高中文科数学 导数（陈文彬）
导数的定义：导数的定义及几何意思和函数单调性的应用判定以及函数的几只问题。
当自变量的增量Δx ＝x －x0，Δx →0时函数增量Δy ＝f （x ）－ f （x0）与自变量增量之比的极限存在且有限, 就说函数f 在x0点可导，称之为f 在x0点的导数（或变化率).
函数y ＝f （x ）在x0点的导数f' （x0）的几何意义：表示函数曲线在P0［x0，f （x0）］ 点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。 一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性（单调性) 的法则：设y ＝f(x )在（a ，b ）内可导。如果在（a ，b ）内，f' （x ）>0,则f （x ）在这个区间是单调增加的（该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状）。如果在（a ，b ）内，f' （x ）
函数y =f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x )) 处的切线的斜率，也就是说，曲线y =f (x ) 在点P (x 0, f (x )) 处的切线的斜率是f ' (x 0) ，切线方程为y -y 0=f ' (x )(x -x 0).
2. 导数的四则运算法则：
(u ±v ) ' =u ' ±v ' ⇒y =f 1(x ) +f 2(x ) +... +f n (x ) ⇒y ' =f 1' (x ) +f 2' (x ) +... +f n ' (x )
(uv ) ' =vu ' +v ' u ⇒(cv ) ' =c ' v +cv ' =cv ' （c 为常数）
vu ' -v ' u ⎛u ⎫
(v ≠0) ⎪=
v 2⎝v ⎭
'
3. 常见基本初等函数的导数公式
C ' =0（C 为常数）
(x n )' =nx n -1, n ∈Q *;
(cosx )' =-sin x ;
(sinx )' =cos x ;
(e x )' =e x ;
导数定义
1
(a x )' =a x ln a (a >0, a ≠1); (lnx )' =;
x
⎧x 2
例1．y =f (x ) =⎨
⎩ax +b ⎧x 2
思路：y =f (x ) =⎨
⎩ax +b
x →1+
x ≤1
在x =1处可导，则a = b = x >1
x ≤1
在x =1处可导，必连续lim f (x ) =1
x →1x >1
-
lim f (x ) =a +b f (1) =1 ∴ a +b =1
∆x →0
lim -
∆y ∆y =2 lim +=a ∴ a =2 b =-1
∆x →0∆x ∆x
例2．已知f(x)在x=a处可导，且f ′(a)=b，求下列极限：
f (a +h 2) -f (a ) f (a +3h ) -f (a -h )
（1）lim ； （2）lim
∆h →0∆h →02h h
例3．观察(x n ) '=nx n -1，(sinx ) '=cos x ，(cosx ) '=-sin x ，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。
令
是可导的偶函数，且令
，即
的导数为奇函数。
利用导数证明不等式
例4．求证下列不等式
。因为
，所以
，
两边同时导得
是奇函数，即可导的偶函数
x 2x 2
（1）x - x ∈(0, +∞) （相减）
22(1+x )
（2）sin x >
2x
π
x ∈(0,
π
2
) （相除）
（3）x -sin x
π
2
)
x 21x 2-1
) f (0) =0 f '(x ) =-1+x =>0 证：（1）f (x ) =ln(1+x ) -(x -21+x x +1
∴ y =f (x ) 为(0, +∞) 上↑ ∴ x ∈(0, +∞) f (x ) >0 恒成立
x 2x 2
∴ ln(1+x ) >x - g (x ) =x --ln(1+x ) g (0) =0
22(1+x )
4x 2+4x -2x 212x 2
g '(x ) =1--=>0
1+x 4(1+x 2) 4(1+x ) 2
x 2
∴ g (x ) 在(0, +∞) 上↑ ∴ x ∈(0, +∞) x --ln(1+x ) >0恒成立
2(1+x )
例5. 已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,
(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设0
a +b
)
利用导数求和
例6．利用导数求和： （1）（2）
； 。
分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式(x n )' =nx n -1，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。
解：（1）当x=1时，
；
当x ≠1时，
，
两边都是关于x 的函数，求导得
即
（2）∵
两边都是关于x 的函数，求导得令x=1得
，即
，
。
。
导数的应用
函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数y =f (x ) 在某个区间内可导， 如果f ' (x ) ＞0，则y =f (x ) 为增函数； 如果f ' (x ) ＜0，则y =f (x ) 为减函数. ⑵常数的判定方法；
如果函数y =f (x ) 在区间I 内恒有f ' (x ) =0，则y =f (x ) 为常数.
