4.8正弦函数、余弦函数的图像和性质
教学目标
1. 会用单位圆中的三角函数线画正弦函数的图像, 并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像； 2. 了解周期函数与最小正周期的意义, 会求y=Asin(ωx+ψ)的周期, 了解奇偶函数的意义, 能判断函数的奇偶性；
3. 通过正弦、余弦函数图像理解正弦函数、余弦函数的性质, 培养学生的数形结合的能力；
4. 简化正弦、余弦函数的绘制过程, 会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ψ)的简图；
5. 通过本节的学习培养学生的化归能力、转化思想.
知识结构
本节重点是正弦函数、余弦函数的图像形状及其主要性质(定义域、值域、最值、周期性、奇偶性、单调性). 正弦、余弦函数在实际生活中应用十分广泛, 函数的图像和性质是应用的重要基础, 也是解决三角函数的综合问题的基础, 它能较好的综合三角变换的所有内容, 可进一步深入研究其它函数的相关性质. 函数图像可以直观的反映函数的性质, 因此首先要掌握好函数图像形状特点, 使学生将数、形结合对照掌握这两个函数.
本节难点是利用正弦线画出函数y =sin x x ∈[0,2π]的图像, 利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线, 周期函数与最小正周期意义的理解. 利用几何法画函数图像学生第一次接触, 要先复习正弦线的做法, 另外注意讲清正弦线平移后在x 轴上对应的角. 通过诱导公式可以将正弦、余弦函数建立起关系, 利用诱导公式时先将cos x =cos(-x ) 为了只需要平移就可得到余弦函数. 周期函数包含的内容较多, 可以先让学生通过正弦、余弦函数图像直观上了解, 再通过定义严格说明, 定义中x 的任意性可与奇偶性的定义对比讲解, 周期、最小正周期的概念很抽象, 学生理解有些困难, 最好将定义分解讲解. 教法建议
1. 讲三角函数图象时, 由于描点法学生比较熟悉, 可以先让学生自己作图, 然后介绍几何法, 这样既可以让学生对正弦函数图像大致形状有所了解, 为后面“五点法”作图奠定基础, 又可将两种方法加以对比.
2. 用几何法作函数y =sin x x ∈[0,2π]的图像前, 首先复习函数线的作法, 说明单位圆上的角与x 轴上数值的对应关系, 作图过程要力求准确, 以便学生正确认识曲线的建立过程. 此处最好借助多媒体课件演示, 表现的既准确又节省时间. 得到函数y =sin x x ∈[0,2π]的图像, 利用诱导公式或利用三角函数线, 把图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动, 每次移动的距离为2π(即一个最小正周期), 即可得到函数y =sin x x ∈R 的图像. 余弦函数的图像可以利用诱导公式将余弦与正弦建立联系, 但要将x 前面的系数保证为正, 这样只需要平移即可得到余弦函数的图像. 余弦函数的图像
115
的几何作法可让学生课后自己去探索.
3. “五点法”作图在三角函数中应用较为广泛, 让学生观察函数y =sin x x ∈[0,2π]的图像, 有五个点在确定图象形状时起着关键的作用, 即最高点, 最低点以及与x 轴的交点, 因为只要这五个点描出后, 图象的形状就基本确定了. 因此在精确度要求不太高时, 常采用先描出这五个点来作函数简图的方法. 适当增加些练习使学生熟练掌握这种方法. 4. 对于函数的周期性, 先通过正弦、余弦函数图像的重复出现的特点, 让学生对周期有直观的认识, 周期函数的定义也可叙述为:当函数对于自变量的一切值每增加或减少一个定值(定值可以有很多个) 、函数值就重复出现时, 这个函数就叫做周期函数. 然后再给出严格定义. 将定义的分解讲解,
, T ”使学生理解定义包含的要素, 关键词语, 如“如果存在”说明不是所有函数都有周期“要满足“非
零”和“常数”两个条件, 当x 取定义域内的每一个值时”这一提法, 这里要特别注意“每一个值”四个字. 如果函数f (x ) 不是当x 取定义域内的“每一个值”时, 都有f (x +T ) =f (x ) , 那么T 就不是f (x ) 的周期. 例如π
4
+
π
2
) =sin
π
4
, 但是π
6
+
π
2
) ≠sin
π
6
, 就是说
π
不能对于x 在定义2
域内的每一个值都有sin(x +
π
2
) =sin x , 因此
π
不是sin x 的周期. 最小正周期可让学生按上述分2
析方法进行分析. 另外可把三角函数和奇函数、偶函数象下面这样对比着进行讲解, 对学生理解和掌握周期函数概念将是有益的:
如果函数f(x)对于定义域里的每一个值, 都有 (1)f (-x ) =f (x ) , 那么f (x ) 叫做偶函数；
(2)f (-x ) =-f (x ) , 那么f (x ) 叫做奇函数；
(3)f (x +T ) =f (x ) , 其中T 是不为零的常数, 那么f (x ) 叫做周期函数.
