高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程
辽河油田第三高级中学 杨闯 【本讲主要内容】
抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 抛物线定义： 平面内与一个定点
和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点
叫做抛物线
的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义
相仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线，当01时为双
曲线。
2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数形式方程的几何性质（如下表）：
的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同
其中
为抛物线上任一点。
3. 对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。
4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线
，直线
与
的斜率分别为
的焦点的直线与抛物线交于
，则
，直线的倾斜角为
有，，，，，
，。
说明：
1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。
2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。
3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。
【解题方法指导】
例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为长等于
，求此抛物线的方程。
或
（y1>0）
，∴
在
上，
，代入
在
得上
轴，且与圆
相交的公共弦
解析：设所求抛物线的方程为设交点则∴点
∴或，∴或
。
故所求抛物线方程为
例2. 设抛物线点
在抛物线的准线上，且
的焦点为∥
，经过的直线交抛物线于经过原点。
两点，
轴，证明直线
解析：证法一：由题意知抛物线的焦点
故可设过焦点的直线的方程为
由 设
，消去得，则
∵∥轴，且在准线上
∴点坐标为
于是直线的方程为
要证明 注意到
经过原点，只需证明，即证
经过原点。
知上式成立，故直线
证法二：同上得。又∵∥轴，且在准线上，∴点坐标为
。于是
过原点。
证法三：如图，
，知三点共线，从而直线经
设 则
轴与抛物线准线交于点∥
∥
，连结
，过交
作于点
，，则
是垂足
又根据抛物线的几何性质，
∴ 因此点
是
的中点，即
与原点
重合，∴直线
经过原点
。
评述：本题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法，证法三为几何法，充分运用了抛物线的几何性质，数形结合，更为巧妙。
【考点突破】 【考点指要】
抛物线部分是每年高考必考内容，考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质，多出现在选择题和填空题中，主要考查基础知识、基础技能、基本方法，分值大约是５分。
考查通常分为四个层次：
层次一：考查抛物线定义的应用； 层次二：考查抛物线标准方程的求法； 层次三：考查抛物线的几何性质的应用；
层次四：考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。
解决问题的基本方法和途径：待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。
【典型例题分析】 例3. （2006江西）设若
A. C. 答案：Ｂ
解析：解法一：设点 解得
或
，
（舍），代入抛物线可得点
的坐标为
。
坐标为
，则
，则点
为坐标原点，
为抛物线
的焦点，
为抛物线上一点，
的坐标为（ ）
B. D.
解法二：由题意设，则，
即，，求得，∴点的坐标为。
评述：本题考查了抛物线的动点与向量运算问题。
例4. （2006安徽）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的
值为（ ）
A. －2 B. 2 C. －4 Ｄ. 4 答案：D
解析：椭圆
。
的右焦点为，所以抛物线的焦点为，则
评述：本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系。
【达标测试】 一. 选择题： 1. 抛物线
的准线方程为
，则实数
的值是（ ）
A. B. C. D.
，与焦点
的距
2. 设抛物线的顶点在原点，其焦点在离为4，则
等于（ ）
轴上，又抛物线上的点
A. 4 B. 4或－4 C. －2 D. －2或2 3. 焦点在直线 A. C.
上的抛物线的标准方程为（ ）
B. D.
或或
4. 圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 正方体
上的动点，且点的轨迹是（ ）
的棱长为１，点到直线
在棱
到点
上，且，点是平面
的距离与点的距离的平方差为１，则点
A. 抛物线 B. 双曲线 C. 直线 D. 以上都不对 6. 已知点
是抛物线的距离为
上一点，设点，则
到此抛物线准线的距离为
，到直线
的最小值是（ ）
A. 5 B. 4 C. 7. 已知点
是抛物线
D.