单调区间讨论
例7．设a >0，求函数f (x ) =
x -ln(x +a )(x ∈(0, +∞) 的单调区间.
分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.
11
解：f '(x ) =-(x >0) .
2x x +a
当a >0, x >0时 f '(x ) >0⇔x 2+(2a -4) x +a 2>0.
f '(x )
（i ）当a >1时，对所有x >0，有x 2+(2a -4) +a 2>0. 即f '(x ) >0，此时f (x ) 在(0, +∞) 内单调递增.
22
（ii ）当a =1时，对x ≠1，有x +(2a -4) x +a >0，
即f '(x ) >0，此时f (x ) 在（0，1）内单调递增，又知函数f (x ) 在x=1处连续，因此， 函数f (x ) 在（0，+∞）内单调递增
22
（iii ）当00，即x +(2a -4) x +a >0.
解得x 2-a +2-a .
因此，函数f (x ) 在区间(0, 2-a -2-a ) 内单调递增，在区间(2-a +2-a , +∞) 内也单调递增.
令f '(x )
2
2
2
+a (2-ln x ),(a >0) ，讨论f (x ) 的单调性. x
13
ax +bx 2+x +3, 其中a ≠0（1）当a , b 满足什么条件时, f (x ) 取3
得极值? （2）已知a >0, 且f (x ) 在区间(0,1]上单调递增, 试用a 表示出b 的取值范围. 极值的判别方法：
（极值是在x 0附近所有的点，都有f (x ) ＜f (x 0) ，则f (x 0) 是函数f (x ) 的极大值，极小值同理）
当函数f (x ) 在点x 0处连续时，
①如果在x 0附近的左侧f ' (x ) ＞0，右侧f ' (x ) ＜0，那么f (x 0) 是极大值；
②如果在x 0附近的左侧f ' (x ) ＜0，右侧f ' (x ) ＞0，那么f (x 0) 是极小值.
也就是说
x 是极值点的充分条件是x 点两侧导数异号，而不是f ' (x ) ①
0于可导函数，其一点x 0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
例如：函数y =f (x ) =x 3，x =0使f ' (x ) =0，但x =0不是极值点.
②例如：函数y =f (x ) =|x |，在点x =0处不可导，但点x =0是函数的极小值点.
求函数极值的步骤 ①确定函数的定义域； ②求导数； ③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根； ④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
极值与最值区别
：
极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 函数的最值
(1)如果f(x)在［a,b ］上的最大值（或最小值）是在(a，b) 内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在(a，b) 内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在［a ，b ］的端点a 或b 处取得，极值与最值是两个不同的概念．
(2)求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f(x)在(a，b) 内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 分离常数
例10. 已知函数f (x ) =x ln x （. Ⅰ）求f (x ) 的最小值；（Ⅱ）若对所有x ≥1都有f (x ) ≥ax -1，求实数a 的取值范围.
解：f (x ) 的定义域为(0，+∞) ， f (x ) 的导数f '(x ) =1+ln x . 令f '(x ) >0，解得
11⎛1⎫⎛1⎫
x >；令f '(x )
e e ⎝e ⎭⎝e ⎭
11
增. 所以，当x =时，f (x ) 取得最小值-.
