高一数学目标答案(必修5)

第一章 解三角形

1. 1. 1 正弦定理

一、选择题

(1)解:选(A ).

43

=42sin B

⇒sin B =

22

sin 60︒

故B =45︒. . 又 a >b , ∴A >B ,

(2)解:选(C).

A =

π

6

, B =

π

3

, C =

π

2

, a :b :c =sin A :sin B :sin C =

12

12

:

2

22

=1:2

(3)解:b =2a sin B ⇒sin B =2sin A sin B ⇒sin A =

150︒. 选(D )

( sin B ≠0) ,∴A =30︒或

(4)解:a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B . 选(C) 二、填空题 (5)解:

b sin 45︒

=

3sin 60︒

12⇒b =

2.

(6)解:

2393

S ∆ABC =

bc s i n A =

12

c ⨯

=2

c , =a 4, =

2

a 1=313

a +b +c s i n A +

s i B n +

=

s C i n

a

==s A i 2

9

3

(7)解:

3sin 30︒

=

33sin C

⇒C =60︒或120︒. C=60时,A =90, a=

0 0

C=120时, A =30,a=3故a=6或a=3 三、解答题

(8)请用向量法证明正弦定理.

如图在∆A B C 中,AB ⊥C D

证明:由已知可得:CA 和CB 在CD 方向上的投影相等。

ππ

所以,|C A |cos(-A ) =|C B |cos(-B )

22

所以,b sin A =a sin B 所以 同理可得:

a sin A

=

c sin C

a sin A

=

b sin B

1. 1. 2余弦定理

一、选择题

(1)解:由余弦定理a =

8+3-2⨯8⨯3cos 60︒=7. 选(C ) 20

2

22

(2)解:由余弦定理cos B =

+21-29

22

2⨯20⨯21

=0. 选(A )

(3)解:设a =3x , b =5x , c =7x ,最大角为C.

(3x ) +(5x ) -(7x )

2⨯(3x ) ⨯(5x )

2

2

2

cos B ==-

12

. ∴C =120︒. 选(C )

(4)解: (a +b +c )(b +c -a ) =3bc , (b +c ) 2-a 2=3bc ,

b +c -a

2bc

2

2

2

b +c -a =3bc , cos A =二、填空题 (5)解:cos B =

222

=

12

, A =60 选(B )

3+2-(7)

2⨯3⨯2

2

2

222

=

12

. ∴B =60︒.

(6)解:由余弦定理c =

4

4+6-2⋅4⋅6cos 120︒=

76sin 120︒

5719

76,

再由正弦定理

sin A

=32

⇒sin A =.

(7) 解:将2b =3c ⇒b =

2

2

2

222

c 及a =3代入a =b +c +bc 得:c =6, 因此b =9,

另一方面由a =b +c +bc ⇒A =120︒.

∴S ∆ABC =

12

bc sin A =

12

⋅9⋅6sin 120︒=

272

3.

三、解答题

(8)请用向量的方法证明余弦定理.

如图,在△ABC 中,AB 、BC 、CA 的长分别为c ,a ,b ,

∵AC =AB +BC ,根据向量的数量积得:

AC ·AC =(AB +BC )·(AB +BC )=AB 2+2AB ·BC +BC 2=AB 2+

2|AB ||BC |cosθ+BC 2

其中,θ是向量AB 与BC 的夹角,θ=180°-B

∴AC 2=AB 2+2|AB ||BC cos (180°-B )+BC 2=c 2-2ac cos B +a 2

222

即b =c +a -2ac cos B .

222222

同理可证:a =b +c -2bc cos A ,c =a +b -2ab cos C .

1. 1.3正弦定理、余弦定理应用 .

一、选择题

(1)解:法一:a cos A =b cos B ⇔a ⋅

b +c -a

2bc

2

2

2

=b ⋅

a +c -b

2ac

222

变形整理得(a 2-b 2)(c 2-a 2-b 2) =0⇒a =b 或c 2=a 2+b 2. 故∆ABC 为等腰三角形或直角三角形.

法二:a cos A =b cos B ⇔sin A cos A =sin B cos B ⇒sin 2A =sin 2B . 又 0

(2)由根与系数关系得a +b =23, ab =2. 又由2sin(A +B ) -

3=0⇒sin C =

32

2

.

∴C =60︒. 由余弦定理c = 因为C 为锐角,a +b -2ab cos 60︒=

22

a +b -ab

2

=(a +b ) -3ab =

2

(23) -3⋅2=

2

6. 选(C)

(3)解:选C

sin A +cos A =A +

π

4

而0

π

4

2

2

π

4

2

5π4

⇒-

2

2

2

2

π

4

) ≤1

1-, 2

(4)解:C a -c =b +b , c b +二、填空题

(5)解:由正弦定理

sin 3

=

3sin C

c -a =-, b c o c s A =1 20

π6

⇒sin C =

32

⇒C =

π3

2π3

.

当C =当C =

π

3

2π3

时,A =

π

2

, 由勾股定理得a =b +c 3.

22

=23;

时,A =B =

π

6

,a =b =

(6) 7 三、解答题

(7)解: ∵A、B 为三角形的内角,∴sinA≠0,sinB≠0.

∴2A=2B 或2A =π-2B ,∴A=B 或A +B =. 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.

(8)在∆ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ,设a 、b 、c 满足条件

c =12+

3

b +c -bc =a 和b

222

,求∠A 和tan B 的值

分析:本题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等基础

知识,考查基本运算能力..

cos A =

b +c -a

2bc

2

2

2

=

12,

解法一:由余弦定理

因此,∠A =60︒ 在△ABC 中,∠C=180°-∠A -∠B=120°-∠B.

1+

3=

c b =sin C sin B

=

sin(120︒-B )

sin B

由已知条件,应用正弦定理2

=

sin 120︒cos B -cos 120︒sin B

sin B

=

32

cot B +

1

2

,

解得cot B =2, 从而

tan B =

1

2

2

2

.

cos A =

b +c -a

2bc

2

=

12,

解法二:由余弦定理

222

因此,∠A =60︒,由b +c -bc =a ,

a 2c 2c 1() =1+() -=1++

b b 4得b

3+3-

12

-3=

15

.

4

a

所以b

=

2

.

b a sin A =

2⋅32=15.

sin B =

由正弦定理

由①式知a >b , 故∠B

tan B =

sin B cos B

=1. 2

cos B =1-sin

2

B =

2,

从而

1. 2.1 应用举例

一、选择题

(1)已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等,灯塔A 在观察站C 的北偏东40 , 灯塔B 在观察站C 的南偏东60 ,则灯塔A 在灯塔B 的 ( B ) (A)北偏东10 (B)北偏西10 (C)南偏东10 (D)南偏西10 (2)某海轮以30海里/小时的速度航行,在点A 测得海面上油井P 在南偏东60 , 向北航行40分钟后到达点B ,测得油井P 在南偏东30 ,海轮改为北偏东60 的 航向再航行80分钟到达点C ,则P ,C 两点间距离的海里数是 ( A ) (A)207 (B)206

(C)(D)103 二、解答题

(3)如图,为了测河的宽度,在一岸边选定A 、B 两点,望对岸标记物C ,

测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120cm,求河的宽度。

解:由正弦定理得

A C sin ∠C B A

=

A B sin ∠A C B

12

12

D

B

,∴

A B ⋅A C sin ∠C A B =

AC=AB=120m,又∵S A B C =

A B ⋅C D

,解得CD=60m。

(4)解:由已知,在△CDB 中,CD =21,DB =20,BC =31,

据余弦定理,有cos ∠CDB =

CD

2

+DB

2

-BC

2

2CD ⋅DB 47

3.

=-

17

∴ sin ∠CDB =-cos CDB =

2

在△ACD 中,∠CAD =20°+40°=60°, ∴ ∠ACD =∠CDB -∠CAD =∠CDB -60°. ∴ sin ∠ACD =sin (∠CDB -60°)

=sin ∠CDB cos 60°-cos ∠CDB sin 60° =

47

12

-(-

17

)×

32

5314

由正弦定理,得 AD =

CD sin ∠CAD

· sin ∠ACD =15(千米).

答:此人距A 城15千米.

1. 2.2 应用举例

一、选择题

(1)一电线杆被台风吹断折成60 的角,电线杆根部与电线杆顶部着地处相距3米,则 电线杆原来的高度是 ( C ) (A) 53米 (B) 43米 (C) 33米 (D)3米

(2)山坡与水平面成30 角,坡面上有一条与山底坡脚的水平线成30 角的直线小路,某人沿

小路上坡走了一段路后升高了100米,则此人行走的路程为 ( C ) (A) 300米

二、解答题

(3)解:在△B C D 中,∠CBD =π-α-β. 由正弦定理得

B C sin ∠B D C

=

C D sin ∠C B D

(B) 400米 (C) 200米 (D) 2003米

所以BC =

C D sin ∠BDC sin ∠CBD

=

s ·sin βsin(α+β)

在R t △A B C 中,AB =BC tan ∠ACB =

s ·tan θsin βsin(α+β)

(4) 在塔底的水平地面上某点测得塔顶的仰角为θ,由此点向塔底沿直线走30米,

测得塔顶的仰角为2θ,再向前走103米,又测得塔顶的仰角为4θ,求塔高. 解:设∠A =θ, ∠BDC =2θ, ∠BEC =4θ

EC =x ,

B

D

E C

则 根据勾股定理得302-(x +103) 2=(103) 2-x 2,解得x =53. BC =

BE

2

-EC

2

=15, 答:塔高是15米。

1. 2.3 应用举例

解答题

(1)解:设所需时间为t 小时,在点B 处相遇(如图)

在△ABC 中,∠ACB = 120︒, AC = 100, AB = 21t , BC = 9t , 由余弦定理:

(21t ) 2 = 102 + (9t ) 2 - 2×10×9t ×c os120︒ 整理得:36t 2 -9t - 10 = 0 解得:t 1=

23, t 2=-

512

(9⨯

23) ⨯2332

=3314

B

(舍去)

由正弦定理

AB sin 120

=

BC sin ∠CAB

⇒sin ∠CAB =

21⨯

∴∠CAB = arcsin

3314

.

