３８
数学通报 ２０１６年 第５５卷 第９期
由椭圆中点弦问题引发的研究性学习
赵思林１ 李正泉２
）（四川省内江师范学院数学与信息科学学院 ６四川省内江市一中 ６４１１１２；２．４１１１２１．
＊
数学研究性学习，是指学生在教师的指导下，从数学学科内部或其它领域（包括非数学的学科、自然、社会和生活等）中选择并确定研究性问题，对该问题侧重于数量关系和空间形式方面的探索和研究，并在探索和研究过程中主动地获取数学知识、应用数学知识、解决问题的数学学习活动．当下普遍认为，实施研究性学习的困难主要在于缺乏优秀案例．对此，我们在四川省名师送教下乡活动中曾组织了一堂高三数学研究性学习观摩课，在课后讨论与评课中得到了数百位听课教师的高度评价．该课是由椭圆中点弦问题引发的研究性学习，可作为高三数学研究性学习的一个案例．下面将这次课的实录与部分点评介绍于下．１ 提出问题
２
２，）交椭圆作一条直线过点Ａ（ｌ２１＋＝１６９
１于点Ｐ１、Ｐ２，若点Ａ恰为弦Ｐ１Ｐ２的中点，
２２２）整理得（ｋｘ＋３ｋ（ｋ＋１）ｘ＋６ｋ－－２６２４９＋１
６ｋ－１４２８＝０．
，Ｐ２（，则ｘ设Ｐ１（ｘｘｘ４．ｙｙ１，１）２，２）１＋２＝
２
（），由韦达定理，得－＝４２
ｋ９＋１６
解得ｋ＝－．
８
所以直线ｌ的方程为ｙ－１＝－（ｘ－２）．
８
师：此解法严谨吗？
点评：此解法是多数学生采用的通性通法，很多学生甚至部分教师都不考虑直线ｌ的设法需要分类讨论，也不考虑直线ｌ的存在性问题．这个追问抓住了解答这种问题的两个最常见的逻辑错误．因此，老师的追问非常好．追问的实质是弄清逻辑错误的原因．
生２：要考虑斜率是否存在．这里需要分情况讨论．
师：对．讨论了斜率是否存在，就严谨吗？点评：老师的问题，很多学生似乎不明白．因此，教师接着往下讲．
师：上述解法有两个问题：
一是直线ｌ的方程的设法需要讨论．ｌ的方，或ｘ＝２（当斜率不存程可设为ｙ－１＝ｋ（ｘ－２）在时）．当然对于本题所给的数据，ｘ＝２是明显不成立的，但数据若换了，比如取反例：将Ａ（）），上述的解法就不行了，这改为Ａ（２，１２，０是因为所求直线刚好为ｘ＝２．
二是需要检验判别式Δ＞０．取反例：若将），如图１．此时仍然可求改为Ａ（Ａ（２，１５，３）
求直线ｌ的方程．
说明：很多听课教师认为，此问题很平常、很平淡，大家都讲过，很多学生都做过，因此，很多听课教师在上课的前几分钟认为这个问题没有研究价值．这个看似平淡的问题能够引发出一些富有思考价值的问题．
教师提出问题后，先让学生做３分钟左右，然后请学生讲解题思路．２ 学生讲解题思路
生１：用点斜式方程．
，再代入设直线ｌ的方程为ｙ－１＝ｋ（ｘ－２）
椭圆方程，得
２２
）］ｘ＋１ｋ（ｘ－２＝１６［＋１４４，９
——内江师范学院数学与应用数学“本科教学工程”四川省地方属高校本科专业综合改革试点项目—专业综合＊项目来源：教育部“
）；四川省“改革试点”项目（西部卓越中学数学教师协同培养计划”项目．Ｇ０４６４Ｚ
２０１６年 第５５卷 第９期 数学通报
３９
