浅谈数学期望
摘要
概率统计是研究随机现象与统计规律的学科，数学期望是反映随机变量总体取值的平均水平的一个数字特征。虽然随机变量的概率分布能完整地描述随机变量的统计规律，但是在实际问题中，要获得随机变量的概率分布不是一件简单的事情，所以我们往往要知道一些从某些方面刻画随机变量特征的数值，从而也可以清晰地解决实际问题。数学期望则完美地演绎了这一角色。这篇论文主要介绍了数学期望的来源，定义，性质以及应用。让我们更加深刻地认识数学期望应用的广泛性以及对于分析实际问题的重要性。
关键词：概率统计，数学期望，统计规律，应用
Abstract
Probability and Statistics is the study of random phenomena and statistical rules and disciplines, mathematical expectation is reflected in the overall average value of a random variable feature a number.Although the probability distribution of the random variable can complete description of the statistical laws of random variables. However, in practical problems, It ’s not easy to get the probability distribution of the random variable , so we tend to know some portray in some ways of the numerical characteristics of random variables, which can clearly solve practical problems. Mathematical expectation plays this role perfectly. This paper introduces the mathematical expectation of origin, definition, properties, and applications. Let us deeper understanding that the breadth and application of mathematical expectation for the analysis of the importance of practical problems.
Keywords: Probability and Statistics ,mathematical expectation, application
1·一般随机变量的数学期望
1.1引言
数学期望是刻画随机变量平均取值的数字特征，它是一类在概率论中最重要，也是最基本的与随机变量密切相关的数值。虽然它不能像随机变量概率分布那样完整地描述随机变量的统计规律，在实际问题中，利用概率统计知识可以获得合理的决策，但是要求出随机变量的分布函数并不是那么简单。实际上，我们只需要知道随机变量的某些重要特征也可以做出合理的决策，而数学期望则是随机变量中最重要的特征数。近年来，不管是在自然界还是社会生活，数学期望在各种决策中频繁“亮相”，并为决策者作出最优决策提供了重要的理论依据。
1.2数学期望的源来
数学期望源于一个赌博分本的问题。
17世纪中叶一位赌徒向法国数学家帕斯卡请教让他困惑许久的了一个摊分赌本的问题：甲乙赌徒相约，用硬币赌博，谁先赢三局就可以获得全部赌本100法郎，当甲赢了两局，乙赢了一局时，由于某些原因被迫停止赌博，问应该怎样分配赌本比较合理？
帕斯卡做出了如下的回答：当甲赢两局乙只赢了一局的时候。最多再玩两局就
本100法郎，只有A 4出现时，甲得到0法郎，乙得到100法郎。由于这四种结果出现的可能性都等可能的，所以甲应该得到100法郎的概率为3/4，乙应该得到100法郎的概率为1/4。所以甲赢得的赌本的数学期望为100⨯(3/4)+0⨯(1/4)=75法郎。
这就是帕斯卡的回答。这就是说：如果进行多次这样的赌博，甲平均每次获得75法郎。
1.3数学期望的定义
定义1 设离散型随机变量X 的分布律为：P{X=xk }=pk ，k=1,2,... 若级数∑x k p k 绝
k =1+∞
对收敛，则称 ∑x p k