对y =A sin(ωx +ϕ) 函数的周期, 要让学生从周期定义上理解:周期是指能使函数值重复出现的自变量x 要加上的那个数, 这个数是针对x 而言的, 如果对2x 而言, 而每增加2π, sin 2x 的值就重复出现；但对自变量x 而言, 每增加π, sin 2x 的值就能重复出现, 因此sin 2x 的周期是π. 如果不设辅助未知数, 本例的解答可写为:
=s i n x =2s x i +πn (2=2) πx +s i =n f 2π(x +, f (x )
即f (x ) 中的x 以x +π代替, 函数值不变, 所以sin 2x 的周期为π. 由此可知, 三角函数的周期
与自变量x 的系数有关.
5. 让学生通过函数图像总结归纳函数的性质定义域、值域、极值、符号、周期性、奇偶性、单调性等, 最好以表格的形式将正弦、余弦函数的性质对比得出, 使学生在函数图像和性质建立对应关系, 这对学生进一步掌握函数y =sin x , y =cos x 的性质有很大帮助. 因此应要求学生首先要熟悉正弦曲线和余弦曲线.
6. 要注意数学语言和数学方法的训练, 如“必须并且只需”, 正弦函数在每一个闭区间
[-
π
2
+2k π,
π
2
+2k π](k ∈Z ) 上都是增函数, 其值从-1增大到1等.
教学设计示例
4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质(第一课时)
一、教学具准备
直尺、圆规、投影仪. 二、教学目标
1. 了解作正、余弦函数图像的四种常见方法.
2. 掌握五点作图法, 并会用此方法作出[0,2π]上的正弦曲线、余弦曲线. 3. 会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像. 三、教学过程(可用课件辅助教学) 1. 设置情境
引进弧度制以后, f (x ) =sin x 就可以看做是定义域为(-∞, +∞) 的实变量函数. 作为函数, 我们首先要关注其图像特征. 本节课我们一起来学习作正、余弦函数图像的方法. 2. 探索研究
116
(1)复习正弦线、余弦线的概念
前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法, 请同学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？(师画图1) 设任意角α的终边与单位圆相交于点P (x , y ) , 过点作x 轴的 垂线, 垂足为M , 则有向线段MP 叫做角α的正弦线, 有向线段OM
x 叫做角α的余弦线.
(2)在直角坐标系中如何作点(α,sin α) 由单位圆中的正弦线 知识, 我们只要已知一个角α的大小, 就能用几何方法作出对应的
正弦值sin α的大小来, 请同学们思考一下, 如何用几何方法在直
图 1 ππ
角坐标系中作出点C (,sin ) ？
33
教师引导学生用图2的方法画出点C .
我们能否借助上面作点C 的方法在直角坐标系中作出正弦函数y =sin x , x ∈R 的图像呢？
图2
①用几何方法作y =sin x , x ∈[0,2π]的图像
我们知道, 作函数的图像的步骤是:列表、描点、连结；如果我们用列表法得出各点的坐标, 就会因各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值不够精确, 使得描点后画出的图像误差也大, 为克服这一不足, 我们用前面作点C (
,sin ) 的几何方法来描点, 从而使图像的精确度有了提高. 33
(边画图边讲解), 我们先作y =sin x 在[0,2π]上的图像, 具体分为如下五个步骤: a. 作直角坐标系, 并在直角坐标系中y 轴左侧画单位圆.
b. 把单位圆分成12等份(等份越多, 画出的图像越精确). 过单位圆上的各分点作x 轴的垂线, 可 以得到对应于0,
ππ
πππ
, , , …, 2π角的正弦线.
