函数：综合探究
知识点1：利用函数的图象解决问题
1、利用图象求一次函数的解析式
例1．如图，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，
（1）写出A 、B 两点的坐标；
（2）求直线AB 的函数解析式。
2、利用图象确定变量的取值范围
例2．如图，直线y=kx+b与x 轴交于（-4，0），
则当y>0时，x 的取值为（ ）
A ．x>-4 B．x>0 C．x
则当x
A ．y>0 B．y
3、利用图象解方程、不等式
例4．已知函数y=3x+12如图所示，则
（1）方程3x+12=0的解为 ； （2）不等式3x+12>0的解为 。
4、利用特殊值化简或进行相应判断
例5．已知一次函数y=ax+b的图象如图所示，
则下列说法中正确的有（ ）个。 （1）a ＜0，b ＜0； （2）a ＋b ＞0；
（3）a －b ＞0； （4）|a＋b|－|a－b|=－2b A ．1 B．2 C．3 D．4
（本题利用特殊值：x=1时，y=a＋b ；x=－1时，y=b－a 进行判断）
5、利用图象求几何图形的面积
在平面直角坐标系中求△的面积，关键在于以在坐标轴上的一边为底，再利用△的面积公式求解； 若所求△没有一边在坐标轴上时，则要利用有边在坐标轴上的△来转换。（同时也涉及到点坐标的 求法和点到坐标轴的距离）
例6．如图，一次函数y=x＋5的图像交x 轴于点B ，交正比例函数的图像 于点A ，且点A 的横坐标为－4，
（1）求正比例函数的解析式． （2）求△AOB 的面积。
例7．已知直线y=-x＋5与x 轴交于点A ，直线上有一点p ，满足△POA的面积为10，求点p 的坐 标。
知识点2：利用函数知识解决生活中的实际问题
1、“分段性”问题
这种问题在变化过程中，规律是动态的，在解决时应按以下步骤：
（1）把具有相同变化规律的自变量取值范围看作一段，先分段建立函数关系式； （2）然后按要求分段进行处理。
例8．某自来水公司为鼓励居民节约用水，每月按用水量分段收费的方法，若某户居民应交水费y （元） 与用水量x （吨）的函数关系如图所示。
（1）分别写出当0≤x≤15和x≥15时，y 与x 的函数关系式； （2）若某用户该月用水21吨，则应交水费多少元？
例9．某市计程车收费标准如下：前5公里起步价为8元，超出5公里每公里多收费1.6元（不足1 公里按1公里计算）。
（1）写出收费y （元）与行程x （公里）之间的函数关系式；
（2）分别求出行程为4公里、13公里的收费情况。
例10．某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规 定剂量服用，那么服药2小时后血液中含药量最高，达每毫升6微 克，接着逐步衰减，10小时后血液中含药量为每毫升3微克，每毫 升血液中含药量y （微克）随时间x （小时）的变化如图所示，当成 人按规定剂量服药后，
（1）分别求出x ≤2和x ≥2时，y 与x 的函数关系式；
（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，则在治疗疾病时是有效的，那么这个有 效时间是多长？
例11．（2002年吉林省中考试题）如图所示，菱形OABC 的边长为4cm ，∠AOC =60︒，动点P 从 O 出发，以1cm/s的速度沿O →A →B 路线运动，点P 出发2s 后，动点Q 从O 出发，在OA 上以1cm/s的速度，在AB 上以2cm/s的速度沿O →A →B 路线运动，过P 、Q 两点分别作
对角线AC 的平行线．设P 点运动的时间为x s，这两条平行线在菱形上截出的图形（图中的阴影 部分）的周长为y cm，请你回答下列问题：
（1）当x =3时，y 的值是多少？
（2）就下列各种情况，写出y 与x 之间的函数关系式：
①0≤x ≤2时，函数关系式为 。 ②2≤x ≤4时，函数关系式为 。 ③4≤x ≤6时，函数关系式为 。 ④6≤x ≤8时，函数关系式为 。
2、“决策性”问题
此类问题，通常给出几个不同的方案，再根据实际的要求来作出相应的决策。 解决此类问题的一般步骤：
1、根据不同的方案，分别建立函数关系式； 2、在实际要求中，分别计算出函数值；
3、通过比较函数值的大小，确定相应的策略。
例12．（2002年哈尔滨市中考试题）哈尔滨市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者 先缴50元月基础费，然后每通话1min ，再付电话费0．4元；“神州行”不缴月基础费，每通话 1min，付话费0．6元（这里均指市内通话）．若一个月内通话x min ，两种通讯方式的费用分别 为y 1和y 2元．
（1）写出y 1, y 2与x 之间的函数关系式；
（2）一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？
（3）若某人预计一个月内使用话费200元，则应选择哪种通讯方式较合算？
例13．（2003年贵阳市中考试题）某校准备在甲、乙两家公司为毕业班学生制作一批纪念册．甲公司 提出：每册收材料费5元，另收设计费1500元；乙公司提出：每册收材料费8元，不收设计费．