k =1+∞k 的和数为X 的数学期望（简称期望，又称均值），记为E
（X ）, 即E （X ）=
+∞∑x p k k =1+∞k 。
若级数 ∑x p k
k =1k 发散，则说X 的数学期望不存在。
+∞定义2 设连续随机变量X 概率密度为f(x),若积分⎰xf (x ) dx 绝对收敛，则称_∞
积分 ⎰+∞
_∞，记为E(X),即xf (x ) dx 的值为X 的数学期望（简称期望，又称均值）
E(X)= .⎰xf (x ) dx 。 _∞+∞
若积分 ⎰+∞
_∞xf (x ) dx 发散，则说X 的数学期望不存在。
注意：随机变量的数学期望不一定存在。例如：
（1）若随机变量X 的取值为x k =(-1)k 2k /k，k=1,2...容易验证p k =1/2k(k=1,2...)满足分布律的两个条件，但∑x k p k =∑
k =1+∞+∞-∞(-1)2/k(1/2)=∑(-1)/k k k k =1k +∞k
1 =∑发散，所以X 的数学期望不存在。
k =1k
11（2）若随机变量X 的概率密度为f (x ) =, 即X 服从柯西分布，因为∏1+x ^2+∞
+∞+∞11x 2=x f (x ) dx =2⋅dx ⎰-∞⎰-∞∏1+x ^2∏In(1+x)=+∞发散，所以X 的数学期望不存在。
1.4数学期望的性质
数学期望具有以下几个重要的性质（设以下遇到的随机变量的数学期望均存在）
（1） 若C 为常数，则E （C ）=C；
（2） 设X 是一个随机变量，C 为常数，则E （CX ）=CE(X)；
（3） 设X,Y 是两个随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)；
这一性质可以推广到任意有限葛随机变量的情形：对于任意n 个随机变量X 1，X 2，...Xn ，有E(X1+X2+...+Xn)=E(X1)+E(X2)+...+E(Xn)
(4) 若X ，Y 相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)；
这一性质可以推广到任意有限个随机变量的情形：若n 个随机变量X 1，X 2，...Xn 相互独立，则E(X1X 2...Xn)=E(X1)E(X2)...E(Xn);
(5) 若X ≥O, 则E(X)≤0.
由数学期望的定义可知，性质（1）（2）（5）都是显然的，下面只对连续随机变量的情况证明性质（3）（4），对于离散随机变量也可以类似地证明。 证明：设随机变量（X,Y ）的概率密度是f(x,y)，其边缘概率密度为f x (x),fy (y),则E(X+Y)= ⎰
=⎰+∞+∞_∞_∞⎰(x +y ) f (x , y ) dxdy +∞+∞
-∞-∞+∞+∞-∞-∞⎰xf (x , y ) dxdy +⎰⎰yf (x , y ) dxdy
=E(X)+E(Y）
性质（3）得证！
若X 和Y 相互独立，则f(x,y)=f x (x)f y (y),故有E(XY)=⎰
+∞
-∞+∞+∞-∞-∞⎰(xy ) f (x , y ) dxdy +∞-∞ =⎰xf x (x ) dx ⋅⎰yf y (y ) dy
=E(X)E(Y)
性质（4）得证！
2·数学期望的应用
2.1最佳进货量问题
商场要进某种商品, 作为商场而言, 必定要考虑准备多少货源, 既能满足市场需求, 又不会产生积压, 使资金使用最佳、收益最优。在概率论中, 运用数学期望的概念, 此问题可以从平均收益, 即期望着手处理。
例1设某种商品每周的需求量X 服从区间[10,30]上的均匀分布，而经
销商场的进货数量为区间[10,30]中的某一整数，商场销售以1单位就获得利润500元，若供大于求，则销价处理，每处理以单位商品，就会亏损100元；若供过于求则从外部调剂，这时仅有利润300元；为使得商场利润不少于9280千元，试确定最少进货量。
解：设进货量为a ，利润为y, 则利润函数为
, a
y(x)= 500x-100(a-x) , 10因为服从[10,30]的均匀分布。所以X 的概率密度函数为
1 , 10
f (x ) =
利润期望为E(y)=0 , 其他 301a 1301y(x)dx=(600x-100a)dx+⎰1020⎰1020⎰a 20(200a+300x)dx =-7.5a2+350a+5250
若要 E(y)=-7.5a2+350a+5250≥9280
解得202≤a ≦26 3
故在使得商场利润大于9280元时，最少进货量应该为21单位。
2.2商场抽奖活动问题