(2) 解:连接BC, 由余弦定理得BC =20+10-2×20×10COS120°=700.

于是,BC=10

sin ACB sin 120︒

7. ,∴sin ∠ACB==

20107

222

37

∵∠ACB

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援. (3)解:因为G 是边长为1的正三角形ABC 的中心,所以 AG

23⨯

23

,∠MAG =

π

6

,由正弦定理

G M

=s i 6

G A

(s π-i αn -

ππ

6

得G M =

6sin (α+

π6

,则S 1=

B

12

GM ∙GA ∙sin α=

sin α12sin (α+

π

6

。同理可求得S 2=

sin α12sin (α-

π

6

.

1tan a

2

(2)y =π

3

2π3

1y 1

2

1y 2

2

144

2

sin α

sin (α+

2π3

2

π

6

)+sin (α-

2

π

6

=72(3+)〕

π

2

)因

为≤α≤,所以当α=

π

3

或α=

时,y 取得最大值y max =240,当α=

时,y 取得

最小值y min =216.

全章检测题

一、选择题

(1)解:D sin A =sin 2B =2sin B cos B , a =2b cos B (2)解:由余弦定理得: AB sin C

=

3sin

⇒AB =23sin C ,

AC sin B

=

3sin

⇒AC =23sin B ,

π3

π3

∴∆ABC 周长为AB +BC +CA =23sin C +23sin B +3 =23sin(

2π3

-B ) +23sin B +3=6sin(B +

π

6

) +3. 选(D )

(3)解:因为a 、b 、c 成等比数列,所以b 2=ac . 由余弦定理得:cos B =

a +c -b

2ac

π3

2

2

2

2ac -ac 2ac

=

12

.

又因为∠B ∈(0,π) ,所以0<B ≤故选D . (4) 解: ∵A =

∵B +C =

2

π

32

,b +

c , 由正弦定理得sin B +sin C

A =π, ∴ sin B +sin(

32sin B =

32

2

32

.

2π3

3

-B ) =

32

.

B +. 即sin(B +

2

π

6

2

) =

2

. 故选C .

2cos

3π4

(5) 解:由余弦定理得() =BC

BC

2

+(2) -2⋅BC ⋅,整理得:

+2BC -15=0, 解得BC =3. 选(C )

(6) 解:

p //q ⇒(a +c )(c -a ) =b (b -a ) ⇒a +b -c =ab

2

2

2

∴cos C =

a +b -c

2ab

222

=

ab 2ab

=

12

. 选(B )

(7)解: a , b , c 成等比数列,∴b a +c -b

2ab

2

2

2

2

2

=ac 又 c =2a , ∴b =

2

2

2a ,

∴cos B =选(B )

=

a +(2a ) -(2a )

2a ⋅(2a )

=

34

.

(8) 解:由余弦定理得cos A =

9+16-132⋅3⋅43212sin 60︒

=

12

, sin A =

32

.

AC 边上的高=AB ⋅sin A =3⋅=

332

. 选(B )

二、填空题

(9)解:由正弦定理得

AC sin 45︒

=

⇒AC =46.

(10)解:(1)∵b 2=a 2+c 2-2ac cos B

=2+2-2⋅cos 450

=12+2-1) =8

∴b =

求A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:

b +c -a 10

, ∴A =60. ∵

cos A =

2bc 22

2

2

2

2

2

(11)解: A , B , C 成等差数列,∴2B =A +C . A +B +C =π, ∴B =

在∆ABD 中,AD =三、解答题

(12) 解:(

AB

2

π

3

.

AB

2

+BD

2

-2AB ⋅BD cos B =+4-2⨯1⨯2⨯

12

=3.

+BC

2

)由余弦定理得

34=2.

=AC

2

-2AC ⋅BC cos C =4+1-2⨯2⨯1⨯

∴AB =

2.

(Ⅱ)由cos C =

34

且0

2

74

,

由正弦定理得:sin A =

BC sin C AB

=

8516

. ∴cos A =

528

.

916

由倍角公式sin 2A =2sin A ⋅cos A =7, 且cos 2A =1-2sin

2

A =.

∴sin(2A +C ) =sin 2A cos C +cos 2A sin C =

3

378

. 45

(13)解: 由题意,得cos B =,B 为锐角,sin B =

5

sin A =sin(π-B -C ) =sin

107

⎛3π

⎫72

, -B ⎪=

410⎝⎭

12

ac sin B =

12⨯2⨯

107⨯45=87

由正弦定理得 c =, ∴ S =.

(14)解:如图,连结A 1B

1,由已知A 2B 2=

A 1A 2=2060

=

A 2

∴A 1A 2=A 2B 1,

A

1

又∠A 1A 2B 2=180-120=60,

∴△A 1A 2B 2是等边三角形,

∴A 1B 2=A 1A 2=,

由已知,A 1B 1=20,

∠B 1A 1B 2=105-60=45,

A 2

A 1

在△A 1B 2B 1中,由余弦定理,

B 1B 2=A 1B 1+A 1B 2-2A 1B 2 A 1B 2

cos 45

2

2

2

=20+-2⨯20⨯=200.

22

2

∴B 1B 2=

因此,乙船的速度的大小为

20

60=/小时)

答:乙船每小时航行海里.

(15)解:(Ⅰ) C =π-(A +B ) ,

1

∴tan C =-tan(A +B ) =-

1-

+143⨯35

=-1.

又 0

34π,

34

π.

A B 边最大,即AB =.

又 tan A

2⎭

⎛π⎫

∴角A 最小,B C 边为最小边. sin A 1⎧

=,⎪tan A =⎛π⎫

由⎨cos A 4且A ∈ 0⎪,

⎝2⎭⎪sin 2A +cos 2A =1,

得sin A =

17

A B sin C

=

B C sin A

得:B C =A B sin A

sin C

=

所以,最小边BC =

第二章 数列

2. 1数列的概念与简单表示法1. 一、选择题

1.D 2.C 3.D 4.C

二、填空题

n -n +6

2

2

5.

6.

7. 图略。 通项公式为a n =4n ;a n =4n +1

三、解答题

8.(Ⅰ) f (3)=6(Ⅱ) f (n ) =

n (1+n ) 2

提示:第1堆一个球,第2堆底层有1+2个球,…第n 堆

n 2

底层有1+2+3+ +n 个球,把第1行和第n 行加在一起是(n +1) 个球,共有2. 1数列的概念与简单表示法2. 一、选择题

1.B 2.C 3.D 4.A

二、填空题

5.(-1) n

n +13n

6.4n +2提示:每个图去掉最左边的两块白色砖后,每块黑色砖都对应

着四块白色砖,所以白砖共有4n +2块.

7. (题条件不全)

三、解答题

8.a 1=2, a 2=3, a 3=5, a 4=9, a 5=17 图中点

的坐标为(1,2), (2,3), (3,5), (4,9), (5,17)

9. (Ⅰ) a 1=-3, a 2=-1, a 3=2, a 4=3, a 5=1, a 6=-2

(Ⅱ) b 1=

13

, b 2=-2, b 3=

32, b 4=

13

, b 5=-2

2.2 等差数列(1) 一、选择题

1.D 2.D 3.D 4.D 二、填空题 5.-48 6.a n =三、解答题

8. a 2+a 5=a 1+d +4d =2a 1+5d =4,

又a 1=

13 ∴d =

23, a n =

13

+(n -1) ⋅

23=23n -

13

12n -3

n

第8题图

7.13

, a n =33, ∴

23

n -

13

=33得n =50

9. 解:运用方程解得:(a 2-d )+a2+(a2+d)=12…①

(a 2-d )·a2·(a2+d)=48…②

联立①②解得:a 2=4,d=2

∴a1=a2-d=2.

2.2 等差数列(2)

一、选择题

1.B 2.A 3.B 4.B 二、填空题 5.33,18,3 6.三、解答题

x n =f (x n -1)=

3x n -1(n ≥2)

2n +1

7.14

8.证明:

x n -1+3∴

1-1+31x =

x n n

3x =

n -1

3+

1x n -1

1

x -

1n

x =

1n -1

3

∴⎧⎨1⎫

⎩x ⎬为等差数列

n ⎭

9. 解:a m +n =0

2.3等差数列的前n 项和(1) 一、选择题

1.A 2.B 3.B 4.C 二、填空题 5.60 6.

925

7.165

三、解答题 8.a n =2n +1. 9. a n =-55n +580

2.3 等差数列的前n 项和(2) 一、选择题

1.A 2.A 3.A 4.C 二、填空题

5.45 6.210 7.6n-1 三、解答题

8.S 13最大,最大值为169. 9. 2.4 等比数列(1) 一、选择题

1.C 2.A 3.C 4.D 二、填空题

.

5.a n =8⨯(-) n -1 6.480 7.2n -1

2

1

三、解答题 8.a n =3n -1 2.4 等比数列(2) 一、选择题

1.C 2.A 3.B 4.C

二、填空题

5.1,3,9 6.4 7.x 2-12x +25=0. 三、解答题

8.(1)由a n +1=2a n +1得a n +1+1=2(a n +1) ∴a n +1+1a n +1

=2, 故数列{a n +1}是等比数列.

n n

(2)由(1)知a n +1=2∴a n =2-1.

9.a=2,b=5,c=8或a=11,b=5,c=-1 2.5等比数列的前n 项和 一、选择题

1.D 2.B 3.D 4.C 二、填空题

5.a n =2n +1 6.6;2 7.2-三、解答题

8.(1)a n =2⋅3 (2)n=5 数列求和答案

1 C 2 B 3 B 4 B 5 -

n (5n +1)

2

n -1

n+22

6

13

7

12

8 27,

133

9(Ⅰ)证明:由题设a n +1=4a n -3n +1,得

a n +1-(n +1) =4(a n -n ) ,n ∈N

*

又a 1-1=1,所以数列{a n -n }是首项为1,且公比为4的等比数列. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知a n -n =4n -1,于是数列{a n }的通项公式为

a n =4

n -1

+n .