上的动点，点
在
轴上的射影是
，点
的坐标是
，则的最小值是（ ）
A. B. 4 C. D. 5
两点，
为坐标原点，则
的
8. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于
值是（ ）
A. 12 B. －12 C. 3 D. －3
二. 填空题： 9. 已知圆
和抛物线
的准线相切，则
的值是＿＿＿＿＿。
10. 已知抛物线的焦点
分别是抛物线，则直线
上两点，为坐标原点，若的垂心恰好是此
的方程为＿＿＿＿＿。
11. 过点（0，1）的直线与＿＿＿。 12. 已知直线＿＿＿＿。
三. 解答题：
与抛物线
交于两点，若的中点的横坐标为，则
交于两点，那么线段的中点坐标是＿
13. 已知抛物线顶点在原点，对称轴为求抛物线的方程。 14. 过点
（4，1）作抛物线
轴上，
轴，抛物线上一点到焦点的距离是5，
的弦点在
，恰被所平分，求所在直线方程。
。
15. 设点F（1，0），M点在 ⑴当点 ⑵设当
的垂直平分线与
在
轴上，且的方程； 上的三点，且
的坐标。
轴上运动时，求点的轨迹是曲线
成等差数列，
轴交于E（3，0）时，求点
【综合测试】 一. 选择题：
1. （2005上海）过抛物线
的焦点作一条直线与抛物线相交于
两点，它们的
横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）
A. 有且仅有一条 B. 有且仅有两条 C. 有无穷多条 D. 不存在 2. （2005江苏）抛物线
上的一点
到焦点的距离为1，则点
的纵坐标是（ ）
A. B. C. D. 0
，若它的一条准线与抛物线
3. （2005辽宁）已知双曲线的中心在原点，离心率为的准线重合，则该双曲线与抛物线 A.
B.
C.
的交点与原点的距离是（ ）
D. 21
4. （2005全国Ⅰ）已知双曲线重合，则该双曲线的离心率为（ ）
的一条准线与抛物线的准线
A. B. C.
的准线与
D. 轴交于点
，若过点
的直线与抛物线有
5. （2004全国）设抛物线
公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A. B. C.
是抛物线
D.
时
6. （2006山东）动点取得最小值，则
上的点，为原点，当
的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. （2004北京）在一只杯子的轴截面中，杯子内壁的曲线满足抛物线方程
，在杯内放一个小球，要使球触及杯子的底部，则该球的表面积
取值范围是（ ） A.
B.
C. 的准线为，直线
D.
的
8. （2005北京）设抛物线两点，则点
及点
与该抛物线相交于
到准线的距离之和为（ ）
A. 8 B. 7 C. 10 D. 12
二. 填空题： 9. （2004全国Ⅳ）设点
到
是曲线
上的一个动点，则点
到点
的距离与
轴的距离之和的最小值是＿＿＿＿＿。
10. （2005北京）过抛物线圆为
，则圆
的焦点
且垂直于
轴的弦为
，以
为直径的
与抛物线准线的位置关系是＿＿＿＿＿，圆的面积是＿＿＿＿＿。
的一条弦
，
，
所在
11. （2005辽宁）已知抛物线
直线与轴交点坐标为（0，2），则＿＿＿＿＿。 的焦点在直线
移到点
上，现将抛物线沿处，则平移后所
12. （2004黄冈）已知抛物线向量
进行平移，且使得抛物线的焦点沿直线
轴截得的弦长
＿＿＿＿＿。
得抛物线被
三. 解答题：
13. （2004山东）已知抛物线C：与抛物线交于 ⑴若以弦
两点。 为直径的圆恒过原点
，求
的焦点为，直线过定点且
的值；
的轨迹方程。
⑵在⑴的条件下，若，求动点
14. （2005四川）
如图，一动点，
是抛物线的焦点，点为抛物线内一定点，点为抛物线上
的最小值为8。
⑴求抛物线方程； ⑵若且
为坐标原点，问是否存在点
，若存在，求动点
，使过点
的动直线与抛物线交于
两点，
的坐标；若不存在，请说明理由。
15. （2005河南）已知抛物线抛物线交于 ⑴求 ⑵求满足
，
为顶点，，使得
为焦点，动直线
。
与
两点。若总存在一个实数；
的点
的轨迹方程。
高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程
辽河油田第三高级中学 杨闯 【本讲主要内容】
抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 抛物线定义： 平面内与一个定点
和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点
叫做抛物线
的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义
相仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线，当01时为双