买彩票，摸球，高奖销售固然激动人心，每个人都希望自己能成为那个拿大奖的幸运儿。然而事实真的像我们所期望的那样吗？下面从计算期望的角度可以看出，我们还是应该少参加这些活动。
例2某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时从摇箱里摇出的球可能的颜色为黄球和白球均有8个，每次只会摇出8个球，黄球记10分，白球记5分，摇出的球分数和作为中奖分数：一等奖80分或40分，风扇一台价值500元， 二等奖75分或45分，电锅一个价值50元； 三等奖70分或50分，瓷锅一个价值20元； 四等奖65分或55分，交10元送金属碗一个（假设成本5元）；
五等奖60分罚款20元;
解：从表面上看整个活动都是有利于消费者的，因为前三名的奖品的价值都是相当可观的，而四，五等奖只需要给相当少的一部分钱。但是经过分析，商家真的会亏本吗？顾客真的有很大的机会拿到大奖吗？根据中奖规则摇出来的球会有5种情况，假设为A i （i=1,2,..5）其中事件一等奖表示摇出8个黄球或者8个白球；二等奖为摇出7个黄球1个白球或者7个白球1个黄球；三等奖为摇出6个黄球球2个白球或者6个白球2和黄球；四等奖为摇出5个黄球3个白球或者
8-K 8 5个白球3个黄球；五等奖为摇出4个黄球4个白球；对应的概率为p(A i )=C K
8C 8/C16
5
i i 可以计算出数学期望E(X)=∑x p (x ) =-7.044145，也就是说商家在每一次抽奖中平均获得
i =1
7.044145元，而平均每一位抽奖者要花费7.044145元享受一次抽奖机会。顾客真的得到期望的大奖吗？相反，商家不仅在这次抽奖活动赚了钱，还轻而易举地把商品促销出去，而且还赢得了人气。这就是商家利用数学期望估计出搞这次活动而不会亏损，最后一举多得。由此看出数学期望在经济决策中的利用发挥了重要的作用。
2.3委托售后服务问题
企业在购买机器进行生产时，不仅要要求质量要有保障，而且还要要求售后服务，企业对机器的售后服务是必不可少的。企业的售后维修服务都是委托给各地的维修部，如何与维修部签订售后服务合同，是企业要考虑的问题。
例3某家电企业经调查预计明年向某地销售3000台洗衣机，计划与当地的一家维修部签订保修合同，委托维修部承包维修业务，保修期一年 该企业与维修部对这批产品的保修有以下两个方案选择：
方案1：维修次数不限，一次性支付总维修费2000元；
方案2：维修次数少于300次，支付维修费1 000元；若超过，每增加一次加付维修费5元； 另根据过去的经验及产品的质量情况估计，今后一年内洗衣机可能出现维修的次解：如果选择方案1，企业将支出维修费用2000元。
如果选择方案2，企业将支出的维修费用X 的数学期望为E(X)=1000×0.5+1500×0.25+2000×0.15+2500×0.07+3000×0.03=1440元。 由最后的结果可以知道，方案2优于方案1，所以企业应该选择维修方案2。
2.4分组验血问题
在一个人数为N 的群体中普查某种疾病，为此要抽验N 个人的血。如果将每个人的血分别化验，则共化验N 次。为了能减少工作量，统计学家提出一种方法：按k(k≥2) 个人一组进行分组，把同一组的k 个人的血样混在一起进行化验，
如果 该混合血样呈阴性反应，就说明这k 个人的血样混合在一起呈阴性反应，这样，这k 个人只需要化验一次，这时检验的工作量就减少了；如果该混合血样呈阳性反应，就说明这k 个人中至少有一个人的血呈阳性反应，此时需要再对这k 个人的血液分别进行化验，这样，这k 个人的血共需化验k+1次，这时的工作量增加了。
假设每个人血液化验呈阳性的概率为p, 且这些人的试验反应相互独立. 试说明当p 较小时，适当分组可以减少化验次数，并说明k 取什么值时得到最佳分组。 解：由于每人血液呈阳性的概率为p ，所以每人血液呈阴性反应的概率q=1-p,因而k 个人的混合血样呈阴性反应的概率为q k ，k 个人的混合血样呈阳性反应的概率为1-q k . 以k 个人为一组时，组内每个人的血化验次数X 是一个随机变量，
111 E(X)=×q k +(1+)(1-qk )=1-qk +, 表明N 个人的平均化验次数为k k k
1N(1-qk +), k
1 由此可知，只要选择k 使得1-q k +
1N ，亦即减少了化验次数；当p 固定时，选取k 使得L=1-qk +
就能得到最好的分组方法。
例如：当p=0.1时，对于不同的k 值，E(X)的值如下表所示，当k>34时，平均验血的次数超过1，即分组检验增加了工作量；而当k ≤33时，平均验血次数在不同的程度上得到了减少，特别地，当k=4时，平均验血次数最少，验血工作量可以减少到40%以上。