所以数列{a n }的前n 项和S n =

4-13

n

+

n (n +1) 2

(Ⅲ)证明:对任意的n ∈N *,

S n +1-4S n =

12

2

4

n +1

-1

3

+

(n +1)(n +2)

2

⎛4n -1n (n +1) ⎫-4 +⎪

2⎝3⎭

=-

(3n +n -4) ≤0.

所以不等式S n +1≤4S n ,对任意n ∈N *皆成立.

数列综合答案

一 选择题:1 D 2 B 3 A 4 D

二 填空题:5 2n -11 6 log

2

5 7 ; 8 8 1-

14

n

8题目中x 2-(3k +2k ) x +3k ⋅2k =应舍去

13

13

12

2

a n =s n -s n -1=a n -a n -1

14

n

∴q =q =

14

提示 ;

a 1=

32

, a 2=

34

∴T =1-

三 解答题

9 (I)解:设数列{a n }的公比为q

本题应把题中的a 4=512改为a 5=512,这样更适合第二问。 由a 2=8, 解得a 1=2,

a 5=512; 可得a 1q =8,

a 1q

4

=512

n -1

q =4 所以,{a n }的通项公式是a n =2⋅4

n -1

(2)由a n =2⋅4;可得b n =2n -1

10解:(1)设{b n }的公差为d ,则b 4=b 1+3d =2+3d =11,解得 d =3, ∴

数列{b n }为2,,,5811,,,852.

(2)S 2k -1=c 1+c 2+ +c k -1+c k +c k +1+ +c 2k -1 =2(c k +c k +1+ +c 2k -1) -c k ,

S 2k -1=-4(k -13) 2+4⨯132-50, ∴

当k =13时,S 2k -1取得最大值.

S 2k -1的最大值为626.

5

a 54-a 245-2

=14

11(Ⅰ)设第4列公差为d ,则d =

516

116

==1. 316

a 44a 42

=14

-

1

故a 44=a 54-d =

-

,于是q 2=

12

由于a ij >0,所以q >0,故q =

18+116

(i -2) =

116

i .

(Ⅱ)在第4列中,a i 4=a 24+(i -2) d =

由于第i 行成等比数列,且公比q =

⎛1⎫

=i ⋅ ⎪16⎝2⎭

n

12

⎛1⎫

=i ⋅ ⎪.

⎝2⎭

n

所以, a ij =a i 4⋅q

j -4

1

j -4j

(Ⅲ)由(Ⅱ)可得a nn

⎛1⎫⎛1⎫

=n ⎪.即b n =n ⎪.

⎝2⎭⎝2⎭

所以S n =b 1+b 2+b 3+ +b n =a 11+a 22+a 33+ +a nn . ⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫

即S n =1⋅+2⋅ ⎪+3⋅ ⎪+ +(n -1) ⋅ ⎪

2⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭1

2

3

4

1

23n -1

⎛1⎫

+n ⋅ ⎪,

⎝2⎭

n

n +1

n

⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫

故S n =1⋅ ⎪+2⋅ ⎪+3⋅ ⎪+ +(n -1) ⋅ ⎪+n ⋅ ⎪2⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫两式相减,得S n =+ ⎪+ ⎪+ + ⎪-n ⋅ ⎪

22⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭

1

1

2

3

n

n +1

n

1⎡⎛1⎫⎤⎢1- ⎪⎥n +1n n +12⎢2⎝⎭111⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-n ⋅ ⎪=1- ⎪-n ⎪,

12⎝⎭⎝2⎭⎝2⎭1-2

所以S n =2-

12

n -1

-

n 2

n

全章检测题答案 一 选择题:

1 A 2 A 3 C 4 A 5 C 二 填空题:

6 84 7 512 8 26 9 (1+p )

12

-1 10

53

7

7

a 1+a 7=2a 4∴a 1+a 4+a 7=3a 4

a 9+a 11=2a 10

8 提示:∴2(a 1+a 4+a 7)+3(a 9+a 11)=6(a 4+a 10)=6(a 1+a 9)

∴S 13=26

三 解答题:

11解 (Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d , 由题意知

⎧⎪⎨

na n (n -1)1+

2d =n 2

, ⎪⎩a 2

-a 1+a 4-a 3+⋅⋅⋅+a n -a n -1=n . ⎧a +n -1d =∴⎪⎪1n , ⎨2 ∴a 1=1, d =2.

⎪d ⎪⎩2

n =n . ∴a n =2n -1.

2

n

证明(Ⅱ)由S ⎛11 ⎫⎝2⎪=1⨯+3⨯⎛1⎭2 ⎫⎪+⋅⋅⋅+(2n -1)⨯⎛1 ⎫

⎝2⎪, ①

⎝2⎭⎭

则1

2

n

n +1

2S ⎛1 ⎫⎪=1⨯⎛1 ⎫⎪+⋅⋅⋅+(2n -3)⨯⎛1 ⎫⎪+(2n -1)⨯⎛1 ⎫

⎪. ⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭ ①-②得,

1

2S ⎛1⎫1⎡⎢⎛1⎢ ⎫2

⎪+⋅⋅⋅+⎛1 ⎫n ⎤⎪⎥-(2n -1⎛1n +1

⎪=+2⎫⎭2⎣⎝2⎭⎝2⎭)⎥ ⎦

⎝2⎪ ⎝2⎭n -2⨯1⎡⎛1⎫1

⎤ =14⎢1-⎢ ⎣⎝2⎪⎭⎥⎥⎦

n +1

2+

1-1-(2n -1)⋅⎛1 ⎫⎝2⎪ ⎭2

n +1

=3

⎛1n -1

2- ⎫-

3⎝2⎪(2n -1)⋅⎛1 ⎫

⎝2⎪

2

(n 是正偶数),

∴S

⎛1⎫

2⎪

12 证明:(Ⅰ) 依题意c n =a n +1— a n ,

∴ c n =[((n +1) 2-

25

13

5213

(n +1)]-[n -n ]=5n -4. 22212

n

(Ⅱ)(1)由c n — a n =2n 得a n +1— a n — a n =2n ,即a n +1=2a n +2n .

a 12a n +12

n +1

=

a n 2

n

+,即

a n +12

1

n +1

-

a n 2

n

=

1212

为公差的等差数列.

∵a 1=1,=

12

,∴{

a n 2

}是以

2

为首项、

(2) 由(1)得a n =⋅2n =n ·2,

2n

n -1

∴ S n = a 1+a 2+…+a n =1·2+2·2+…+n ·2, ① ∴ 2S n =1·21+2·22+…+n ·2n . ①—②得:— S n =1+2+2+…+2

2

n -1

01n -1

② n ·2=

n

1-2

n

1-2

n ·2,

n

∴ S n = n·2n — 2n +1=(n — 1)·2n +1.

13 (Ⅰ)证明:在已知式中,当n =1时,a 13=a 12 ∵a 1>0 ∴a 1=1

33332

当n ≥2时,a 1+a 2+a 3+ +a n =S n ①

33332

a 1+a 2+a 3+ +a n -1=S n -1 ②

3

①-②得,a n =a n (2a 1+2a 2+ +2a n -1+a n )

∵a n >0 ∴a n =2a1+2a2+…+2an -1+an , 即a n =2Sn -a n ∵a 1=1适合上式 ∴a n =2Sn -a n (n∈N +

(Ⅱ)解:由(1)知a n =2Sn -a n (n∈N +) ③

2

当n ≥2时, a n -1=2Sn -1-a n -1 ④

2

22

2

③-④得a n -a n -1=2(Sn -S n -1) -a n +an -1=2an -a n + an -1= an + an -1 ∵a n +an -1>0 ∴a n -a n -1=1

∴数列{an }是等差数列,首项为1,公差为1,可得a n =n

22

第三章不等式

3.1 不等关系与不等式 一. 选择题

1.D 2.C提示:分子有理化 3.C 提示:

1a -1b =b -a ab

①②④正确

4. C 对于A ,B ,倒数法则:a >b , ab >0⇒二. 填空题

5. a ,ab 作差可以判断 6. (46, 68), (5, 27) 7. 第一或第三象限

α是第三象限,则2k 1π+π

32

1a

,要求a , b 同号,

π, k 1∈z

β是第二象限角,则有2k 2π+

π

2

可得2(k 1-k 2) π

α-β

2

π

2

α-β

2

为第一或第三象限角

三. 解答题

8. (x -3) 2-(x -2)(x -4) =1, ∴(x -3) 2>(x -2)(x -4) 即log

12

(x -3)

2

12

(x -2)(x -4)

9. m+n=1且

(

ma +nb

)

2

-(m a +n b ) =ma +nb -(m a +n b +2mn

222

ab )

=ma(1-m)+nb(1-n)-2mnab =mn(a-2ab +b ) =mn(a - ∴3.2一元二次不等式及其解法(1)

一. 选择题

1.C 2. B 3. B 解得-1

2

(2)当ab ) ≥0

2

am +nb ≥m a +n b

交集得-2

5. 不等式ax +bx +2>0的解集是(-1,2)说明方程ax +bx +2=0的两个根为-1,2

2

2

x 1+x 2=1=-

b a

,x 1x 2=

3

2a

=-2,解得a =-1, b =1, 则a+b=0

6. ⎨x -

⎧14

≤x

⎧4x 2-3x >013交集得或-≤x

44⎩log 0. 5(4x -3x ) ≥0

7. [-2, +∞); 设x +1=t (t ≥0) ,则x =t 2-1, y =2t 2-2+t , 可得当t=0时y min =-2 三. 解答题

8. x 2-8x +26>0恒成立,要使得mx

2

+2(m +1) x +9m +4>0恒成立,

即使(1)m=0时,显然原不等式不恒成立,

⎧m >0

m ≠0(2)时,m 满足⎨ 2

∆=4(m +1) -4m (9m +4)

改为⇒(, +∞)

4

1

9. 记 F(x)=f(x)-k=(x-k) 2+2-k -k 2, 则F(x)≥0对x ≥-1都成立,

⎪∆x ≥0, ⎪

由题意得Δx <0或⎨F (-1) ≥0, 求得-3≤k <-1. 改为:求得-3≤k <1.