（1）请写出制作纪念册的册数x 与甲公司的收费y 1（元）的函数关系式； （2）请写出制作纪念册数x 与乙公司的收费y 2（元）的函数关系式； （3）如果学校派你去甲、乙两家公司订做纪念册，你会选择哪家公司？
3、“规律性”问题
某一量随另一量的变化而呈规律性变化的问题。利用函数思想是解决这类问题的一般步骤：
1、列表；2、猜想（函数关系式）；3、得到规律；4、验证规律；5、运用规律解决问题。
例14．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下的规律拼成若干个图案：
（1） （2） （3）
问（1）第4个图案中有白色地砖 块；
（2）第n 个图案中有白色地砖 块。
4、“最值性”问题
就是利用在实际问题中自变量受到的限制（可能出现最大值或最小值），来解决诸如“成本最 低”、“利润最大”、“费用最少”的问题。一般步骤：
1、列出函数解析式；
2、根据实际问题，求出自变量的取值范围； 3、根据函数的性质（一次函数的性质由k 决定），在自变量的取值范围中，确定函数的最值。
例15．某饮料厂为了开发新产品，用A 、B 两种果汁原料各19千克、 17.2千克，试制甲、乙两种新型饮料50千克，右表是相关的数据：
（1）设甲种饮料配制x 千克，试求x 的取值范围；
（2）若甲、乙两种饮料每千克的成本分别为4元、3元，设两种
饮料
每千克含量
甲乙
A （千克）B （千克）
0.50.2
0.30.4
饮料的总成本为y 元，请写出y 与x 之间的函数关系式；并确定当甲配制多少千克时，成本总额最少。
例16．现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂 有A 、B 两种不同规格的货车厢共40节，使用A 型车厢每节费用为6000元，使用B 型车厢每节费用为8000元．如果每节A 型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物 15吨，每节B 型车厢最多可装甲种货物25
吨和乙种货物35吨，请你设计一种运费 最少的运输方案。
例17. 某市今年大棚蔬菜又喜获丰收，某人组织40辆汽车装运A 、B 、C 三种蔬菜共84吨到外地销售， 规定每辆汽车只装运一种蔬菜，且必须装满；又装运每种蔬菜的汽车不少于4辆；同时，装运的B 种蔬菜的重量不超过装运的A 、C 两种蔬菜重量之和。
(1)设用x 辆汽车装运A 种蔬菜，用y 辆汽车装运B 种蔬菜，根据下表提供的信息求y 与x 之间 的函数关系式；
(2)求(1)所确定的函数自变量的取值范围；
(3)设此次外销活动的利润为m (百元) ，求m 与x 之间的函数关系式以及最大利润，并安排获利最 大时车辆分配方案。
函数：综合探究
知识点1：利用函数的图象解决问题
1、利用图象求一次函数的解析式
例1．如图，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，
（1）写出A 、B 两点的坐标；
（2）求直线AB 的函数解析式。
2、利用图象确定变量的取值范围
例2．如图，直线y=kx+b与x 轴交于（-4，0），
则当y>0时，x 的取值为（ ）
A ．x>-4 B．x>0 C．x
则当x
A ．y>0 B．y
3、利用图象解方程、不等式
例4．已知函数y=3x+12如图所示，则
（1）方程3x+12=0的解为 ； （2）不等式3x+12>0的解为 。
4、利用特殊值化简或进行相应判断
例5．已知一次函数y=ax+b的图象如图所示，
则下列说法中正确的有（ ）个。 （1）a ＜0，b ＜0； （2）a ＋b ＞0；
（3）a －b ＞0； （4）|a＋b|－|a－b|=－2b A ．1 B．2 C．3 D．4
（本题利用特殊值：x=1时，y=a＋b ；x=－1时，y=b－a 进行判断）
5、利用图象求几何图形的面积
在平面直角坐标系中求△的面积，关键在于以在坐标轴上的一边为底，再利用△的面积公式求解； 若所求△没有一边在坐标轴上时，则要利用有边在坐标轴上的△来转换。（同时也涉及到点坐标的 求法和点到坐标轴的距离）
例6．如图，一次函数y=x＋5的图像交x 轴于点B ，交正比例函数的图像 于点A ，且点A 的横坐标为－4，
（1）求正比例函数的解析式． （2）求△AOB 的面积。
例7．已知直线y=-x＋5与x 轴交于点A ，直线上有一点p ，满足△POA的面积为10，求点p 的坐 标。
知识点2：利用函数知识解决生活中的实际问题
1、“分段性”问题
这种问题在变化过程中，规律是动态的，在解决时应按以下步骤：
（1）把具有相同变化规律的自变量取值范围看作一段，先分段建立函数关系式； （2）然后按要求分段进行处理。
例8．某自来水公司为鼓励居民节约用水，每月按用水量分段收费的方法，若某户居民应交水费y （元） 与用水量x （吨）的函数关系如图所示。
（1）分别写出当0≤x≤15和x≥15时，y 与x 的函数关系式； （2）若某用户该月用水21吨，则应交水费多少元？
例9．某市计程车收费标准如下：前5公里起步价为8元，超出5公里每公里多收费1.6元（不足1 公里按1公里计算）。
（1）写出收费y （元）与行程x （公里）之间的函数关系式；
（2）分别求出行程为4公里、13公里的收费情况。