当然，我们也可以根据不同的发病率p 计算出最佳的分组人数k 0, 下由表统计得出：发病率p 越小, 分组的效益越明显。譬如在p=0.01时，如果取11个人为一组进行检验，则验血的工作量可以减少80%左右。这正是美国在二战期间大量征兵时，对新兵进行验血所采用减少工作量的措施。
式。
3. 结论
由以上的所对数学期望的认识以及数学期望在实际问题中的应用中，不管是作为出资做买卖的商家，还是作为消费者的我们，都应该清楚地了解数学期望带来的好处和坏处，只有很好地掌握数学期望并懂得应用数学期望的性质和特征，才可以找到更加合理配置资源的方法，做出更加合理的决策，减少人力，物力，财力。如果能恰到好处地运用数学期望，可以降低成本，为我们带来收益。 参考文献：
[1]韩旭里，谢永钦，概率论与数理统计[M],上海：复旦大学出版社，2011[2014-03-21]
[2]王丽霞，概率论与随机过程：理论, 历史及应用[M]，北京：清华大学出版社，2012[2014-03-21]
[3]王建蓉，数学在经济管理中的应用[J],青海师专学报（自然科学报），2002[2014-03-21]
[4]张丽娅，卢志辉，数学期望在物流管理中的应用[M],甘肃：
[5]杨四香，数学期望与西方经济学[J],
[6]高鸿业，西方经济学[M],北京：中国人民大学出版社，2006[2014-03-21]
[7]盛骤，概率论与数理统计[M],高等教育出版社，2003[2014-03-21]
[8]段丽凌，商场现代化[J],
,http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-SCXH200811265.htm
浅谈数学期望
摘要
概率统计是研究随机现象与统计规律的学科，数学期望是反映随机变量总体取值的平均水平的一个数字特征。虽然随机变量的概率分布能完整地描述随机变量的统计规律，但是在实际问题中，要获得随机变量的概率分布不是一件简单的事情，所以我们往往要知道一些从某些方面刻画随机变量特征的数值，从而也可以清晰地解决实际问题。数学期望则完美地演绎了这一角色。这篇论文主要介绍了数学期望的来源，定义，性质以及应用。让我们更加深刻地认识数学期望应用的广泛性以及对于分析实际问题的重要性。
关键词：概率统计，数学期望，统计规律，应用
Abstract
Probability and Statistics is the study of random phenomena and statistical rules and disciplines, mathematical expectation is reflected in the overall average value of a random variable feature a number.Although the probability distribution of the random variable can complete description of the statistical laws of random variables. However, in practical problems, It ’s not easy to get the probability distribution of the random variable , so we tend to know some portray in some ways of the numerical characteristics of random variables, which can clearly solve practical problems. Mathematical expectation plays this role perfectly. This paper introduces the mathematical expectation of origin, definition, properties, and applications. Let us deeper understanding that the breadth and application of mathematical expectation for the analysis of the importance of practical problems.