⎪-2k ⎪-≤-1,

2⎩

3.2一元二次不等式及其解法(2) 一. 选择题

1.B 2.D 3.A 4.C

2. 提示:讨论x 的正负或利用数形结合 4. log a (x -2x +3) ≤log (1)当a>1时x -2x +3≤

2

2

1

a

a

,

1a

不恒成立

1a

2

(2)当0

在x ∈R 上恒成立,则有∆=4-12+

4a

≤0

解得 a ≥二. 填空题

12

,交集得

12

≤a

⎧x 2-3>0⎪

5. 原不等式等价于⎨2x -3>0,交集得x ∈(3, 2) (2, +∞)

⎪2x -3≠1⎩

⎧(x -3)(10-x ) ≥0⎧(x -3)(10-x ) ≤0

6. 原不等式等价于⎨2 或⎨2

⎩x (x -1) >0⎩x (x -1)

解得(-∞, 0) (0, 1) (3, 10)

⎧1-x >0⎩1+x >0

⎧1-x

7. 原不等式等价于⎨三 . 解答题

或⎨

,解得x ∈(-∞, -1) ⋃(-1, 1)

8. 解A 集合得-3

1.B 2.B 3.D 4.D

2.a=-3x+2y, a min =-7, a max =24

4. 提示:画出x +y ≤4所表示的平面区域,用画格子法将其分成小正方形,则这些小正方形的顶点为整点,一共41个。 二. 填空题 5.

1214

6. 36

三. 解答题

7. 直线x-y =3的右下方与直线x+y=0的右上方与直线x =4左方的公共部分. 8. 直线x-y-1=0的左上方与直线2x-y-3=0的右下方公共部分.

3.3.2简单的线性规划问题(1) 一. 选择题 1.C 2.A 3.B

3. 利用指数函数y =3为增函数的性质. 二. 填空题

4. 9 5. 2 , 注意本题的可行域

x

⎧x -y ≥0,⎪

⎪2x +y ≤2,

6. 不等式组⎨,将前三个不等式画出可行域,三个顶点分别为(0,0) ,(1,0) ,

⎪y ≥0,⎪⎩x +y ≤a

(

23

23

) ,第四个不等式x +y ≤a ,表示的是斜率为-1的直线的下方,∴ 当0

43

表示的平面区域是一个三角形,当a ≥时,表示的平面区域也是一个三角形.

题目中第二个不等式印错了应为2x +y ≤2 3.3.2简单的线性规划问题(2) 一. 选择题

1.C 2.B (使得z 取最大值的最优解为直线系y =2x -z 截距取最小值的点)

3. B 提示:设截成长518mm 的x 段,698mm 的y 段,则518x+698y≤4000, 其中x,y 为⎧518x +698y ≤4000, ⎪

正整数,即满足⎨x >0, 的整点,且最接近直线l 的为(5,2)点,最大利

⎪y >0⎩

用率为

(5⨯518+698⨯2) ÷4000=99. 65%

⎧2m +n ≥15, ⎪

⎪m +2n ≥18

4.C 可得不等式组⎨,结合图形可得m+n的最小值为12

m +3n ≥27⎪

⎪m , n ∈N *⎩

二. 填空题 5. k =

的几何意义为可行域上的点与原点连线的斜率的最大值与最小值k ∈⎢, 2⎥ x ⎣2⎦

2

y

⎡1⎤

6. x +y 的几何意义是可行域上点与原点距离的平方的最大值13 7. 画图分析可得2≤k

8. (x +1)+(y +1)的几何意义是区域上的点到点(-1,-1)的距离平方的最小值为

2

2

2

12

3.3.2简单的线性规划问题(3)

1. 用甲、乙两种薄板各5张, 才能使总的用料面积最小, 最小值为25m 2. 2. 生产200把椅子,900张书桌可获得最大利润21000元. 3. (Ⅰ) c = 400+7x +5y

(Ⅱ) 当x =50kg , y =20kg , z =30kg 时, 混合物成本最低为850元.

3.4基本不等式ab ≤一. 选择题

1.A 2. B 3. D 4. B 3.log 5x+log5y =log 4.Q=

12

5

a +b 2

(1)

xy ≥2, xy ≥25, x +y ≥2xy , x +y ≥10

(lga

+lg b ) >=

P , Q=

12

lg ab =lg

a +b 2

) =R , 即P

二. 填空题

5. 2x +5y =20≥2xy , 解得xy ≤10,lg x +lg y =lg xy ≤1 6. 4 7. 1 三. 解答题 8. (

1a 1a -1)(

1b 1b -1)(

1c 1c -1) =

b +c a +c a +b 2bc ⋅2ac ⋅2ab

⋅⋅ ≥a b c abc

即(-1)(-1)(-1) ≥8,当且仅当a=b=c时等号成立

9. 因为-10 ∴0

f (x 1-1) +f (x 2-1) =log

x 1+log

x 2

a a

f (x 1-1) +f (x 2-1)

2

=log

a

x 1x 2,f (

x 1+x 2-2

2

) =log

x 1+x 2

a

2

x 1+x 2

2

x 1x 2,则log

x 1+x 2

a

2

≤log

a

x 1x 2,

f (x 1-1) +f (x 2-1)

2

≥f (

x 1+x 2-2

2

)

3.4基本不等式ab ≤一. 选择题

1.B 2.C 3.D 4.B

a +b 2

(2)

1111⋅=,当且仅当3x=1-3x,即x =时等号成立

334126113

) ≤3-23 2.3x +≥23 则y =3-3x -=3-(3x +

x x 3x

1. 原式=3x ⋅(1-3x ) ≤

1

3. 选项A 中x 必须大于0 选项B ,C 等号不能成立 D.当且仅当x=0时等号成立 4.(1)(2)不能保证

b a 1

, 以及lg x , lg y 为正 (3)当x

二. 填空题

5. 22 6. 8 ,2 7. (4, +∞) 三. 解答题

8. 解法一:由x+y=6,∴y =6-x , ∴x 2+y 2=x 2+(6-x ) 2=2(x -3) 2+18

当x=3时,(x 2+y 2) min =18

x +y 2

2

2

1a

+

1b

=

a +b a

+

a +b b

=2+

b a

+

a b

≥4, 但a ≠b 因此等号不能成立。

解法二, ≥

x +y 2

=3, ∴x 2+y 2≥18, 当x =y =3时(x 2+y 2) min =18

解法三:利用几何意义求解,此题是求线段x+y=6上的一点到原点距离(平方)最小 9. x

54

,∴5-4x >0,∴y =4x -2+

15-4x

14x -5

=-(5-4x +

15-4x

) +3≤-2+3=1

当且仅当5-4x =全章检测题 一. 选择题

时等号成立 即x=1时,符合条件。

1.A 2.D 3.C 4.A 5.B 6.B 6. 设所需要的时间为t, 则t =二. 填空题

7. 充分不必要条件 8. 5 9. {x x 1} 10.

a 1+a 2+ +a m

m n -m

a 1+a 2+ +a n

n

n

(1≤m

1⎡v 2⎤40025v 400+25() =+≥10小时 ⎢⎥v ⎣20⎦v 400

a m +1+a m +2+ +a n a 1+a 2+ +a n

三. 解答题 11. k AD =-

12

, k CD =1 , 若目标函数z =ax +y 只在点D 处取得最优解,

12

即 函数y=-ax +z 的斜率为-a 满足-a>1或-a12. (x+y)(

1x +a y ) =1+

y x +ax y

12

或a

解得a >

12

或a

2

+a ≥1+a +2a =(a +1) ≥9, ∴a ≥4

所以 正实数a 的最小值为4

13. 解:设f (x )=x +ax +1,则对称轴为x =-

若--

52a 2

2

a 212

〕上是减函数,应有f (

12

12

,即a ≤-1时,则f (x )在〔0,)≥0⇒

≤x ≤-1

a 2

若-≤0,即a ≥0时,则f (x )在〔0,

12

〕上是增函数,应有f (0)=1>0恒成立,

故a ≥0 若0

a 2

12

,即-1≤a ≤0,则应有f (-

a 2

)=

a

2

4

a

2

2

+1=1-

a

2

4

≥0恒成立,故

-1

综上所述,实数a 的取值范围是 a ≥-

14. 解:买回来x 周的总维修保养费为S =500x +

S +500000

x

x 2=500000

x

x (x -1) 2

52

,每周平均费用为:

12

12

Y ==500-

12

+

x 2

+

500000

x

≥500-

12

+2

x 2

500000

x

=1500-=1499

即x =1000时取等号。因此1000周后报废最合算。

第一章 解三角形

1. 1. 1 正弦定理

一、选择题

(1)解:选(A ).

43

=42sin B

⇒sin B =

22

sin 60︒

故B =45︒. . 又 a >b , ∴A >B ,

(2)解:选(C).

A =

π

6

, B =

π

3

, C =

π

2

, a :b :c =sin A :sin B :sin C =

12

12

:

2

22

=1:2

(3)解:b =2a sin B ⇒sin B =2sin A sin B ⇒sin A =

150︒. 选(D )

( sin B ≠0) ,∴A =30︒或

(4)解:a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B . 选(C) 二、填空题 (5)解:

b sin 45︒

=

3sin 60︒

12⇒b =

2.

(6)解:

2393

S ∆ABC =

bc s i n A =

12

c ⨯

=2

c , =a 4, =

2

a 1=313

a +b +c s i n A +

s i B n +

=

s C i n

a

==s A i 2

9

3

(7)解:

3sin 30︒

=

33sin C

⇒C =60︒或120︒. C=60时,A =90, a=

0 0

C=120时, A =30,a=3故a=6或a=3 三、解答题

(8)请用向量法证明正弦定理.

如图在∆A B C 中,AB ⊥C D

证明:由已知可得:CA 和CB 在CD 方向上的投影相等。

ππ

所以,|C A |cos(-A ) =|C B |cos(-B )

22

所以,b sin A =a sin B 所以 同理可得:

a sin A

=

c sin C

a sin A

=

b sin B

1. 1. 2余弦定理

一、选择题

(1)解:由余弦定理a =

8+3-2⨯8⨯3cos 60︒=7. 选(C ) 20

2

22

(2)解:由余弦定理cos B =

+21-29

22

2⨯20⨯21

=0. 选(A )

(3)解:设a =3x , b =5x , c =7x ,最大角为C.