e e
（Ⅱ）解法一：令g (x ) =f (x ) -(ax -1) ，则g '(x ) =f '(x ) -a =1-a +ln x ，
错误！未找到引用源。 若a ≤1，当x >1时，g '(x ) =1-a +ln x >1-a ≥0，
a x -1. ，+∞) 上为增函数，故g (x ) 在(1所以，x ≥1时，g (x ) ≥g (1)=1-a ≥0，即f (x ) ≥
错误！未找到引用源。 若a >1，方程g '(x ) =0的根为 x 0=e
a -1
，此时，若x ∈(1，x 0) ，
则g '(x )
f (x )
+∞) 上恒成立，解法二：依题意，得f (x ) ≥ax -1在[1，即不等式a ≤ln x +
恒成立 . 令g (x ) =ln x +
1
，+∞) 对于x ∈[1
x
1111⎛1⎫
， 则g '(x ) =-2= 1-⎪. 当x >1时，因为x x x x ⎝x ⎭
1⎛1⎫
g '(x ) = 1-⎪>0，
x ⎝x ⎭
+∞) 上的增函数， 所以 g (x ) 的最小值是g (1)=1，所以a 的取值范围是故g (x ) 是(1，
(-∞，1].
a
例11. 已知函数f (x ) =ln x , g (x ) =(a >0) , 设F (x ) =f (x ) +g (x ) ．（Ⅰ）求函数F (x )
x
的单调区间；（Ⅱ）若以函数y =F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0, y 0) 为切点的切线
的斜率k ≤
1
恒成立，求实数a 的最小值；2
求取值范围
例13设函数f (x ) =x -
3
92
x +6x -a ．（1）对于任意实数x ，f '(x ) ≥m 恒成立，求m 2
的最大值；（2）若方程f (x ) =0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．
解析 (1) f (x ) =3x -9x +6=3(x -1)(x -2) , 因为x ∈(-∞, +∞) , f (x ) ≥m , 即
'
2
'
3
3x 2-9x +(6-m ) ≥0恒成立, 所以 ∆=81-12(6-m ) ≤0, 得m ≤-，即m 的最大值
4
3为-
4
' ' '
(2) 因为 当x 0; 当12时, f (x ) >0;
所以 当x =1时, f (x ) 取极大值 f (1)=
5
-a ; 2
当x =2时, f (x ) 取极小值
f (2)=2-a ;
故当f (2)>0 或f (1)例13设函数f (x ) =-
5. 2
13
x +x 2+(m 2-1) x , (x ∈R , ) 其中m >0（Ⅰ）当m =1时，曲线3
处的切线斜率（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；（Ⅲ）已知函y =f (x ) 在点（1，f （1））数f (x ) 有三个互不相同的零点0，且x 1f (1) x 1, x 2，恒成立，求m 的取值范围。
导数与数列
例14已知函数f (x ) =x 2+x -1，α, β是方程f (x)=0的两个根(α>β) ，f '(x ) 是f (x)的导数；设a 1=1，a n +1=a n -
f (a n )
（n=1,2,„„） f '(a n )
（1）求α, β的值；
（2）证明：对任意的正整数n ，都有a n >a； （3）记b n =ln
a n -β
（n=1,2,„„），求数列{bn }的前n 项和S n 。 a n -a
解析：（1）∵f (x ) =x 2+x -1，α, β是方程f (x)=0的两个根(α>β) ，
∴α β115
a n (2a n +1) +(2a n +1) -
a +a n -1 =a n -=a n -2a n +12a n +1
2n
（2）f '(x ) =2x +1，a n +1
5=(2a n +1) +
14
1，∵a 1=1，
∴有基本不等式可知a 2≥>
0（当且仅当a 1
2a n +12-
，„„，a n =α（n=1,2,„„）， >
0同，样a 3>
(a -α)(a n -β) a n -β
=(a n +1+α) ，而α+β=-1，即α+1=-β， （3）a n +1-β=a n -β-n
2a n +12a n +1
时取等号），∴a 2>
(a n -β) 2(a n -α) 21-βa n +1-β=n =l n =l n ，同理a n +1-α=，b n +1=2b n ，
又b 1=l
2a n +12a n +11-α
S n =2(2n -导数与解析几何
32
例15. 已知函数f (x ) =x +(1-a ) x -a (a +2) x +b (a , b ∈R ) ．
（I ）若函数f (x ) 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a , b 的值； （II ）若函数f (x ) 在区间(-1,1) 上不单调，求a 的取值范围． ．．．
解析 （Ⅰ）由题意得f '(x ) =3x 2+2(1-a ) x -a (a +2)
f (0) =b =0⎧ 又⎨ ，解得b =0，a =-3或a =1
'f (0) =-a (a +2) =-3⎩
（Ⅱ）函数f (x ) 在区间(-1, 1) 不单调，等价于
导函数f '(x ) 在(-1, 1) 既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数f '(x ) 在(-1, 1) 上存在零点，根据零点存在定理，有
f '(-1) f '(1) 例16已知a 是实数，函数f (x )=2ax 2+2x -3-a ，如果函数y =f (x )在区间[-1, 1]上有零点，求a 的取值范围.
