邳州市第四中学初三数学导学案 主备：杨英 审核：徐刚 张涵
2.1 圆（1）
学习目标： 1．理解圆的定义（圆的描述概念和圆的集合概念）；
2．掌握点和圆的三种位置关系；
3．会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系； 4．初步会运用圆的定义证明四个点在同一个圆上．
学习重、难点：确定点和圆的三种位置关系以及圆的集合概念的理解；点和圆的三种位置关系的理解和应用． 学习过程： 一、问题导入
圆的描述定义：把一条线段OP 的一个端点O 固定，线段OP 绕点O 在平面内旋转一周，另一个端点P 所形成的图形叫做_______．其中，定点O 叫_______，线段OP 叫_______．以点O 为圆心的圆，记作_______，读作_______． 注：（1）确定一个圆的两个要素是_______和________；
（2）以定点A 为圆心作圆，能作_______个圆； （3）以定长r 为半径作圆，能作_______个圆；
（4）以定点A 为圆心、定长r 为半径作圆，能且只能作_______个圆；（5）圆心确定_______，半径确定_______． 二、自学探究
1．操作与思考：请你在圆上任取3个点，分别量出这三个点到圆心的距离，你发现了什么？ 小结：（1）圆上的点到圆心的距离都_______半径；到圆心的距离等于半径的点都在圆______． （2）满足上述两个条件，我们可以把圆看成是一个集合．即
圆是__________________________________________________．(圆的集合定义)
请你在圆内任取3个点，分别量出这三个点到圆心的距离，你发现了什么？
小结：（1）圆内的点到圆心的距离都_______半径；到圆心的距离小于半径的点都在圆______． （2）圆的内部是到圆心的距离______半径的点的集合．
请你在圆外任取3个点，分别量出这三个点到圆心的距离，你发现了什么？
小结：（1）圆外的点到圆心的距离都_______半径；到圆心的距离大于半径的点都在圆______． （2）圆的外部是到圆心的距离______半径的点的集合． 因此，我们得到如下结论：
2．尝试交流：已操作：（1）画线段PQ ，使PQ =2 cm； （2）画出下列图形：
到点P 的距离等于1 cm的点的集合； 到点Q 的距离等于1.5 cm的点的集合．
（3）在所画图中，到点P 的距离等于1 cm，且到点Q 的距离等于1.5 cm的点有几个？请在图中将它们表示出来．
（4）在所画图中，到点P 的距离小于或等于1 cm，且到点Q 的距离大于或等于1.5 cm的点的集合是怎样的图形？把它画出来． 三、学以致用
活动一：已知⊙O 的半径为5cm ，A 为线段OP 的中点，当OP 满足下列条件时，分别指出点A 和⊙O 的位置关系：（1）OP ＝6cm ；（2）OP ＝10cm ；（3）OP ＝14cm ．
活动二：已知RT △ABC ，AC =3 cm，BC =4 cm，CD 是斜边AB 上的高．以点C 为圆心，3 cm长度为半径画圆，判断点A 、B 、D 与⊙C 的位置关系．
活动三：已知：如图，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ．求证：点A 、B 、C 、D 在同一个圆上．
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四、当堂检测
1．已知⊙O 的半径为4 cm ．如果点P 到圆心O 的距离为4.5 cm ，那么点P 与⊙O 有怎样的位置关系？如果点P 到圆心O 的距离分别为4 cm、3 cm呢？
2．用图形表示到点A 的距离小于或等于2 cm的点的集合．
3．如图，已知矩形ABCD 的边AB =3 cm，AD =4 cm（直接写出答案）
（1）以点A 为圆心，3厘米为半径作圆A ，则点B 、C 、D 与圆A 的位置关系如何？ （2）以点A 为圆心，4厘米为半径作圆A ，则点B 、C 、D 与圆A 的位置关系如何？ （3）以点A 为圆心，5厘米为半径作圆A ，则点B 、C 、D 与圆A 的位置关系如何？
A
D
C
4．已知矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ．点A 、B 、C 、D 是否在以点O 为圆心的同一个圆上？为什么？
五、学习收获
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2.1 圆（2）
学习目标： 1．认识圆的弦、弧、优弧与劣弧、半径、直径及其有关概念；
2．认识同心圆、等圆、等弧的概念； 3．了解“同圆或等圆的半径相等”，并能应用它解决有关的问题．
学习重、难点：了解圆的相关概念；容易混淆圆的概念的辨析． 学习过程： 一、问题导入
预习圆的相关概念：
结合图形逐个介绍半圆、优弧、劣弧、弓形、同心圆、等圆的概念及这些几何元素的表示法．引导学生分析它们之间的区别与联系，如半圆和弧一半圆也是弧，是半个圆周，但弧不一定是半圆，半圆不是优弧也不是劣弧，也不是弓形；直径和弦，是过圆心的特殊弦，但弦不一定都是直径；同圆、等圆、同心圆的区别与联系． 二、自学探究 1．理解与圆有关概念
（1）请在图上画出弦CD ，直径AB ． _________________________________叫做弦； _________________________________叫做直径． （2）弧、半圆、优弧与劣弧的概念及表示方法． 弧：____________________________________．
半圆：__________________________________________________． 优弧：_________________________________，表示方法：________． 劣弧：_________________________________，表示方法：________． （3）借助图形理解圆心角、同心圆、等圆．
圆心角：_____________________________________． 同心圆：_____________________________________． 等圆：_______________________________________． （4）同圆或等圆的半径_______．
等弧：______________________________________________． 2．概念巩固
判断下列结论是否正确． （1）直径是圆中最大的弦( )
（2）长度相等的两条弧一定是等弧( ) （3）半径相等的两个圆是等圆( )
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（4）面积相等的两个圆是等圆( ) （5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧( ) （6）半圆是弧，但弧不一定是半圆( ) （7）半径相等的两个半圆是等弧( ) 三、学以致用
活动一：已知：如图，点A 、B 和点C 、D 分别在同心圆上．且∠AOB ＝∠COD ，∠C 与∠D 相等吗？为什么？
活动二：如图，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？
活动三：（1）在图中，画出⊙O 的两条直径；
（2）依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由． 四、当堂检测
1．如图，⊙O 中，点A 、O 、D 及点B 、O 、C 分别在一条直线上，弦的条数有（
A ．2条
B ．3条
C ．4条
D ．5条
）
2．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是非直径的弦，CD 交OA 于E ，则图中共有______条劣弧，请把它们表示出来： ．
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3．如图，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC =a ，EF =b ，NH =c ，则下列各式中正确的是 （ ）
A ．a >b >c
B ．a =b =c
C ．c >a >b
D ．b >c >a
4．如图，两个等圆⊙O 1和⊙O 2交于A 、B 两点，且⊙O 1经过点O 2，则∠O 1AO 2=______．
五、学习收获
N G
H O 1O 2
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2.2圆的对称性（1）
学习目标：1、经历探索圆的中心对称性、旋转不变性及有关性质的过程； 2、理解圆心角、弧、弦之间相等关系定理；
3、能运用所学知识进行证明相关问题，会用所学知识对图形、数量条件进转化。
学习重难点：理解圆的中心对称性及有关性质
运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题教学过程 学习过程：
一、复习导入、激发兴趣
1. 什么样的图形是中心对称图形？
2. 圆是中心对称图形吗？_________，它的对称中心是_____________． 二、自主探究、合作交流 1. 尝试
（1）在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O '
（2）在⊙O 和⊙O ' 中, 分别作相等的圆心角∠AOB 、∠A ' O ' B ' ，连接ＡＢ、A ' B ' . （3）将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O ' 重合（如图）.