曲线。
2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数形式方程的几何性质（如下表）：
的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同
其中
为抛物线上任一点。
3. 对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。
4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线
，直线
与
的斜率分别为
的焦点的直线与抛物线交于
，则
，直线的倾斜角为
有，，，，，
，。
说明：
1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。
2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。
3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。
【解题方法指导】
例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为长等于
，求此抛物线的方程。
或
（y1>0）
，∴
在
上，
，代入
在
得上
轴，且与圆
相交的公共弦
解析：设所求抛物线的方程为设交点则∴点
∴或，∴或
。
故所求抛物线方程为
例2. 设抛物线点
在抛物线的准线上，且
的焦点为∥
，经过的直线交抛物线于经过原点。
两点，
轴，证明直线
解析：证法一：由题意知抛物线的焦点
故可设过焦点的直线的方程为
由 设
，消去得，则
∵∥轴，且在准线上
∴点坐标为
于是直线的方程为
要证明 注意到
经过原点，只需证明，即证
经过原点。
知上式成立，故直线
证法二：同上得。又∵∥轴，且在准线上，∴点坐标为
。于是
过原点。
证法三：如图，
，知三点共线，从而直线经
设 则
轴与抛物线准线交于点∥
∥
，连结
，过交
作于点
，，则
是垂足
又根据抛物线的几何性质，
∴ 因此点
是
的中点，即
与原点
重合，∴直线
经过原点
。
评述：本题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法，证法三为几何法，充分运用了抛物线的几何性质，数形结合，更为巧妙。
【考点突破】 【考点指要】
抛物线部分是每年高考必考内容，考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质，多出现在选择题和填空题中，主要考查基础知识、基础技能、基本方法，分值大约是５分。
考查通常分为四个层次：
层次一：考查抛物线定义的应用； 层次二：考查抛物线标准方程的求法； 层次三：考查抛物线的几何性质的应用；
层次四：考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。
解决问题的基本方法和途径：待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。
【典型例题分析】 例3. （2006江西）设若
A. C. 答案：Ｂ
解析：解法一：设点 解得
或
，
（舍），代入抛物线可得点
的坐标为
。
坐标为
，则
，则点
为坐标原点，
为抛物线
的焦点，
为抛物线上一点，
的坐标为（ ）
B. D.
解法二：由题意设，则，
即，，求得，∴点的坐标为。
评述：本题考查了抛物线的动点与向量运算问题。
例4. （2006安徽）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的
值为（ ）
A. －2 B. 2 C. －4 Ｄ. 4 答案：D
解析：椭圆
。
的右焦点为，所以抛物线的焦点为，则
评述：本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系。
【达标测试】 一. 选择题： 1. 抛物线
的准线方程为
，则实数
的值是（ ）
A. B. C. D.
，与焦点
的距
2. 设抛物线的顶点在原点，其焦点在离为4，则
等于（ ）
轴上，又抛物线上的点
A. 4 B. 4或－4 C. －2 D. －2或2 3. 焦点在直线 A. C.
上的抛物线的标准方程为（ ）
B. D.
或或
4. 圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 正方体
上的动点，且点的轨迹是（ ）
的棱长为１，点到直线
在棱
到点
上，且，点是平面
的距离与点的距离的平方差为１，则点
A. 抛物线 B. 双曲线 C. 直线 D. 以上都不对 6. 已知点
是抛物线的距离为
上一点，设点，则
到此抛物线准线的距离为
，到直线
的最小值是（ ）
A. 5 B. 4 C. 7. 已知点
是抛物线
D.