图１
出ｋ＝－１６
，但此时Δ＜０，直线ｌ是不存在的．
点评：教师用反例来说明两个逻辑错误，对学生真正认知这两个逻辑错误是有益的．
师：这类问题的解答，必须检验直线ｌ的存在性．还有没有其它检验方法呢？
生２：有．还可以判断点Ａ（２，１）是否在椭圆内，如果点Ａ在椭圆内，就不用检验Δ＞
０了．
点评：教师强调检验直线ｌ的存在性，对学生来说是很必要的．
师：下面再请一些同学说说这个问题的其它解法．
生３：用斜截式方程．设ｙ＝ｋｘ＋ｂ．下面的解法与法１类似．
师：那么，剩下的步骤我们就从略了．师：还有其它的解法吗？生４：有．可以用点差法．设Ｐ１（ｘ１，ｙ１），Ｐ２（ｘ２，ｙ２）
，则ｘ２１２１６＋１
９＝１，①
ｘ２２２１６＋２
９＝１．②
由①－②，得
（１２）（１２）（１２）（１２）
１６＋
９＝０．易知，ｘ１＋ｘ２＝４，ｙ１＋ｙ２＝２．所以４（ｘ１－ｘ２）（１６＋２１－２）９＝０．当ｘ１≠ｘ２时，ｋｌ＝
１－２
ｘ１－ｘ２
＝－８，所以直线ｌ的方程为ｙ－１＝－８
（ｘ－２）．
师：做完了吗？
生４：没有做完，还需检验．
点评：同学们普遍认知了检验直线ｌ存在的
必要性．
师：怎么检验？
生４：计算判别式Δ是否大于０．师：还有其他检验方法吗？
生５：有．也可以检验点Ａ是否在椭圆内．点评：课讲到这里，学生能够合乎逻辑地解
答这类问题了．许多老师讲到这儿就会“圆满”结束．本课的精彩独到之处在于，讲到这儿才只是拉开了探究的序幕．下面是先对点差法进行优化，然后作进一步探究．
点差法的优化
师：在点差法中，我们共设了４个元即ｘ１，
１，ｘ２，ｙ２，可以减少设元吗？这就得到问题１．
问题１在点差法中，点Ｐ１、Ｐ２的坐标共设了４个元，可以减少设元吗？
点评：问题１是想引出更简单、更本质的方法，为更深入研究这类问题起到承上启下的作用．
生６：可以．设Ｐ１（ｘ１，ｙ１），则用中点公式可得Ｐ２（４－ｘ１，２－ｙ１）
，因此有ｘ２１２
１６＋１
９
＝１，①
（４－ｘ１）２（２
１６
＋
２－１）
９＝１．
③
由①－③，得８ｘ１－１６４１－４１６
＋
９＝０，化简得１－２１－１８＋９
＝０．④
师：同学们看看，法１中直线ｌ的方程可不可以变成④的模样（形式）
？学生在草稿本上演算．
生７：可以．法１中直线ｌ的方程可变为
８＋９
＝０．⑤师：由④、⑤知，点Ｐ１（ｘ１，ｙ１）在直线ｌ：８＋９
＝０上．同理，点Ｐ２也在直线ｌ上．所以直线ｌ是由Ｐ１（ｘ１，ｙ１），Ｐ２（ｘ２，ｙ２）所决定的直线，故⑤即为直线ｌ的方程．
师：请同学们下来把这个结论想清楚．生６用的点差法需要检验吗？
生（齐答）
：需要．２ｙ
４ 进一步探究
师：数学是研究数量关系和空间形式的科学．因此，我们常常从“数”和“形”两个角度去思考和探究问题．下面我们探究生６用的点差法的几何意义．
师：如果将Ｐ１（ｘ１，ｙ１）看成椭圆上任意一点，且Ｐ２（４－ｘ１，２－ｙ１）为Ｐ１关于Ａ（２，１）对称的点，那么自然可以提出问题２．