632
x
c. 找横坐标:把轴上从0到这一段分成12等分.
d. 找纵坐标:将正弦线对应平移, 即可指出相应12个点.
e. 连线:用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来, 即得y =sin x , x ∈[0,2π) 的图像. ②作正弦曲线的y =sin x , x ∈R 图像.
图为终边相同的角的三角函数值相等, 所以函数y =sin x , x ∈[2k π,2(k +1) π) 且k ≠0的图像与函数y =sin x , x ∈[0,2π) 的图像的形状完全一样, 只是位置不同, 于是我们只要将函数
y =sin x , x ∈[0,2π) 的图像向左、右平移(每次2π个单位长度), 就可以得到正弦函数数y =sin x , x ∈R 的图像, 如图
.
117
x
正弦函数的图像叫做正弦曲线.
③五点法作y =sin x , x ∈[0,2π]的简图
师:在作正弦函数y =sin x , x ∈[0,2π]的图像时, 我们描述了12个点, 但其中起关键作用的是函数y =sin x , x ∈[0,2π]与x 轴的交点及最高点和最低点这五个点, 你能依次它们的坐标吗？
3π
, -1),(2π,0)
22
师:事实上, 只要指出这五个点, y =sin x , x ∈[0,2π]的图像的形状就基本确定了, 以后我们常
生:(0,0),(
π
,1),(π,0),(
先找出这五个关键点, 然后用光滑的曲线将它们连结起来, 就得到函数的简图, 这种作图的方法称为“五点法”作图.
④用变换法作余弦函数y =cos x , x ∈R 的图像
-x )]=sin(x +因为y =cos x =cos(-x ) =-(
2
ππ
2
) , 所以y =cos x , x ∈R 与y =sin(x +
π
2
)
是同一个函数, 即余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移像叫做余弦曲线, 如图,
π
个长度单位角得到, 余弦函数的图2
x
师:请同学们说出在函数y =cos x , x ∈[0,2]的图像上, 起关键作用的五个点的坐标.
生:(0,1),(
π
2
,0),(π, -1),(
3π
,0),(2π,1) 2
3. 例题分析
例1．画出下列函数的简图:
(1)y =1+sin x , x ∈[0,2π]； (2)y =-cos x , x ∈[0,2π].
118
x
师:请说出函数y =1+sin x 与y =sin x 的图像之间有何联系？
生:函数y =1+sin x , x ∈[0,2π]的图像可由y =sin x , x ∈[0,2π]的图像向上平移1个单位得到. (2)
x
师:y =cos x , x ∈[0,2π]与y =-cos x , x ∈[0,2π]的图像有何联系？
生:它们的图像关于x 轴对称. 练习:
(1)说出f (x ) =sin x , x ∈[0,2π]的单调区间； (2)说出f (x ) =-cos x , x ∈[-π, π]的奇偶性. 参考答案:
(1)由f (x ) =sin x , x ∈[0,2π]图像知[0,
π
2
(2)由f (x ) =-cos x , x ∈[-π, π]图像知f (x ) 是偶函数.
],[
3ππ3π
, 2π]为单调递增区间, [, ]为单调递减区间 222
4. 总结提炼
(1)本课介绍了四种作y =sin x , y =cos x 图像的方法, 其中五点作图法最常用, 要牢记五个关键
点的选取特点.
(2)用平移诱变法, 由y =sin x →y =cos x 这不是新问题, 在函数一章学习平移作图时, 就使用过,
请同学们作比较. 应该说明的是由y =sin x →y =cos x 平移量是不惟一的, 方向也可左可右.
5. 演练反馈,(投影)
(1)在同一直角坐标系下, 用五点法分别作出下列函数的图像 ①f (x ) =sin x , x ∈[-π, π] ②y =cos x , x ∈[-
π3π
, ] 22
(2)观察正弦曲线和余弦曲线, 写出满足下列条件的 的区间.
