复习课: 第三章 直线与方程
教学目标
重点：掌握直线方程的五种形式，两条直线的位置关系．
难点：点关于直线的对称、直线关于点的对称、直线关于直线的对称这类问题的解决．
能力点：培养学生通过对直线位置关系的分析研究进一步提高数形结合以及分析问题、解决问题的能力． 教育点：培养学生转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用． 自主探究点：1．由直线方程的各种形式去判断两直线的位置关系；
2．能根据直线之间的位置关系准确的求出直线方程；
3．能够深入研究对称问题的实质，利用对称性解决相关问题．
考试点:两直线的位置关系判断在高考中经常出现，直线与圆锥曲线结合是高考的常见题目． 易错点：判断两条直线的平行与垂直忽略斜率问题导致出错． 易混点：用一般式判断两直线的位置关系时平行与垂直的条件．
拓展点:中点问题、对称问题、距离问题中涵盖的直线位置关系的分析研究．
学法与教具
1．学法：讲练结合，自主探究 2．教具：多媒体课件，三角板 一、【知识结构】
二、【知识梳理】
1．直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角
①定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴________与直线l ________方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________． ②倾斜角α的范围为______________． （2）直线的斜率
①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即
α
k =________，倾斜角是90︒的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式：
经过两点P 1(x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2) 的直线的斜率公式为k =______________________．当
x 1≠x 2时，直线的斜率__________．
（3）直线的倾斜角α与斜率k 的关系
当α为锐角时，α越大⇔k 越____；当α为钝角时，α越大⇔k 越____；
︒
答案：1．（1） ①正向，向上，0 ；②0︒≤α
2．y -y 0=k (x -x 0) ，y =kx +b ，
y 2-y 1
．不
x 2-x 1
y -y 1x -x 1x y 22
=，+=1，Ax +By +C =0(A +B ≠0) ．
y 2-y 1x 2-x 1a b
垂直于x 轴；垂直于x 轴；垂直于坐标轴；垂直于坐标轴、过原点． 3．两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1//l 2的斜率l 1、l 2都不存在时，l 1与l 2________．
（2）两条直线垂直
如果两条直线斜率l 1、l 2存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2一条直线斜率不存在时，两直线________．
4．两直线相交
交点：直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0和l 2：A 2x +B 2y +C 2=0的公共点的坐标与方程组
⇔____________．特别地，当直线
⇔____________，当一条直线斜率为零，另
⎧A 1x +B 1y +C 1=0
的解一一对应． ⎨
⎩A 2x +B 2y +C 2=0
相交⇔方程组有__________，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组________；
重合⇔方程组有______________．
5．三种距离公式
（1）点A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)间的距离：
AB =．
（2）点P (x 0, y 0)到直线l ：Ax +By +C
=0的距离：
d =
（3）两平行直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0与l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 （C 1≠C 2）间的距离为d =______________．
6．直线中的对称问题有哪些？（学生讨论）如何求一个点关于直线的对称点？如何求直线关于点的对称直
线以及直线关于点的对称直线呢？
三、【范例导航】
例1 已知直线l :mx -y +m +2=0与以A (-2, -3)、B (3,0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率k 的取值范围．
【分析】可用两点式写出直线AB 的方程，联立直线l 和AB 的方程，解出交点的坐标M ，利用-2≤x M ≤3，解出m 的取值范围，由m 与斜率k 的关系，即得斜率k 的取值范围．这样求解，显然非常繁琐，不宜采用．既然直线l 的方程中含有参数m ，可以得到直线l 必过一定点P ，将直线l 绕定点P 转动，寻找与线段AB 相交的位置．由“直线l 与线段AB 相交”展开联想．
（1）结合图形，运用运动变化的观点，考虑直线斜率与倾斜角的变化关系，可求出符合条件的直线斜率的取值范围．
（2）直线l 与线段AB 相交于点M ，则点A 、B 分别在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上，可考虑利用不等式表示的平面区域求解．
【解答】直线l 的方程可以化为(-y +2)+m (x +1)=0，它表示经过直线-y +2=0和x +1=0的交
点的直线方程，由⎨
⎧-y +2=0, ⎧x =-1,
解得⎨所以直线l 必过定点P (-1,2) ．
⎩x +1=0, ⎩y =2,
法一：设PA 与PB 的倾斜角分别为α，β．k PA =5，k PB =-
1
．如图，当直线l 由PA 变化到与y 2
