第一讲 椭圆和双曲线
【知识要点归纳】
一、椭圆和双曲线的基础知识总结
【经典例题】 例1：解下列椭圆问题
（1）如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是
（2）已知F 1、F 2
x 2y 2
是椭圆+=1的两个焦点过
169
F 1的直线与椭圆
交与M 、N 两点。则△MNF 2的周长是（ ）
A . 8 B . 16 C . 25 D . 32
例2：解下列双曲线问题
（1）双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（ ） A. -
14
B . -4 C . 4 D
14
x 2
（2）过点（2，-2）且与双曲线-y 2=1有公共渐近线的双曲线
2
方程是（ ） A.
y 2x 2
-=1 24
x 2y 2
B. -=1 42
C.
y 2x 2
-=1 42
D.
x 2y 2
-=1 24
（3）设P
x 2y 2
是双曲线2-=1上一点，双曲线的一条渐近线方程
9a
为3x -2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点。若｜PF 1｜=3，则｜PF 2｜等于（ ） A . 1
或
5 B . 6 C . 7 D . 9
例3：解下列椭圆和曲线问题
x 2y 2x 2y 2
+=1（K>9）之间具有的等量（1）曲线+=1与曲线
25925-k 9-k
关系是（ ）
A. 有相等的长、短轴 B. 有相等的焦距 C. 有相等的离心率 D. 有相同的渐进性
x 2y 2
（2）设双曲线与椭圆+=1有共同的焦点，且与椭圆相交，
2736
一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程。
例4：解下列问题
（1）（2009湖南卷理）已知以双曲线C 的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为
x 2y 2
1a 0, b 0） （2）（2009江西卷文）设F 1和F 2为双曲线2-2=（
a b
的两个焦点，若F 1 、F 2，P （0,2b ）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ） A.
2
3
B . 2 C .
52
D . 3
（3）（08 四川卷11）已知双曲线
x 2y 2
C -=1的左右焦点分别
916
为F 1、F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF2|=|F1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ）
A . 24 B . 36 C . 48 D . 96
例5：解下列问题 （1）（2009
x 2y 2
全国卷文）双曲线-=1的渐近线与圆
63
(x -3)2+y 2=r 2(r 0)相切，则r=
A. B . 2 C . 3 D . 6
x 2y 2
（2）如图，F 1、F 2分别是双曲线2-2=1(a 0, b 0)的两个焦点，
a b
A 和B 是以O 为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为 （ ） A. B. 5 C.
5 2
D. 1+
x 2y 2
是椭圆2+2=1上一点，F 1、
2516
（3）（2010北京一模14）点P
F 2是椭圆的两个焦点，且△PF 1F 2的内切圆半径为1，当P 在第一象限时，P 点的纵坐标为
【课堂练习】
x 2y 2
1. 双曲线的方程是-=1，则它的两个焦点坐标为（
106
）
A. （±2,0） B. （±4,0） C. （0，±2） D. （0，±4） 2. 已知方程ax 2-ay 2=b ，若实数a , b 异号，则它的图像是（ ） A. 椭圆，焦点在x 轴上 B. 双曲线，焦点在x 轴上 C. 椭圆，焦点在x 轴上 D. 双曲线，焦点在y 轴上
x 2y 2x 2y 2
3. 椭圆+2=1和双曲线2-=1有相同的焦点，则实数
34n 16n
n 的值
是（ ）
A. ±5 B. ±3 C. 5 D. 9
4. 方程mx 2+ny 2+mn =0（m n 0）所表示的曲线额焦点坐标是（ ）
A. （0，±m -n ） B. （0，±n -m ） C. （±-n ，0） D. （±n -m ，0）
x 2y 2x 2y 2
+=1（m 6）与曲线+=1（5 m 9） 5. 曲线
10-m 6-m 5-m 9-m
的（ ）
A. 焦距相等 B. 离心率相等 C. 焦点相同 D. 渐进线相同
x 2y 2
B. 与双曲线-=1有公共焦点，且过点（32，2）的双曲线方
164
程为
【课堂练习】答案 1.B 2.D 3.B 4.B 5.A
x 2y 2
6. -=1 128
第一讲 椭圆和双曲线
【知识要点归纳】
一、椭圆和双曲线的基础知识总结
【经典例题】 例1：解下列椭圆问题
（1）如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是
（2）已知F 1、F 2
x 2y 2
是椭圆+=1的两个焦点过
169
F 1的直线与椭圆
交与M 、N 两点。则△MNF 2的周长是（ ）
A . 8 B . 16 C . 25 D . 32
例2：解下列双曲线问题
（1）双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（ ） A. -
14
B . -4 C . 4 D
14
x 2
（2）过点（2，-2）且与双曲线-y 2=1有公共渐近线的双曲线
2
方程是（ ） A.
