函数单调性的常用判断方法及应用
湖北麻城：阮 晓 锋
单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常利用它求函数的值域，进而求题中字母或参数的取值范围。那么，有哪些常用的判断函数单调性方法呢？
判断函数单调性的常用方法有：
⑴利yizhi 用增（减）函数的定义进行判断； ⑵利用导数进行判断(本文暂不举例) ； ⑶利用图象进行判断；
⑷利用简单初等函数的单调性结论直接进行判断（含一次函数，二次函数，指数函数， 对数函数，幂函数，三角函数）； ⑸利用一些重要结论进行判断：
①若f(x)在区间D 上是增（或减）函数，则它在D 的任意子区间上也是增(减) 函数； ②f(x)+C与f(x)具有相同的单调性（C 为常数）；
③当C>0（或C
⑥奇函数在关于原点对称的区间上的单调性完全相同，而偶函数则在关于原点对称 的区间上的单调性正好相反。 例1 ⑴若函数f(x)=a
x
2
+x 在（0，+∞）上单调递增，则a 的取值范围为_____;
2⎧⎪x +1, x ≥0, 2
⑵已知函数f(x)=⎨, 则不等式f(1-x )>f(2x)的取值范围为_____。
⎪⎩ 1 , x
解：⑴填[0，+∞），理由如下
①当a=0时显然符合题设要求；
1
，+∞上单调递减，不可能符合题意； 2a 1
③当a>0时，由二次函数单调性知它在[-，+∞）上单调递增 2a
1
则得（0，+∞）⊆[-，+∞） 2a
1
∴得-≤0且a>0解之得a>0 2a
②当a
⑵先画出f(x)的图象，由图象知f(x)在[0，+∞）上单调递增，且当x ≤0时f(x)=0er
22
⎧⎪1-x >0⎧⎪1-x >2x
或⎨ 从而得⎨解之得
⎪⎪⎩2x ≤0⎩2x >0
故本题应填（-1，2-1）
例2：已知函数f(x)=
x x -a
⑴若a=-2，试证：f(x)在(-∞,-2) 内单调递增；
⑵若a>0且f(x)在(1,+∞) 内单调递减，求a 的取值范围。 解：⑴若a=-2,则f(x)= 任取
x x +2
x ，x
11
2є(-∞,-2) ，且使得
x
1
2, 则有
x +2
1
2+2
且
x -x
1
2
f(
x )-f(x
2)=
x 1+2
1
-
x 2+2
2
=
(x 1+2)(x 2+2)
2(1-2)
x )
1
2)
故f(x)在(-∞,-2) 内单调递增。
x a =1+知f(x)在（a,+∞) 内单调递减 x -a x -a
依题意得a>0且(1,+∞) ⊆（a,+∞)
⑵若a>0,则由f(x)=
⎧a >0 ∴⎨解之得0
a ≤1⎩
故此时a 的取值范围为(0,1]. 例3：是否存在实数a ，使得f (x)=
log
a
(ax-2x ) 在区间上是增函数？若存在，求出a
的取值范围；若不存在，试说明理由。
解：由ax -2x >0得x>
4
a
2
, 故原函数的定义域为（
4
a
2
，+∞）。
令t=ax -2x ,x є（
4
a
2
，+∞），则y=f(X)=
2
log
2
a
t
∵t=ax -2x =a
1-1
x -a a
a
2
在x є（
4
a
，+∞）上单调递增
∴依题意得y=
log
4
t 为增函数且t>0对x є（
4
a
2
，+∞）恒成立
⎧a >1⎪
4∴⎨a ⨯-22 ⎪
⎩a
a
2
≥0，解之得a>1
故a 的取值范围为(1,+∞).
练习题：
（3a -1)x +4a, x
x , x ≥1⎪⎩log a
是（ ）
A,（0,1） B.（0,1/3） C.[1/7,1/3） D.（1/7,1） 题2：⑴若y=
log
a
(2-ax) 在[0,1]上单调递减，则a 的取值范围为_____;
⑵若函数f(x)=题3：设f(x)=
ax +2
在(-2,+∞) 上单调递增，则实数a 的取值范围为_____. x +2
x
2
-2ax+2,当x є(-1,+∞) 时f(x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围。
题4：设函数的定义域为R ，当x>0时f(x)>0，且对任意的x,y єR 有f(x+y)=f(x)f(y)，试 解不等式f(x)≤
1
.