(3x ) +(5x ) -(7x )

2⨯(3x ) ⨯(5x )

2

2

2

cos B ==-

12

. ∴C =120︒. 选(C )

(4)解: (a +b +c )(b +c -a ) =3bc , (b +c ) 2-a 2=3bc ,

b +c -a

2bc

2

2

2

b +c -a =3bc , cos A =二、填空题 (5)解:cos B =

222

=

12

, A =60 选(B )

3+2-(7)

2⨯3⨯2

2

2

222

=

12

. ∴B =60︒.

(6)解:由余弦定理c =

4

4+6-2⋅4⋅6cos 120︒=

76sin 120︒

5719

76,

再由正弦定理

sin A

=32

⇒sin A =.

(7) 解:将2b =3c ⇒b =

2

2

2

222

c 及a =3代入a =b +c +bc 得:c =6, 因此b =9,

另一方面由a =b +c +bc ⇒A =120︒.

∴S ∆ABC =

12

bc sin A =

12

⋅9⋅6sin 120︒=

272

3.

三、解答题

(8)请用向量的方法证明余弦定理.

如图,在△ABC 中,AB 、BC 、CA 的长分别为c ,a ,b ,

∵AC =AB +BC ,根据向量的数量积得:

AC ·AC =(AB +BC )·(AB +BC )=AB 2+2AB ·BC +BC 2=AB 2+

2|AB ||BC |cosθ+BC 2

其中,θ是向量AB 与BC 的夹角,θ=180°-B

∴AC 2=AB 2+2|AB ||BC cos (180°-B )+BC 2=c 2-2ac cos B +a 2

222

即b =c +a -2ac cos B .

222222

同理可证:a =b +c -2bc cos A ,c =a +b -2ab cos C .

1. 1.3正弦定理、余弦定理应用 .

一、选择题

(1)解:法一:a cos A =b cos B ⇔a ⋅

b +c -a

2bc

2

2

2

=b ⋅

a +c -b

2ac

222

变形整理得(a 2-b 2)(c 2-a 2-b 2) =0⇒a =b 或c 2=a 2+b 2. 故∆ABC 为等腰三角形或直角三角形.

法二:a cos A =b cos B ⇔sin A cos A =sin B cos B ⇒sin 2A =sin 2B . 又 0

(2)由根与系数关系得a +b =23, ab =2. 又由2sin(A +B ) -

3=0⇒sin C =

32

2

.

∴C =60︒. 由余弦定理c = 因为C 为锐角,a +b -2ab cos 60︒=

22

a +b -ab

2

=(a +b ) -3ab =

2

(23) -3⋅2=

2

6. 选(C)

(3)解:选C

sin A +cos A =A +

π

4

而0

π

4

2

2

π

4

2

5π4

⇒-

2

2

2

2

π

4

) ≤1

1-, 2

(4)解:C a -c =b +b , c b +二、填空题

(5)解:由正弦定理

sin 3

=

3sin C

c -a =-, b c o c s A =1 20

π6

⇒sin C =

32

⇒C =

π3

2π3

.

当C =当C =

π

3

2π3

时,A =

π

2

, 由勾股定理得a =b +c 3.

22

=23;

时,A =B =

π

6

,a =b =

(6) 7 三、解答题

(7)解: ∵A、B 为三角形的内角,∴sinA≠0,sinB≠0.

∴2A=2B 或2A =π-2B ,∴A=B 或A +B =. 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.

(8)在∆ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ,设a 、b 、c 满足条件

c =12+

3

b +c -bc =a 和b

222

,求∠A 和tan B 的值

分析:本题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等基础

知识,考查基本运算能力..

cos A =

b +c -a

2bc

2

2

2

=

12,

解法一:由余弦定理

因此,∠A =60︒ 在△ABC 中,∠C=180°-∠A -∠B=120°-∠B.

1+

3=

c b =sin C sin B

=

sin(120︒-B )

sin B

由已知条件,应用正弦定理2

=

sin 120︒cos B -cos 120︒sin B

sin B

=

32

cot B +

1

2

,

解得cot B =2, 从而

tan B =

1

2

2

2

.

cos A =

b +c -a

2bc

2

=

12,

解法二:由余弦定理

222

因此,∠A =60︒,由b +c -bc =a ,

a 2c 2c 1() =1+() -=1++

b b 4得b

3+3-

12

-3=

15

.

4

a

所以b

=

2

.

b a sin A =

2⋅32=15.

sin B =

由正弦定理

由①式知a >b , 故∠B

tan B =

sin B cos B

=1. 2

cos B =1-sin

2

B =

2,

从而

1. 2.1 应用举例

一、选择题

(1)已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等,灯塔A 在观察站C 的北偏东40 , 灯塔B 在观察站C 的南偏东60 ,则灯塔A 在灯塔B 的 ( B ) (A)北偏东10 (B)北偏西10 (C)南偏东10 (D)南偏西10 (2)某海轮以30海里/小时的速度航行,在点A 测得海面上油井P 在南偏东60 , 向北航行40分钟后到达点B ,测得油井P 在南偏东30 ,海轮改为北偏东60 的 航向再航行80分钟到达点C ,则P ,C 两点间距离的海里数是 ( A ) (A)207 (B)206

(C)(D)103 二、解答题

(3)如图,为了测河的宽度,在一岸边选定A 、B 两点,望对岸标记物C ,

测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120cm,求河的宽度。

解:由正弦定理得

A C sin ∠C B A

=

A B sin ∠A C B

12

12

D

B

,∴

A B ⋅A C sin ∠C A B =

AC=AB=120m,又∵S A B C =

A B ⋅C D

,解得CD=60m。

(4)解:由已知,在△CDB 中,CD =21,DB =20,BC =31,

据余弦定理,有cos ∠CDB =

CD

2

+DB

2

-BC

2

2CD ⋅DB 47

3.

=-

17

∴ sin ∠CDB =-cos CDB =

2

在△ACD 中,∠CAD =20°+40°=60°, ∴ ∠ACD =∠CDB -∠CAD =∠CDB -60°. ∴ sin ∠ACD =sin (∠CDB -60°)

=sin ∠CDB cos 60°-cos ∠CDB sin 60° =

47

12

-(-

17

)×

32

5314

由正弦定理,得 AD =

CD sin ∠CAD

· sin ∠ACD =15(千米).

答:此人距A 城15千米.

1. 2.2 应用举例

一、选择题

(1)一电线杆被台风吹断折成60 的角,电线杆根部与电线杆顶部着地处相距3米,则 电线杆原来的高度是 ( C ) (A) 53米 (B) 43米 (C) 33米 (D)3米

(2)山坡与水平面成30 角,坡面上有一条与山底坡脚的水平线成30 角的直线小路,某人沿

小路上坡走了一段路后升高了100米,则此人行走的路程为 ( C ) (A) 300米

二、解答题

(3)解:在△B C D 中,∠CBD =π-α-β. 由正弦定理得

B C sin ∠B D C

=

C D sin ∠C B D

(B) 400米 (C) 200米 (D) 2003米

所以BC =

C D sin ∠BDC sin ∠CBD

=

s ·sin βsin(α+β)

在R t △A B C 中,AB =BC tan ∠ACB =

s ·tan θsin βsin(α+β)

(4) 在塔底的水平地面上某点测得塔顶的仰角为θ,由此点向塔底沿直线走30米,

测得塔顶的仰角为2θ,再向前走103米,又测得塔顶的仰角为4θ,求塔高. 解:设∠A =θ, ∠BDC =2θ, ∠BEC =4θ

EC =x ,

B

D

E C

则 根据勾股定理得302-(x +103) 2=(103) 2-x 2,解得x =53. BC =

BE

2

-EC

2

=15, 答:塔高是15米。

1. 2.3 应用举例

解答题

(1)解:设所需时间为t 小时,在点B 处相遇(如图)

在△ABC 中,∠ACB = 120︒, AC = 100, AB = 21t , BC = 9t , 由余弦定理:

(21t ) 2 = 102 + (9t ) 2 - 2×10×9t ×c os120︒ 整理得:36t 2 -9t - 10 = 0 解得:t 1=

23, t 2=-

512

(9⨯

23) ⨯2332

=3314

B

(舍去)

由正弦定理

AB sin 120

=

BC sin ∠CAB

⇒sin ∠CAB =

21⨯

∴∠CAB = arcsin

3314

.

(2) 解:连接BC, 由余弦定理得BC =20+10-2×20×10COS120°=700.

于是,BC=10

sin ACB sin 120︒

7. ,∴sin ∠ACB==

20107

222

37

∵∠ACB

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援. (3)解:因为G 是边长为1的正三角形ABC 的中心,所以 AG

23⨯

23

,∠MAG =

π

6

,由正弦定理

G M

=s i 6

G A

(s π-i αn -

ππ

6

得G M =

6sin (α+

π6

,则S 1=

B

12

GM ∙GA ∙sin α=

sin α12sin (α+

π

6

。同理可求得S 2=

sin α12sin (α-

π

6

.

1tan a

2

(2)y =π

3

2π3

1y 1

2

1y 2

2

144

2

sin α

sin (α+

2π3

2

π

6

)+sin (α-

2

π

6

=72(3+)〕

π

2

)因

为≤α≤,所以当α=

π

3

或α=

时,y 取得最大值y max =240,当α=

时,y 取得

最小值y min =216.

全章检测题

一、选择题

(1)解:D sin A =sin 2B =2sin B cos B , a =2b cos B (2)解:由余弦定理得: AB sin C

=

3sin

⇒AB =23sin C ,

AC sin B

=

3sin

⇒AC =23sin B ,

π3

π3

∴∆ABC 周长为AB +BC +CA =23sin C +23sin B +3 =23sin(

2π3

-B ) +23sin B +3=6sin(B +

π

6

) +3. 选(D )

(3)解:因为a 、b 、c 成等比数列,所以b 2=ac . 由余弦定理得:cos B =

a +c -b

2ac

π3

2

2

2

2ac -ac 2ac

=

12

.

