情推理。笔者认为，这与数学的科学性要求不相符合，因为通过合情推理只能得到结论成立的一种猜测，结论的正确性还有待于严格证明才能真正加以“确认”。此外，如果是从课时的角度来考虑省略证明的话，那么，判定定理的证明比性质定理的证明更显得重要，因为判定定理的作用在于确定垂直或平行等关系的存在，它处于基础的、重要的地位，如果这种重要基础地位不能确定，就没有什么性质可言了。另外，大多性质定理的证明比判定定理的证明要容易，学生的理解不会存在什么困难。所以，从提高学生认识能力的角度看，对于一些不容易证明的判定定理的证明更有必要性。例如，对于直线与平面垂直的判定定理，定理的证明条件已经完全具备了，可以很直接地加以证明，过去大纲教材的证明方法简捷、直观，是培养学生几何直觉的一个好时机。现在的教学安排，放弃定理的证明，又承认定理并在需要时就加以应用，定理的证明安排在后续选修２—１模块的“空间向量与立体几何”部分借助空间向量的方法来证明，虽然方法简捷，但相隔时间很久。笔者认为，判定定理的证明是培养学生理性思维的良好时机，从教学经验看，高中学生对于定理证明一般都有浓厚兴趣。平行与垂直判定定理是立体几何中重要而基本的内容，让学生能够证明这些定理达到理解定理的程度，比对结论不求甚解而盲目加以应用要好。著名数学家姜伯驹院士就曾经指出“没有了严格的证明就没有了数学的灵魂和数学的精华。”另外，现在对于空间关系判定定理的证明安排在了数学２—１的“空间向量与立体几何”部分，这对于选学１—１和１—２的学生就失去了知识的完整性。
四、极限概念和微积分的教学
课程标准对微积分知识的教学作了重大的改革，加强了导数与积分应用的教学。《课程标准解读》介绍了新课程对“导数及其应用”教学处理上的主要变化：“１．突出导数概念的本质。以往教材在编排上从极限概念开始学习，学生对极限概念认识和理解的困难，影响了对导数本质的认识和理解。因此，《课程标准》在这部分的处理有了大的变化，不讲极限概念，不是把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是直接通过实际背景和具体应用实例——速度、膨胀率、效率、增长率等反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数概念；同时加强对导数几何意义的认识和理解；２．强调导数在研究事物的变化率、变化的快慢，研究函数的基本性质和优化问题中的应用，并通过与初等方法比较，感受和体会导数在处理上述问题中的一般性和有效性。”［１］可以看到，新课程中这部分内容确有新意，反映了数学理论的应用。不过对于导数概念教学的改革，即在不讲极限概念的基础上讲导数和积分等概念，许多老师发表了意见［１３］［１４］［１引。
为分析极限概念的地位和教学价值，下面给出微积分基本知识结构框架图。
Ｉ…’’…’一
极限｛
●’有界性
ｌＬ函数极限——连续函数——一璺囊阕占蔫续墨售荐銮剐、值ｊ函数的性质荠霍是笾
ｌ一致连续性
Ｌ－…导数（导函数）——不定积分、’、・定积分——
｝
一定积分的应用
：巾值定理泰勒公式
；函数升降、凸性、极值
ｌ平面曲线曲率不定型
：方程近似解Ｎｅｗｔｏｎ—Ｌｅｉｂｎｉｚ公式——
从上面的结构酉币可酉看可极限褫蓉的重要地位。极限概念是自始至终贯穿于微积分和数学分析学科
４２教育学报２００９年的重要概念，微积分和数学分析几乎可以看成是一门研究“极限论”的学科，微积分基本知识中一些最重要的概念如导数、连续函数、定积分概念都直接建立在极限概念之上。笔者认为，新课程中不讲极限的概念，以上概念就不容易讲清楚，也不太好描述。极限思想是一种重要数学思想，不讲极限概念本身，也就很难把握极限思想。实际上，在后续许多内容的教学中，极限的符号广泛使用，没有极限使教学中的表达很不自然。山东省聊城大学房元霞、宋宝和老师通过教学实验得到结论：“极限是学生学习导数的关键和难点”，大多数学生认为“导数概念不难学”，“教师对无极限的导数表现出不适应。…‘微积分中的重要概念都是用极限定义的，导数也不例外，讲导数想避开极限是不可能的……与其若隐若现、马马虎虎，倒不如尊重学生的认知基础，把函数极限的知识提出来，当然表现形式上要自然流畅，淡化形式，重在极限思想的描述。”［１５］笔者认为这些意见值得重视。
在高中数学中安排微积分知识的教学当然有重要价值，许多国家也已经引入了微积分知识的教学。但是，微积分本身是数学的一个重要分支，其内容很丰富，在中学数学课程中应该考虑中学生的年龄特点，控制微积分教学的内容范围、要求和难度。而极限概念作为必要的基本概念，在微积分中有不可替代的重要地位，应该在这部分内容的教学中予以重视，教学则应该考虑教学时数限制，过去我国中学数学教学中曾经引入比较严格的极限概念，包括了数列极限和函数极限的内容，从教学经验看多数学生经过努力也基本上能够理解极限概念，这种教学安排对于牢固建立极限概念和思想是有利的，不足之处也许是在极限概念上花费较多的教学课时。笔者认为，一方面，数学概念的教学尽量不要有一点困难就后退，不求甚解，而是应该设法寻找克服困难的办法。当然，对于极限教学，也可适当降低教学要求，考虑通过一些学生容易接受和理解的数列极限的例子，让学生学习直观的极限概念，建立不很严密但对于后续概念（如导数、连续函数、定积分等）教学所必需的极限概念。