问题２方程①、③、⑤的几何意义是什么？点评：这个问题有较高价值，有四个作用：一是引出对称，二是复习对称的知识和方法，三是体会数形结合思想，四是欣赏对称美．
生８：①表示一个椭圆，③也是一个椭圆．⑤是椭圆①和椭圆③的公共弦所在直线的方程．
师：方程③表示的椭圆的中心不在原点，可以看成是椭圆①平移后的一个椭圆（注：现行教材不要求）．
师：点Ｐ１和点Ｐ２有什么关系？
生８：点Ｐ１和Ｐ２关于点Ａ（２，１
）对称．师：方程①与③表示的椭圆有什么关系？生９：方程①与③表示的椭圆关于点Ａ（２，１
）对称．教师在黑板上画出草图，如图２
．
图２
师：由图２知，线段Ｐ１Ｐ２为两个椭圆的公共弦．所以，①－③所得到的方程④的几何意义是：两个椭圆公共弦所在的直线方程（假设公共弦存在的话）．
师：数学探究经常是把一个特殊问题推广到一般情形．我们考虑将最初的问题一般化，就得到问题３．
问题３ 设Ｐ０（ｘ０，ｙ０）
为椭圆２ａ２＋２
ｂ
２＝１（ａ＞
ｂ＞０）内的一点，过点Ｐ０作直线ｌ交椭圆于两点Ｐ１、Ｐ２，若点Ｐ０恰为Ｐ１Ｐ２的中点，求直线
ｌ的方程．
生１０：设Ｐ１（ｘ１，ｙ１），Ｐ２（ｘ２，ｙ２）
，则２１２
１
ａ２＋ｂ
２＝１，⑥
（２ｘ０－ｘ１）２（２０－１）２
ａ２＋ｂ
２
＝１．
⑦
由⑥－⑦，可得ｘ０ｘ１－ｘ２００１－２
０
ａ２＋ｂ２
＝０，２因此ｘ０ｘ－ｘ００－２
０
ａ２＋ｂ
２
＝０，即 ００２０２０
ａ
２＋ｂ２＝ａ２＋ｂ２
，这就是直线Ｐ１Ｐ２的方程，也就是公共弦所在的
直线方程．
师：需要检验吗？生（齐答）：不需要．师：为什么？
生（齐答）：因为点Ｐ０（ｘ０，ｙ０）在椭圆内．师：学得好的标志是融会贯通、举一反三．上述方法对双曲线、抛物线也适合吗？这就得到问题４．
问题４ 上述方法对双曲线、抛物线也适合吗？
生（齐答）
：适合．点评：这里用了类比推理，达到知识迁移和举一反三的目的．
师：用变化的观点看待和处理问题是思考问题的基本策略，这有利于认识事物的内在联系．如果我们让定点Ａ０动起来，比如，将点Ａ０移动到椭圆上，即点Ａ０在椭圆上，会出现什么情况？（教师边讲边画出图３
）问题５ 设点Ａ０（ｘ０，ｙ０
）在椭圆２２１６＋９
＝１上，会出现什么情况
？
图３
（下转第４１页）
“授人以鱼”的同时“授人以渔与欲”
＊
———以《等差数列的前ｎ项和》公式推导片段为例
唐剑岚１ 周 元２
）（４００１；２广西百色市德保县德保高中 ５３３７００１广西师范大学数学与统计学院 ５
授人以鱼”或 现实中数学教学存在很多只““授人以渔”的现象，笔者基于近２０年的研究与（上接第４０页）
２２
的师：椭圆＋＝１关于点Ａ０（ｘｙ０，０）１６９
对称椭圆是
２２
（（ｘｘ）２２）０－０－
＝１＋．
１９６
将上面这两个方程相减，可得
‘鱼渔欲’实践，提出了“三位一体优化数学教学：“授人以鱼”的理念与策略”的同时“授人以渔”
Ｔ１、Ｔ２，证明：切点弦Ｔ１Ｔ２所在的直线方程是００
１．２＋２＝ｂａ
师：问题６作为课外思考题．提示：可以考虑用上面的定理．
点评：总结探究路线图