又因为∠B ∈(0,π) ,所以0<B ≤故选D . (4) 解: ∵A =

∵B +C =

2

π

32

,b +

c , 由正弦定理得sin B +sin C

A =π, ∴ sin B +sin(

32sin B =

32

2

32

.

2π3

3

-B ) =

32

.

B +. 即sin(B +

2

π

6

2

) =

2

. 故选C .

2cos

3π4

(5) 解:由余弦定理得() =BC

BC

2

+(2) -2⋅BC ⋅,整理得:

+2BC -15=0, 解得BC =3. 选(C )

(6) 解:

p //q ⇒(a +c )(c -a ) =b (b -a ) ⇒a +b -c =ab

2

2

2

∴cos C =

a +b -c

2ab

222

=

ab 2ab

=

12

. 选(B )

(7)解: a , b , c 成等比数列,∴b a +c -b

2ab

2

2

2

2

2

=ac 又 c =2a , ∴b =

2

2

2a ,

∴cos B =选(B )

=

a +(2a ) -(2a )

2a ⋅(2a )

=

34

.

(8) 解:由余弦定理得cos A =

9+16-132⋅3⋅43212sin 60︒

=

12

, sin A =

32

.

AC 边上的高=AB ⋅sin A =3⋅=

332

. 选(B )

二、填空题

(9)解:由正弦定理得

AC sin 45︒

=

⇒AC =46.

(10)解:(1)∵b 2=a 2+c 2-2ac cos B

=2+2-2⋅cos 450

=12+2-1) =8

∴b =

求A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:

b +c -a 10

, ∴A =60. ∵

cos A =

2bc 22

2

2

2

2

2

(11)解: A , B , C 成等差数列,∴2B =A +C . A +B +C =π, ∴B =

在∆ABD 中,AD =三、解答题

(12) 解:(

AB

2

π

3

.

AB

2

+BD

2

-2AB ⋅BD cos B =+4-2⨯1⨯2⨯

12

=3.

+BC

2

)由余弦定理得

34=2.

=AC

2

-2AC ⋅BC cos C =4+1-2⨯2⨯1⨯

∴AB =

2.

(Ⅱ)由cos C =

34

且0

2

74

,

由正弦定理得:sin A =

BC sin C AB

=

8516

. ∴cos A =

528

.

916

由倍角公式sin 2A =2sin A ⋅cos A =7, 且cos 2A =1-2sin

2

A =.

∴sin(2A +C ) =sin 2A cos C +cos 2A sin C =

3

378

. 45

(13)解: 由题意,得cos B =,B 为锐角,sin B =

5

sin A =sin(π-B -C ) =sin

107

⎛3π

⎫72

, -B ⎪=

410⎝⎭

12

ac sin B =

12⨯2⨯

107⨯45=87

由正弦定理得 c =, ∴ S =.

(14)解:如图,连结A 1B

1,由已知A 2B 2=

A 1A 2=2060

=

A 2

∴A 1A 2=A 2B 1,

A

1

又∠A 1A 2B 2=180-120=60,

∴△A 1A 2B 2是等边三角形,

∴A 1B 2=A 1A 2=,

由已知,A 1B 1=20,

∠B 1A 1B 2=105-60=45,

A 2

A 1

在△A 1B 2B 1中,由余弦定理,

B 1B 2=A 1B 1+A 1B 2-2A 1B 2 A 1B 2

cos 45

2

2

2

=20+-2⨯20⨯=200.

22

2

∴B 1B 2=

因此,乙船的速度的大小为

20

60=/小时)

答:乙船每小时航行海里.

(15)解:(Ⅰ) C =π-(A +B ) ,

1

∴tan C =-tan(A +B ) =-

1-

+143⨯35

=-1.

又 0

34π,

34

π.

A B 边最大,即AB =.

又 tan A

2⎭

⎛π⎫

∴角A 最小,B C 边为最小边. sin A 1⎧

=,⎪tan A =⎛π⎫

由⎨cos A 4且A ∈ 0⎪,

⎝2⎭⎪sin 2A +cos 2A =1,

得sin A =

17

A B sin C

=

B C sin A

得:B C =A B sin A

sin C

=

所以,最小边BC =

第二章 数列

2. 1数列的概念与简单表示法1. 一、选择题

1.D 2.C 3.D 4.C

二、填空题

n -n +6

2

2

5.

6.

7. 图略。 通项公式为a n =4n ;a n =4n +1

三、解答题

8.(Ⅰ) f (3)=6(Ⅱ) f (n ) =

n (1+n ) 2

提示:第1堆一个球,第2堆底层有1+2个球,…第n 堆

n 2

底层有1+2+3+ +n 个球,把第1行和第n 行加在一起是(n +1) 个球,共有2. 1数列的概念与简单表示法2. 一、选择题

1.B 2.C 3.D 4.A

二、填空题

5.(-1) n

n +13n

6.4n +2提示:每个图去掉最左边的两块白色砖后,每块黑色砖都对应

着四块白色砖,所以白砖共有4n +2块.

7. (题条件不全)

三、解答题

8.a 1=2, a 2=3, a 3=5, a 4=9, a 5=17 图中点

的坐标为(1,2), (2,3), (3,5), (4,9), (5,17)

9. (Ⅰ) a 1=-3, a 2=-1, a 3=2, a 4=3, a 5=1, a 6=-2

(Ⅱ) b 1=

13

, b 2=-2, b 3=

32, b 4=

13

, b 5=-2

2.2 等差数列(1) 一、选择题

1.D 2.D 3.D 4.D 二、填空题 5.-48 6.a n =三、解答题

8. a 2+a 5=a 1+d +4d =2a 1+5d =4,

又a 1=

13 ∴d =

23, a n =

13

+(n -1) ⋅

23=23n -

13

12n -3

n

第8题图

7.13

, a n =33, ∴

23

n -

13

=33得n =50

9. 解:运用方程解得:(a 2-d )+a2+(a2+d)=12…①

(a 2-d )·a2·(a2+d)=48…②

联立①②解得:a 2=4,d=2

∴a1=a2-d=2.

2.2 等差数列(2)

一、选择题

1.B 2.A 3.B 4.B 二、填空题 5.33,18,3 6.三、解答题

x n =f (x n -1)=

3x n -1(n ≥2)

2n +1

7.14

8.证明:

x n -1+3∴

1-1+31x =

x n n

3x =

n -1

3+

1x n -1

1

x -

1n

x =

1n -1

3

∴⎧⎨1⎫

⎩x ⎬为等差数列

n ⎭

9. 解:a m +n =0

2.3等差数列的前n 项和(1) 一、选择题

1.A 2.B 3.B 4.C 二、填空题 5.60 6.

925

7.165

三、解答题 8.a n =2n +1. 9. a n =-55n +580

2.3 等差数列的前n 项和(2) 一、选择题

1.A 2.A 3.A 4.C 二、填空题

5.45 6.210 7.6n-1 三、解答题

8.S 13最大,最大值为169. 9. 2.4 等比数列(1) 一、选择题

1.C 2.A 3.C 4.D 二、填空题

.

5.a n =8⨯(-) n -1 6.480 7.2n -1

2

1

三、解答题 8.a n =3n -1 2.4 等比数列(2) 一、选择题

1.C 2.A 3.B 4.C

二、填空题

5.1,3,9 6.4 7.x 2-12x +25=0. 三、解答题

8.(1)由a n +1=2a n +1得a n +1+1=2(a n +1) ∴a n +1+1a n +1

=2, 故数列{a n +1}是等比数列.

n n

(2)由(1)知a n +1=2∴a n =2-1.

9.a=2,b=5,c=8或a=11,b=5,c=-1 2.5等比数列的前n 项和 一、选择题

1.D 2.B 3.D 4.C 二、填空题

5.a n =2n +1 6.6;2 7.2-三、解答题

8.(1)a n =2⋅3 (2)n=5 数列求和答案

1 C 2 B 3 B 4 B 5 -

n (5n +1)

2

n -1

n+22

6

13

7

12

8 27,

133

9(Ⅰ)证明:由题设a n +1=4a n -3n +1,得

a n +1-(n +1) =4(a n -n ) ,n ∈N

*

又a 1-1=1,所以数列{a n -n }是首项为1,且公比为4的等比数列. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知a n -n =4n -1,于是数列{a n }的通项公式为

a n =4

n -1

+n .

所以数列{a n }的前n 项和S n =

4-13

n

+

n (n +1) 2

(Ⅲ)证明:对任意的n ∈N *,

S n +1-4S n =

12

2

4

n +1

-1

3

+

(n +1)(n +2)

2

⎛4n -1n (n +1) ⎫-4 +⎪

2⎝3⎭

=-

(3n +n -4) ≤0.

所以不等式S n +1≤4S n ,对任意n ∈N *皆成立.

数列综合答案

一 选择题:1 D 2 B 3 A 4 D

二 填空题:5 2n -11 6 log

2

5 7 ; 8 8 1-

14

n

8题目中x 2-(3k +2k ) x +3k ⋅2k =应舍去

13

13

12

2

a n =s n -s n -1=a n -a n -1

14

n

∴q =q =

14

提示 ;

a 1=

32

, a 2=

34

∴T =1-

三 解答题

9 (I)解:设数列{a n }的公比为q

本题应把题中的a 4=512改为a 5=512,这样更适合第二问。 由a 2=8, 解得a 1=2,

a 5=512; 可得a 1q =8,

a 1q

4

=512

n -1

q =4 所以,{a n }的通项公式是a n =2⋅4

n -1

(2)由a n =2⋅4;可得b n =2n -1

10解:(1)设{b n }的公差为d ,则b 4=b 1+3d =2+3d =11,解得 d =3, ∴

数列{b n }为2,,,5811,,,852.

(2)S 2k -1=c 1+c 2+ +c k -1+c k +c k +1+ +c 2k -1 =2(c k +c k +1+ +c 2k -1) -c k ,

S 2k -1=-4(k -13) 2+4⨯132-50, ∴

当k =13时,S 2k -1取得最大值.

S 2k -1的最大值为626.