Keywords: Probability and Statistics ,mathematical expectation, application
1·一般随机变量的数学期望
1.1引言
数学期望是刻画随机变量平均取值的数字特征，它是一类在概率论中最重要，也是最基本的与随机变量密切相关的数值。虽然它不能像随机变量概率分布那样完整地描述随机变量的统计规律，在实际问题中，利用概率统计知识可以获得合理的决策，但是要求出随机变量的分布函数并不是那么简单。实际上，我们只需要知道随机变量的某些重要特征也可以做出合理的决策，而数学期望则是随机变量中最重要的特征数。近年来，不管是在自然界还是社会生活，数学期望在各种决策中频繁“亮相”，并为决策者作出最优决策提供了重要的理论依据。
1.2数学期望的源来
数学期望源于一个赌博分本的问题。
17世纪中叶一位赌徒向法国数学家帕斯卡请教让他困惑许久的了一个摊分赌本的问题：甲乙赌徒相约，用硬币赌博，谁先赢三局就可以获得全部赌本100法郎，当甲赢了两局，乙赢了一局时，由于某些原因被迫停止赌博，问应该怎样分配赌本比较合理？
帕斯卡做出了如下的回答：当甲赢两局乙只赢了一局的时候。最多再玩两局就
本100法郎，只有A 4出现时，甲得到0法郎，乙得到100法郎。由于这四种结果出现的可能性都等可能的，所以甲应该得到100法郎的概率为3/4，乙应该得到100法郎的概率为1/4。所以甲赢得的赌本的数学期望为100⨯(3/4)+0⨯(1/4)=75法郎。
这就是帕斯卡的回答。这就是说：如果进行多次这样的赌博，甲平均每次获得75法郎。
1.3数学期望的定义
定义1 设离散型随机变量X 的分布律为：P{X=xk }=pk ，k=1,2,... 若级数∑x k p k 绝
k =1+∞
对收敛，则称 ∑x p k
k =1+∞k 的和数为X 的数学期望（简称期望，又称均值），记为E
（X ）, 即E （X ）=
+∞∑x p k k =1+∞k 。
若级数 ∑x p k
k =1k 发散，则说X 的数学期望不存在。
+∞定义2 设连续随机变量X 概率密度为f(x),若积分⎰xf (x ) dx 绝对收敛，则称_∞
积分 ⎰+∞
_∞，记为E(X),即xf (x ) dx 的值为X 的数学期望（简称期望，又称均值）
E(X)= .⎰xf (x ) dx 。 _∞+∞
若积分 ⎰+∞
_∞xf (x ) dx 发散，则说X 的数学期望不存在。
注意：随机变量的数学期望不一定存在。例如：
（1）若随机变量X 的取值为x k =(-1)k 2k /k，k=1,2...容易验证p k =1/2k(k=1,2...)满足分布律的两个条件，但∑x k p k =∑
k =1+∞+∞-∞(-1)2/k(1/2)=∑(-1)/k k k k =1k +∞k
1 =∑发散，所以X 的数学期望不存在。
k =1k
11（2）若随机变量X 的概率密度为f (x ) =, 即X 服从柯西分布，因为∏1+x ^2+∞
+∞+∞11x 2=x f (x ) dx =2⋅dx ⎰-∞⎰-∞∏1+x ^2∏In(1+x)=+∞发散，所以X 的数学期望不存在。
1.4数学期望的性质
数学期望具有以下几个重要的性质（设以下遇到的随机变量的数学期望均存在）
（1） 若C 为常数，则E （C ）=C；
（2） 设X 是一个随机变量，C 为常数，则E （CX ）=CE(X)；
（3） 设X,Y 是两个随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)；
这一性质可以推广到任意有限葛随机变量的情形：对于任意n 个随机变量X 1，X 2，...Xn ，有E(X1+X2+...+Xn)=E(X1)+E(X2)+...+E(Xn)
(4) 若X ，Y 相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)；
这一性质可以推广到任意有限个随机变量的情形：若n 个随机变量X 1，X 2，...Xn 相互独立，则E(X1X 2...Xn)=E(X1)E(X2)...E(Xn);
(5) 若X ≥O, 则E(X)≤0.