数学研究性学习的核心是探究．关于探究，探是探，究是究，探究是探究．探我们认为，“
”究＝探＋究．具体地说，探究包含两个过程，即“探”的过程和“究”的过程．“探”包括解题思路的探寻，数学规律的探索，数学问题的探讨，问题结论的发现，数学猜想的提出，数学命题的推广究”包括数学规律的检验，数学问题背景的等；“
追查，数学对象之间逻辑关系的追究，数学问题结论的验证，数学猜想和命题推广的证明等．也探”是弄清是什么的过程，“究”可以简单地说，“
是弄清为什么的过程．总结本课，可以得到本课的探究路线图，见图４
．
００
＝０，＋
１９６
２２
０００即０＋＝＋＝１，
１９１６６９
２
０２０
ｘｘ０即０＋＝１，１９６
２２
处的切这就是椭圆＋＝１在点Ａ０（ｘｙ０，０）１６９
线方程．
定理 椭圆ｘｙ０（０，０）２＋２＝１上在点Ａａｂ０
处的切线方程是０１．２＋２＝ａｂ
２２
处师：双曲线ｘｙ０（０，０）２－２＝１在点Ａａｂ
的切线方程是什么？请同学课后去推导一下．
２２
师：如果我们将点Ａ０移动到椭圆外，会出现什么情况？这就得到问题６．
２２
在椭圆２＋２＝１问题６ 设点Ａ０（ｘｙ０，０）
ａｂ
外，过点Ａ０向椭圆引两条切线，得到两个切点
图４
）的部分成果．广西壮族自治区普通高中学科基地项目部０１２年教育部人文社会科学研究青年基金项目（１２ＹＪＣ８８００９３＊本文是２分成果．
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数学通报 ２０１６年 第５５卷 第９期
由椭圆中点弦问题引发的研究性学习
赵思林１ 李正泉２
）（四川省内江师范学院数学与信息科学学院 ６四川省内江市一中 ６４１１１２；２．４１１１２１．
＊
数学研究性学习，是指学生在教师的指导下，从数学学科内部或其它领域（包括非数学的学科、自然、社会和生活等）中选择并确定研究性问题，对该问题侧重于数量关系和空间形式方面的探索和研究，并在探索和研究过程中主动地获取数学知识、应用数学知识、解决问题的数学学习活动．当下普遍认为，实施研究性学习的困难主要在于缺乏优秀案例．对此，我们在四川省名师送教下乡活动中曾组织了一堂高三数学研究性学习观摩课，在课后讨论与评课中得到了数百位听课教师的高度评价．该课是由椭圆中点弦问题引发的研究性学习，可作为高三数学研究性学习的一个案例．下面将这次课的实录与部分点评介绍于下．１ 提出问题
２
２，）交椭圆作一条直线过点Ａ（ｌ２１＋＝１６９
１于点Ｐ１、Ｐ２，若点Ａ恰为弦Ｐ１Ｐ２的中点，
２２２）整理得（ｋｘ＋３ｋ（ｋ＋１）ｘ＋６ｋ－－２６２４９＋１
６ｋ－１４２８＝０．
，Ｐ２（，则ｘ设Ｐ１（ｘｘｘ４．ｙｙ１，１）２，２）１＋２＝
２
（），由韦达定理，得－＝４２
ｋ９＋１６
解得ｋ＝－．
８
所以直线ｌ的方程为ｙ－１＝－（ｘ－２）．
８
师：此解法严谨吗？
点评：此解法是多数学生采用的通性通法，很多学生甚至部分教师都不考虑直线ｌ的设法需要分类讨论，也不考虑直线ｌ的存在性问题．这个追问抓住了解答这种问题的两个最常见的逻辑错误．因此，老师的追问非常好．追问的实质是弄清逻辑错误的原因．