y 2x 2
-=1 24
x 2y 2
B. -=1 42
C.
y 2x 2
-=1 42
D.
x 2y 2
-=1 24
（3）设P
x 2y 2
是双曲线2-=1上一点，双曲线的一条渐近线方程
9a
为3x -2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点。若｜PF 1｜=3，则｜PF 2｜等于（ ） A . 1
或
5 B . 6 C . 7 D . 9
例3：解下列椭圆和曲线问题
x 2y 2x 2y 2
+=1（K>9）之间具有的等量（1）曲线+=1与曲线
25925-k 9-k
关系是（ ）
A. 有相等的长、短轴 B. 有相等的焦距 C. 有相等的离心率 D. 有相同的渐进性
x 2y 2
（2）设双曲线与椭圆+=1有共同的焦点，且与椭圆相交，
2736
一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程。
例4：解下列问题
（1）（2009湖南卷理）已知以双曲线C 的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为
x 2y 2
1a 0, b 0） （2）（2009江西卷文）设F 1和F 2为双曲线2-2=（
a b
的两个焦点，若F 1 、F 2，P （0,2b ）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ） A.
2
3
B . 2 C .
52
D . 3
（3）（08 四川卷11）已知双曲线
x 2y 2
C -=1的左右焦点分别
916
为F 1、F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF2|=|F1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ）
A . 24 B . 36 C . 48 D . 96
例5：解下列问题 （1）（2009
x 2y 2
全国卷文）双曲线-=1的渐近线与圆
63
(x -3)2+y 2=r 2(r 0)相切，则r=
A. B . 2 C . 3 D . 6
x 2y 2
（2）如图，F 1、F 2分别是双曲线2-2=1(a 0, b 0)的两个焦点，
a b
A 和B 是以O 为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为 （ ） A. B. 5 C.
5 2
D. 1+
x 2y 2
是椭圆2+2=1上一点，F 1、
2516
（3）（2010北京一模14）点P
F 2是椭圆的两个焦点，且△PF 1F 2的内切圆半径为1，当P 在第一象限时，P 点的纵坐标为
【课堂练习】
x 2y 2
1. 双曲线的方程是-=1，则它的两个焦点坐标为（
106
）
A. （±2,0） B. （±4,0） C. （0，±2） D. （0，±4） 2. 已知方程ax 2-ay 2=b ，若实数a , b 异号，则它的图像是（ ） A. 椭圆，焦点在x 轴上 B. 双曲线，焦点在x 轴上 C. 椭圆，焦点在x 轴上 D. 双曲线，焦点在y 轴上
x 2y 2x 2y 2
3. 椭圆+2=1和双曲线2-=1有相同的焦点，则实数
34n 16n
n 的值
是（ ）
A. ±5 B. ±3 C. 5 D. 9
4. 方程mx 2+ny 2+mn =0（m n 0）所表示的曲线额焦点坐标是（ ）
A. （0，±m -n ） B. （0，±n -m ） C. （±-n ，0） D. （±n -m ，0）
x 2y 2x 2y 2
+=1（m 6）与曲线+=1（5 m 9） 5. 曲线
10-m 6-m 5-m 9-m
的（ ）
A. 焦距相等 B. 离心率相等 C. 焦点相同 D. 渐进线相同
x 2y 2
B. 与双曲线-=1有公共焦点，且过点（32，2）的双曲线方
164
程为
【课堂练习】答案 1.B 2.D 3.B 4.B 5.A
x 2y 2
6. -=1 128