由数学期望的定义可知，性质（1）（2）（5）都是显然的，下面只对连续随机变量的情况证明性质（3）（4），对于离散随机变量也可以类似地证明。 证明：设随机变量（X,Y ）的概率密度是f(x,y)，其边缘概率密度为f x (x),fy (y),则E(X+Y)= ⎰
=⎰+∞+∞_∞_∞⎰(x +y ) f (x , y ) dxdy +∞+∞
-∞-∞+∞+∞-∞-∞⎰xf (x , y ) dxdy +⎰⎰yf (x , y ) dxdy
=E(X)+E(Y）
性质（3）得证！
若X 和Y 相互独立，则f(x,y)=f x (x)f y (y),故有E(XY)=⎰
+∞
-∞+∞+∞-∞-∞⎰(xy ) f (x , y ) dxdy +∞-∞ =⎰xf x (x ) dx ⋅⎰yf y (y ) dy
=E(X)E(Y)
性质（4）得证！
2·数学期望的应用
2.1最佳进货量问题
商场要进某种商品, 作为商场而言, 必定要考虑准备多少货源, 既能满足市场需求, 又不会产生积压, 使资金使用最佳、收益最优。在概率论中, 运用数学期望的概念, 此问题可以从平均收益, 即期望着手处理。
例1设某种商品每周的需求量X 服从区间[10,30]上的均匀分布，而经
销商场的进货数量为区间[10,30]中的某一整数，商场销售以1单位就获得利润500元，若供大于求，则销价处理，每处理以单位商品，就会亏损100元；若供过于求则从外部调剂，这时仅有利润300元；为使得商场利润不少于9280千元，试确定最少进货量。
解：设进货量为a ，利润为y, 则利润函数为
, a
y(x)= 500x-100(a-x) , 10因为服从[10,30]的均匀分布。所以X 的概率密度函数为
1 , 10
f (x ) =
利润期望为E(y)=0 , 其他 301a 1301y(x)dx=(600x-100a)dx+⎰1020⎰1020⎰a 20(200a+300x)dx =-7.5a2+350a+5250
若要 E(y)=-7.5a2+350a+5250≥9280
解得202≤a ≦26 3
故在使得商场利润大于9280元时，最少进货量应该为21单位。
2.2商场抽奖活动问题
买彩票，摸球，高奖销售固然激动人心，每个人都希望自己能成为那个拿大奖的幸运儿。然而事实真的像我们所期望的那样吗？下面从计算期望的角度可以看出，我们还是应该少参加这些活动。
例2某商店在年末大甩卖中进行有奖销售，摇奖时从摇箱里摇出的球可能的颜色为黄球和白球均有8个，每次只会摇出8个球，黄球记10分，白球记5分，摇出的球分数和作为中奖分数：一等奖80分或40分，风扇一台价值500元， 二等奖75分或45分，电锅一个价值50元； 三等奖70分或50分，瓷锅一个价值20元； 四等奖65分或55分，交10元送金属碗一个（假设成本5元）；
五等奖60分罚款20元;
解：从表面上看整个活动都是有利于消费者的，因为前三名的奖品的价值都是相当可观的，而四，五等奖只需要给相当少的一部分钱。但是经过分析，商家真的会亏本吗？顾客真的有很大的机会拿到大奖吗？根据中奖规则摇出来的球会有5种情况，假设为A i （i=1,2,..5）其中事件一等奖表示摇出8个黄球或者8个白球；二等奖为摇出7个黄球1个白球或者7个白球1个黄球；三等奖为摇出6个黄球球2个白球或者6个白球2和黄球；四等奖为摇出5个黄球3个白球或者
8-K 8 5个白球3个黄球；五等奖为摇出4个黄球4个白球；对应的概率为p(A i )=C K
8C 8/C16
5
i i 可以计算出数学期望E(X)=∑x p (x ) =-7.044145，也就是说商家在每一次抽奖中平均获得
i =1
7.044145元，而平均每一位抽奖者要花费7.044145元享受一次抽奖机会。顾客真的得到期望的大奖吗？相反，商家不仅在这次抽奖活动赚了钱，还轻而易举地把商品促销出去，而且还赢得了人气。这就是商家利用数学期望估计出搞这次活动而不会亏损，最后一举多得。由此看出数学期望在经济决策中的利用发挥了重要的作用。
2.3委托售后服务问题
企业在购买机器进行生产时，不仅要要求质量要有保障，而且还要要求售后服务，企业对机器的售后服务是必不可少的。企业的售后维修服务都是委托给各地的维修部，如何与维修部签订售后服务合同，是企业要考虑的问题。
