交叉间接持股比例的计量
北京大学经济学院 李 健
在已经正式实施的《证券法》中，有多处关于“投资者”“持有”上市公司多少股份的条文（特别是在有关收购的章节）。但《证券法》本身并未就“持有”一词作任何进一步的解释。投资者（尤其是法人投资者）“持有”某上市公司的股份可以有“直接持股”和通过其子公司、孙公司、曾孙公司等等而“间接持股”两种方式。可以肯定的是，《证券法》中的“持有”决不是单计算“直接持股”而不将“间接持股”计算在内。
举例而言，若Ａ公司“直接地”持有Ｂ上市公司４％的股份，同时Ａ公司以３０％控股的具有独立法人资格的Ｃ公司在二级市场上又大量购入Ｂ公司的股票，当Ｃ公司对Ｂ公司的“直接持股比例”也达到４％时，Ａ公司肯定应当“举牌”公告。否则的话，可能有足够条件和能力的Ａ公司完全可以通过其控股的且具独立法人资格的１５家公司逐步地分别“直接持有”Ｂ上市公司４％的股份。此时Ａ公司实际上已经具有绝对控制Ｂ公司的能力。但Ｂ上市公司的其它中小投资者及监管当局却并没有被告知这一重大变化。这显然不是《证券法》立法的初衷和司法的目的。所以，在《证券法》的司法过程当中，“间接持股”必须被计量进“持有”中。
但是，“间接持股”的计量问题并非如一般人所想象的那样简单。再举例而言，Ａ公司分别直接持有Ｂ、Ｃ两公司１５％和２０％的股份，Ｂ公司分别直接持有Ａ、Ｃ两公司１０％和５％的股份，Ｃ公司又分别直接持有Ａ、Ｂ两公
司１５％和１０％的股份。现在的问题是：Ａ公司到底“真正”持有Ｃ公司多少股份（当然包括“直接持有”和“全部间接持有”）？
Ａ公司直接持有Ｃ公司２０％的股份，这是没有任何问题的。问题是，Ａ公司对Ｃ公司的全部间接持股比例，仅仅是Ａ公司对Ｂ公司的直接持股比例１５％乘上Ｂ公司对Ｃ公司的直接持股比例５％共计０.７５％吗？
有一定数学基础的朋友都知道实际答案远不止于此。它还应当包括：Ａ公司对Ｂ公司直接持股——Ｂ公司对Ａ公司直接持股——Ａ公司再对Ｃ公司直接持股；Ａ公司对Ｃ公司直接持股——Ｃ公司对Ｂ公司直接持股——Ｂ公司对Ａ公司直接持股——Ａ公司再对Ｃ公司直接持股；……如此等等，无穷无尽。所以，“间接持股”也可以分为“浅层”的“部分间接持股”（如前面的０.７５％），和“全部间接持股”两种不同的分划。但从严格的理论意义以至法律意义上讲，既然我们要将“间接持股”计算进“持有”中去，就应当将“全部的间接持股”计算进去，而不是仅仅计算“间接持股”的一部分。
或许有人会认为这种无穷无尽、没完没了的间接持股计算，计算起来会非常的麻烦，计算成本会很高，甚至就可能根本“算不出来”，因而“全部间接持股”只是“理论上应该，实际中难办”。所以它没有多少实际操作意义。这种观点或许是正确的。但若其前提实际并不成立呢？即：如果我们可以找到一种比较简便而又经济的计算“全部间接持股”的方法，我们为什么不推广使用它呢？本文的目的即在于提供一种这样的方法，供大家参考和商榷。
设有ｎ家具有独立法人资格的公司Ａ１，Ａ２，……，Ａｎ，相互之间存在交叉持股关系（但并不要求Ａｉ公司一定要直接持有Ａｊ公司的股份（ｉ≠ｊ））。Ａｊ公司对Ａｉ公司的直接持股比例（Ａｊ公司直接持有Ａｉ公司的股份与Ａｉ公司的总股本之比）记为ａij（0≤ａij≤1）。于是我们可以得到一个全面反
映这ｎ家公司直接持股关系的“直接持股比例矩阵”Ｄ。
