巧用极坐标揭秘圆锥曲线性质
●梅
静宗洪春
现有的数学命题设计过程中，出题者常常把“一般规律”弱
化成某种“特殊情况”来进行考题的设计，并以此为载体达到对解题者数学素养的测试．学生在解决此类问题时，往往是解一题，丢一题，并不能真正摆脱“题海”的束缚．教师在讲解过程中，就应该适当引导学生去发现一般规律，使学生从整体上把
握知识的内在规律，能够培养学生由此及彼的迁移能力，收到“解一题，带一片”的效果，促进学生知识能力的高效正迁移．笔者在教学实践过程中，以极坐标为工具，解决圆锥曲线中有关
问题，并引导学生探究圆锥曲线中所蕴含的一般性规律，借以解决相关高考题．
案例一
圆锥曲线的焦半径和焦点弦问题一直是解析几
何的重要内容，也是高考命题的热点之一．处理这类问题通常
解法是列方程求交点或者是利用第二定义求解，笔者尝试着用极坐标方法去解决有关问题，发现更容易得到一般性规律．
例１
（２０１３年南京三模）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，椭圆
Ｃ方程为－ｚ－Ｚ＋车＝１．过椭圆Ｃ的右焦点Ｆ作与坐标轴不垂直
的直线，交椭圆Ｃ于Ａ、Ｂ两点，线段Ａ曰的垂直平分线Ｚ交茗轴于
点，ｖ，证明：雨ＡＢ是定值，并求出这个定值．
解：以椭圆的右焦点为极点，戈轴正方向为极轴，建立极坐
标系则该椭圆的极坐标方程是
五南２南，Ｊ听Ｆ２ＡＢ２
Ｐ－＋Ｐ：２南
设直线ｆ与Ａ曰相交于点Ｍ，则肘为Ａ日中点，
且删＝Ｉ半柏ｌ＝且≯＝Ｉ悬Ｉ
在直角三角形ＦＭＮ中，／＿ＮＦＭ＝日（或１Ｔ一０），所以刚＝
ＦＭｃｏｓ０
所以，而ＡＢ＝箐＝而１－ｅ２ｃ０８２０＝÷
呈望！！竺塑！
１一ｅ２ｃｏｓ２０
因为椭圆的离心率为ｅ＝佰Ｔ，所￡，．Ａ，ｗＢ～…６ｊ
规律探秘：从解题过程中，我们不难发现，比值与椭圆的离
万方数据
心率有关，由此我们可以得到如下性质．
．．２
．．２
性质１：过椭圆与＋昔＝１（口＞ｂ＞０）的焦点，作直线
Ｚ（斜率存在且不为０）交椭圆于Ａ，日两点，作直线ｚ的中垂线，交
菇轴于点Ⅳ，则而ＡＢ是疋但了２．
该性质的证明可以仿照例题１进行，所以不再赘述．在此基础上，我们继续探究该性质，同样发现，将椭圆换成双曲线或抛
物线，结论同样成立．因此，我们得到了圆锥曲线焦点弦中垂线
的一个一般性规律．
定理１：过圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的焦点作直线
ｚ。（斜率存在且不为０），交圆锥曲线于点Ａ，Ｂ，作直线Ｚ。的中垂
线ｚ：，交茗轴于点Ⅳ，则丽ＡＢ是定值÷．
［链接］（２００７年重庆卷文２１）如图１，倾斜角为ａ的直线经过抛物线，，２＝８ｘ的焦点Ｆ，且与抛物线交于Ａ、Ｂ两点．（１）求抛物线的焦点Ｆ的坐标及
Ｄ
蔽准线Ｚ的方程；（２）若ａ为锐角，作线段憩八：
＼ＡＢ的垂直平分线ｍ交菇轴于点Ｐ。证
明：ＦＰ一胁ｏｓ２ａ为定值．
图１
略解：以抛物线的焦点为极点，Ｆｘ轴为极轴，建立极坐标
系，则该抛物线的极坐标方程为ｐ