生２：要考虑斜率是否存在．这里需要分情况讨论．
师：对．讨论了斜率是否存在，就严谨吗？点评：老师的问题，很多学生似乎不明白．因此，教师接着往下讲．
师：上述解法有两个问题：
一是直线ｌ的方程的设法需要讨论．ｌ的方，或ｘ＝２（当斜率不存程可设为ｙ－１＝ｋ（ｘ－２）在时）．当然对于本题所给的数据，ｘ＝２是明显不成立的，但数据若换了，比如取反例：将Ａ（）），上述的解法就不行了，这改为Ａ（２，１２，０是因为所求直线刚好为ｘ＝２．
二是需要检验判别式Δ＞０．取反例：若将），如图１．此时仍然可求改为Ａ（Ａ（２，１５，３）
求直线ｌ的方程．
说明：很多听课教师认为，此问题很平常、很平淡，大家都讲过，很多学生都做过，因此，很多听课教师在上课的前几分钟认为这个问题没有研究价值．这个看似平淡的问题能够引发出一些富有思考价值的问题．
教师提出问题后，先让学生做３分钟左右，然后请学生讲解题思路．２ 学生讲解题思路
生１：用点斜式方程．
，再代入设直线ｌ的方程为ｙ－１＝ｋ（ｘ－２）
椭圆方程，得
２２
）］ｘ＋１ｋ（ｘ－２＝１６［＋１４４，９
——内江师范学院数学与应用数学“本科教学工程”四川省地方属高校本科专业综合改革试点项目—专业综合＊项目来源：教育部“
）；四川省“改革试点”项目（西部卓越中学数学教师协同培养计划”项目．Ｇ０４６４Ｚ
２０１６年 第５５卷 第９期 数学通报
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图１
出ｋ＝－１６
，但此时Δ＜０，直线ｌ是不存在的．
点评：教师用反例来说明两个逻辑错误，对学生真正认知这两个逻辑错误是有益的．
师：这类问题的解答，必须检验直线ｌ的存在性．还有没有其它检验方法呢？
生２：有．还可以判断点Ａ（２，１）是否在椭圆内，如果点Ａ在椭圆内，就不用检验Δ＞
０了．
点评：教师强调检验直线ｌ的存在性，对学生来说是很必要的．
师：下面再请一些同学说说这个问题的其它解法．
生３：用斜截式方程．设ｙ＝ｋｘ＋ｂ．下面的解法与法１类似．
师：那么，剩下的步骤我们就从略了．师：还有其它的解法吗？生４：有．可以用点差法．设Ｐ１（ｘ１，ｙ１），Ｐ２（ｘ２，ｙ２）
，则ｘ２１２１６＋１
９＝１，①
ｘ２２２１６＋２
９＝１．②
由①－②，得
（１２）（１２）（１２）（１２）
１６＋
９＝０．易知，ｘ１＋ｘ２＝４，ｙ１＋ｙ２＝２．所以４（ｘ１－ｘ２）（１６＋２１－２）９＝０．当ｘ１≠ｘ２时，ｋｌ＝
１－２
ｘ１－ｘ２
＝－８，所以直线ｌ的方程为ｙ－１＝－８
（ｘ－２）．
师：做完了吗？
生４：没有做完，还需检验．
点评：同学们普遍认知了检验直线ｌ存在的
必要性．
师：怎么检验？
生４：计算判别式Δ是否大于０．师：还有其他检验方法吗？
生５：有．也可以检验点Ａ是否在椭圆内．点评：课讲到这里，学生能够合乎逻辑地解