（4）固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA 与OA ' 重合. 2. 交流
在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流. _______________________________________________ 3. 总结
上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你能够用文字语言把你的发现表达出来吗?
（1）在同圆或等圆中, 如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么 .
4、讨论：在上面的结论中，为什么一定要添加条件“在同圆或等圆中”？ ．．．．．．．
试一试：
如图, 已知⊙O 、⊙O ' 半径相等，AB 、CD
C
分别是⊙O 、⊙O ' 的两条弦. 填空：
①若AB=CD，则 ， ②若 ， ③若∠AOB=∠CO ' D ，则 ， .
思考：在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？ （2）圆心角的度数与 相等.
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三、学以致用、巩固新知
活动1、如图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC. ∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？
︵ ︵ 活动2、如图，在⊙O 中，AC= BD ,∠AOB=50°. 求∠COD 的度数。
活动3、如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=28°，以C 为圆心，CA 为半径的
︵ ︵
圆交AB 于点D ，交BC 于点E 。求AD 、DE 的度数。
A
四、课堂检测
1、下列说法正确的是（ ）
A. 相等的弦所对的弧相等 B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 在同圆或等圆中, 相等的弧所对的弦相等 D. 相等的弦所对的圆心角相等 2、若两条弧的度数相等，那么（ ）
A. 两条弧所对的弦相等 B. 两条弧的长度相等 C. 两条弧所对的圆心角相等 D. 两条弧是等弧 ︵
3、 ⊙O 中，直径AB ∥CD 弦，AC 度数=600，则∠BOD=______4、如图，在⊙O 中，
＝A ＝40°，求∠B 的度数．
5、如图，在⊙O 中，∠AOC ＝∠BOD ，的度数为50°，求∠BOC 的度数．
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2.2圆的对称性（2）
学习目标：1、利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理． 2、利用垂径定理进行有关的计算与证明．
3、在经历探索与证明垂径定理的过程中，进一步体会和理解研究几 何图形的各种方法．
学习重难点：垂径定理及其运用. 学习过程：
一、问题导入、激发兴趣
1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做__________________，这条直线叫做_______________。 2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心。 二、自主探究、合作交流
探究一：在圆形纸片上任意画一条直径. 沿直径将圆形纸片对折，你能发现什么？请将你的发现写下来：
结论：圆也是_________图形，___________________________它的对称轴。 练习、判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴。
探究二、
1、如图，CD 是⊙O 的弦，画直径AB ⊥CD ，垂足为P ，将圆形纸片沿AB 对折。 通过折叠活动，我们可以发现：___________________________。 2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明） 3、得出垂径定理: 4、注意：
①条件中的“弦”可以是___；
②结论中的“平分弧”指平分弦所对的
___弧、___弧。 5、几何语言:
三、学以致用、巩固新知
活动1. 如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D.AC 与BD 相等吗？为什么？
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活动2：如图，已知在圆O 中，弦AB 的长为8㎝，圆心O 到AB 的距离为3 ㎝，求圆O 的半径。
变式1:在半径为5 ㎝的圆O 中，有长8 ㎝的弦AB ，求点O 与AB 的距离。
2：在半径为5 ㎝的圆O 中，圆心O 到弦AB 的距离为3 ㎝，求AB 的长。
3：若点P 是AB 上的一动点，试求OP 的范围。
四、课堂检测
1 圆不仅是中心对称图形圆还是____图形, 其对称轴为____________. 2 如图, 在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为E ． 则有AE=_____， _____= ， ____= ．
3. AB是⊙O 直径，AB=4，F 是OB 中点，弦CD ⊥AB 于F ，则CD=_________
4. 过⊙O 内一点P ，最长的弦为10cm ，最短的弦长为8cm ，则OP 的长为 .
5. ⊙O 直径为8，弦AB ＝42，则∠AOB ＝＿＿＿＿＿。
6. ⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）
A ．3≤OM ≤5 B．4≤OM ≤5 C．3＜OM ＜5 D．4＜OM ＜5 7 如图，∠C=90°，⊙C 与AB 相交于点D ，AC=5，CB=12，求AD=的长度
五、学习收获
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2.3 确定圆的条件
学习目标： 1．了解“不在同一条直线上三点确定一个圆”的定理及掌握它的作图方法；
2．了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念．
学习重、难点：1．解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念．
2．培养学生动手作图的准确操作的能力．
学习过程： 一、问题导入
确定一个圆需要哪两个要素？
二、自主探索
问题1：经过一点A 是否可以作圆？如果能作，可以作几个？经过一点B 可以作几个圆？(作出图形)
问题2：同时经过两个点A 、B 是否可以作圆？如果能作，可以作几个？（据分析作出图形）
问题3：经过三点是否可以作圆, 如果能作, 可以作几个？ 例如： 已知：△ABC ，求作：⊙O ，使它经过A 、B 、C 三点．
（分析：要作一个圆的关键是要干什么？怎样确定圆心和半径？作作看．）
问题4：经过三点一定就能够作圆吗？若不能，说明理由．
综上所述：
因为不在同一条直线上的三点可以构成一个三角形，所以我们可以得到如下定义： 三角形的三个顶点确定_____个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的_________叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
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三、学以致用
活动一：已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？
A
锐角三角形
B
直角三角形
B
钝角三角形
变式1：已知一条弧AB ，请你用所学的知识找出这条弧的圆心，并将它补充成一个完整的圆．
变式2：如图，残破的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交AB 于C ，交弦AB 于D ． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若AB ＝24 cm，CD ＝8 cm，求（1）中所作圆的半径．
活动二：如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A 、B 、C ，其中，B 点坐标为(4，4) ，则该圆弧所在圆的圆心坐标为________，半径为________． 四、课堂检测 1．判断题：
（1）经过三点一定可以作圆（
）
）
）
（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆（
（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形（ （4）三角形的外心是三角形三边中线的交点（ （5）三角形的外心到三角形各项点距离相等（ 2．钝角三角形的外心在三角形（
A ．内部 部
B ．一边上
）
C ．外部
） ）
D ．可能在内部也可能在外
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3．一个三角形能画____________个外接圆，一个圆中有____________个内接三角形． 4．三角形的外心是三角形的____________的圆心，它是三角形的____________的交点，它到____________________的距离相等．
5．△ABC 为⊙O 的内接三角形，∠A ＝70°，则∠BOC ＝________________．
6．Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝6 cm, BC ＝8 cm, 则其外接圆的半径为____________，外接圆的面积________________．
7．已知AB ＝7cm ，则过点A 、B ，且半径为3 cm的圆有（
A ．0个
B ．1个
C ．2个
） D ．无数个
8．如图是一块残缺的圆轮片，点A 、B 、C 在圆弧上．
（1）作出AC 弧所在的⊙O ；（2）若AB ＝BC ＝60 cm, ∠ABC ＝120°，求AC 所在的⊙O 的半径．
五、学习收获
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2.4 圆周角（1）
学习目标：
1、了解圆周角的概念, 掌握圆周角的两个特征. 理解圆周角定理的证明. 2、会运用圆周角定理进行简单的计算与证明. 3、在探索定理的过程中体会分类转化的数学思想. 学习重难点：
圆周角的性质及应用；利用圆周角的性质解决问题. 学习过程：
二、复习导入、激发兴趣
我们已经学过什么与圆有关的角？ 二、自主探究、合作交流 （一）尝试
（1）观察上图中的∠B 1 、∠B 2 ∠B 3 有什么共同的特征？
归纳得出结论，顶点在_______，并且两边_______________的角叫做圆周角。 强调条件：①_______________________，②___________________________。 （2）识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？并说明理由．
C
图3
图4B
（3）、图3中有几个圆周角？（ ）
（A ）2个，（B ）3个，（C ）4个，（D ）5个。
（4）、写出图4中的圆周角：________________________ （二）探究
1. 观察与思考：如图，AB 为⊙O 的直径，∠BOC 、∠BAC 分别是所对的圆心角、圆周角，求出图（１）、（２）、（３）中∠BAC 的度数．
通过计算发现：∠BAC ＝＿＿∠BOC ．试证明这个结
论：（学生完成） 2. 思考与探索
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（1）如图，所对的圆心角有多少个？
角，并与同学们交流。
讨论（1）观察上图，在画出的无数个些圆几种（2周角
圆心O 在∠BAC 的一边上外，圆
哪几种位置关系？对于这几种位置关系，结论∠BAC ＝
周位设为心O
圆周角中，这角与圆心O 有置关系？ BC 所对的圆∠BAC ，除了与∠BAC 还有
1
∠BOC 还成立吗？试证明之． 2
通过上述讨论发现：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
三、学以致用、巩固新知
活动1、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，点D 在圆外， CD、BD 分别交⊙O 于点E 、F ，
比较∠BAC 与∠BDC 的大小，并说明理由。
变式训练：
如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，点D 在⊙O 内，点A 与点D 在点B 、C 所在直线的同侧，比较∠BAC 与∠BDC 的大小，并说明理由．
活动2、
如图，OA 、OB 、OC 都是圆O 的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ ACB = BAC.
