概率论与数理统计第一章总结
1. 随机事件
在试验的结果中，可能发生也可能不发生的事件成为随机事件，通常用字母A ，B ，C 等表示。在每次试验的结果中，如果某事件一定发生，则称为必然事件。相反，如果某事件一定不发生，则称为不可能事件。
2. 样本空间
随机试验的每一个可能的结果称为样本点，所有样本点组成的集合称为样本空间。
任一随机事件A 都是样本空间的一个子集，必然事件A 就等于样本空间，不可能事件是不包含任何样本点的空集，基本事件就是仅包含单个样本点的子集。
3. 事件的关系及运算
（1）事件的包含与相等： A ⊂B 或B ⊃A
（2）事件的和(或并) ： A +B 或A B
（3）事件的积(或交) ： AB 或A B
（4）事件的差： A -B
（5）互不相容事件： AB =Φ
（6）对立事件： A 与 （7）事件满足以下运算规律：交换律，结合律，分配率，德摩根定律
4. 随机事件的频率与概率的定义及性质
设随机事件A 在n 次试验中发生了a 次，则a/n称为随机事件A 发生的频率。
概率的公理化定义：
（1） 非负性
（2） 规范性
（3） 有限可加性
（4） 可列可加性
概率的重要性质：
（1） P (A ) =1-P (A )
（2）P (Φ)=0
（3）若A 、B 互斥， 则P (A ＋B ) ＝P (A ) ＋P (B )
（4）A ⊂ B，则 P (B －A ) ＝P (B ) －P (A )
（5）加法公式：P (A ＋B ) ＝P (A ) ＋P (B ) －P(AB )
5. 古典概型
两个特征：有限性，等可能性。
设在古典概型中，试验的基本事件的总数为N ，随机事件A 包含其中的M 个基本事件，则随机事件A 的概率为：P （A ）=M/N
（生日模型，抽签模型，分配模型）
6. 几何概型
两个特征：无限性，等可能性。
（蒙特卡罗法）
7. 条件概率与乘法公式
条件概率
P (AB ) 若P(B)>0, P (A |B ) =P (B )
乘法公式:
P (AB )=P (B ) P (A |B )
P (A 1A 2…An)=P (A 1) P (A 2|A 1) P (A3| A 1A 2) P (A 4| A 1A 2A 3) A 1A 2…An-1)
(波利亚罐模型)
8. 全概率公式与贝叶斯公式
(1)全概率公式：(全概率公式用来求较复杂事件的概率. )
P (B ) =P (A 1B ) + +P (A n B )
=P (B ) P (B |A 1) + +P (B ) P (B |A n )
(敏感性问题调查)
(2)贝叶斯公式:(贝叶斯公式用来求后验概率)
P (A i B ) P (A i |B ) = P (A 1B ) + +P (A n B )
P (B ) P (B |A 1) =P (B ) P (B |A 1) + +P (B ) P (B |A n )
9. 随机事件的独立性
两两独立与相互独立的关系：
相互独立一定两两独立，两两独立不一定相互独立
多个事件相互独立的必要条件：
P (A 1A 2 A n ) =P (A 1) P (A 2) P (A n )
10. 伯努利概型
若在试验E 的样本空间S 只有两个基本事件 A 与且每次试验中 P (A ) =p P () =1-p =q 0≤p ≤1
我们称这只有两个对立的试验结果的试验为伯努里试验。
在 n 重贝努利试验中，事件A 正好出现 k 次的概率有
k P {X =k }=C n p k (1-p ) n -k
(k =0, 1, 2, , n )
…P (An |
概率论与数理统计第一章总结
1. 随机事件
在试验的结果中，可能发生也可能不发生的事件成为随机事件，通常用字母A ，B ，C 等表示。在每次试验的结果中，如果某事件一定发生，则称为必然事件。相反，如果某事件一定不发生，则称为不可能事件。
2. 样本空间
随机试验的每一个可能的结果称为样本点，所有样本点组成的集合称为样本空间。
任一随机事件A 都是样本空间的一个子集，必然事件A 就等于样本空间，不可能事件是不包含任何样本点的空集，基本事件就是仅包含单个样本点的子集。
3. 事件的关系及运算
（1）事件的包含与相等： A ⊂B 或B ⊃A
（2）事件的和(或并) ： A +B 或A B
（3）事件的积(或交) ： AB 或A B
（4）事件的差： A -B
（5）互不相容事件： AB =Φ
（6）对立事件： A 与 （7）事件满足以下运算规律：交换律，结合律，分配率，德摩根定律
4. 随机事件的频率与概率的定义及性质
设随机事件A 在n 次试验中发生了a 次，则a/n称为随机事件A 发生的频率。
概率的公理化定义：
（1） 非负性
（2） 规范性
（3） 有限可加性
（4） 可列可加性
概率的重要性质：
（1） P (A ) =1-P (A )
（2）P (Φ)=0
（3）若A 、B 互斥， 则P (A ＋B ) ＝P (A ) ＋P (B )
（4）A ⊂ B，则 P (B －A ) ＝P (B ) －P (A )
（5）加法公式：P (A ＋B ) ＝P (A ) ＋P (B ) －P(AB )
5. 古典概型
两个特征：有限性，等可能性。
设在古典概型中，试验的基本事件的总数为N ，随机事件A 包含其中的M 个基本事件，则随机事件A 的概率为：P （A ）=M/N
（生日模型，抽签模型，分配模型）
6. 几何概型
两个特征：无限性，等可能性。
（蒙特卡罗法）
7. 条件概率与乘法公式
条件概率
P (AB ) 若P(B)>0, P (A |B ) =P (B )
乘法公式:
P (AB )=P (B ) P (A |B )
P (A 1A 2…An)=P (A 1) P (A 2|A 1) P (A3| A 1A 2) P (A 4| A 1A 2A 3) A 1A 2…An-1)
(波利亚罐模型)
8. 全概率公式与贝叶斯公式
(1)全概率公式：(全概率公式用来求较复杂事件的概率. )
P (B ) =P (A 1B ) + +P (A n B )
=P (B ) P (B |A 1) + +P (B ) P (B |A n )
(敏感性问题调查)
(2)贝叶斯公式:(贝叶斯公式用来求后验概率)
P (A i B ) P (A i |B ) = P (A 1B ) + +P (A n B )
P (B ) P (B |A 1) =P (B ) P (B |A 1) + +P (B ) P (B |A n )
9. 随机事件的独立性
两两独立与相互独立的关系：
相互独立一定两两独立，两两独立不一定相互独立
多个事件相互独立的必要条件：
P (A 1A 2 A n ) =P (A 1) P (A 2) P (A n )
10. 伯努利概型
若在试验E 的样本空间S 只有两个基本事件 A 与且每次试验中 P (A ) =p P () =1-p =q 0≤p ≤1
我们称这只有两个对立的试验结果的试验为伯努里试验。
在 n 重贝努利试验中，事件A 正好出现 k 次的概率有
k P {X =k }=C n p k (1-p ) n -k
(k =0, 1, 2, , n )
…P (An |