f(x +1)
题5：已知函数
f (x)=
2
+2x +a x
，x є[1,+∞)
⑴当a=1/2时，求函数f （x ）的最小值；
⑵若对任意x є[1,+∞),f （x ）>0恒成立，试求实数a 的取值范围。 附答案提示：
题1：选C 题2：⑴(1,2);⑵(1，+∞) 题3：
f
2
⎧⎪2-a , a ≥-1,
(x)min =⎨可得a є[-3,1]
⎪2a +3, a
题4：f(o)=1,f(X)>0恒成立且f(x)在R 上单调递增，可求得解集为（-∞，-
题5：⑴当a=1/2时，f （X ）在[1，+∞）上的最小值为f （1）= ⑵a 的取值范围为（-3，+∞）
1] 2
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函数单调性的常用判断方法及应用
湖北麻城：阮 晓 锋
单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常利用它求函数的值域，进而求题中字母或参数的取值范围。那么，有哪些常用的判断函数单调性方法呢？
判断函数单调性的常用方法有：
⑴利yizhi 用增（减）函数的定义进行判断； ⑵利用导数进行判断(本文暂不举例) ； ⑶利用图象进行判断；
⑷利用简单初等函数的单调性结论直接进行判断（含一次函数，二次函数，指数函数， 对数函数，幂函数，三角函数）； ⑸利用一些重要结论进行判断：
①若f(x)在区间D 上是增（或减）函数，则它在D 的任意子区间上也是增(减) 函数； ②f(x)+C与f(x)具有相同的单调性（C 为常数）；
③当C>0（或C
⑥奇函数在关于原点对称的区间上的单调性完全相同，而偶函数则在关于原点对称 的区间上的单调性正好相反。 例1 ⑴若函数f(x)=a
x
2
+x 在（0，+∞）上单调递增，则a 的取值范围为_____;
2⎧⎪x +1, x ≥0, 2
⑵已知函数f(x)=⎨, 则不等式f(1-x )>f(2x)的取值范围为_____。
⎪⎩ 1 , x
解：⑴填[0，+∞），理由如下
①当a=0时显然符合题设要求；
1
，+∞上单调递减，不可能符合题意； 2a 1
③当a>0时，由二次函数单调性知它在[-，+∞）上单调递增 2a
1
则得（0，+∞）⊆[-，+∞） 2a
1
∴得-≤0且a>0解之得a>0 2a
②当a
⑵先画出f(x)的图象，由图象知f(x)在[0，+∞）上单调递增，且当x ≤0时f(x)=0er
22
⎧⎪1-x >0⎧⎪1-x >2x
或⎨ 从而得⎨解之得
⎪⎪⎩2x ≤0⎩2x >0
故本题应填（-1，2-1）
例2：已知函数f(x)=
x x -a
⑴若a=-2，试证：f(x)在(-∞,-2) 内单调递增；
⑵若a>0且f(x)在(1,+∞) 内单调递减，求a 的取值范围。 解：⑴若a=-2,则f(x)= 任取
x x +2
x ，x
11
2є(-∞,-2) ，且使得
x
1
2, 则有
x +2
1
2+2
且
x -x
1
2
f(
x )-f(x
2)=
x 1+2
1
-
x 2+2
2
=
(x 1+2)(x 2+2)
2(1-2)
x )
1
2)
故f(x)在(-∞,-2) 内单调递增。
x a =1+知f(x)在（a,+∞) 内单调递减 x -a x -a
依题意得a>0且(1,+∞) ⊆（a,+∞)
⑵若a>0,则由f(x)=
⎧a >0 ∴⎨解之得0
a ≤1⎩
故此时a 的取值范围为(0,1]. 例3：是否存在实数a ，使得f (x)=
log
a
(ax-2x ) 在区间上是增函数？若存在，求出a
的取值范围；若不存在，试说明理由。
解：由ax -2x >0得x>
4
a
2
, 故原函数的定义域为（
4
a
2
，+∞）。
令t=ax -2x ,x є（
4
a
2
，+∞），则y=f(X)=
2
log
2
a
t
∵t=ax -2x =a
1-1
x -a a
a
2
在x є（
4
a
，+∞）上单调递增
∴依题意得y=
log
4
t 为增函数且t>0对x є（
4
a
2
，+∞）恒成立
⎧a >1⎪
4∴⎨a ⨯-22 ⎪
⎩a
a
2
≥0，解之得a>1
故a 的取值范围为(1,+∞).
练习题：
（3a -1)x +4a, x
x , x ≥1⎪⎩log a
是（ ）
A,（0,1） B.（0,1/3） C.[1/7,1/3） D.（1/7,1） 题2：⑴若y=
log
a
(2-ax) 在[0,1]上单调递减，则a 的取值范围为_____;
⑵若函数f(x)=题3：设f(x)=
ax +2
在(-2,+∞) 上单调递增，则实数a 的取值范围为_____. x +2
x
2
-2ax+2,当x є(-1,+∞) 时f(x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围。
题4：设函数的定义域为R ，当x>0时f(x)>0，且对任意的x,y єR 有f(x+y)=f(x)f(y)，试 解不等式f(x)≤
1
.
f(x +1)
题5：已知函数
f (x)=
2
+2x +a x
，x є[1,+∞)
⑴当a=1/2时，求函数f （x ）的最小值；
⑵若对任意x є[1,+∞),f （x ）>0恒成立，试求实数a 的取值范围。 附答案提示：
题1：选C 题2：⑴(1,2);⑵(1，+∞) 题3：
f
2
⎧⎪2-a , a ≥-1,
(x)min =⎨可得a є[-3,1]
⎪2a +3, a
题4：f(o)=1,f(X)>0恒成立且f(x)在R 上单调递增，可求得解集为（-∞，-
题5：⑴当a=1/2时，f （X ）在[1，+∞）上的最小值为f （1）= ⑵a 的取值范围为（-3，+∞）
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