2∠
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四、课堂检测
1、如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，点A 与点D 在点B 、C 所在直线的同侧，∠BAC=35∠BDC=_______°, 理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ∠BOC=_______°, 理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
2、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上。
（1）若∠BAC=60°，求∠BOC=______°;
(2) 若∠AOB=90°, 求∠ACB=______°
3、如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠AOB=124°，则∠C 的大小为（ ） A ． 28° B ．56° C ．60° D ．62° （变式：若∠OAB=28°则∠C 的大小为多少）
4、如图7，已知圆心角∠AOB=100°，则∠ACB = _______。
五、学习收获
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2.4圆周角（2）
学习目标：
1、掌握并会熟练运用圆周角定理进行有关的计算和证明； 2、进一步培养学生观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力. 学习重难点： 圆周角的性质及应用. 学习过程：
复习导入、激发兴趣
D
1、我们学过哪些与圆有关的角？它们之间有什么关系？
A
O 2、如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，若∠BAC=40°，则
（1）∠BOC= °, 理由是 ； （1）∠BDC= °, 理由是 . C B
二、自主探究、合作交流 第2题 1、尝试、交流
（1）BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角是锐角、还是钝角、还是直角？为么？
（2）圆周角∠BAC=90，弦BC 过圆心吗？为什么？ 2、总结
直径所对的圆周角是 角，90的圆周角所对的弦是 。 B
三、学以致用、巩固新知
活动1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ， ∠ACD=60°，∠ADC=50°, 求∠CEB 的度数.
活动2、如图， A、B 、E 、C 四点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，
∠CAD=∠EAB,AE 是⊙O 的直径吗？为什么？
C
B
活动3、如图，△ABC 的3个顶点都在⊙O 上，
直径AD=4，∠ABC=∠DAC. 求AC 的长.
B
C
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四、课堂检测
1、如图，AB 是⊙O 的直径，∠A=10°, 则∠ABC =________.
2、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，∠ACD=40°, 则∠BCD =_______,∠BOD =_______. 3、如图，A B 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC=30°, 则的度数是( )
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
A
B
B
第1题
第2题 第3题
4、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB=6, ∠DCB=30°，求弦BD 的长．
5、如图，点A 、B 、C 、D 在圆上，AB=8,BC=6,AC=10,CD=4，求AD 的长.
五、学习收获
C
A B
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2.4 圆周角（3）
学习目标：
1、了解圆的内接四边形、四边形的外接圆的概念. 2、会运用圆内接四边形定理解决有关问题. 学习重难点：
会运用圆内接四边形定理解决有关问题. 学习过程：
复习导入、激发兴趣
什么是圆的内接三角形？什么是三角形的外接圆？ 二、自主探究、合作交流 （一）尝试
观察：
1、说说图中的四边形和圆有什么特点？ 2、你能给图中的四边形和圆起个名字吗？
（二）探究
1、如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，BD 是⊙O 的直径。∠A 与∠C 、∠ABC 与∠ADC 有 怎样的数量关系
2、如图，若圆心O 不在⊙O 的内接四边形ABCD 的对角线上，∠A 与∠C 、∠ABC 与∠ADC 的 数量关系是否依然存在？
归纳定理：_____________________________________________________
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三、学以致用、巩固新知
活动1、
AD 的度数为100°，则弦AD 所对的圆周角为多少度？ 如图，⊙O 中
活动2、
如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB=AD, ∠C=110°. 若点E 在AD 求∠E 的度数。
四、课堂检测
1、如图1，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A=125°，则∠BCD=________,∠B+∠D=_________.