很显然，Ｄ矩阵所有对角线上的元素ａii（ｉ＝１，２，……，ｎ）均为零。即任何公司不能直接持有本公司股票或股份。但是下面我们将会看到任何公司只要它愿意，均可以“间接地”持有本公司股票或股份。
现设Ａｊ公司对Ａｉ公司的全部持股比例（Ａｊ公司对Ａｉ公司直接持股比例与Ａｊ公司对Ａｉ公司全部间接持股比例之和）为ｃij（0≤ｃij≤1；ｉ，ｊ＝１，２，…，ｎ）。根据上述定义，Ａｊ公司对Ａk公司的直接持股比例为ａkj，而Ａk公司对Ａｉ公司的“全部持股比例”为ｃik，所以Ａｊ公司（第一步）通过Ａk公司对Ａｉ公司的“全部间接持股比例”应当等于ｃik＊ａkj。由此可以得到Ａｊ公司对Ａｉ公司的“全部间接持股比例”为：
∑ｃik＊ａkj
故Ａｊ公司对Ａｉ公司的全部持股比例为：
ｃij＝ａij+∑ｃik＊ａkj （ｉ，ｊ＝１，２，…，ｎ）
将上面的等式写成矩阵形式即为：
Ｃ＝Ｄ＋ＣＤ
经过简单的矩阵计算，可以得到“全部持股比例矩阵”Ｃ
Ｃ＝（Ｉ－Ｄ）Ｄ （１）
或
Ｃ＝（Ｉ－Ｄ）－Ｉ （２）
同时可以得到“全部间接持股比例矩阵”
Ｎ＝Ｃ－Ｄ （３）
这里，Ｉ为ｎ×ｎ的单位矩阵，（Ｉ－Ｄ）为列昂惕夫逆阵。可以看出，Ｎ矩阵及Ｃ矩阵对角线上的元素均可以不为零。即任何公司只要它愿意或条件满足，均可以“间接地”持有本公司股票或股份。
我们只要知道了各公司之间“直接的”相互持股关系，通过上面的公式（１）或（２）以及（３），就可以很轻松地计算得到各公司之间所有的“全部间接持股比例”和“全部持股比例”。同时大家知道，在实际中我们是可以比较容易而经济地统计得到各公司之间“直接的”相互持股比例关系的。
而在计算过程当中，即使对于我国已经有上千家的上市公司，ｎ×ｎ矩阵的行列数ｎ（所有关联公司）有可能达到数千家，但借助先进的现代计算机技术，一项单纯的矩阵求逆、求和差的计算也是非常简单、迅速而且经济的工作。
实际问题：
１、 本文给出的方法虽然可以非常简单而精确地计量Ａｊ公司对Ａｉ公司的“全部间接持股比例”和“真正持股比例”，但似乎给人一种“过度精确”之感。人们似乎更习惯于认可将“感觉得到”的“浅层”间接持股计算进《证券法》的诸多“持有”中去；而将“高层次”的间接持股有意无意地忽略不计，甚至拒不承认。由于诸多的原因，这是可以理解的。但是本人认为，我们现在既然可以很轻松地做到精确，我们为什么还要继
续放弃“精确”，反而去选择和追求“粗糙和遗漏”呢？！
２、 关于间接持股对被持股公司的实际控制力问题。在实际中，Ａｊ公司和Ａｋ公司对Ａｉ公司具有相同的“直接持股比例”和相同的“全部间接持股比例”，但两者对Ａｉ公司不同的“间接持股结构”可能导致它们对Ａｉ公司具有不同的“控制能力”。举例而言，前者对其直接持股公司大都具有绝对或相对的控股地位，并且这些公司对Ａｉ公司也有相对较多的直接持股比例；而后者对Ａｉ公司的间接持股主要通过许许多多的非直接控股公司完成（并且其直接持股公司对Ａｉ公司的直接持股比例也大都很低），但两者对Ａｉ公司的“完全间接持股比例”在数值上可以相同。十分显然，前者对Ａｉ公司比后者具有更大的控制能力。造成这种状况的原因在詹姆斯．布坎南等人的公共选择理论中有比较详尽的论述（我们如果将公司决策过程看成是与公共部门的决策过程类同）。众所周知，在公司决策过程中大多数时候存在大股东（特别是控股股东）“通吃”现象。中小股东尽管其股份和可能远超过少数大股东，但由于是一盘散沙，其组织成本和决策成本都相对高昂，加之意见千差万别而难以统一，因而在与大股东（特别是控股股东）一起决策时，他们表面上很大的股份和，其实际决策力和控制力很多时候是几近于零。