答这类问题了．许多老师讲到这儿就会“圆满”结束．本课的精彩独到之处在于，讲到这儿才只是拉开了探究的序幕．下面是先对点差法进行优化，然后作进一步探究．
点差法的优化
师：在点差法中，我们共设了４个元即ｘ１，
１，ｘ２，ｙ２，可以减少设元吗？这就得到问题１．
问题１在点差法中，点Ｐ１、Ｐ２的坐标共设了４个元，可以减少设元吗？
点评：问题１是想引出更简单、更本质的方法，为更深入研究这类问题起到承上启下的作用．
生６：可以．设Ｐ１（ｘ１，ｙ１），则用中点公式可得Ｐ２（４－ｘ１，２－ｙ１）
，因此有ｘ２１２
１６＋１
９
＝１，①
（４－ｘ１）２（２
１６
＋
２－１）
９＝１．
③
由①－③，得８ｘ１－１６４１－４１６
＋
９＝０，化简得１－２１－１８＋９
＝０．④
师：同学们看看，法１中直线ｌ的方程可不可以变成④的模样（形式）
？学生在草稿本上演算．
生７：可以．法１中直线ｌ的方程可变为
８＋９
＝０．⑤师：由④、⑤知，点Ｐ１（ｘ１，ｙ１）在直线ｌ：８＋９
＝０上．同理，点Ｐ２也在直线ｌ上．所以直线ｌ是由Ｐ１（ｘ１，ｙ１），Ｐ２（ｘ２，ｙ２）所决定的直线，故⑤即为直线ｌ的方程．
师：请同学们下来把这个结论想清楚．生６用的点差法需要检验吗？
生（齐答）
：需要．２ｙ
４ 进一步探究
师：数学是研究数量关系和空间形式的科学．因此，我们常常从“数”和“形”两个角度去思考和探究问题．下面我们探究生６用的点差法的几何意义．
师：如果将Ｐ１（ｘ１，ｙ１）看成椭圆上任意一点，且Ｐ２（４－ｘ１，２－ｙ１）为Ｐ１关于Ａ（２，１）对称的点，那么自然可以提出问题２．
问题２方程①、③、⑤的几何意义是什么？点评：这个问题有较高价值，有四个作用：一是引出对称，二是复习对称的知识和方法，三是体会数形结合思想，四是欣赏对称美．
生８：①表示一个椭圆，③也是一个椭圆．⑤是椭圆①和椭圆③的公共弦所在直线的方程．
师：方程③表示的椭圆的中心不在原点，可以看成是椭圆①平移后的一个椭圆（注：现行教材不要求）．
师：点Ｐ１和点Ｐ２有什么关系？
生８：点Ｐ１和Ｐ２关于点Ａ（２，１
）对称．师：方程①与③表示的椭圆有什么关系？生９：方程①与③表示的椭圆关于点Ａ（２，１
）对称．教师在黑板上画出草图，如图２
．
图２
师：由图２知，线段Ｐ１Ｐ２为两个椭圆的公共弦．所以，①－③所得到的方程④的几何意义是：两个椭圆公共弦所在的直线方程（假设公共弦存在的话）．
师：数学探究经常是把一个特殊问题推广到一般情形．我们考虑将最初的问题一般化，就得到问题３．
问题３ 设Ｐ０（ｘ０，ｙ０）
为椭圆２ａ２＋２
ｂ
２＝１（ａ＞
ｂ＞０）内的一点，过点Ｐ０作直线ｌ交椭圆于两点Ｐ１、Ｐ２，若点Ｐ０恰为Ｐ１Ｐ２的中点，求直线
ｌ的方程．
生１０：设Ｐ１（ｘ１，ｙ１），Ｐ２（ｘ２，ｙ２）
，则２１２
１
ａ２＋ｂ
２＝１，⑥
（２ｘ０－ｘ１）２（２０－１）２
ａ２＋ｂ
２
＝１．
⑦
由⑥－⑦，可得ｘ０ｘ１－ｘ２００１－２
０
ａ２＋ｂ２
＝０，２因此ｘ０ｘ－ｘ００－２
０
ａ２＋ｂ
２
＝０，即 ００２０２０
ａ