上的动点，点
在
轴上的射影是
，点
的坐标是
，则的最小值是（ ）
A. B. 4 C. D. 5
两点，
为坐标原点，则
的
8. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于
值是（ ）
A. 12 B. －12 C. 3 D. －3
二. 填空题： 9. 已知圆
和抛物线
的准线相切，则
的值是＿＿＿＿＿。
10. 已知抛物线的焦点
分别是抛物线，则直线
上两点，为坐标原点，若的垂心恰好是此
的方程为＿＿＿＿＿。
11. 过点（0，1）的直线与＿＿＿。 12. 已知直线＿＿＿＿。
三. 解答题：
与抛物线
交于两点，若的中点的横坐标为，则
交于两点，那么线段的中点坐标是＿
13. 已知抛物线顶点在原点，对称轴为求抛物线的方程。 14. 过点
（4，1）作抛物线
轴上，
轴，抛物线上一点到焦点的距离是5，
的弦点在
，恰被所平分，求所在直线方程。
。
15. 设点F（1，0），M点在 ⑴当点 ⑵设当
的垂直平分线与
在
轴上，且的方程； 上的三点，且
的坐标。
轴上运动时，求点的轨迹是曲线
成等差数列，
轴交于E（3，0）时，求点
【综合测试】 一. 选择题：
1. （2005上海）过抛物线
的焦点作一条直线与抛物线相交于
两点，它们的
横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）
A. 有且仅有一条 B. 有且仅有两条 C. 有无穷多条 D. 不存在 2. （2005江苏）抛物线
上的一点
到焦点的距离为1，则点
的纵坐标是（ ）
A. B. C. D. 0
，若它的一条准线与抛物线
3. （2005辽宁）已知双曲线的中心在原点，离心率为的准线重合，则该双曲线与抛物线 A.
B.
C.
的交点与原点的距离是（ ）
D. 21
4. （2005全国Ⅰ）已知双曲线重合，则该双曲线的离心率为（ ）
的一条准线与抛物线的准线
A. B. C.
的准线与
D. 轴交于点
，若过点
的直线与抛物线有
5. （2004全国）设抛物线
公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A. B. C.
是抛物线
D.
时
6. （2006山东）动点取得最小值，则
上的点，为原点，当
的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. （2004北京）在一只杯子的轴截面中，杯子内壁的曲线满足抛物线方程
，在杯内放一个小球，要使球触及杯子的底部，则该球的表面积
取值范围是（ ） A.
B.
C. 的准线为，直线
D.
的
8. （2005北京）设抛物线两点，则点
及点
与该抛物线相交于
到准线的距离之和为（ ）
A. 8 B. 7 C. 10 D. 12
二. 填空题： 9. （2004全国Ⅳ）设点
到
是曲线
上的一个动点，则点
到点
的距离与
轴的距离之和的最小值是＿＿＿＿＿。
10. （2005北京）过抛物线圆为
，则圆
的焦点
且垂直于
轴的弦为
，以
为直径的
与抛物线准线的位置关系是＿＿＿＿＿，圆的面积是＿＿＿＿＿。
的一条弦
，
，
所在
11. （2005辽宁）已知抛物线
直线与轴交点坐标为（0，2），则＿＿＿＿＿。 的焦点在直线
移到点
上，现将抛物线沿处，则平移后所
12. （2004黄冈）已知抛物线向量
进行平移，且使得抛物线的焦点沿直线
轴截得的弦长
＿＿＿＿＿。
得抛物线被
三. 解答题：
13. （2004山东）已知抛物线C：与抛物线交于 ⑴若以弦
两点。 为直径的圆恒过原点
，求
的焦点为，直线过定点且
的值；
的轨迹方程。
⑵在⑴的条件下，若，求动点
14. （2005四川）
如图，一动点，
是抛物线的焦点，点为抛物线内一定点，点为抛物线上
的最小值为8。
⑴求抛物线方程； ⑵若且
为坐标原点，问是否存在点
，若存在，求动点
，使过点
的动直线与抛物线交于
两点，
的坐标；若不存在，请说明理由。
15. （2005河南）已知抛物线抛物线交于 ⑴求 ⑵求满足
，
为顶点，，使得
为焦点，动直线
。
与
两点。若总存在一个实数；
的点
的轨迹方程。