5

a 54-a 245-2

=14

11(Ⅰ)设第4列公差为d ,则d =

516

116

==1. 316

a 44a 42

=14

-

1

故a 44=a 54-d =

-

,于是q 2=

12

由于a ij >0,所以q >0,故q =

18+116

(i -2) =

116

i .

(Ⅱ)在第4列中,a i 4=a 24+(i -2) d =

由于第i 行成等比数列,且公比q =

⎛1⎫

=i ⋅ ⎪16⎝2⎭

n

12

⎛1⎫

=i ⋅ ⎪.

⎝2⎭

n

所以, a ij =a i 4⋅q

j -4

1

j -4j

(Ⅲ)由(Ⅱ)可得a nn

⎛1⎫⎛1⎫

=n ⎪.即b n =n ⎪.

⎝2⎭⎝2⎭

所以S n =b 1+b 2+b 3+ +b n =a 11+a 22+a 33+ +a nn . ⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫

即S n =1⋅+2⋅ ⎪+3⋅ ⎪+ +(n -1) ⋅ ⎪

2⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭1

2

3

4

1

23n -1

⎛1⎫

+n ⋅ ⎪,

⎝2⎭

n

n +1

n

⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫

故S n =1⋅ ⎪+2⋅ ⎪+3⋅ ⎪+ +(n -1) ⋅ ⎪+n ⋅ ⎪2⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫两式相减,得S n =+ ⎪+ ⎪+ + ⎪-n ⋅ ⎪

22⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭

1

1

2

3

n

n +1

n

1⎡⎛1⎫⎤⎢1- ⎪⎥n +1n n +12⎢2⎝⎭111⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-n ⋅ ⎪=1- ⎪-n ⎪,

12⎝⎭⎝2⎭⎝2⎭1-2

所以S n =2-

12

n -1

-

n 2

n

全章检测题答案 一 选择题:

1 A 2 A 3 C 4 A 5 C 二 填空题:

6 84 7 512 8 26 9 (1+p )

12

-1 10

53

7

7

a 1+a 7=2a 4∴a 1+a 4+a 7=3a 4

a 9+a 11=2a 10

8 提示:∴2(a 1+a 4+a 7)+3(a 9+a 11)=6(a 4+a 10)=6(a 1+a 9)

∴S 13=26

三 解答题:

11解 (Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d , 由题意知

⎧⎪⎨

na n (n -1)1+

2d =n 2

, ⎪⎩a 2

-a 1+a 4-a 3+⋅⋅⋅+a n -a n -1=n . ⎧a +n -1d =∴⎪⎪1n , ⎨2 ∴a 1=1, d =2.

⎪d ⎪⎩2

n =n . ∴a n =2n -1.

2

n

证明(Ⅱ)由S ⎛11 ⎫⎝2⎪=1⨯+3⨯⎛1⎭2 ⎫⎪+⋅⋅⋅+(2n -1)⨯⎛1 ⎫

⎝2⎪, ①

⎝2⎭⎭

则1

2

n

n +1

2S ⎛1 ⎫⎪=1⨯⎛1 ⎫⎪+⋅⋅⋅+(2n -3)⨯⎛1 ⎫⎪+(2n -1)⨯⎛1 ⎫

⎪. ⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭ ①-②得,

1

2S ⎛1⎫1⎡⎢⎛1⎢ ⎫2

⎪+⋅⋅⋅+⎛1 ⎫n ⎤⎪⎥-(2n -1⎛1n +1

⎪=+2⎫⎭2⎣⎝2⎭⎝2⎭)⎥ ⎦

⎝2⎪ ⎝2⎭n -2⨯1⎡⎛1⎫1

⎤ =14⎢1-⎢ ⎣⎝2⎪⎭⎥⎥⎦

n +1

2+

1-1-(2n -1)⋅⎛1 ⎫⎝2⎪ ⎭2

n +1

=3

⎛1n -1

2- ⎫-

3⎝2⎪(2n -1)⋅⎛1 ⎫

⎝2⎪

2

(n 是正偶数),

∴S

⎛1⎫

2⎪

12 证明:(Ⅰ) 依题意c n =a n +1— a n ,

∴ c n =[((n +1) 2-

25

13

5213

(n +1)]-[n -n ]=5n -4. 22212

n

(Ⅱ)(1)由c n — a n =2n 得a n +1— a n — a n =2n ,即a n +1=2a n +2n .

a 12a n +12

n +1

=

a n 2

n

+,即

a n +12

1

n +1

-

a n 2

n

=

1212

为公差的等差数列.

∵a 1=1,=

12

,∴{

a n 2

}是以

2

为首项、

(2) 由(1)得a n =⋅2n =n ·2,

2n

n -1

∴ S n = a 1+a 2+…+a n =1·2+2·2+…+n ·2, ① ∴ 2S n =1·21+2·22+…+n ·2n . ①—②得:— S n =1+2+2+…+2

2

n -1

01n -1

② n ·2=

n

1-2

n

1-2

n ·2,

n

∴ S n = n·2n — 2n +1=(n — 1)·2n +1.

13 (Ⅰ)证明:在已知式中,当n =1时,a 13=a 12 ∵a 1>0 ∴a 1=1

33332

当n ≥2时,a 1+a 2+a 3+ +a n =S n ①

33332

a 1+a 2+a 3+ +a n -1=S n -1 ②

3

①-②得,a n =a n (2a 1+2a 2+ +2a n -1+a n )

∵a n >0 ∴a n =2a1+2a2+…+2an -1+an , 即a n =2Sn -a n ∵a 1=1适合上式 ∴a n =2Sn -a n (n∈N +

(Ⅱ)解:由(1)知a n =2Sn -a n (n∈N +) ③

2

当n ≥2时, a n -1=2Sn -1-a n -1 ④

2

22

2

③-④得a n -a n -1=2(Sn -S n -1) -a n +an -1=2an -a n + an -1= an + an -1 ∵a n +an -1>0 ∴a n -a n -1=1

∴数列{an }是等差数列,首项为1,公差为1,可得a n =n

22

第三章不等式

3.1 不等关系与不等式 一. 选择题

1.D 2.C提示:分子有理化 3.C 提示:

1a -1b =b -a ab

①②④正确

4. C 对于A ,B ,倒数法则:a >b , ab >0⇒二. 填空题

5. a ,ab 作差可以判断 6. (46, 68), (5, 27) 7. 第一或第三象限

α是第三象限,则2k 1π+π

32

1a

,要求a , b 同号,

π, k 1∈z

β是第二象限角,则有2k 2π+

π

2

可得2(k 1-k 2) π

α-β

2

π

2

α-β

2

为第一或第三象限角

三. 解答题

8. (x -3) 2-(x -2)(x -4) =1, ∴(x -3) 2>(x -2)(x -4) 即log

12

(x -3)

2

12

(x -2)(x -4)

9. m+n=1且

(

ma +nb

)

2

-(m a +n b ) =ma +nb -(m a +n b +2mn

222

ab )

=ma(1-m)+nb(1-n)-2mnab =mn(a-2ab +b ) =mn(a - ∴3.2一元二次不等式及其解法(1)

一. 选择题

1.C 2. B 3. B 解得-1

2

(2)当ab ) ≥0

2

am +nb ≥m a +n b

交集得-2

5. 不等式ax +bx +2>0的解集是(-1,2)说明方程ax +bx +2=0的两个根为-1,2

2

2

x 1+x 2=1=-

b a

,x 1x 2=

3

2a

=-2,解得a =-1, b =1, 则a+b=0

6. ⎨x -

⎧14

≤x

⎧4x 2-3x >013交集得或-≤x

44⎩log 0. 5(4x -3x ) ≥0

7. [-2, +∞); 设x +1=t (t ≥0) ,则x =t 2-1, y =2t 2-2+t , 可得当t=0时y min =-2 三. 解答题

8. x 2-8x +26>0恒成立,要使得mx

2

+2(m +1) x +9m +4>0恒成立,

即使(1)m=0时,显然原不等式不恒成立,

⎧m >0

m ≠0(2)时,m 满足⎨ 2

∆=4(m +1) -4m (9m +4)

改为⇒(, +∞)

4

1

9. 记 F(x)=f(x)-k=(x-k) 2+2-k -k 2, 则F(x)≥0对x ≥-1都成立,

⎪∆x ≥0, ⎪

由题意得Δx <0或⎨F (-1) ≥0, 求得-3≤k <-1. 改为:求得-3≤k <1.

⎪-2k ⎪-≤-1,

2⎩

3.2一元二次不等式及其解法(2) 一. 选择题

1.B 2.D 3.A 4.C

2. 提示:讨论x 的正负或利用数形结合 4. log a (x -2x +3) ≤log (1)当a>1时x -2x +3≤

2

2

1

a

a

,

1a

不恒成立

1a

2

(2)当0

在x ∈R 上恒成立,则有∆=4-12+

4a

≤0

解得 a ≥二. 填空题

12

,交集得

12

≤a

⎧x 2-3>0⎪

5. 原不等式等价于⎨2x -3>0,交集得x ∈(3, 2) (2, +∞)

⎪2x -3≠1⎩

⎧(x -3)(10-x ) ≥0⎧(x -3)(10-x ) ≤0

6. 原不等式等价于⎨2 或⎨2

⎩x (x -1) >0⎩x (x -1)

解得(-∞, 0) (0, 1) (3, 10)

⎧1-x >0⎩1+x >0

⎧1-x

7. 原不等式等价于⎨三 . 解答题

或⎨

,解得x ∈(-∞, -1) ⋃(-1, 1)

8. 解A 集合得-3

1.B 2.B 3.D 4.D

2.a=-3x+2y, a min =-7, a max =24

4. 提示:画出x +y ≤4所表示的平面区域,用画格子法将其分成小正方形,则这些小正方形的顶点为整点,一共41个。 二. 填空题 5.

1214

6. 36

三. 解答题

7. 直线x-y =3的右下方与直线x+y=0的右上方与直线x =4左方的公共部分. 8. 直线x-y-1=0的左上方与直线2x-y-3=0的右下方公共部分.