２＋ｂ２＝ａ２＋ｂ２
，这就是直线Ｐ１Ｐ２的方程，也就是公共弦所在的
直线方程．
师：需要检验吗？生（齐答）：不需要．师：为什么？
生（齐答）：因为点Ｐ０（ｘ０，ｙ０）在椭圆内．师：学得好的标志是融会贯通、举一反三．上述方法对双曲线、抛物线也适合吗？这就得到问题４．
问题４ 上述方法对双曲线、抛物线也适合吗？
生（齐答）
：适合．点评：这里用了类比推理，达到知识迁移和举一反三的目的．
师：用变化的观点看待和处理问题是思考问题的基本策略，这有利于认识事物的内在联系．如果我们让定点Ａ０动起来，比如，将点Ａ０移动到椭圆上，即点Ａ０在椭圆上，会出现什么情况？（教师边讲边画出图３
）问题５ 设点Ａ０（ｘ０，ｙ０
）在椭圆２２１６＋９
＝１上，会出现什么情况
？
图３
（下转第４１页）
“授人以鱼”的同时“授人以渔与欲”
＊
———以《等差数列的前ｎ项和》公式推导片段为例
唐剑岚１ 周 元２
）（４００１；２广西百色市德保县德保高中 ５３３７００１广西师范大学数学与统计学院 ５
授人以鱼”或 现实中数学教学存在很多只““授人以渔”的现象，笔者基于近２０年的研究与（上接第４０页）
２２
的师：椭圆＋＝１关于点Ａ０（ｘｙ０，０）１６９
对称椭圆是
２２
（（ｘｘ）２２）０－０－
＝１＋．
１９６
将上面这两个方程相减，可得
‘鱼渔欲’实践，提出了“三位一体优化数学教学：“授人以鱼”的理念与策略”的同时“授人以渔”
Ｔ１、Ｔ２，证明：切点弦Ｔ１Ｔ２所在的直线方程是００
１．２＋２＝ｂａ
师：问题６作为课外思考题．提示：可以考虑用上面的定理．
点评：总结探究路线图
数学研究性学习的核心是探究．关于探究，探是探，究是究，探究是探究．探我们认为，“
”究＝探＋究．具体地说，探究包含两个过程，即“探”的过程和“究”的过程．“探”包括解题思路的探寻，数学规律的探索，数学问题的探讨，问题结论的发现，数学猜想的提出，数学命题的推广究”包括数学规律的检验，数学问题背景的等；“
追查，数学对象之间逻辑关系的追究，数学问题结论的验证，数学猜想和命题推广的证明等．也探”是弄清是什么的过程，“究”可以简单地说，“
是弄清为什么的过程．总结本课，可以得到本课的探究路线图，见图４
．
００
＝０，＋
１９６
２２
０００即０＋＝＋＝１，
１９１６６９
２
０２０
ｘｘ０即０＋＝１，１９６
２２
处的切这就是椭圆＋＝１在点Ａ０（ｘｙ０，０）１６９
线方程．
定理 椭圆ｘｙ０（０，０）２＋２＝１上在点Ａａｂ０
处的切线方程是０１．２＋２＝ａｂ
２２
处师：双曲线ｘｙ０（０，０）２－２＝１在点Ａａｂ
的切线方程是什么？请同学课后去推导一下．
２２
师：如果我们将点Ａ０移动到椭圆外，会出现什么情况？这就得到问题６．
２２
在椭圆２＋２＝１问题６ 设点Ａ０（ｘｙ０，０）
ａｂ
外，过点Ａ０向椭圆引两条切线，得到两个切点
图４
）的部分成果．广西壮族自治区普通高中学科基地项目部０１２年教育部人文社会科学研究青年基金项目（１２ＹＪＣ８８００９３＊本文是２分成果．