解：若a =0 , f (x ) =2x -3 ,显然在[-1, 1]上没有零点, 所以 a ≠0. 令 ∆=4+8a (3+a )=8a 2+24a +4=0, 解得
a =
①当
a =
-3时, y =f (x )恰有一个零点在[-1,1]上; 2
②当f (-1)⋅f (1)=(a -1)(a -5)[-1,1]上也恰有一个零点.
③当y =f (x )在[-1,1]上有两个零点时, 则
a
a >0⎪∆=8a 2+24a +4>0⎧
⎪∆=8a 2+24a +4>0⎪
⎪ 或⎪ 1
⎪1-1
f (1)≤0⎪f (1)≥0⎪
⎪⎪f (-1)≤0f (-1)≥0⎩⎩
解得a ≥
5或a
-3 2
综上所求实数a 的取值范围是 a >1 或
a ≤
-3 . 2
4， 3
例17 若函数f (x ) =ax 3-bx +4，当x =2时，函数f (x ) 有极值-
（1） 求函数的解析式；（2）若函数f (x ) =k 有3个解，求实数k 的取值范围． 例18已知函数．f (x ) =2x 3+ax 与g (x ) =bx 2+cx 的图象都过点P(2，0) ，且在点P 处有公共切线．
(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P 处的公切线方程； (2)设F (x ) =
mg (x )
+ln(x -1) ，其中m
高中文科数学 导数（陈文彬）
导数的定义：导数的定义及几何意思和函数单调性的应用判定以及函数的几只问题。
当自变量的增量Δx ＝x －x0，Δx →0时函数增量Δy ＝f （x ）－ f （x0）与自变量增量之比的极限存在且有限, 就说函数f 在x0点可导，称之为f 在x0点的导数（或变化率).
函数y ＝f （x ）在x0点的导数f' （x0）的几何意义：表示函数曲线在P0［x0，f （x0）］ 点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。 一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性（单调性) 的法则：设y ＝f(x )在（a ，b ）内可导。如果在（a ，b ）内，f' （x ）>0,则f （x ）在这个区间是单调增加的（该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状）。如果在（a ，b ）内，f' （x ）
函数y =f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x )) 处的切线的斜率，也就是说，曲线y =f (x ) 在点P (x 0, f (x )) 处的切线的斜率是f ' (x 0) ，切线方程为y -y 0=f ' (x )(x -x 0).