忐，舶＝忐，所以ＡＢ＝ｍ＋加＝ｒ二羔忑＝
２丁—二鼍面由条件可设，ｍ。
÷８１ｎ｝．借助定理可得：Ａ面Ｂ＝２，所以即＝扣曰＝＿ｓｉｎ｝ｏｔ；即
ＦＰｓｉｎ２ｎ＝Ｐ，因此ＦＰ—ＦＰｃｏｓ２ａ＝２ＦＰｓｉｎ２ａ＝２ｐ＝８（定值）．
案例二
在圆锥曲线中，我们也经常遇到一些过焦点或过
中心的弦，这些弦相互之间成定角，如垂直，或者是将周角０或周角Ｆ几等分，从而使得其中蕴藏着一尴有趣的结论．
例２（２０１４年南通期末）在平面‘，
，、曼一
直角坐标系ｘＯｙ中，设椭圆Ｃ的中心在原点，焦点在并轴上，短半轴长为２，椭八辩。
圆ｃ上的点到右焦点的距离的最小值为√５—１．（１）求椭圆Ｃ的方程；（２）设＼７／ｊ
直线Ｚ与椭圆Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，且
图２
・５・
ｐ＝南，ｉ殳Ａ（ｐ－，口），曰（ｐｚ，１Ｔ＋ｐ），贝ｏＰ，＝忐，Ｐｚ＝
／＿ＡＯＢ
２手①求证：原点Ｄ到直线Ａ曰的距离为定值；②求Ａ曰
的最小值．
分析：本题第一小问难度不大，可以快速得到椭圆的标准
方程是等＋予＝１．而第二小问的解法也比较多，可以选择直
线ＯＡ的斜率为参数，表示原点０到直线ＡＢ的距离和ＡＢ的长，通过计算得出结论；也可以直接设直线ＡＢ的方程求解；这些解法主要问题是字母多、运算量有些大．但若是联想到极坐标的角度和极径的关系，那么解决此例就更为简便．
解：（２）以坐标原点为极点，戈轴的正半轴为极轴，建立极坐
标系，设椭圆上任一点为Ｐ（ｐ，口），则ｐ２＝五ｉ万２＿０丽，不妨
设点Ａ（Ｐｌｃｏｓ０，ｐｔｓｉｎ目），则点Ｂ为（ｐ２ｃ。８（ｐ＋詈），／７２ｓｌ‘ｎ（一＋
÷）），即曰（一ｐ２ｓｉｎ０，Ｐ２ｃｏｓＯ），
则有ｐ；＝蕊万２丽Ｏ，ｐ：２＝石万２丽０
因为ｄ２＝考％２ｐｌ十
’所以÷了虿ｄ
Ｐｌｐ２
＝堑莲铲＋
“
４．．．．ｓ．．ｉ．．ｎ．．．２．．．０．．．．．．＋．．．．．５．．．ｃ．．．ｏ．．．ｓ．．２—０—．．．．９．——
２０。。２０‘
所以ｄ＝学，故原点Ｄ到直线Ａ曰的距离为定值学
（酗铲＝ｐ；＋厦＝２０‘磊磊忐＋石孑了≯１丽）
令ｍ＝４ｃｏｓ２０＋５ｓｉｎ２０，ｎ＝４ｓｉｎ２０＋５ｃｏｓ２０，由于ｍ＋ｒ／，＝
９．
所以Ａ铲＝２０（１ｍ＋÷）＝２０（１＋÷’可１（ｍ＋ｎ）＝
ｍ
乃
ｎ
ｙ
等（２＋詈＋詈）≥等
所以ＡＢ的最小值为箪．
规律探秘：如果我们将此例从特殊推广到一般，类比、拓广、延伸，挖掘潜在条件，我们就会发现如下性质：
性质２：已知椭圆冬＋鲁＝ｌ（ａ＞ｂ＞ｏ），动直线ｚ交椭圆
于Ａ，Ｂ两点，且ＯＡ上ＯＢ，则原点０到直线ＡＢ的距离为定值
—＝拿竺亍（证明可仿照上述例题完成）
ａ２
Ｊ．ｂ２
推论１：已知双曲线与一鲁＝１（６＞口＞０），动直线ｌ交
口
Ｄ
双曲线于Ａ，Ｂ两点，且ＯＡ上ＯＢ，则原点０到直线ＡＢ的距离为
定值考弓
．６．
万方数据
虽然在满足上述条件的抛物线中，原点０到直线ＡＢ的距离不是定值，但是我们探究发现原点０在直线ＡＢ上的射影的轨迹