1 2
2、如图2，，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOC=100°, 则∠BAC=________,∠BDC=________。 3、如图，，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠CBE 是它的一个外角。若∠D=100°，求∠CBE 的度数。
五、学习收获
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2.5 直线和圆的位置关系（1）
学习目标： 1．掌握直线与圆的三种位置关系和判定；
2．直线与圆的位置关系的判定；能利用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间
的数量关系判别直线与圆的位置关系．
学习重、难点：圆心到直线的距离d 与半径r 之间的数量关系，判别直线与圆的位置关系． 学习过程： 一、复习导入
1．我们已经学习过点和圆的位置关系，请同学们回忆：
点和圆有哪几种位置关系？怎样判定点和圆的位置关系？
2．观察三幅太阳升起的照片，地平线与太阳经历了哪些位置关系？
二、自主探究
1．通过这个自然现象，你猜想直线和圆的位置关系有几种？
2．尝试：（1）利用手中的工具将你的猜想画出来．
（2）在你所画的三个图形中，直线与圆的公共点有什么变化？圆心到直线的距离呢？
3．填空：如图，OD ⊥l ，垂足为D ，⊙O 的半径为r ．
在图（1）中，直线l 与⊙O 有______个交点，OD ______r ；
在图（2）中，直线l 与⊙O 有______个交点，OD ______r ；
在图（3）中，直线l 与⊙O 有______个交点，OD ______r ．
4．定义：直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆________；直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆________，这条直线叫做圆的________，这个公共点叫做________；直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆________．
5．根据刚才的讨论，我们可以得到如下结论：
注：结合点与圆的位置关系，我们可以知道：直线与圆的位置关系，实际上就是垂足点与圆的位置关系．
三、学以致用
问题1：已知：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4．
（1）在下列条件下，以点C 为圆心，r 为半径的圆与直线AB 有怎样的位置关系？为什么？ ①r ＝2 cm；②r ＝3 cm；③r ＝2.4 cm．
（2）以点C 为圆心，r 为半径的圆．
①当r 满足____________时，直线AB 与⊙O 相交；
②当r 满足____________时，直线AB 与⊙O 相切；
③当r 满足____________时，直线AB 与⊙O 相离．
（3）以点C 为圆心，r 为半径的圆．
若⊙C 与斜边AB 有两个公共点，则r 的范围是____________________；
若⊙C 与斜边AB 有一个公共点，则r 的范围是____________________；
若⊙C 与斜边AB 没有公共点，则r 的范围是____________________．
问题2：⊙O 的半径是4 cm．点P 在直线上，
若OP ＝4 cm，则直线l 和⊙O 位置关系是______________________；
若OP ＝3 cm，则直线l 和⊙O 位置关系是______________________；
若OP ＝5 cm，则直线l 和⊙O 位置关系是______________________．
四、课堂检测
1．如果圆的最大弦长是m ，直线与圆心的距离为d ，且直线与圆相离，那么（
A ．d >m ） 1B ．d >m 2 1C ．d ≥m 2 1D ．d ≤m 2
2．已知⊙O 的直径为10 cm，点O 到直线l 的距离为d ：
（1）若直线l 与⊙O 相切，则d ＝________；
（2）若d ＝4 cm，则直线l 与⊙O 有_____个公共点；
（3）若d ＝6 cm，则直线l 与⊙O 的位置关系是________．
3．已知：如图，直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点，点O 到直线l 的距离为3，AB ＝8．
（1）求⊙O 的直径；
（2）⊙O 满足什么条件时，它与直线l 不相交？
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2.5 直线和圆的位置关系（2）
学习目标： 1．理解并掌握切线的判定方法；
2．探索切线的判定定理，运用切线的判定方法解决有关问题．
学习重、难点：切线的判定方法、切线的性质的运用；对用“反证法”推理切线性质的理解． 学习过程： 一、复习导入
1．已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线l 的距离是：（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米．分别说出直线l 与圆的位置关系和公共点的个数．
2．“直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．”想一想：我们如何判定直线与圆相切？说说你的想法．
3．如图，点A 为⊙O 上一点，你能经过点A 画出⊙O 的切线吗？
二、自主探究
1．思考：
（1）你是怎样画出过点A 的⊙O 的切线的？
（2）你认为直线l 具备什么条件就是⊙O 的切线了？
2．结论： 3．如图，直线l 是⊙O 的切线，切点为D ．直线l 与半径OD 有怎样的位置关系？为什么？
于是，我们得到切线的性质如下：
三、学以致用
问题1：如图，O 是∠ABC 的平分线上的一点，OD ⊥BC 于D ，以O 为圆心、OD 为半径的O • A
邳州市第四中学初三数学导学案 主备：杨英 审核：徐刚 张涵 圆与AB 相切吗？为什么？
D C 问题2：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，∠CAD ＝∠ABC ．判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并求证理由．
问题3：如图，AB 是⊙O 的直径，AC ＝AB ，⊙O 交BC 于D ．DE ⊥AC 于E ，DE 是⊙O 的切线吗？为什么？
注：判定直线与圆相切时，作出半径是常用辅助线．
问题4：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 平分∠ABC ，过点D 的切线交AC 于点E ，D E 与AC 有怎样的位置关系？为什么？
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四、课堂检测
1．如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABC ＝45°，AC ＝AB ．求证：AC 是⊙O 的切线．
C
2．如图，AB 为⊙O 的弦，OC ⊥OA ，交AB 于点P ，且PC ＝BC ．直线BC 是否与⊙O 相切？为什么？
O A
3．如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 切小圆于点P ．P A 与PB 相等吗？为什么？
五、学习收获
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小结与思考
学习目标： 1．系统复习圆的知识，熟练利用圆的有关知识解决实际问题；
2．在实际问题的解决过程中，发展逻辑思维能力．
学习重、难点：系统复习圆的知识；熟练利用圆的有关知识解决实际问题．
学习过程：
一、回顾思考
1．圆上各点到圆心的距离都等于_________．
2．圆是________对称图形，任何一条__________________都是它的对称轴；圆又是_________对称图形，_____________是它的对称中心．
3．垂径定理：垂直于弦的直径_________弦，并且平分________________；
4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量______，那么它们所对应的其余各组量都分别______．
5．同弧或等弧所对的圆周角_______，都等于它所对的圆心角的________．
6．直径所对的圆周角是_________，90°的圆周角所对的弦是_________．
7．点与圆的位置关系共有三种：①_________，②_________，③__________；对应的点到圆心的距离d 和半径r 之间的数量关系分别为：①d _______r ，②d ______r ，③d ______r ．
8．直线与圆的位置关系共有三种：①________，②________，③_________．对应的圆心到直线的距离d 和圆的半径r 之间的数量关系分别为：①d _______r ，②d ______r ，③d ______r ．
9． 切线的判定：经过________的外端，并且_____这条________的直线是圆的切线；
切线的性质：圆的切线_________于经过切点的半径．
10．切线长定理：从圆外一点可以向圆引_____条切线，且切线长_______．
11．三角形的三个顶点确定_____个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫_______，是三角形三条边的____________的交点．
12．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的________，其圆心是三角形三条____________的交点，叫做三角形的______，其到三角形三条边的距离________．
13．弧长公式：l ＝__________；扇形面积公式：S ＝__________或S ＝__________；
圆锥侧面积计算公式S ＝_____________．
二、精讲点拨
活动1：如图，⊙O 是△ABC 外接圆，AD ⊥BC 于D ，交⊙O 于N ，AE 平分∠BAC 交⊙O 于E ．求证：AE 平分∠OAD ．
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活动2：如图，△ABC 中∠A ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，E 为AC 边中点． 求证：DE 是⊙O 的切线．
三、当堂检测
1．一个点与定圆的最近距离为4，最远点为9，则圆的半径为（
A ．2.5或6.5 B ．2.5 C ．6.5 ）
D ．正方形