2. 导数的四则运算法则：
(u ±v ) ' =u ' ±v ' ⇒y =f 1(x ) +f 2(x ) +... +f n (x ) ⇒y ' =f 1' (x ) +f 2' (x ) +... +f n ' (x )
(uv ) ' =vu ' +v ' u ⇒(cv ) ' =c ' v +cv ' =cv ' （c 为常数）
vu ' -v ' u ⎛u ⎫
(v ≠0) ⎪=
v 2⎝v ⎭
'
3. 常见基本初等函数的导数公式
C ' =0（C 为常数）
(x n )' =nx n -1, n ∈Q *;
(cosx )' =-sin x ;
(sinx )' =cos x ;
(e x )' =e x ;
导数定义
1
(a x )' =a x ln a (a >0, a ≠1); (lnx )' =;
x
⎧x 2
例1．y =f (x ) =⎨
⎩ax +b ⎧x 2
思路：y =f (x ) =⎨
⎩ax +b
x →1+
x ≤1
在x =1处可导，则a = b = x >1
x ≤1
在x =1处可导，必连续lim f (x ) =1
x →1x >1
-
lim f (x ) =a +b f (1) =1 ∴ a +b =1
∆x →0
lim -
∆y ∆y =2 lim +=a ∴ a =2 b =-1
∆x →0∆x ∆x
例2．已知f(x)在x=a处可导，且f ′(a)=b，求下列极限：
f (a +h 2) -f (a ) f (a +3h ) -f (a -h )
（1）lim ； （2）lim
∆h →0∆h →02h h
例3．观察(x n ) '=nx n -1，(sinx ) '=cos x ，(cosx ) '=-sin x ，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。
令
是可导的偶函数，且令
，即
的导数为奇函数。
利用导数证明不等式
例4．求证下列不等式
。因为
，所以
，
两边同时导得
是奇函数，即可导的偶函数
x 2x 2
（1）x - x ∈(0, +∞) （相减）
22(1+x )
（2）sin x >
2x
π
x ∈(0,
π
2
) （相除）
（3）x -sin x
π
2
)
x 21x 2-1
) f (0) =0 f '(x ) =-1+x =>0 证：（1）f (x ) =ln(1+x ) -(x -21+x x +1
∴ y =f (x ) 为(0, +∞) 上↑ ∴ x ∈(0, +∞) f (x ) >0 恒成立
x 2x 2
∴ ln(1+x ) >x - g (x ) =x --ln(1+x ) g (0) =0
22(1+x )
4x 2+4x -2x 212x 2
g '(x ) =1--=>0
1+x 4(1+x 2) 4(1+x ) 2
x 2
∴ g (x ) 在(0, +∞) 上↑ ∴ x ∈(0, +∞) x --ln(1+x ) >0恒成立
2(1+x )
例5. 已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,
(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设0
a +b
)
利用导数求和
例6．利用导数求和： （1）（2）
； 。
分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式(x n )' =nx n -1，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。
解：（1）当x=1时，
；
当x ≠1时，
，
两边都是关于x 的函数，求导得
即
（2）∵
两边都是关于x 的函数，求导得令x=1得
，即
，
。
。
导数的应用
函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数y =f (x ) 在某个区间内可导， 如果f ' (x ) ＞0，则y =f (x ) 为增函数； 如果f ' (x ) ＜0，则y =f (x ) 为减函数. ⑵常数的判定方法；
如果函数y =f (x ) 在区间I 内恒有f ' (x ) =0，则y =f (x ) 为常数.
单调区间讨论
例7．设a >0，求函数f (x ) =
x -ln(x +a )(x ∈(0, +∞) 的单调区间.
分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.
11
解：f '(x ) =-(x >0) .
2x x +a
当a >0, x >0时 f '(x ) >0⇔x 2+(2a -4) x +a 2>0.
f '(x )
（i ）当a >1时，对所有x >0，有x 2+(2a -4) +a 2>0. 即f '(x ) >0，此时f (x ) 在(0, +∞) 内单调递增.
22
（ii ）当a =1时，对x ≠1，有x +(2a -4) x +a >0，
即f '(x ) >0，此时f (x ) 在（0，1）内单调递增，又知函数f (x ) 在x=1处连续，因此， 函数f (x ) 在（0，+∞）内单调递增
22
（iii ）当00，即x +(2a -4) x +a >0.
解得x 2-a +2-a .
因此，函数f (x ) 在区间(0, 2-a -2-a ) 内单调递增，在区间(2-a +2-a , +∞) 内也单调递增.
令f '(x )
2
2
2
+a (2-ln x ),(a >0) ，讨论f (x ) 的单调性. x
13
ax +bx 2+x +3, 其中a ≠0（1）当a , b 满足什么条件时, f (x ) 取3
得极值? （2）已知a >0, 且f (x ) 在区间(0,1]上单调递增, 试用a 表示出b 的取值范围. 极值的判别方法：
（极值是在x 0附近所有的点，都有f (x ) ＜f (x 0) ，则f (x 0) 是函数f (x ) 的极大值，极小值同理）
当函数f (x ) 在点x 0处连续时，
①如果在x 0附近的左侧f ' (x ) ＞0，右侧f ' (x ) ＜0，那么f (x 0) 是极大值；
②如果在x 0附近的左侧f ' (x ) ＜0，右侧f ' (x ) ＞0，那么f (x 0) 是极小值.