是个定圆．结合性质２及推论１，所以我们又可以得到：
定理２：在圆锥曲线上任取两点Ｐ，Ｑ，使得ＯＰ上ＯＱ（０为坐
标原点），则原点０在直线ＰＱ上的射影的轨迹一定是个定圆．以焦点在并轴为例，当曲线是椭圆时，其轨迹方程戈２＋ｙ２＝
≯竿萨５当曲线是双曲线时，其轨迹方程是茹２＋ｙ２＝鲁０兰孑５当
ｎ
十Ｄ
—ｏ
曲线是开口向右的抛物线时，其轨迹方程为（菇一ｐ）２＋ｙ２＝Ｐ２．
［链接］例４（２０１２年上海）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，已
知双曲线ＣＩ：２ｘ２一），２＝１，（１）过Ｃｌ的左顶点引Ｃ１的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及茹轴围成的三角形的面积；（２）设斜率为１的直线Ｚ交Ｃ。于Ｐ、Ｑ两点，若Ｚ与圆菇２＋
Ｙ２＝１相切，求证：ＤＰ上ＯＱ；（３）设椭圆ｃ２：４省２＋ｙ２＝１，若』Ｉｆ、Ⅳ分别是Ｃ１、Ｃ２上的动点，且ＯＭ上ＯＮ，求＂ｂＸ：Ｏ到直线Ａ曰的距离是定值．
本题第（２）问就可以用上面的定理来解决，而第（３）问则把椭圆与双曲线有机地融合在一起，进一步衍变为一个相似问
题．类似变化问题在近几年各地的高考题中也都有出现，如０９年北京卷理１９，１０年陕西卷２０，有兴趣的读者可以用这些性质
尝试解决．
正如著名数学教育家波利亚所说那样，好问题同种蘑菇类似，它们都是成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很有可能附近就有好几个．如果对性质２作更深入的探究，
我们也会得到如下美妙的结论．
推论２：已知椭圆鲁＋告＝１（口＞ｂ＞ｏ）上三点Ｐ，，Ｐ２，
Ｐ３，且ｏＰｌ，ＯＰ２，ｏＰ３互成１２００角，则去＋去＋壶为定值
三，上．上、
２、ｎ２’ｂ２
７‘
推论３：已知椭圆与＋告＝ｌ（口＞ｂ＞ｏ）上ｎ个点Ｐ，，Ｐ２，
…，Ｐｎ，且ｏＰ－，ｏＰ２，…，ＯＰｎ将周角０分成ｎ等分角，则壶＋
壶＋…＋壶为定值・
如果将坐标原点改为焦点，也可以得到很多相似性质，限于篇幅，就不再一一赘述．总之，在平常教学过程中，只要我们
积极探究，善于发现，就能把一些考题中所蕴藏的一般规律揭
示出来，在此基础上，加以整理，拓广，引申，变式，让学生领略其中蕴含着的真谛，享受其中的分析过程、思考过程、探究过程，使学生处理类似问题时，就能如鱼得水，得心应手．
［江苏省扬中市新坝中学（２１２２１１）］
萄穗黼
巧用极坐标揭秘圆锥曲线性质
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
梅静， 宗洪春
江苏省扬中市新坝中学 212211数理化学习（高一二版）
SHU-LI-HUA XUEXI(GAO YI.ER BAN)2014(7)
引用本文格式：梅静.宗洪春 巧用极坐标揭秘圆锥曲线性质[期刊论文]-数理化学习（高一二版） 2014(7)