3.3.2简单的线性规划问题(1) 一. 选择题 1.C 2.A 3.B

3. 利用指数函数y =3为增函数的性质. 二. 填空题

4. 9 5. 2 , 注意本题的可行域

x

⎧x -y ≥0,⎪

⎪2x +y ≤2,

6. 不等式组⎨,将前三个不等式画出可行域,三个顶点分别为(0,0) ,(1,0) ,

⎪y ≥0,⎪⎩x +y ≤a

(

23

23

) ,第四个不等式x +y ≤a ,表示的是斜率为-1的直线的下方,∴ 当0

43

表示的平面区域是一个三角形,当a ≥时,表示的平面区域也是一个三角形.

题目中第二个不等式印错了应为2x +y ≤2 3.3.2简单的线性规划问题(2) 一. 选择题

1.C 2.B (使得z 取最大值的最优解为直线系y =2x -z 截距取最小值的点)

3. B 提示:设截成长518mm 的x 段,698mm 的y 段,则518x+698y≤4000, 其中x,y 为⎧518x +698y ≤4000, ⎪

正整数,即满足⎨x >0, 的整点,且最接近直线l 的为(5,2)点,最大利

⎪y >0⎩

用率为

(5⨯518+698⨯2) ÷4000=99. 65%

⎧2m +n ≥15, ⎪

⎪m +2n ≥18

4.C 可得不等式组⎨,结合图形可得m+n的最小值为12

m +3n ≥27⎪

⎪m , n ∈N *⎩

二. 填空题 5. k =

的几何意义为可行域上的点与原点连线的斜率的最大值与最小值k ∈⎢, 2⎥ x ⎣2⎦

2

y

⎡1⎤

6. x +y 的几何意义是可行域上点与原点距离的平方的最大值13 7. 画图分析可得2≤k

8. (x +1)+(y +1)的几何意义是区域上的点到点(-1,-1)的距离平方的最小值为

2

2

2

12

3.3.2简单的线性规划问题(3)

1. 用甲、乙两种薄板各5张, 才能使总的用料面积最小, 最小值为25m 2. 2. 生产200把椅子,900张书桌可获得最大利润21000元. 3. (Ⅰ) c = 400+7x +5y

(Ⅱ) 当x =50kg , y =20kg , z =30kg 时, 混合物成本最低为850元.

3.4基本不等式ab ≤一. 选择题

1.A 2. B 3. D 4. B 3.log 5x+log5y =log 4.Q=

12

5

a +b 2

(1)

xy ≥2, xy ≥25, x +y ≥2xy , x +y ≥10

(lga

+lg b ) >=

P , Q=

12

lg ab =lg

a +b 2

) =R , 即P

二. 填空题

5. 2x +5y =20≥2xy , 解得xy ≤10,lg x +lg y =lg xy ≤1 6. 4 7. 1 三. 解答题 8. (

1a 1a -1)(

1b 1b -1)(

1c 1c -1) =

b +c a +c a +b 2bc ⋅2ac ⋅2ab

⋅⋅ ≥a b c abc

即(-1)(-1)(-1) ≥8,当且仅当a=b=c时等号成立

9. 因为-10 ∴0

f (x 1-1) +f (x 2-1) =log

x 1+log

x 2

a a

f (x 1-1) +f (x 2-1)

2

=log

a

x 1x 2,f (

x 1+x 2-2

2

) =log

x 1+x 2

a

2

x 1+x 2

2

x 1x 2,则log

x 1+x 2

a

2

≤log

a

x 1x 2,

f (x 1-1) +f (x 2-1)

2

≥f (

x 1+x 2-2

2

)

3.4基本不等式ab ≤一. 选择题

1.B 2.C 3.D 4.B

a +b 2

(2)

1111⋅=,当且仅当3x=1-3x,即x =时等号成立

334126113

) ≤3-23 2.3x +≥23 则y =3-3x -=3-(3x +

x x 3x

1. 原式=3x ⋅(1-3x ) ≤

1

3. 选项A 中x 必须大于0 选项B ,C 等号不能成立 D.当且仅当x=0时等号成立 4.(1)(2)不能保证

b a 1

, 以及lg x , lg y 为正 (3)当x

二. 填空题

5. 22 6. 8 ,2 7. (4, +∞) 三. 解答题

8. 解法一:由x+y=6,∴y =6-x , ∴x 2+y 2=x 2+(6-x ) 2=2(x -3) 2+18

当x=3时,(x 2+y 2) min =18

x +y 2

2

2

1a

+

1b

=

a +b a

+

a +b b

=2+

b a

+

a b

≥4, 但a ≠b 因此等号不能成立。

解法二, ≥

x +y 2

=3, ∴x 2+y 2≥18, 当x =y =3时(x 2+y 2) min =18

解法三:利用几何意义求解,此题是求线段x+y=6上的一点到原点距离(平方)最小 9. x

54

,∴5-4x >0,∴y =4x -2+

15-4x

14x -5

=-(5-4x +

15-4x

) +3≤-2+3=1

当且仅当5-4x =全章检测题 一. 选择题

时等号成立 即x=1时,符合条件。

1.A 2.D 3.C 4.A 5.B 6.B 6. 设所需要的时间为t, 则t =二. 填空题

7. 充分不必要条件 8. 5 9. {x x 1} 10.

a 1+a 2+ +a m

m n -m

a 1+a 2+ +a n

n

n

(1≤m

1⎡v 2⎤40025v 400+25() =+≥10小时 ⎢⎥v ⎣20⎦v 400

a m +1+a m +2+ +a n a 1+a 2+ +a n

三. 解答题 11. k AD =-

12

, k CD =1 , 若目标函数z =ax +y 只在点D 处取得最优解,

12

即 函数y=-ax +z 的斜率为-a 满足-a>1或-a12. (x+y)(

1x +a y ) =1+

y x +ax y

12

或a

解得a >

12

或a

2

+a ≥1+a +2a =(a +1) ≥9, ∴a ≥4

所以 正实数a 的最小值为4

13. 解:设f (x )=x +ax +1,则对称轴为x =-

若--

52a 2

2

a 212

〕上是减函数,应有f (

12

12

,即a ≤-1时,则f (x )在〔0,)≥0⇒

≤x ≤-1

a 2

若-≤0,即a ≥0时,则f (x )在〔0,

12

〕上是增函数,应有f (0)=1>0恒成立,

故a ≥0 若0

a 2

12

,即-1≤a ≤0,则应有f (-

a 2

)=

a

2

4

a

2

2

+1=1-

a

2

4

≥0恒成立,故

-1

综上所述,实数a 的取值范围是 a ≥-

14. 解:买回来x 周的总维修保养费为S =500x +

S +500000

x

x 2=500000

x

x (x -1) 2

52

,每周平均费用为:

12

12

Y ==500-

12

+

x 2

+

500000

x

≥500-

12

+2

x 2

500000

x

=1500-=1499

即x =1000时取等号。因此1000周后报废最合算。


相关文章

  • 苏教版高一必修一数学检测卷(含答案)
  • 苏教版高一必修一数学检测题(2014) 一.填空题(14⨯4分=56分): 1. 如果全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},A ={2,5,8},B ={1,3,5,7},那么(C U A ) B 等于 2.已知函数f ...查看


  • 高一数学必修五不等式测试题答案2009331
  • 高一数学必修五不等式测试题答案 2009.3 .31 一.选择题:本大题共有8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的. 1. .若ab0,则下列不等式中,不能成立的是 ( B ) A. 2.在 ...查看


  • 高一数学必修3必修4试题(含答案)
  • 高一数学必修3和必修4试题一 一.选择题: 1. 下列各角中与角- π 终边相同的是 3 2ππ A. 300 B. 240 C. D. 33 2. 一枚骰子连续掷了两次,则点数之和为2或3的概率是( ) 1111 A .12 B .9 C ...查看


  • 2015人教版高一数学必修二第二章点.直线.平面之间的位置关系作业题及答案解析第2章 2.2.2
  • 千思兔在线教育http://www.qiansitu.com 2.2.2 平面与平面平行的判定 [课时目标] 1.理解平面与平面平行的判定定理的含义.2.能运用平面与平面平行的判定定理,证明一些空间面面平行的简单问题. 1.平面α与平面β平 ...查看


  • 高一数学必修1教学反思
  • 高一数学必修1教学反思 富县高级中学 王晓广 数学必修1即将学习结束, 我有以下几点体会: 1.高一学生在初中养成的固定的学习习惯和学习方法.进入高中以后,相当一部分的同学满足于课堂上认真听讲,满足于课后的作业模仿,缺乏积极的思维:遇到难题 ...查看


  • 高一数学必修一竞赛题
  • 2012年平阳中学高一数学竞赛选拔试题 一.选择题(本大题共有8小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选.不选.错选均不得分,每题7分,共56分) 1. 若非空集合A ={x |2a +1≤x ≤3a -5},B ...查看


  • 高一数学必修1月考
  • 明水县第一中学2017-2018 学年第一学期 第二次月考数学试题 考试范围 必修1全册 命题人 杜广敏 审核人 孙凤玲 考生注意事项: 1. 全卷满分150分,考试时间120分钟. 2. 答题前,考生在答题卡上务必用黑色墨水签字笔将自己的 ...查看


  • 荷山中学高一暑假学生自主学习计划指导(完整版)
  • 荷山中学高一暑假学生自主学习计划指导 尊敬的家长.亲爱的同学们: 高中生活的第一学年已经结束,即将进入的高二文理分科学习,将是整个高中阶段的一个重要的崭新的起点,也可能是很多同学学习成效的另一分水岭.因此即将来临的暑假自主学习时间对于每位同 ...查看


  • [师说]2015-2016学年高中数学必修2 检测
  • 必修二 质量评估检测 时间:120分钟 满分:150分 一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 南充高一检测)直线x =1的倾斜角和斜率1. (2014· 分别是( ) A ...查看


  • 高一数学必修一第三单元测试 (3)
  • 高一数学必修一第三单元测试 第Ⅰ卷(选择题,共60分) 一.选择题(每小题5分,共60分) 1.二次函数f (x ) =2x +bx -3(b ∈R) 的零点个数是( ) A .0 B .1 C .2 D.4 解析:∵Δ=b +4×2×3= ...查看


热门内容