也就是说
x 是极值点的充分条件是x 点两侧导数异号，而不是f ' (x ) ①
0于可导函数，其一点x 0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
例如：函数y =f (x ) =x 3，x =0使f ' (x ) =0，但x =0不是极值点.
②例如：函数y =f (x ) =|x |，在点x =0处不可导，但点x =0是函数的极小值点.
求函数极值的步骤 ①确定函数的定义域； ②求导数； ③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根； ④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
极值与最值区别
：
极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 函数的最值
(1)如果f(x)在［a,b ］上的最大值（或最小值）是在(a，b) 内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在(a，b) 内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在［a ，b ］的端点a 或b 处取得，极值与最值是两个不同的概念．
(2)求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f(x)在(a，b) 内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 分离常数
例10. 已知函数f (x ) =x ln x （. Ⅰ）求f (x ) 的最小值；（Ⅱ）若对所有x ≥1都有f (x ) ≥ax -1，求实数a 的取值范围.
解：f (x ) 的定义域为(0，+∞) ， f (x ) 的导数f '(x ) =1+ln x . 令f '(x ) >0，解得
11⎛1⎫⎛1⎫
x >；令f '(x )
e e ⎝e ⎭⎝e ⎭
11
增. 所以，当x =时，f (x ) 取得最小值-.
e e
（Ⅱ）解法一：令g (x ) =f (x ) -(ax -1) ，则g '(x ) =f '(x ) -a =1-a +ln x ，
错误！未找到引用源。 若a ≤1，当x >1时，g '(x ) =1-a +ln x >1-a ≥0，
a x -1. ，+∞) 上为增函数，故g (x ) 在(1所以，x ≥1时，g (x ) ≥g (1)=1-a ≥0，即f (x ) ≥
错误！未找到引用源。 若a >1，方程g '(x ) =0的根为 x 0=e
a -1
，此时，若x ∈(1，x 0) ，
则g '(x )
f (x )
+∞) 上恒成立，解法二：依题意，得f (x ) ≥ax -1在[1，即不等式a ≤ln x +
恒成立 . 令g (x ) =ln x +
1
，+∞) 对于x ∈[1
x
1111⎛1⎫
， 则g '(x ) =-2= 1-⎪. 当x >1时，因为x x x x ⎝x ⎭
1⎛1⎫
g '(x ) = 1-⎪>0，
x ⎝x ⎭
+∞) 上的增函数， 所以 g (x ) 的最小值是g (1)=1，所以a 的取值范围是故g (x ) 是(1，
(-∞，1].
a
例11. 已知函数f (x ) =ln x , g (x ) =(a >0) , 设F (x ) =f (x ) +g (x ) ．（Ⅰ）求函数F (x )
x
的单调区间；（Ⅱ）若以函数y =F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0, y 0) 为切点的切线
的斜率k ≤
1
恒成立，求实数a 的最小值；2
求取值范围
例13设函数f (x ) =x -
3
92
x +6x -a ．（1）对于任意实数x ，f '(x ) ≥m 恒成立，求m 2
的最大值；（2）若方程f (x ) =0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．
解析 (1) f (x ) =3x -9x +6=3(x -1)(x -2) , 因为x ∈(-∞, +∞) , f (x ) ≥m , 即
'
2
'
3
3x 2-9x +(6-m ) ≥0恒成立, 所以 ∆=81-12(6-m ) ≤0, 得m ≤-，即m 的最大值
4
3为-
4
' ' '
(2) 因为 当x 0; 当12时, f (x ) >0;
所以 当x =1时, f (x ) 取极大值 f (1)=
5
-a ; 2
当x =2时, f (x ) 取极小值
f (2)=2-a ;