） ） D ．5或13 2．已知AB 、CD 是⊙O 两条直径，则四边形ABCD 为（ A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10，最短弦为8，那么OM 为（
A ．3 B ．6 C ．41 D ．9
4．如图，P （x ，y ）是以坐标原点为圆心，5为半径的圆点的一点，若x 、y 都为整数，则这样的点有（
A ．4 ）个 B ．8 C ．12 D ．16
5．⊙O 的半径为6，，弦长为一元二次方程x 2-5x -6=0的两根，则弦心距及弦所对的圆心角的度数分别是（
A ．和30° ） B ．和60° C ．和30° D ．33和60°
6．正三角形的边长是6 cm,则内切圆与外接圆组成的环形面积是____________cm2．
7．已知扇形的圆心角是120°, 扇形弧长是20π, 则扇形面积＝____________．
8．如图，△ABC 内接于⊙O ，CA ＝CB ，CD ∥AB 且与OA 的延长线交与点D ．
（1）判断CD 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）若∠ACB ＝120°，OA ＝2，求CD 的长．
四、学习收获
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2.1 圆（1）
学习目标： 1．理解圆的定义（圆的描述概念和圆的集合概念）；
2．掌握点和圆的三种位置关系；
3．会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系； 4．初步会运用圆的定义证明四个点在同一个圆上．
学习重、难点：确定点和圆的三种位置关系以及圆的集合概念的理解；点和圆的三种位置关系的理解和应用． 学习过程： 一、问题导入
圆的描述定义：把一条线段OP 的一个端点O 固定，线段OP 绕点O 在平面内旋转一周，另一个端点P 所形成的图形叫做_______．其中，定点O 叫_______，线段OP 叫_______．以点O 为圆心的圆，记作_______，读作_______． 注：（1）确定一个圆的两个要素是_______和________；
（2）以定点A 为圆心作圆，能作_______个圆； （3）以定长r 为半径作圆，能作_______个圆；
（4）以定点A 为圆心、定长r 为半径作圆，能且只能作_______个圆；（5）圆心确定_______，半径确定_______． 二、自学探究
1．操作与思考：请你在圆上任取3个点，分别量出这三个点到圆心的距离，你发现了什么？ 小结：（1）圆上的点到圆心的距离都_______半径；到圆心的距离等于半径的点都在圆______． （2）满足上述两个条件，我们可以把圆看成是一个集合．即
圆是__________________________________________________．(圆的集合定义)
请你在圆内任取3个点，分别量出这三个点到圆心的距离，你发现了什么？
小结：（1）圆内的点到圆心的距离都_______半径；到圆心的距离小于半径的点都在圆______． （2）圆的内部是到圆心的距离______半径的点的集合．
请你在圆外任取3个点，分别量出这三个点到圆心的距离，你发现了什么？
小结：（1）圆外的点到圆心的距离都_______半径；到圆心的距离大于半径的点都在圆______． （2）圆的外部是到圆心的距离______半径的点的集合． 因此，我们得到如下结论：
2．尝试交流：已操作：（1）画线段PQ ，使PQ =2 cm； （2）画出下列图形：
到点P 的距离等于1 cm的点的集合； 到点Q 的距离等于1.5 cm的点的集合．
（3）在所画图中，到点P 的距离等于1 cm，且到点Q 的距离等于1.5 cm的点有几个？请在图中将它们表示出来．
（4）在所画图中，到点P 的距离小于或等于1 cm，且到点Q 的距离大于或等于1.5 cm的点的集合是怎样的图形？把它画出来． 三、学以致用
活动一：已知⊙O 的半径为5cm ，A 为线段OP 的中点，当OP 满足下列条件时，分别指出点A 和⊙O 的位置关系：（1）OP ＝6cm ；（2）OP ＝10cm ；（3）OP ＝14cm ．
活动二：已知RT △ABC ，AC =3 cm，BC =4 cm，CD 是斜边AB 上的高．以点C 为圆心，3 cm长度为半径画圆，判断点A 、B 、D 与⊙C 的位置关系．
活动三：已知：如图，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ．求证：点A 、B 、C 、D 在同一个圆上．
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四、当堂检测
1．已知⊙O 的半径为4 cm ．如果点P 到圆心O 的距离为4.5 cm ，那么点P 与⊙O 有怎样的位置关系？如果点P 到圆心O 的距离分别为4 cm、3 cm呢？
2．用图形表示到点A 的距离小于或等于2 cm的点的集合．
3．如图，已知矩形ABCD 的边AB =3 cm，AD =4 cm（直接写出答案）
（1）以点A 为圆心，3厘米为半径作圆A ，则点B 、C 、D 与圆A 的位置关系如何？ （2）以点A 为圆心，4厘米为半径作圆A ，则点B 、C 、D 与圆A 的位置关系如何？ （3）以点A 为圆心，5厘米为半径作圆A ，则点B 、C 、D 与圆A 的位置关系如何？
A
D
C
4．已知矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ．点A 、B 、C 、D 是否在以点O 为圆心的同一个圆上？为什么？
五、学习收获
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2.1 圆（2）
学习目标： 1．认识圆的弦、弧、优弧与劣弧、半径、直径及其有关概念；
2．认识同心圆、等圆、等弧的概念； 3．了解“同圆或等圆的半径相等”，并能应用它解决有关的问题．
学习重、难点：了解圆的相关概念；容易混淆圆的概念的辨析． 学习过程： 一、问题导入
预习圆的相关概念：
结合图形逐个介绍半圆、优弧、劣弧、弓形、同心圆、等圆的概念及这些几何元素的表示法．引导学生分析它们之间的区别与联系，如半圆和弧一半圆也是弧，是半个圆周，但弧不一定是半圆，半圆不是优弧也不是劣弧，也不是弓形；直径和弦，是过圆心的特殊弦，但弦不一定都是直径；同圆、等圆、同心圆的区别与联系． 二、自学探究 1．理解与圆有关概念
（1）请在图上画出弦CD ，直径AB ． _________________________________叫做弦； _________________________________叫做直径． （2）弧、半圆、优弧与劣弧的概念及表示方法． 弧：____________________________________．
半圆：__________________________________________________． 优弧：_________________________________，表示方法：________． 劣弧：_________________________________，表示方法：________． （3）借助图形理解圆心角、同心圆、等圆．
圆心角：_____________________________________． 同心圆：_____________________________________． 等圆：_______________________________________． （4）同圆或等圆的半径_______．
等弧：______________________________________________． 2．概念巩固
判断下列结论是否正确． （1）直径是圆中最大的弦( )
（2）长度相等的两条弧一定是等弧( ) （3）半径相等的两个圆是等圆( )
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（4）面积相等的两个圆是等圆( ) （5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧( ) （6）半圆是弧，但弧不一定是半圆( ) （7）半径相等的两个半圆是等弧( ) 三、学以致用
活动一：已知：如图，点A 、B 和点C 、D 分别在同心圆上．且∠AOB ＝∠COD ，∠C 与∠D 相等吗？为什么？
活动二：如图，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？
活动三：（1）在图中，画出⊙O 的两条直径；
（2）依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由． 四、当堂检测
1．如图，⊙O 中，点A 、O 、D 及点B 、O 、C 分别在一条直线上，弦的条数有（
A ．2条
B ．3条
C ．4条
D ．5条
）
2．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是非直径的弦，CD 交OA 于E ，则图中共有______条劣弧，请把它们表示出来： ．
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3．如图，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC =a ，EF =b ，NH =c ，则下列各式中正确的是 （ ）
A ．a >b >c
B ．a =b =c
C ．c >a >b
D ．b >c >a
4．如图，两个等圆⊙O 1和⊙O 2交于A 、B 两点，且⊙O 1经过点O 2，则∠O 1AO 2=______．
五、学习收获
N G
H O 1O 2
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2.2圆的对称性（1）
学习目标：1、经历探索圆的中心对称性、旋转不变性及有关性质的过程； 2、理解圆心角、弧、弦之间相等关系定理；
3、能运用所学知识进行证明相关问题，会用所学知识对图形、数量条件进转化。
学习重难点：理解圆的中心对称性及有关性质
运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题教学过程 学习过程：
一、复习导入、激发兴趣
1. 什么样的图形是中心对称图形？
2. 圆是中心对称图形吗？_________，它的对称中心是_____________． 二、自主探究、合作交流 1. 尝试
（1）在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O '
（2）在⊙O 和⊙O ' 中, 分别作相等的圆心角∠AOB 、∠A ' O ' B ' ，连接ＡＢ、A ' B ' . （3）将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O ' 重合（如图）.