另外，新课程的导数和定积分的教学中不定积分的内容几乎不被重视，这对于后续定积分教学的顺利进行也会有影响。
微积分教学也是国际中学数学课程的一个共同课题。我们考察日本的高中数学课程，平成１１年（即１９９９年）由东京书籍出版，藤田宏、前原昭三等编写的《数学三》（全书１１９页，３２开本）的内容实际上就是微积分初步，全书共分四章，分别为函数和极限、微分、微分的应用、积分及其应用，在极限一节中就包括数列极限、无限级数、分式、函数极限、函数连续性等内容，在积分及其应用一章，包括了不定积分、定积分、面积体积长度三大节。而东京书籍在平成１９年（即２００７年）１月印刷，饭高茂、松本幸夫等编写的《新编数学三》（全书１７５页，３２开本）全书包括六章，分别是数列极限、函数极限、微分、微分的应用、积分（包括不定积分与定积分两节）、积分及其应用。我们看到，日本的微积分内容已经与曾经在数学分析或高等数学的相应内容相差不大了，达到了相当高的科学性水平。考察日本微积分教学，使我们反思。第一，有学者批评我国曾经进入高中数学课程的微积分课程是高等学校相应内容的“简单下放”。实际上，我国高中学制从二年制改为后来三年制，学习年限增加，课时增加，学生的年龄、认知能力都有相应提高，把本来属于普通高校低年级学生学习的高等数学基础知识经过适度简化、改编移入高中阶段，并注意把握好教学内容的严密性程度，这不应该受到批评和指责。第二，日本属于发达国家，其信息技术具有较高水平，但他们仍让学生规规矩矩地学习微积分的基本而基础的理论，这在计算机广泛应用的时代，也是值得我们思考的。人民教育出版社中学数学室曾邀请北京大学数学科学学院田刚教授等谈数学教育的有关问题，他们的看法是：“数学主要还是计算与推理，从数学中能学到的，最重要的是逻辑思维，抽象化的方法，这是一些普遍有用的东西；数学教育中逻辑思维能力的培养要加强……，美国进行微积分的教学改革，用高级的图形计算器，能直观地看，用逼近的方法；技术能对直观地把握数学有一定的帮助，不过真正重要、有用的还是用逻辑推导公式；数学教育要教一些基本的东西。”对于计算机广泛应用的时代背景下数学教育的问题，许多著名数学家和数学教育专家都有论述。最近，著名数学家杨乐院士就指出，计算机时代数学得到了更广泛的应用同时也更多地需要数学。第三，从昭和５４年（即１９７９年）伊藤正清等编写的《新编数学三》，到平成２年（即１９９０年）由小平邦彦、藤田宏等编写的《微分、积分》，再到最近出版的高中数学教科书，其微积分内容保持了稳健发展状态。我国的中学
第６期高中数学课程标准实验问题研究４３数学教育也要处理好稳定和发展的关系，继承和改革的关系。中学数学课程内容大多是数学基础知识，这些基础知识的一个特点是极其成熟稳定（当然，信息技术的影响是应该予以适当考虑的一个因素）。第四，尽管我国数学教育已经得到巨大的发展，但从高中微积分内容的教学看，Ｅｌ本至少从三十年前起就有了很高水平，这与我国这三十年中微积分教学的发展轨迹形成了鲜明的对比，我们与ｌｔｔ本仍有距离。笔者认为，改革开放三十年后的今天，从全国范围看中学数学师资状况已经有了很大改善，微积分则是大家较熟悉的内容，又有广泛的应用，高中学生经过努力可以学到其基本的知识，微积分教学应该得到更多的重视。而改革开放之初设计的《微积分初步》课程其基本理论的教学设计达到了很高的水平，应该是高中微积分初步课程的一个重要参考，当然，涉及的实际应用问题应该随时代的发展作适当更换、调整。
五、其他教学问题
新高中数学课程实施以来，学生学习负担过重是一个相当突出的问题ｍ［８ｉｔ－１６］［”］［１８。，影响了学生身心健康发展，也影响学生对于数学知识的理解和掌握，导致了相当部分学生对于数学学习的兴趣下降。适当增加教学课时是解决内容多、课时紧矛盾的有效办法，在实际教学和课程标准修订中应该考虑增加必修课等的教学时间。另外，可以考虑删去一些相对次要的教学内容，如中心投影、三视图、框图、部分统计内容等。
对于不同模块中的内容安排，我们作教材回访时老师们就指出“四种命题应该在高中内容的比较前面来讲，这些内容比较基础与有用”；“简易逻辑的知识，应是学生基本数学修养的一个重要部分，应该贯穿整个高中数学”；“四种命题的知识应该在高中开始阶段教给学生，而且结合集合中的并集、交集、补集关系讲解或、且、非，学生也易于掌握。”另外，在《数学２》中，第２章《平面解析几何初步》中安排了“２．３空间直角坐标系”，这与整章的标题是不吻合的。实际上把这节内容移至选修２—１第３章《空间中的向量与立体几何》应更妥当。