故当f (2)>0 或f (1)例13设函数f (x ) =-
5. 2
13
x +x 2+(m 2-1) x , (x ∈R , ) 其中m >0（Ⅰ）当m =1时，曲线3
处的切线斜率（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；（Ⅲ）已知函y =f (x ) 在点（1，f （1））数f (x ) 有三个互不相同的零点0，且x 1f (1) x 1, x 2，恒成立，求m 的取值范围。
导数与数列
例14已知函数f (x ) =x 2+x -1，α, β是方程f (x)=0的两个根(α>β) ，f '(x ) 是f (x)的导数；设a 1=1，a n +1=a n -
f (a n )
（n=1,2,„„） f '(a n )
（1）求α, β的值；
（2）证明：对任意的正整数n ，都有a n >a； （3）记b n =ln
a n -β
（n=1,2,„„），求数列{bn }的前n 项和S n 。 a n -a
解析：（1）∵f (x ) =x 2+x -1，α, β是方程f (x)=0的两个根(α>β) ，
∴α β115
a n (2a n +1) +(2a n +1) -
a +a n -1 =a n -=a n -2a n +12a n +1
2n
（2）f '(x ) =2x +1，a n +1
5=(2a n +1) +
14
1，∵a 1=1，
∴有基本不等式可知a 2≥>
0（当且仅当a 1
2a n +12-
，„„，a n =α（n=1,2,„„）， >
0同，样a 3>
(a -α)(a n -β) a n -β
=(a n +1+α) ，而α+β=-1，即α+1=-β， （3）a n +1-β=a n -β-n
2a n +12a n +1
时取等号），∴a 2>
(a n -β) 2(a n -α) 21-βa n +1-β=n =l n =l n ，同理a n +1-α=，b n +1=2b n ，
又b 1=l
2a n +12a n +11-α
S n =2(2n -导数与解析几何
32
例15. 已知函数f (x ) =x +(1-a ) x -a (a +2) x +b (a , b ∈R ) ．
（I ）若函数f (x ) 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a , b 的值； （II ）若函数f (x ) 在区间(-1,1) 上不单调，求a 的取值范围． ．．．
解析 （Ⅰ）由题意得f '(x ) =3x 2+2(1-a ) x -a (a +2)
f (0) =b =0⎧ 又⎨ ，解得b =0，a =-3或a =1
'f (0) =-a (a +2) =-3⎩
（Ⅱ）函数f (x ) 在区间(-1, 1) 不单调，等价于
导函数f '(x ) 在(-1, 1) 既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数f '(x ) 在(-1, 1) 上存在零点，根据零点存在定理，有
f '(-1) f '(1) 例16已知a 是实数，函数f (x )=2ax 2+2x -3-a ，如果函数y =f (x )在区间[-1, 1]上有零点，求a 的取值范围.
解：若a =0 , f (x ) =2x -3 ,显然在[-1, 1]上没有零点, 所以 a ≠0. 令 ∆=4+8a (3+a )=8a 2+24a +4=0, 解得
a =
①当
a =
-3时, y =f (x )恰有一个零点在[-1,1]上; 2
②当f (-1)⋅f (1)=(a -1)(a -5)[-1,1]上也恰有一个零点.
③当y =f (x )在[-1,1]上有两个零点时, 则
a
a >0⎪∆=8a 2+24a +4>0⎧
⎪∆=8a 2+24a +4>0⎪
⎪ 或⎪ 1
⎪1-1
f (1)≤0⎪f (1)≥0⎪
⎪⎪f (-1)≤0f (-1)≥0⎩⎩
解得a ≥
5或a
-3 2
综上所求实数a 的取值范围是 a >1 或
a ≤
-3 . 2
4， 3
例17 若函数f (x ) =ax 3-bx +4，当x =2时，函数f (x ) 有极值-
（1） 求函数的解析式；（2）若函数f (x ) =k 有3个解，求实数k 的取值范围． 例18已知函数．f (x ) =2x 3+ax 与g (x ) =bx 2+cx 的图象都过点P(2，0) ，且在点P 处有公共切线．
(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P 处的公切线方程； (2)设F (x ) =
mg (x )
+ln(x -1) ，其中m