巧用极坐标揭秘圆锥曲线性质
●梅
静宗洪春
现有的数学命题设计过程中，出题者常常把“一般规律”弱
化成某种“特殊情况”来进行考题的设计，并以此为载体达到对解题者数学素养的测试．学生在解决此类问题时，往往是解一题，丢一题，并不能真正摆脱“题海”的束缚．教师在讲解过程中，就应该适当引导学生去发现一般规律，使学生从整体上把
握知识的内在规律，能够培养学生由此及彼的迁移能力，收到“解一题，带一片”的效果，促进学生知识能力的高效正迁移．笔者在教学实践过程中，以极坐标为工具，解决圆锥曲线中有关
问题，并引导学生探究圆锥曲线中所蕴含的一般性规律，借以解决相关高考题．
案例一
圆锥曲线的焦半径和焦点弦问题一直是解析几
何的重要内容，也是高考命题的热点之一．处理这类问题通常
解法是列方程求交点或者是利用第二定义求解，笔者尝试着用极坐标方法去解决有关问题，发现更容易得到一般性规律．
例１
（２０１３年南京三模）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，椭圆
Ｃ方程为－ｚ－Ｚ＋车＝１．过椭圆Ｃ的右焦点Ｆ作与坐标轴不垂直
的直线，交椭圆Ｃ于Ａ、Ｂ两点，线段Ａ曰的垂直平分线Ｚ交茗轴于
点，ｖ，证明：雨ＡＢ是定值，并求出这个定值．
解：以椭圆的右焦点为极点，戈轴正方向为极轴，建立极坐
标系则该椭圆的极坐标方程是
五南２南，Ｊ听Ｆ２ＡＢ２
Ｐ－＋Ｐ：２南
设直线ｆ与Ａ曰相交于点Ｍ，则肘为Ａ日中点，
且删＝Ｉ半柏ｌ＝且≯＝Ｉ悬Ｉ
在直角三角形ＦＭＮ中，／＿ＮＦＭ＝日（或１Ｔ一０），所以刚＝
ＦＭｃｏｓ０
所以，而ＡＢ＝箐＝而１－ｅ２ｃ０８２０＝÷
呈望！！竺塑！
１一ｅ２ｃｏｓ２０
因为椭圆的离心率为ｅ＝佰Ｔ，所￡，．Ａ，ｗＢ～…６ｊ
规律探秘：从解题过程中，我们不难发现，比值与椭圆的离
万方数据
心率有关，由此我们可以得到如下性质．
．．２
．．２
性质１：过椭圆与＋昔＝１（口＞ｂ＞０）的焦点，作直线
Ｚ（斜率存在且不为０）交椭圆于Ａ，日两点，作直线ｚ的中垂线，交
菇轴于点Ⅳ，则而ＡＢ是疋但了２．
该性质的证明可以仿照例题１进行，所以不再赘述．在此基础上，我们继续探究该性质，同样发现，将椭圆换成双曲线或抛
物线，结论同样成立．因此，我们得到了圆锥曲线焦点弦中垂线
的一个一般性规律．
定理１：过圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的焦点作直线
ｚ。（斜率存在且不为０），交圆锥曲线于点Ａ，Ｂ，作直线Ｚ。的中垂
线ｚ：，交茗轴于点Ⅳ，则丽ＡＢ是定值÷．
［链接］（２００７年重庆卷文２１）如图１，倾斜角为ａ的直线经过抛物线，，２＝８ｘ的焦点Ｆ，且与抛物线交于Ａ、Ｂ两点．（１）求抛物线的焦点Ｆ的坐标及
Ｄ
蔽准线Ｚ的方程；（２）若ａ为锐角，作线段憩八：
＼ＡＢ的垂直平分线ｍ交菇轴于点Ｐ。证
明：ＦＰ一胁ｏｓ２ａ为定值．
图１
略解：以抛物线的焦点为极点，Ｆｘ轴为极轴，建立极坐标