根据我国中学数学教材编写长期的经验，安排中学数学教学内容顺序结构应该遵循一些基本原则：１．注意与初中数学的衔接；２．符合数学教学内容之间的逻辑关系；３．考虑学生的心理发展，在内容深浅、难易程度上有坡度设计，从易到难，从单一到复合，从简单到复杂；４．工具性内容靠前；５．相关内容适当集中；６．内容安排有利于按教学时段划分。以上原则对于调整目前的新高中数学教学内容结构有重要的指导意义。
新课程对于初高中的教学要求作了调整，也引起了初、高中数学衔接的一些问题。如初中阶段对于配方法、乘法公式、分解因式的要求降得很低，多项式相乘的一次式限制条件，初中根式运算（根号内含字母的）特别是分母有理化要求的降低使高中代数恒等变形和求圆锥曲线的标准方程产生困难，初中对于绝对值符号内不含字母的不合情理的规定影响了高中数学中一些问题的顺利解决，等等。解决这些问题有两种途径，一是目前先编写供高中学生使用的衔接教材，二是今后进一步修订课程标准的教学要求。
（此文在写作过程中得到许多朋友的指导和帮助，在此表示诚挚的感谢）
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ＨｉｇｈＳｃｈｏｏｌＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
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（Ｐｅｏｐｌｅ’ｓＥｄｕｃａｔｉｏｎＰｒｅｓｓ，ＣｕｒｒｉｃｕｌｕｍａｎｄＴｅａｃｈｉｎｇＭａｔｅｒｉａｌｓＲｅｓｅａｒｃｈＩｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００８１，Ｃｈｉｎａ）
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Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｈｅｏｒｄｅｒｏｆｍｏｄｕｌｅｓ；ｍａｐｐｉｎｇ；ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｓｏｌｉｄｇｅｏｍｅｔｒｙ；ｌｉｍｉｔ；ｓｔｕｄｙｂｕｒｄｅｎ
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ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅｓａｎｄｔｈｕｓｉｎｄｉｇｅｎｉｚｅｕｌｔｉｍａｔｅｌｙ，ｔｈｉｓｒｅｓｅａｒｃｈｒｅｖｅａｌｓｔｈｅｉｎｄｉｇｅｎｉｚｉｎｇ
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Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｅｄｕｃａｔｉｏｎａｌａｎｔｈｒｏｐｏｌｏｇｙ；ｆｉｅｌｄｗｏｒｋ；ｉｎｄｉｇｅｎｉｚｅｄｐｒａｃｔｉｃｅｂｅａｃｈｉｅｖｅｄ．
（责任编辑李涛唐英）
高中数学课程标准实验问题研究
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：俞求是， YU Qiu-shi人民教育出版社,课程教材研究所,北京,100081教育学报JOURNAL OF EDUCATIONAL STUDIES2009,5(6)1次
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12. 倪明 从战略上重视数学英才教育 2006(12)
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14. 王峰晨 新课标下微积分内容教学的现状与思考 2008(09)
15. 房元霞;宋宝和 没学过极限,学生能学会导数吗[期刊论文]-数学通报 2007(09)
16. 洪秀满 当前高中数学新课程实施现状的调查与思考 2007(04)
17. 彭上观 高一数学新教材使用情况的调查研究 2005(07)
18. 彭玉忠 关于高中数学新课标的几点意见[期刊论文]-数学通报 2007(04)
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10. 应胜会. 庄宏芳 重点高中与初中衔接学段学生常见问题探析及应对[期刊论文]-现代教育科学(普教研究)2009(3)
引证文献(1条)
1. 梅章骏 积累总结掌握运用——初等数学排列组合问题的解题策略[期刊论文]-科学时代(上半月) 2011(6)
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