（4）固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA 与OA ' 重合. 2. 交流
在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流. _______________________________________________ 3. 总结
上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你能够用文字语言把你的发现表达出来吗?
（1）在同圆或等圆中, 如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么 .
4、讨论：在上面的结论中，为什么一定要添加条件“在同圆或等圆中”？ ．．．．．．．
试一试：
如图, 已知⊙O 、⊙O ' 半径相等，AB 、CD
C
分别是⊙O 、⊙O ' 的两条弦. 填空：
①若AB=CD，则 ， ②若 ， ③若∠AOB=∠CO ' D ，则 ， .
思考：在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？ （2）圆心角的度数与 相等.
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三、学以致用、巩固新知
活动1、如图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC. ∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？
︵ ︵ 活动2、如图，在⊙O 中，AC= BD ,∠AOB=50°. 求∠COD 的度数。
活动3、如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=28°，以C 为圆心，CA 为半径的
︵ ︵
圆交AB 于点D ，交BC 于点E 。求AD 、DE 的度数。
A
四、课堂检测
1、下列说法正确的是（ ）
A. 相等的弦所对的弧相等 B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 在同圆或等圆中, 相等的弧所对的弦相等 D. 相等的弦所对的圆心角相等 2、若两条弧的度数相等，那么（ ）
A. 两条弧所对的弦相等 B. 两条弧的长度相等 C. 两条弧所对的圆心角相等 D. 两条弧是等弧 ︵
3、 ⊙O 中，直径AB ∥CD 弦，AC 度数=600，则∠BOD=______4、如图，在⊙O 中，
＝A ＝40°，求∠B 的度数．
5、如图，在⊙O 中，∠AOC ＝∠BOD ，的度数为50°，求∠BOC 的度数．
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2.2圆的对称性（2）
学习目标：1、利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理． 2、利用垂径定理进行有关的计算与证明．
3、在经历探索与证明垂径定理的过程中，进一步体会和理解研究几 何图形的各种方法．
学习重难点：垂径定理及其运用. 学习过程：
一、问题导入、激发兴趣
1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做__________________，这条直线叫做_______________。 2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心。 二、自主探究、合作交流
探究一：在圆形纸片上任意画一条直径. 沿直径将圆形纸片对折，你能发现什么？请将你的发现写下来：
结论：圆也是_________图形，___________________________它的对称轴。 练习、判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴。
探究二、
1、如图，CD 是⊙O 的弦，画直径AB ⊥CD ，垂足为P ，将圆形纸片沿AB 对折。 通过折叠活动，我们可以发现：___________________________。 2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明） 3、得出垂径定理: 4、注意：
①条件中的“弦”可以是___；
②结论中的“平分弧”指平分弦所对的
___弧、___弧。 5、几何语言:
三、学以致用、巩固新知
活动1. 如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D.AC 与BD 相等吗？为什么？
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活动2：如图，已知在圆O 中，弦AB 的长为8㎝，圆心O 到AB 的距离为3 ㎝，求圆O 的半径。
变式1:在半径为5 ㎝的圆O 中，有长8 ㎝的弦AB ，求点O 与AB 的距离。
2：在半径为5 ㎝的圆O 中，圆心O 到弦AB 的距离为3 ㎝，求AB 的长。
3：若点P 是AB 上的一动点，试求OP 的范围。
四、课堂检测
1 圆不仅是中心对称图形圆还是____图形, 其对称轴为____________. 2 如图, 在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为E ． 则有AE=_____， _____= ， ____= ．
3. AB是⊙O 直径，AB=4，F 是OB 中点，弦CD ⊥AB 于F ，则CD=_________
4. 过⊙O 内一点P ，最长的弦为10cm ，最短的弦长为8cm ，则OP 的长为 .
5. ⊙O 直径为8，弦AB ＝42，则∠AOB ＝＿＿＿＿＿。
6. ⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）
A ．3≤OM ≤5 B．4≤OM ≤5 C．3＜OM ＜5 D．4＜OM ＜5 7 如图，∠C=90°，⊙C 与AB 相交于点D ，AC=5，CB=12，求AD=的长度
五、学习收获
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2.3 确定圆的条件
学习目标： 1．了解“不在同一条直线上三点确定一个圆”的定理及掌握它的作图方法；
2．了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念．
学习重、难点：1．解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念．
2．培养学生动手作图的准确操作的能力．
学习过程： 一、问题导入
确定一个圆需要哪两个要素？
二、自主探索
问题1：经过一点A 是否可以作圆？如果能作，可以作几个？经过一点B 可以作几个圆？(作出图形)
问题2：同时经过两个点A 、B 是否可以作圆？如果能作，可以作几个？（据分析作出图形）
问题3：经过三点是否可以作圆, 如果能作, 可以作几个？ 例如： 已知：△ABC ，求作：⊙O ，使它经过A 、B 、C 三点．
（分析：要作一个圆的关键是要干什么？怎样确定圆心和半径？作作看．）
问题4：经过三点一定就能够作圆吗？若不能，说明理由．
综上所述：
因为不在同一条直线上的三点可以构成一个三角形，所以我们可以得到如下定义： 三角形的三个顶点确定_____个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的_________叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
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三、学以致用
活动一：已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？
A
锐角三角形
B
直角三角形
B
钝角三角形
变式1：已知一条弧AB ，请你用所学的知识找出这条弧的圆心，并将它补充成一个完整的圆．
变式2：如图，残破的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交AB 于C ，交弦AB 于D ． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若AB ＝24 cm，CD ＝8 cm，求（1）中所作圆的半径．
活动二：如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A 、B 、C ，其中，B 点坐标为(4，4) ，则该圆弧所在圆的圆心坐标为________，半径为________． 四、课堂检测 1．判断题：
（1）经过三点一定可以作圆（
）
）
）
（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆（
（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形（ （4）三角形的外心是三角形三边中线的交点（ （5）三角形的外心到三角形各项点距离相等（ 2．钝角三角形的外心在三角形（
A ．内部 部
B ．一边上
）
C ．外部
） ）
D ．可能在内部也可能在外
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3．一个三角形能画____________个外接圆，一个圆中有____________个内接三角形． 4．三角形的外心是三角形的____________的圆心，它是三角形的____________的交点，它到____________________的距离相等．
5．△ABC 为⊙O 的内接三角形，∠A ＝70°，则∠BOC ＝________________．
6．Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝6 cm, BC ＝8 cm, 则其外接圆的半径为____________，外接圆的面积________________．
7．已知AB ＝7cm ，则过点A 、B ，且半径为3 cm的圆有（
A ．0个
B ．1个
C ．2个
） D ．无数个
8．如图是一块残缺的圆轮片，点A 、B 、C 在圆弧上．
（1）作出AC 弧所在的⊙O ；（2）若AB ＝BC ＝60 cm, ∠ABC ＝120°，求AC 所在的⊙O 的半径．
五、学习收获
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2.4 圆周角（1）
学习目标：
1、了解圆周角的概念, 掌握圆周角的两个特征. 理解圆周角定理的证明. 2、会运用圆周角定理进行简单的计算与证明. 3、在探索定理的过程中体会分类转化的数学思想. 学习重难点：
圆周角的性质及应用；利用圆周角的性质解决问题. 学习过程：
二、复习导入、激发兴趣
我们已经学过什么与圆有关的角？ 二、自主探究、合作交流 （一）尝试
（1）观察上图中的∠B 1 、∠B 2 ∠B 3 有什么共同的特征？
归纳得出结论，顶点在_______，并且两边_______________的角叫做圆周角。 强调条件：①_______________________，②___________________________。 （2）识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？并说明理由．
C
图3
图4B
（3）、图3中有几个圆周角？（ ）
（A ）2个，（B ）3个，（C ）4个，（D ）5个。
（4）、写出图4中的圆周角：________________________ （二）探究
1. 观察与思考：如图，AB 为⊙O 的直径，∠BOC 、∠BAC 分别是所对的圆心角、圆周角，求出图（１）、（２）、（３）中∠BAC 的度数．
通过计算发现：∠BAC ＝＿＿∠BOC ．试证明这个结
论：（学生完成） 2. 思考与探索
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（1）如图，所对的圆心角有多少个？
角，并与同学们交流。
讨论（1）观察上图，在画出的无数个些圆几种（2周角
圆心O 在∠BAC 的一边上外，圆
哪几种位置关系？对于这几种位置关系，结论∠BAC ＝
周位设为心O
圆周角中，这角与圆心O 有置关系？ BC 所对的圆∠BAC ，除了与∠BAC 还有
1
∠BOC 还成立吗？试证明之． 2
通过上述讨论发现：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
三、学以致用、巩固新知
活动1、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，点D 在圆外， CD、BD 分别交⊙O 于点E 、F ，
比较∠BAC 与∠BDC 的大小，并说明理由。
变式训练：
如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，点D 在⊙O 内，点A 与点D 在点B 、C 所在直线的同侧，比较∠BAC 与∠BDC 的大小，并说明理由．
活动2、
如图，OA 、OB 、OC 都是圆O 的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ ACB = BAC.