①sin x >0, ②sin x 0, ④cos x
119
①y =-sin x , x ∈[0,2π] ②y =1+cos x , x ∈[0,2π] ③y =2sin x , x ∈[0,2π] 参考答案:
(1)
y (2) ①(2k π,2(k +1) π)), k ∈Z , ②(2(k -1) π,2k π), k ∈Z , ③(2k π- ④(2k +
π
, 2k π+), k ∈Z
22
π
π
2
, 2k π+
3π
), k ∈Z
2
(3)
① ② ③
120
4.8正弦函数、余弦函数的图像和性质
教学目标
1. 会用单位圆中的三角函数线画正弦函数的图像, 并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像； 2. 了解周期函数与最小正周期的意义, 会求y=Asin(ωx+ψ)的周期, 了解奇偶函数的意义, 能判断函数的奇偶性；
3. 通过正弦、余弦函数图像理解正弦函数、余弦函数的性质, 培养学生的数形结合的能力；
4. 简化正弦、余弦函数的绘制过程, 会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ψ)的简图；
5. 通过本节的学习培养学生的化归能力、转化思想.
知识结构
本节重点是正弦函数、余弦函数的图像形状及其主要性质(定义域、值域、最值、周期性、奇偶性、单调性). 正弦、余弦函数在实际生活中应用十分广泛, 函数的图像和性质是应用的重要基础, 也是解决三角函数的综合问题的基础, 它能较好的综合三角变换的所有内容, 可进一步深入研究其它函数的相关性质. 函数图像可以直观的反映函数的性质, 因此首先要掌握好函数图像形状特点, 使学生将数、形结合对照掌握这两个函数.
本节难点是利用正弦线画出函数y =sin x x ∈[0,2π]的图像, 利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线, 周期函数与最小正周期意义的理解. 利用几何法画函数图像学生第一次接触, 要先复习正弦线的做法, 另外注意讲清正弦线平移后在x 轴上对应的角. 通过诱导公式可以将正弦、余弦函数建立起关系, 利用诱导公式时先将cos x =cos(-x ) 为了只需要平移就可得到余弦函数. 周期函数包含的内容较多, 可以先让学生通过正弦、余弦函数图像直观上了解, 再通过定义严格说明, 定义中x 的任意性可与奇偶性的定义对比讲解, 周期、最小正周期的概念很抽象, 学生理解有些困难, 最好将定义分解讲解. 教法建议
1. 讲三角函数图象时, 由于描点法学生比较熟悉, 可以先让学生自己作图, 然后介绍几何法, 这样既可以让学生对正弦函数图像大致形状有所了解, 为后面“五点法”作图奠定基础, 又可将两种方法加以对比.
2. 用几何法作函数y =sin x x ∈[0,2π]的图像前, 首先复习函数线的作法, 说明单位圆上的角与x 轴上数值的对应关系, 作图过程要力求准确, 以便学生正确认识曲线的建立过程. 此处最好借助多媒体课件演示, 表现的既准确又节省时间. 得到函数y =sin x x ∈[0,2π]的图像, 利用诱导公式或利用三角函数线, 把图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动, 每次移动的距离为2π(即一个最小正周期), 即可得到函数y =sin x x ∈R 的图像. 余弦函数的图像可以利用诱导公式将余弦与正弦建立联系, 但要将x 前面的系数保证为正, 这样只需要平移即可得到余弦函数的图像. 余弦函数的图像
115
的几何作法可让学生课后自己去探索.
3. “五点法”作图在三角函数中应用较为广泛, 让学生观察函数y =sin x x ∈[0,2π]的图像, 有五个点在确定图象形状时起着关键的作用, 即最高点, 最低点以及与x 轴的交点, 因为只要这五个点描出后, 图象的形状就基本确定了. 因此在精确度要求不太高时, 常采用先描出这五个点来作函数简图的方法. 适当增加些练习使学生熟练掌握这种方法. 4. 对于函数的周期性, 先通过正弦、余弦函数图像的重复出现的特点, 让学生对周期有直观的认识, 周期函数的定义也可叙述为:当函数对于自变量的一切值每增加或减少一个定值(定值可以有很多个) 、函数值就重复出现时, 这个函数就叫做周期函数. 然后再给出严格定义. 将定义的分解讲解,
, T ”使学生理解定义包含的要素, 关键词语, 如“如果存在”说明不是所有函数都有周期“要满足“非
零”和“常数”两个条件, 当x 取定义域内的每一个值时”这一提法, 这里要特别注意“每一个值”四个字. 如果函数f (x ) 不是当x 取定义域内的“每一个值”时, 都有f (x +T ) =f (x ) , 那么T 就不是f (x ) 的周期. 例如π
4
+
π
2
) =sin
π
4
, 但是π
6
+
π
2
) ≠sin
π
6
, 就是说
π
不能对于x 在定义2
域内的每一个值都有sin(x +
π
2
) =sin x , 因此
π
不是sin x 的周期. 最小正周期可让学生按上述分2
析方法进行分析. 另外可把三角函数和奇函数、偶函数象下面这样对比着进行讲解, 对学生理解和掌握周期函数概念将是有益的:
如果函数f(x)对于定义域里的每一个值, 都有 (1)f (-x ) =f (x ) , 那么f (x ) 叫做偶函数；
(2)f (-x ) =-f (x ) , 那么f (x ) 叫做奇函数；
(3)f (x +T ) =f (x ) , 其中T 是不为零的常数, 那么f (x ) 叫做周期函数.