系，则该抛物线的极坐标方程为ｐ
忐，舶＝忐，所以ＡＢ＝ｍ＋加＝ｒ二羔忑＝
２丁—二鼍面由条件可设，ｍ。
÷８１ｎ｝．借助定理可得：Ａ面Ｂ＝２，所以即＝扣曰＝＿ｓｉｎ｝ｏｔ；即
ＦＰｓｉｎ２ｎ＝Ｐ，因此ＦＰ—ＦＰｃｏｓ２ａ＝２ＦＰｓｉｎ２ａ＝２ｐ＝８（定值）．
案例二
在圆锥曲线中，我们也经常遇到一些过焦点或过
中心的弦，这些弦相互之间成定角，如垂直，或者是将周角０或周角Ｆ几等分，从而使得其中蕴藏着一尴有趣的结论．
例２（２０１４年南通期末）在平面‘，
，、曼一
直角坐标系ｘＯｙ中，设椭圆Ｃ的中心在原点，焦点在并轴上，短半轴长为２，椭八辩。
圆ｃ上的点到右焦点的距离的最小值为√５—１．（１）求椭圆Ｃ的方程；（２）设＼７／ｊ
直线Ｚ与椭圆Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，且
图２
・５・
ｐ＝南，ｉ殳Ａ（ｐ－，口），曰（ｐｚ，１Ｔ＋ｐ），贝ｏＰ，＝忐，Ｐｚ＝
／＿ＡＯＢ
２手①求证：原点Ｄ到直线Ａ曰的距离为定值；②求Ａ曰
的最小值．
分析：本题第一小问难度不大，可以快速得到椭圆的标准
方程是等＋予＝１．而第二小问的解法也比较多，可以选择直
线ＯＡ的斜率为参数，表示原点０到直线ＡＢ的距离和ＡＢ的长，通过计算得出结论；也可以直接设直线ＡＢ的方程求解；这些解法主要问题是字母多、运算量有些大．但若是联想到极坐标的角度和极径的关系，那么解决此例就更为简便．
解：（２）以坐标原点为极点，戈轴的正半轴为极轴，建立极坐
标系，设椭圆上任一点为Ｐ（ｐ，口），则ｐ２＝五ｉ万２＿０丽，不妨
设点Ａ（Ｐｌｃｏｓ０，ｐｔｓｉｎ目），则点Ｂ为（ｐ２ｃ。８（ｐ＋詈），／７２ｓｌ‘ｎ（一＋
÷）），即曰（一ｐ２ｓｉｎ０，Ｐ２ｃｏｓＯ），
则有ｐ；＝蕊万２丽Ｏ，ｐ：２＝石万２丽０
因为ｄ２＝考％２ｐｌ十
’所以÷了虿ｄ
Ｐｌｐ２
＝堑莲铲＋
“
４．．．．ｓ．．ｉ．．ｎ．．．２．．．０．．．．．．＋．．．．．５．．．ｃ．．．ｏ．．．ｓ．．２—０—．．．．９．——
２０。。２０‘
所以ｄ＝学，故原点Ｄ到直线Ａ曰的距离为定值学
（酗铲＝ｐ；＋厦＝２０‘磊磊忐＋石孑了≯１丽）
令ｍ＝４ｃｏｓ２０＋５ｓｉｎ２０，ｎ＝４ｓｉｎ２０＋５ｃｏｓ２０，由于ｍ＋ｒ／，＝
９．
所以Ａ铲＝２０（１ｍ＋÷）＝２０（１＋÷’可１（ｍ＋ｎ）＝
ｍ
乃
ｎ
ｙ
等（２＋詈＋詈）≥等
所以ＡＢ的最小值为箪．
规律探秘：如果我们将此例从特殊推广到一般，类比、拓广、延伸，挖掘潜在条件，我们就会发现如下性质：
性质２：已知椭圆冬＋鲁＝ｌ（ａ＞ｂ＞ｏ），动直线ｚ交椭圆
于Ａ，Ｂ两点，且ＯＡ上ＯＢ，则原点０到直线ＡＢ的距离为定值
—＝拿竺亍（证明可仿照上述例题完成）
ａ２
Ｊ．ｂ２
推论１：已知双曲线与一鲁＝１（６＞口＞０），动直线ｌ交
口
Ｄ
双曲线于Ａ，Ｂ两点，且ＯＡ上ＯＢ，则原点０到直线ＡＢ的距离为
定值考弓
．６．
万方数据
虽然在满足上述条件的抛物线中，原点０到直线ＡＢ的距离不是定值，但是我们探究发现原点０在直线ＡＢ上的射影的轨迹