2∠
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四、课堂检测
1、如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，点A 与点D 在点B 、C 所在直线的同侧，∠BAC=35∠BDC=_______°, 理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ∠BOC=_______°, 理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
2、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上。
（1）若∠BAC=60°，求∠BOC=______°;
(2) 若∠AOB=90°, 求∠ACB=______°
3、如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠AOB=124°，则∠C 的大小为（ ） A ． 28° B ．56° C ．60° D ．62° （变式：若∠OAB=28°则∠C 的大小为多少）
4、如图7，已知圆心角∠AOB=100°，则∠ACB = _______。
五、学习收获
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2.4圆周角（2）
学习目标：
1、掌握并会熟练运用圆周角定理进行有关的计算和证明； 2、进一步培养学生观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力. 学习重难点： 圆周角的性质及应用. 学习过程：
复习导入、激发兴趣
D
1、我们学过哪些与圆有关的角？它们之间有什么关系？
A
O 2、如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，若∠BAC=40°，则
（1）∠BOC= °, 理由是 ； （1）∠BDC= °, 理由是 . C B
二、自主探究、合作交流 第2题 1、尝试、交流
（1）BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角是锐角、还是钝角、还是直角？为么？
（2）圆周角∠BAC=90，弦BC 过圆心吗？为什么？ 2、总结
直径所对的圆周角是 角，90的圆周角所对的弦是 。 B
三、学以致用、巩固新知
活动1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ， ∠ACD=60°，∠ADC=50°, 求∠CEB 的度数.
活动2、如图， A、B 、E 、C 四点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，
∠CAD=∠EAB,AE 是⊙O 的直径吗？为什么？
C
B
活动3、如图，△ABC 的3个顶点都在⊙O 上，
直径AD=4，∠ABC=∠DAC. 求AC 的长.
B
C
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四、课堂检测
1、如图，AB 是⊙O 的直径，∠A=10°, 则∠ABC =________.
2、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，∠ACD=40°, 则∠BCD =_______,∠BOD =_______. 3、如图，A B 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC=30°, 则的度数是( )
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
A
B
B
第1题
第2题 第3题
4、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB=6, ∠DCB=30°，求弦BD 的长．
5、如图，点A 、B 、C 、D 在圆上，AB=8,BC=6,AC=10,CD=4，求AD 的长.
五、学习收获
C
A B
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2.4 圆周角（3）
学习目标：
1、了解圆的内接四边形、四边形的外接圆的概念. 2、会运用圆内接四边形定理解决有关问题. 学习重难点：
会运用圆内接四边形定理解决有关问题. 学习过程：
复习导入、激发兴趣
什么是圆的内接三角形？什么是三角形的外接圆？ 二、自主探究、合作交流 （一）尝试
观察：
1、说说图中的四边形和圆有什么特点？ 2、你能给图中的四边形和圆起个名字吗？
（二）探究
1、如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，BD 是⊙O 的直径。∠A 与∠C 、∠ABC 与∠ADC 有 怎样的数量关系
2、如图，若圆心O 不在⊙O 的内接四边形ABCD 的对角线上，∠A 与∠C 、∠ABC 与∠ADC 的 数量关系是否依然存在？
归纳定理：_____________________________________________________
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三、学以致用、巩固新知
活动1、
AD 的度数为100°，则弦AD 所对的圆周角为多少度？ 如图，⊙O 中
活动2、
如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB=AD, ∠C=110°. 若点E 在AD 求∠E 的度数。
四、课堂检测
1、如图1，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A=125°，则∠BCD=________,∠B+∠D=_________.