这也就是相同间接持股比例、不同间接持股结构对应不同“实际控制能力”最根本的原因。本人认为，尽管在理论意义和法律意义上，公司决策应当是“同股同权”，但在实际中中小股东的单位股权已经被严重“缩水”； 大股东（特别是控股股东）的单位股权已经过度“扩张”。因此，在立法和司法过程当中，一方面不能也不应该继续“认同”这种非合理现象；另一方面应当尽量想办法抑制和削减这种非合理现象。具体在这里计量“间接持股比例” 的问题上，我们不是应当去考虑是否将“高层次”的间接持股计入“持有”之内，而是考虑在计算时是否可以对
直接控股比例施以较大的权重系数以作修正。但是那样计算出来的东西已经不再是“间接持股比例”指标，而是“间接持股控制力”之类的指标了。
３、 本文所使用的计量方法本身，非本人所创造，而是俄国著名数学家列昂惕夫几十年前在投入产出分析中首先使用，他并因此而获得诺贝尔经济学奖。该方法本身并不神秘高深，只是非常简单的矩阵运算而已。所以如果说本文有什么“新意”的话，它仅在于用比较古老的数学方法解决一个小小的“新问题”（事实上绝大多数的经济学研究都只能局限在此种层次）。
需要特别指出的是：本文这里从理论上给出一种对上市公司“全部间接持股比例”和“全部持股比例”简单而清晰的计量方法。据此编一个计算软件将是非常容易的事情，所以本人强烈推荐司法部门、监管当局以及业内人士在实际中采用本文提供的方法。
作者通讯地址：北京大学经济学院99博（100871）
E-mail：[email protected]
本文成稿时间：2000年春
交叉间接持股比例的计量
北京大学经济学院 李 健
在已经正式实施的《证券法》中，有多处关于“投资者”“持有”上市公司多少股份的条文（特别是在有关收购的章节）。但《证券法》本身并未就“持有”一词作任何进一步的解释。投资者（尤其是法人投资者）“持有”某上市公司的股份可以有“直接持股”和通过其子公司、孙公司、曾孙公司等等而“间接持股”两种方式。可以肯定的是，《证券法》中的“持有”决不是单计算“直接持股”而不将“间接持股”计算在内。
举例而言，若Ａ公司“直接地”持有Ｂ上市公司４％的股份，同时Ａ公司以３０％控股的具有独立法人资格的Ｃ公司在二级市场上又大量购入Ｂ公司的股票，当Ｃ公司对Ｂ公司的“直接持股比例”也达到４％时，Ａ公司肯定应当“举牌”公告。否则的话，可能有足够条件和能力的Ａ公司完全可以通过其控股的且具独立法人资格的１５家公司逐步地分别“直接持有”Ｂ上市公司４％的股份。此时Ａ公司实际上已经具有绝对控制Ｂ公司的能力。但Ｂ上市公司的其它中小投资者及监管当局却并没有被告知这一重大变化。这显然不是《证券法》立法的初衷和司法的目的。所以，在《证券法》的司法过程当中，“间接持股”必须被计量进“持有”中。
但是，“间接持股”的计量问题并非如一般人所想象的那样简单。再举例而言，Ａ公司分别直接持有Ｂ、Ｃ两公司１５％和２０％的股份，Ｂ公司分别直接持有Ａ、Ｃ两公司１０％和５％的股份，Ｃ公司又分别直接持有Ａ、Ｂ两公
司１５％和１０％的股份。现在的问题是：Ａ公司到底“真正”持有Ｃ公司多少股份（当然包括“直接持有”和“全部间接持有”）？
Ａ公司直接持有Ｃ公司２０％的股份，这是没有任何问题的。问题是，Ａ公司对Ｃ公司的全部间接持股比例，仅仅是Ａ公司对Ｂ公司的直接持股比例１５％乘上Ｂ公司对Ｃ公司的直接持股比例５％共计０.７５％吗？