是个定圆．结合性质２及推论１，所以我们又可以得到：
定理２：在圆锥曲线上任取两点Ｐ，Ｑ，使得ＯＰ上ＯＱ（０为坐
标原点），则原点０在直线ＰＱ上的射影的轨迹一定是个定圆．以焦点在并轴为例，当曲线是椭圆时，其轨迹方程戈２＋ｙ２＝
≯竿萨５当曲线是双曲线时，其轨迹方程是茹２＋ｙ２＝鲁０兰孑５当
ｎ
十Ｄ
—ｏ
曲线是开口向右的抛物线时，其轨迹方程为（菇一ｐ）２＋ｙ２＝Ｐ２．
［链接］例４（２０１２年上海）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，已
知双曲线ＣＩ：２ｘ２一），２＝１，（１）过Ｃｌ的左顶点引Ｃ１的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及茹轴围成的三角形的面积；（２）设斜率为１的直线Ｚ交Ｃ。于Ｐ、Ｑ两点，若Ｚ与圆菇２＋
Ｙ２＝１相切，求证：ＤＰ上ＯＱ；（３）设椭圆ｃ２：４省２＋ｙ２＝１，若』Ｉｆ、Ⅳ分别是Ｃ１、Ｃ２上的动点，且ＯＭ上ＯＮ，求＂ｂＸ：Ｏ到直线Ａ曰的距离是定值．
本题第（２）问就可以用上面的定理来解决，而第（３）问则把椭圆与双曲线有机地融合在一起，进一步衍变为一个相似问
题．类似变化问题在近几年各地的高考题中也都有出现，如０９年北京卷理１９，１０年陕西卷２０，有兴趣的读者可以用这些性质
尝试解决．
正如著名数学教育家波利亚所说那样，好问题同种蘑菇类似，它们都是成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很有可能附近就有好几个．如果对性质２作更深入的探究，
我们也会得到如下美妙的结论．
推论２：已知椭圆鲁＋告＝１（口＞ｂ＞ｏ）上三点Ｐ，，Ｐ２，
Ｐ３，且ｏＰｌ，ＯＰ２，ｏＰ３互成１２００角，则去＋去＋壶为定值
三，上．上、
２、ｎ２’ｂ２
７‘
推论３：已知椭圆与＋告＝ｌ（口＞ｂ＞ｏ）上ｎ个点Ｐ，，Ｐ２，
…，Ｐｎ，且ｏＰ－，ｏＰ２，…，ＯＰｎ将周角０分成ｎ等分角，则壶＋
壶＋…＋壶为定值・
如果将坐标原点改为焦点，也可以得到很多相似性质，限于篇幅，就不再一一赘述．总之，在平常教学过程中，只要我们
积极探究，善于发现，就能把一些考题中所蕴藏的一般规律揭
示出来，在此基础上，加以整理，拓广，引申，变式，让学生领略其中蕴含着的真谛，享受其中的分析过程、思考过程、探究过程，使学生处理类似问题时，就能如鱼得水，得心应手．
［江苏省扬中市新坝中学（２１２２１１）］
萄穗黼
巧用极坐标揭秘圆锥曲线性质
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
梅静， 宗洪春
江苏省扬中市新坝中学 212211数理化学习（高一二版）
SHU-LI-HUA XUEXI(GAO YI.ER BAN)2014(7)
引用本文格式：梅静.宗洪春 巧用极坐标揭秘圆锥曲线性质[期刊论文]-数理化学习（高一二版） 2014(7)