例3某家电企业经调查预计明年向某地销售3000台洗衣机，计划与当地的一家维修部签订保修合同，委托维修部承包维修业务，保修期一年 该企业与维修部对这批产品的保修有以下两个方案选择：
方案1：维修次数不限，一次性支付总维修费2000元；
方案2：维修次数少于300次，支付维修费1 000元；若超过，每增加一次加付维修费5元； 另根据过去的经验及产品的质量情况估计，今后一年内洗衣机可能出现维修的次解：如果选择方案1，企业将支出维修费用2000元。
如果选择方案2，企业将支出的维修费用X 的数学期望为E(X)=1000×0.5+1500×0.25+2000×0.15+2500×0.07+3000×0.03=1440元。 由最后的结果可以知道，方案2优于方案1，所以企业应该选择维修方案2。
2.4分组验血问题
在一个人数为N 的群体中普查某种疾病，为此要抽验N 个人的血。如果将每个人的血分别化验，则共化验N 次。为了能减少工作量，统计学家提出一种方法：按k(k≥2) 个人一组进行分组，把同一组的k 个人的血样混在一起进行化验，
如果 该混合血样呈阴性反应，就说明这k 个人的血样混合在一起呈阴性反应，这样，这k 个人只需要化验一次，这时检验的工作量就减少了；如果该混合血样呈阳性反应，就说明这k 个人中至少有一个人的血呈阳性反应，此时需要再对这k 个人的血液分别进行化验，这样，这k 个人的血共需化验k+1次，这时的工作量增加了。
假设每个人血液化验呈阳性的概率为p, 且这些人的试验反应相互独立. 试说明当p 较小时，适当分组可以减少化验次数，并说明k 取什么值时得到最佳分组。 解：由于每人血液呈阳性的概率为p ，所以每人血液呈阴性反应的概率q=1-p,因而k 个人的混合血样呈阴性反应的概率为q k ，k 个人的混合血样呈阳性反应的概率为1-q k . 以k 个人为一组时，组内每个人的血化验次数X 是一个随机变量，
111 E(X)=×q k +(1+)(1-qk )=1-qk +, 表明N 个人的平均化验次数为k k k
1N(1-qk +), k
1 由此可知，只要选择k 使得1-q k +
1N ，亦即减少了化验次数；当p 固定时，选取k 使得L=1-qk +
就能得到最好的分组方法。
例如：当p=0.1时，对于不同的k 值，E(X)的值如下表所示，当k>34时，平均验血的次数超过1，即分组检验增加了工作量；而当k ≤33时，平均验血次数在不同的程度上得到了减少，特别地，当k=4时，平均验血次数最少，验血工作量可以减少到40%以上。
当然，我们也可以根据不同的发病率p 计算出最佳的分组人数k 0, 下由表统计得出：发病率p 越小, 分组的效益越明显。譬如在p=0.01时，如果取11个人为一组进行检验，则验血的工作量可以减少80%左右。这正是美国在二战期间大量征兵时，对新兵进行验血所采用减少工作量的措施。
式。
3. 结论
由以上的所对数学期望的认识以及数学期望在实际问题中的应用中，不管是作为出资做买卖的商家，还是作为消费者的我们，都应该清楚地了解数学期望带来的好处和坏处，只有很好地掌握数学期望并懂得应用数学期望的性质和特征，才可以找到更加合理配置资源的方法，做出更加合理的决策，减少人力，物力，财力。如果能恰到好处地运用数学期望，可以降低成本，为我们带来收益。 参考文献：
[1]韩旭里，谢永钦，概率论与数理统计[M],上海：复旦大学出版社，2011[2014-03-21]
[2]王丽霞，概率论与随机过程：理论, 历史及应用[M]，北京：清华大学出版社，2012[2014-03-21]
[3]王建蓉，数学在经济管理中的应用[J],青海师专学报（自然科学报），2002[2014-03-21]
[4]张丽娅，卢志辉，数学期望在物流管理中的应用[M],甘肃：
[5]杨四香，数学期望与西方经济学[J],
[6]高鸿业，西方经济学[M],北京：中国人民大学出版社，2006[2014-03-21]
[7]盛骤，概率论与数理统计[M],高等教育出版社，2003[2014-03-21]
[8]段丽凌，商场现代化[J],
,http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-SCXH200811265.htm