有一定数学基础的朋友都知道实际答案远不止于此。它还应当包括：Ａ公司对Ｂ公司直接持股——Ｂ公司对Ａ公司直接持股——Ａ公司再对Ｃ公司直接持股；Ａ公司对Ｃ公司直接持股——Ｃ公司对Ｂ公司直接持股——Ｂ公司对Ａ公司直接持股——Ａ公司再对Ｃ公司直接持股；……如此等等，无穷无尽。所以，“间接持股”也可以分为“浅层”的“部分间接持股”（如前面的０.７５％），和“全部间接持股”两种不同的分划。但从严格的理论意义以至法律意义上讲，既然我们要将“间接持股”计算进“持有”中去，就应当将“全部的间接持股”计算进去，而不是仅仅计算“间接持股”的一部分。
或许有人会认为这种无穷无尽、没完没了的间接持股计算，计算起来会非常的麻烦，计算成本会很高，甚至就可能根本“算不出来”，因而“全部间接持股”只是“理论上应该，实际中难办”。所以它没有多少实际操作意义。这种观点或许是正确的。但若其前提实际并不成立呢？即：如果我们可以找到一种比较简便而又经济的计算“全部间接持股”的方法，我们为什么不推广使用它呢？本文的目的即在于提供一种这样的方法，供大家参考和商榷。
设有ｎ家具有独立法人资格的公司Ａ１，Ａ２，……，Ａｎ，相互之间存在交叉持股关系（但并不要求Ａｉ公司一定要直接持有Ａｊ公司的股份（ｉ≠ｊ））。Ａｊ公司对Ａｉ公司的直接持股比例（Ａｊ公司直接持有Ａｉ公司的股份与Ａｉ公司的总股本之比）记为ａij（0≤ａij≤1）。于是我们可以得到一个全面反
映这ｎ家公司直接持股关系的“直接持股比例矩阵”Ｄ。
很显然，Ｄ矩阵所有对角线上的元素ａii（ｉ＝１，２，……，ｎ）均为零。即任何公司不能直接持有本公司股票或股份。但是下面我们将会看到任何公司只要它愿意，均可以“间接地”持有本公司股票或股份。
现设Ａｊ公司对Ａｉ公司的全部持股比例（Ａｊ公司对Ａｉ公司直接持股比例与Ａｊ公司对Ａｉ公司全部间接持股比例之和）为ｃij（0≤ｃij≤1；ｉ，ｊ＝１，２，…，ｎ）。根据上述定义，Ａｊ公司对Ａk公司的直接持股比例为ａkj，而Ａk公司对Ａｉ公司的“全部持股比例”为ｃik，所以Ａｊ公司（第一步）通过Ａk公司对Ａｉ公司的“全部间接持股比例”应当等于ｃik＊ａkj。由此可以得到Ａｊ公司对Ａｉ公司的“全部间接持股比例”为：
∑ｃik＊ａkj
故Ａｊ公司对Ａｉ公司的全部持股比例为：
ｃij＝ａij+∑ｃik＊ａkj （ｉ，ｊ＝１，２，…，ｎ）
将上面的等式写成矩阵形式即为：
Ｃ＝Ｄ＋ＣＤ
经过简单的矩阵计算，可以得到“全部持股比例矩阵”Ｃ
Ｃ＝（Ｉ－Ｄ）Ｄ （１）
或
Ｃ＝（Ｉ－Ｄ）－Ｉ （２）
同时可以得到“全部间接持股比例矩阵”
Ｎ＝Ｃ－Ｄ （３）
这里，Ｉ为ｎ×ｎ的单位矩阵，（Ｉ－Ｄ）为列昂惕夫逆阵。可以看出，Ｎ矩阵及Ｃ矩阵对角线上的元素均可以不为零。即任何公司只要它愿意或条件满足，均可以“间接地”持有本公司股票或股份。
我们只要知道了各公司之间“直接的”相互持股关系，通过上面的公式（１）或（２）以及（３），就可以很轻松地计算得到各公司之间所有的“全部间接持股比例”和“全部持股比例”。同时大家知道，在实际中我们是可以比较容易而经济地统计得到各公司之间“直接的”相互持股比例关系的。
而在计算过程当中，即使对于我国已经有上千家的上市公司，ｎ×ｎ矩阵的行列数ｎ（所有关联公司）有可能达到数千家，但借助先进的现代计算机技术，一项单纯的矩阵求逆、求和差的计算也是非常简单、迅速而且经济的工作。