例10．某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规 定剂量服用，那么服药2小时后血液中含药量最高，达每毫升6微 克，接着逐步衰减，10小时后血液中含药量为每毫升3微克，每毫 升血液中含药量y （微克）随时间x （小时）的变化如图所示，当成 人按规定剂量服药后，
（1）分别求出x ≤2和x ≥2时，y 与x 的函数关系式；
（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，则在治疗疾病时是有效的，那么这个有 效时间是多长？
例11．（2002年吉林省中考试题）如图所示，菱形OABC 的边长为4cm ，∠AOC =60︒，动点P 从 O 出发，以1cm/s的速度沿O →A →B 路线运动，点P 出发2s 后，动点Q 从O 出发，在OA 上以1cm/s的速度，在AB 上以2cm/s的速度沿O →A →B 路线运动，过P 、Q 两点分别作
对角线AC 的平行线．设P 点运动的时间为x s，这两条平行线在菱形上截出的图形（图中的阴影 部分）的周长为y cm，请你回答下列问题：
（1）当x =3时，y 的值是多少？
（2）就下列各种情况，写出y 与x 之间的函数关系式：
①0≤x ≤2时，函数关系式为 。 ②2≤x ≤4时，函数关系式为 。 ③4≤x ≤6时，函数关系式为 。 ④6≤x ≤8时，函数关系式为 。
2、“决策性”问题
此类问题，通常给出几个不同的方案，再根据实际的要求来作出相应的决策。 解决此类问题的一般步骤：
1、根据不同的方案，分别建立函数关系式； 2、在实际要求中，分别计算出函数值；
3、通过比较函数值的大小，确定相应的策略。
例12．（2002年哈尔滨市中考试题）哈尔滨市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者 先缴50元月基础费，然后每通话1min ，再付电话费0．4元；“神州行”不缴月基础费，每通话 1min，付话费0．6元（这里均指市内通话）．若一个月内通话x min ，两种通讯方式的费用分别 为y 1和y 2元．
（1）写出y 1, y 2与x 之间的函数关系式；
（2）一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？
（3）若某人预计一个月内使用话费200元，则应选择哪种通讯方式较合算？
例13．（2003年贵阳市中考试题）某校准备在甲、乙两家公司为毕业班学生制作一批纪念册．甲公司 提出：每册收材料费5元，另收设计费1500元；乙公司提出：每册收材料费8元，不收设计费．
（1）请写出制作纪念册的册数x 与甲公司的收费y 1（元）的函数关系式； （2）请写出制作纪念册数x 与乙公司的收费y 2（元）的函数关系式； （3）如果学校派你去甲、乙两家公司订做纪念册，你会选择哪家公司？
3、“规律性”问题
某一量随另一量的变化而呈规律性变化的问题。利用函数思想是解决这类问题的一般步骤：
1、列表；2、猜想（函数关系式）；3、得到规律；4、验证规律；5、运用规律解决问题。
例14．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下的规律拼成若干个图案：
（1） （2） （3）
问（1）第4个图案中有白色地砖 块；
（2）第n 个图案中有白色地砖 块。
4、“最值性”问题
就是利用在实际问题中自变量受到的限制（可能出现最大值或最小值），来解决诸如“成本最 低”、“利润最大”、“费用最少”的问题。一般步骤：
1、列出函数解析式；
2、根据实际问题，求出自变量的取值范围； 3、根据函数的性质（一次函数的性质由k 决定），在自变量的取值范围中，确定函数的最值。
例15．某饮料厂为了开发新产品，用A 、B 两种果汁原料各19千克、 17.2千克，试制甲、乙两种新型饮料50千克，右表是相关的数据：
（1）设甲种饮料配制x 千克，试求x 的取值范围；
（2）若甲、乙两种饮料每千克的成本分别为4元、3元，设两种
饮料
每千克含量
甲乙
A （千克）B （千克）
0.50.2
0.30.4
饮料的总成本为y 元，请写出y 与x 之间的函数关系式；并确定当甲配制多少千克时，成本总额最少。
例16．现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂 有A 、B 两种不同规格的货车厢共40节，使用A 型车厢每节费用为6000元，使用B 型车厢每节费用为8000元．如果每节A 型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物 15吨，每节B 型车厢最多可装甲种货物25
吨和乙种货物35吨，请你设计一种运费 最少的运输方案。
例17. 某市今年大棚蔬菜又喜获丰收，某人组织40辆汽车装运A 、B 、C 三种蔬菜共84吨到外地销售， 规定每辆汽车只装运一种蔬菜，且必须装满；又装运每种蔬菜的汽车不少于4辆；同时，装运的B 种蔬菜的重量不超过装运的A 、C 两种蔬菜重量之和。
(1)设用x 辆汽车装运A 种蔬菜，用y 辆汽车装运B 种蔬菜，根据下表提供的信息求y 与x 之间 的函数关系式；
(2)求(1)所确定的函数自变量的取值范围；
(3)设此次外销活动的利润为m (百元) ，求m 与x 之间的函数关系式以及最大利润，并安排获利最 大时车辆分配方案。