对y =A sin(ωx +ϕ) 函数的周期, 要让学生从周期定义上理解:周期是指能使函数值重复出现的自变量x 要加上的那个数, 这个数是针对x 而言的, 如果对2x 而言, 而每增加2π, sin 2x 的值就重复出现；但对自变量x 而言, 每增加π, sin 2x 的值就能重复出现, 因此sin 2x 的周期是π. 如果不设辅助未知数, 本例的解答可写为:
=s i n x =2s x i +πn (2=2) πx +s i =n f 2π(x +, f (x )
即f (x ) 中的x 以x +π代替, 函数值不变, 所以sin 2x 的周期为π. 由此可知, 三角函数的周期
与自变量x 的系数有关.
5. 让学生通过函数图像总结归纳函数的性质定义域、值域、极值、符号、周期性、奇偶性、单调性等, 最好以表格的形式将正弦、余弦函数的性质对比得出, 使学生在函数图像和性质建立对应关系, 这对学生进一步掌握函数y =sin x , y =cos x 的性质有很大帮助. 因此应要求学生首先要熟悉正弦曲线和余弦曲线.
6. 要注意数学语言和数学方法的训练, 如“必须并且只需”, 正弦函数在每一个闭区间
[-
π
2
+2k π,
π
2
+2k π](k ∈Z ) 上都是增函数, 其值从-1增大到1等.
教学设计示例
4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质(第一课时)
一、教学具准备
直尺、圆规、投影仪. 二、教学目标
1. 了解作正、余弦函数图像的四种常见方法.
2. 掌握五点作图法, 并会用此方法作出[0,2π]上的正弦曲线、余弦曲线. 3. 会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像. 三、教学过程(可用课件辅助教学) 1. 设置情境
引进弧度制以后, f (x ) =sin x 就可以看做是定义域为(-∞, +∞) 的实变量函数. 作为函数, 我们首先要关注其图像特征. 本节课我们一起来学习作正、余弦函数图像的方法. 2. 探索研究
116
(1)复习正弦线、余弦线的概念
前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法, 请同学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？(师画图1) 设任意角α的终边与单位圆相交于点P (x , y ) , 过点作x 轴的 垂线, 垂足为M , 则有向线段MP 叫做角α的正弦线, 有向线段OM
x 叫做角α的余弦线.
(2)在直角坐标系中如何作点(α,sin α) 由单位圆中的正弦线 知识, 我们只要已知一个角α的大小, 就能用几何方法作出对应的
正弦值sin α的大小来, 请同学们思考一下, 如何用几何方法在直
图 1 ππ
角坐标系中作出点C (,sin ) ？
33
教师引导学生用图2的方法画出点C .
我们能否借助上面作点C 的方法在直角坐标系中作出正弦函数y =sin x , x ∈R 的图像呢？
图2
①用几何方法作y =sin x , x ∈[0,2π]的图像
我们知道, 作函数的图像的步骤是:列表、描点、连结；如果我们用列表法得出各点的坐标, 就会因各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值不够精确, 使得描点后画出的图像误差也大, 为克服这一不足, 我们用前面作点C (
,sin ) 的几何方法来描点, 从而使图像的精确度有了提高. 33
(边画图边讲解), 我们先作y =sin x 在[0,2π]上的图像, 具体分为如下五个步骤: a. 作直角坐标系, 并在直角坐标系中y 轴左侧画单位圆.
b. 把单位圆分成12等份(等份越多, 画出的图像越精确). 过单位圆上的各分点作x 轴的垂线, 可 以得到对应于0,
ππ
πππ
, , , …, 2π角的正弦线.