实际问题：
１、 本文给出的方法虽然可以非常简单而精确地计量Ａｊ公司对Ａｉ公司的“全部间接持股比例”和“真正持股比例”，但似乎给人一种“过度精确”之感。人们似乎更习惯于认可将“感觉得到”的“浅层”间接持股计算进《证券法》的诸多“持有”中去；而将“高层次”的间接持股有意无意地忽略不计，甚至拒不承认。由于诸多的原因，这是可以理解的。但是本人认为，我们现在既然可以很轻松地做到精确，我们为什么还要继
续放弃“精确”，反而去选择和追求“粗糙和遗漏”呢？！
２、 关于间接持股对被持股公司的实际控制力问题。在实际中，Ａｊ公司和Ａｋ公司对Ａｉ公司具有相同的“直接持股比例”和相同的“全部间接持股比例”，但两者对Ａｉ公司不同的“间接持股结构”可能导致它们对Ａｉ公司具有不同的“控制能力”。举例而言，前者对其直接持股公司大都具有绝对或相对的控股地位，并且这些公司对Ａｉ公司也有相对较多的直接持股比例；而后者对Ａｉ公司的间接持股主要通过许许多多的非直接控股公司完成（并且其直接持股公司对Ａｉ公司的直接持股比例也大都很低），但两者对Ａｉ公司的“完全间接持股比例”在数值上可以相同。十分显然，前者对Ａｉ公司比后者具有更大的控制能力。造成这种状况的原因在詹姆斯．布坎南等人的公共选择理论中有比较详尽的论述（我们如果将公司决策过程看成是与公共部门的决策过程类同）。众所周知，在公司决策过程中大多数时候存在大股东（特别是控股股东）“通吃”现象。中小股东尽管其股份和可能远超过少数大股东，但由于是一盘散沙，其组织成本和决策成本都相对高昂，加之意见千差万别而难以统一，因而在与大股东（特别是控股股东）一起决策时，他们表面上很大的股份和，其实际决策力和控制力很多时候是几近于零。这也就是相同间接持股比例、不同间接持股结构对应不同“实际控制能力”最根本的原因。本人认为，尽管在理论意义和法律意义上，公司决策应当是“同股同权”，但在实际中中小股东的单位股权已经被严重“缩水”； 大股东（特别是控股股东）的单位股权已经过度“扩张”。因此，在立法和司法过程当中，一方面不能也不应该继续“认同”这种非合理现象；另一方面应当尽量想办法抑制和削减这种非合理现象。具体在这里计量“间接持股比例” 的问题上，我们不是应当去考虑是否将“高层次”的间接持股计入“持有”之内，而是考虑在计算时是否可以对
直接控股比例施以较大的权重系数以作修正。但是那样计算出来的东西已经不再是“间接持股比例”指标，而是“间接持股控制力”之类的指标了。
３、 本文所使用的计量方法本身，非本人所创造，而是俄国著名数学家列昂惕夫几十年前在投入产出分析中首先使用，他并因此而获得诺贝尔经济学奖。该方法本身并不神秘高深，只是非常简单的矩阵运算而已。所以如果说本文有什么“新意”的话，它仅在于用比较古老的数学方法解决一个小小的“新问题”（事实上绝大多数的经济学研究都只能局限在此种层次）。
需要特别指出的是：本文这里从理论上给出一种对上市公司“全部间接持股比例”和“全部持股比例”简单而清晰的计量方法。据此编一个计算软件将是非常容易的事情，所以本人强烈推荐司法部门、监管当局以及业内人士在实际中采用本文提供的方法。
作者通讯地址：北京大学经济学院99博（100871）
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本文成稿时间：2000年春