1 2
2、如图2，，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOC=100°, 则∠BAC=________,∠BDC=________。 3、如图，，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠CBE 是它的一个外角。若∠D=100°，求∠CBE 的度数。
五、学习收获
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2.5 直线和圆的位置关系（1）
学习目标： 1．掌握直线与圆的三种位置关系和判定；
2．直线与圆的位置关系的判定；能利用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间
的数量关系判别直线与圆的位置关系．
学习重、难点：圆心到直线的距离d 与半径r 之间的数量关系，判别直线与圆的位置关系． 学习过程： 一、复习导入
1．我们已经学习过点和圆的位置关系，请同学们回忆：
点和圆有哪几种位置关系？怎样判定点和圆的位置关系？
2．观察三幅太阳升起的照片，地平线与太阳经历了哪些位置关系？
二、自主探究
1．通过这个自然现象，你猜想直线和圆的位置关系有几种？
2．尝试：（1）利用手中的工具将你的猜想画出来．
（2）在你所画的三个图形中，直线与圆的公共点有什么变化？圆心到直线的距离呢？
3．填空：如图，OD ⊥l ，垂足为D ，⊙O 的半径为r ．
在图（1）中，直线l 与⊙O 有______个交点，OD ______r ；
在图（2）中，直线l 与⊙O 有______个交点，OD ______r ；
在图（3）中，直线l 与⊙O 有______个交点，OD ______r ．
4．定义：直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆________；直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆________，这条直线叫做圆的________，这个公共点叫做________；直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆________．
5．根据刚才的讨论，我们可以得到如下结论：
注：结合点与圆的位置关系，我们可以知道：直线与圆的位置关系，实际上就是垂足点与圆的位置关系．
三、学以致用
问题1：已知：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4．
（1）在下列条件下，以点C 为圆心，r 为半径的圆与直线AB 有怎样的位置关系？为什么？ ①r ＝2 cm；②r ＝3 cm；③r ＝2.4 cm．
（2）以点C 为圆心，r 为半径的圆．
①当r 满足____________时，直线AB 与⊙O 相交；
②当r 满足____________时，直线AB 与⊙O 相切；
③当r 满足____________时，直线AB 与⊙O 相离．
（3）以点C 为圆心，r 为半径的圆．
若⊙C 与斜边AB 有两个公共点，则r 的范围是____________________；
若⊙C 与斜边AB 有一个公共点，则r 的范围是____________________；
若⊙C 与斜边AB 没有公共点，则r 的范围是____________________．
问题2：⊙O 的半径是4 cm．点P 在直线上，
若OP ＝4 cm，则直线l 和⊙O 位置关系是______________________；
若OP ＝3 cm，则直线l 和⊙O 位置关系是______________________；
若OP ＝5 cm，则直线l 和⊙O 位置关系是______________________．
四、课堂检测
1．如果圆的最大弦长是m ，直线与圆心的距离为d ，且直线与圆相离，那么（
A ．d >m ） 1B ．d >m 2 1C ．d ≥m 2 1D ．d ≤m 2
2．已知⊙O 的直径为10 cm，点O 到直线l 的距离为d ：
（1）若直线l 与⊙O 相切，则d ＝________；
（2）若d ＝4 cm，则直线l 与⊙O 有_____个公共点；
（3）若d ＝6 cm，则直线l 与⊙O 的位置关系是________．
3．已知：如图，直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点，点O 到直线l 的距离为3，AB ＝8．
（1）求⊙O 的直径；
（2）⊙O 满足什么条件时，它与直线l 不相交？
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2.5 直线和圆的位置关系（2）
学习目标： 1．理解并掌握切线的判定方法；
2．探索切线的判定定理，运用切线的判定方法解决有关问题．
学习重、难点：切线的判定方法、切线的性质的运用；对用“反证法”推理切线性质的理解． 学习过程： 一、复习导入
1．已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线l 的距离是：（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米．分别说出直线l 与圆的位置关系和公共点的个数．
2．“直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．”想一想：我们如何判定直线与圆相切？说说你的想法．
3．如图，点A 为⊙O 上一点，你能经过点A 画出⊙O 的切线吗？
二、自主探究
1．思考：
（1）你是怎样画出过点A 的⊙O 的切线的？
（2）你认为直线l 具备什么条件就是⊙O 的切线了？
2．结论： 3．如图，直线l 是⊙O 的切线，切点为D ．直线l 与半径OD 有怎样的位置关系？为什么？
于是，我们得到切线的性质如下：
三、学以致用
问题1：如图，O 是∠ABC 的平分线上的一点，OD ⊥BC 于D ，以O 为圆心、OD 为半径的O • A
邳州市第四中学初三数学导学案 主备：杨英 审核：徐刚 张涵 圆与AB 相切吗？为什么？
D C 问题2：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，∠CAD ＝∠ABC ．判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并求证理由．
问题3：如图，AB 是⊙O 的直径，AC ＝AB ，⊙O 交BC 于D ．DE ⊥AC 于E ，DE 是⊙O 的切线吗？为什么？
注：判定直线与圆相切时，作出半径是常用辅助线．
问题4：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 平分∠ABC ，过点D 的切线交AC 于点E ，D E 与AC 有怎样的位置关系？为什么？
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四、课堂检测
1．如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABC ＝45°，AC ＝AB ．求证：AC 是⊙O 的切线．
C
2．如图，AB 为⊙O 的弦，OC ⊥OA ，交AB 于点P ，且PC ＝BC ．直线BC 是否与⊙O 相切？为什么？
O A
3．如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 切小圆于点P ．P A 与PB 相等吗？为什么？
五、学习收获
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小结与思考
学习目标： 1．系统复习圆的知识，熟练利用圆的有关知识解决实际问题；
2．在实际问题的解决过程中，发展逻辑思维能力．
学习重、难点：系统复习圆的知识；熟练利用圆的有关知识解决实际问题．
学习过程：
一、回顾思考
1．圆上各点到圆心的距离都等于_________．
2．圆是________对称图形，任何一条__________________都是它的对称轴；圆又是_________对称图形，_____________是它的对称中心．
3．垂径定理：垂直于弦的直径_________弦，并且平分________________；
4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量______，那么它们所对应的其余各组量都分别______．
5．同弧或等弧所对的圆周角_______，都等于它所对的圆心角的________．
6．直径所对的圆周角是_________，90°的圆周角所对的弦是_________．
7．点与圆的位置关系共有三种：①_________，②_________，③__________；对应的点到圆心的距离d 和半径r 之间的数量关系分别为：①d _______r ，②d ______r ，③d ______r ．
8．直线与圆的位置关系共有三种：①________，②________，③_________．对应的圆心到直线的距离d 和圆的半径r 之间的数量关系分别为：①d _______r ，②d ______r ，③d ______r ．
9． 切线的判定：经过________的外端，并且_____这条________的直线是圆的切线；
切线的性质：圆的切线_________于经过切点的半径．
10．切线长定理：从圆外一点可以向圆引_____条切线，且切线长_______．
11．三角形的三个顶点确定_____个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫_______，是三角形三条边的____________的交点．
12．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的________，其圆心是三角形三条____________的交点，叫做三角形的______，其到三角形三条边的距离________．
13．弧长公式：l ＝__________；扇形面积公式：S ＝__________或S ＝__________；
圆锥侧面积计算公式S ＝_____________．
二、精讲点拨
活动1：如图，⊙O 是△ABC 外接圆，AD ⊥BC 于D ，交⊙O 于N ，AE 平分∠BAC 交⊙O 于E ．求证：AE 平分∠OAD ．
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活动2：如图，△ABC 中∠A ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，E 为AC 边中点． 求证：DE 是⊙O 的切线．
三、当堂检测
1．一个点与定圆的最近距离为4，最远点为9，则圆的半径为（
A ．2.5或6.5 B ．2.5 C ．6.5 ）
D ．正方形
） ） D ．5或13 2．已知AB 、CD 是⊙O 两条直径，则四边形ABCD 为（ A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10，最短弦为8，那么OM 为（
A ．3 B ．6 C ．41 D ．9
4．如图，P （x ，y ）是以坐标原点为圆心，5为半径的圆点的一点，若x 、y 都为整数，则这样的点有（
A ．4 ）个 B ．8 C ．12 D ．16
5．⊙O 的半径为6，，弦长为一元二次方程x 2-5x -6=0的两根，则弦心距及弦所对的圆心角的度数分别是（
A ．和30° ） B ．和60° C ．和30° D ．33和60°
6．正三角形的边长是6 cm,则内切圆与外接圆组成的环形面积是____________cm2．
7．已知扇形的圆心角是120°, 扇形弧长是20π, 则扇形面积＝____________．
8．如图，△ABC 内接于⊙O ，CA ＝CB ，CD ∥AB 且与OA 的延长线交与点D ．
（1）判断CD 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）若∠ACB ＝120°，OA ＝2，求CD 的长．
四、学习收获