632
x
c. 找横坐标:把轴上从0到这一段分成12等分.
d. 找纵坐标:将正弦线对应平移, 即可指出相应12个点.
e. 连线:用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来, 即得y =sin x , x ∈[0,2π) 的图像. ②作正弦曲线的y =sin x , x ∈R 图像.
图为终边相同的角的三角函数值相等, 所以函数y =sin x , x ∈[2k π,2(k +1) π) 且k ≠0的图像与函数y =sin x , x ∈[0,2π) 的图像的形状完全一样, 只是位置不同, 于是我们只要将函数
y =sin x , x ∈[0,2π) 的图像向左、右平移(每次2π个单位长度), 就可以得到正弦函数数y =sin x , x ∈R 的图像, 如图
.
117
x
正弦函数的图像叫做正弦曲线.
③五点法作y =sin x , x ∈[0,2π]的简图
师:在作正弦函数y =sin x , x ∈[0,2π]的图像时, 我们描述了12个点, 但其中起关键作用的是函数y =sin x , x ∈[0,2π]与x 轴的交点及最高点和最低点这五个点, 你能依次它们的坐标吗？
3π
, -1),(2π,0)
22
师:事实上, 只要指出这五个点, y =sin x , x ∈[0,2π]的图像的形状就基本确定了, 以后我们常
生:(0,0),(
π
,1),(π,0),(
先找出这五个关键点, 然后用光滑的曲线将它们连结起来, 就得到函数的简图, 这种作图的方法称为“五点法”作图.
④用变换法作余弦函数y =cos x , x ∈R 的图像
-x )]=sin(x +因为y =cos x =cos(-x ) =-(
2
ππ
2
) , 所以y =cos x , x ∈R 与y =sin(x +
π
2
)
是同一个函数, 即余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移像叫做余弦曲线, 如图,
π
个长度单位角得到, 余弦函数的图2
x
师:请同学们说出在函数y =cos x , x ∈[0,2]的图像上, 起关键作用的五个点的坐标.
生:(0,1),(
π
2
,0),(π, -1),(
3π
,0),(2π,1) 2
3. 例题分析
例1．画出下列函数的简图:
(1)y =1+sin x , x ∈[0,2π]； (2)y =-cos x , x ∈[0,2π].
118
x
师:请说出函数y =1+sin x 与y =sin x 的图像之间有何联系？
生:函数y =1+sin x , x ∈[0,2π]的图像可由y =sin x , x ∈[0,2π]的图像向上平移1个单位得到. (2)
x
师:y =cos x , x ∈[0,2π]与y =-cos x , x ∈[0,2π]的图像有何联系？
生:它们的图像关于x 轴对称. 练习:
(1)说出f (x ) =sin x , x ∈[0,2π]的单调区间； (2)说出f (x ) =-cos x , x ∈[-π, π]的奇偶性. 参考答案:
(1)由f (x ) =sin x , x ∈[0,2π]图像知[0,
π
2
(2)由f (x ) =-cos x , x ∈[-π, π]图像知f (x ) 是偶函数.
],[
3ππ3π
, 2π]为单调递增区间, [, ]为单调递减区间 222
4. 总结提炼
(1)本课介绍了四种作y =sin x , y =cos x 图像的方法, 其中五点作图法最常用, 要牢记五个关键
点的选取特点.
(2)用平移诱变法, 由y =sin x →y =cos x 这不是新问题, 在函数一章学习平移作图时, 就使用过,
请同学们作比较. 应该说明的是由y =sin x →y =cos x 平移量是不惟一的, 方向也可左可右.
5. 演练反馈,(投影)
(1)在同一直角坐标系下, 用五点法分别作出下列函数的图像 ①f (x ) =sin x , x ∈[-π, π] ②y =cos x , x ∈[-
π3π
, ] 22
(2)观察正弦曲线和余弦曲线, 写出满足下列条件的 的区间.
①sin x >0, ②sin x 0, ④cos x
119
①y =-sin x , x ∈[0,2π] ②y =1+cos x , x ∈[0,2π] ③y =2sin x , x ∈[0,2π] 参考答案:
(1)
y (2) ①(2k π,2(k +1) π)), k ∈Z , ②(2(k -1) π,2k π), k ∈Z , ③(2k π- ④(2k +
π
, 2k π+), k ∈Z
22
π
π
2
, 2k π+
3π
), k ∈Z
2
(3)
① ② ③
120