轴平行的位置PC 时，其倾斜角由α增至90，斜率k 的变化范围是[5, +∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，其倾斜角由90增至β，斜率k 的变化范围是 -∞, ⎥．
2
⎛⎝
1⎤⎦
故斜率k 的取值范围是 -∞, ⎥ [5, +∞)．
2
⎛⎝
1⎤⎦
法二：设直线l 的方程为y -2=k (x +1)，即kx -y +k +2=0．
∵点A 、B 分别在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上，∴(-2k +3+k +2)(3k -0+k +2)≤0， 解得k ≥5或k ≤-
1⎤1⎛
．故斜率k 的取值范围是 -∞, ⎥ [5, +∞)．
2⎦2⎝
【点评】（1）求直线过定点的步骤是：①将直线方程整理为f (x , y )+mg (x , y )=0（其中m 为参数）；
⎧⎪f (x , y )=0,
②解方程组⎨即得定点坐标．
⎪⎩g (x , y )=0,
（2）本题确定直线斜率k 的取值范围用了以下两种方法：
①数形结合法：根据直线的变化规律，借助直线的倾斜角α与斜率k 的关系：“当α为锐角时，α越大⇔k 越大(k >0)；当α为钝角时，α越大⇔k 越大(k
②利用不等式表示的平面区域：当A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)在直线Ax +By +C =0的异侧时，则
(Ax 1+By 1+C )(Ax 2+By 2+C )0．
变式训练：在上述条件中，若P 点坐标为(-3, 2)，则直线l 的斜率的取值范围有何变化？ 解 当P 点坐标为(-3, 2)时，k PA =-5，k PB =-率始终是存在的，故斜率k 的取值范围是⎢-5, -⎥．
3
1
．直线l 由PA 转动到PB 的过程中，直线l 的斜3
⎡⎣
1⎤⎦
例2 求适合下列条件的直线方程：
（1） 过点A (-1, -3) ，斜率是直线y =3x 的斜率的-（2） 经过点P (3,2) ，且在两坐标轴上的截距相等；
（3） 过点A (1,-1) 与已知直线l 1:2x +y -6=0相交于B 点且AB =5．
【分析】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件． 【解答】（1） 设所求直线的斜率为k ，依题意k =-由点斜式, 得直线方程为y +3=-
1
； 4
13
⨯3=-．又直线经过点A (-1, -3) ， 44
3
(x +1) ，即3x +4y +15=0． 4
（2）法一：设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ．
①若a =0，则l 过点(0,0)和(3,2) ，由点斜式，得l 的方程为y =②若a ≠0，则设l 的方程为∴l 的方程为x +y -5=0．
综上可知，直线l 的方程为2x -3y =0或x +y -5=0．
法二：由题意，所求直线的斜率必定存在．设所求直线方程为y -3=k (x -2)，它在x 轴、y 轴上的截距分别为2-
2
x ，即2x -3y =0． 3
x y 32
+=1，∵l 过点(3,2) ，∴+=1，解得a =5， a a a a
333
、3-2k ，于是2-=3-2k ，解得k =或k =-1，所以直线方程为
k 2k
y -3=
3
(x -2)或y -3=-(x -2)，即2x -3y =0或x +y -5=0． 2
⎧x =1
（3）法一：过点A (1,-1) 与y 轴平行的直线为x =1．解方程组⎨，求得B 点坐标为
2x +y -6=0⎩
(1,4) ，此时AB =5，即x =1为所求．
⎧2x +y -6=0,
设过A (1,-1) 且与y 轴不平行的直线为y +1=k (x -1) ，解方程组⎨得两直线交点为
y +1=k (x -1), ⎩
k +7⎧
x =, ⎪⎪k +2
（k ≠-2，否则与已知直线平行），则B 点坐标为(k +7, 4k -2) ． ⎨
k +2k +2⎪y =4k -2,
⎪k +2⎩
由已知(
3k +724k -223
) +() =52，解得k =-，∴y +1=-(x -1) ，即3x +4y +1=0．
4k +2k +24
综上可知，所求直线的方程为x =1或3x +4y +1=0．
2
法二：设B (a ,6-2a )，由AB =5，得(a -1)+(7-2a )=25，整理，得a -6a +5=0，解得a =1
2
2
或a =5．由两点式，得直线的方程为x =1或3x +4y +1=0．
【点评】（1）用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
（2）求直线方程需要两个条件．当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程，如第（1）题；当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所求的直线方程，建立方程（组），待定出其中的系数，从而求得直线方程，如第（2）和第（3）题．
（3）对于直线上的点，我们往往运用直线方程，将该点的坐标一元化，从而简化运算过程，如第（3）题的法二，若设B (a , b )，则需列方程组求解，过程较为繁琐．
变式训练： 求满足下列条件的直线l 的方程： （1） 过点A (0,2) ，它的倾斜角的正弦值是
3； 5
（2） 过点A (2,1)，它的倾斜角是直线l 1:3x +4y +5=0的倾斜角的一半； （3） 过点A (2,1)和直线x -2y -3=0与2x -3y -2=0的交点． 答案（1） 3x -4y +8=0或3x +4y -8=0．（2） 3x -y -5=0．
⎧x -2y -3=0, （3） 法一：由⎨解得交点坐标为(-5, -4)，由两点式，得所求直线方程为
⎩2x -3y -2=0,
5x -7y -3=0．
法二：设所求直线方程为(x -2y -3)+m (2x -3y -2)=0（其中m ∈R ），将点A (2,1)代入，解得
m =-3，从而所求直线方程为5x -7y -3=0．
例3. （1）已知两直线l 1：x +m y +6=0，l 2：(m -2)x +3my +2m =0，若l 1//l 2，求实数m 的值；
2
（2）已知两直线l 1：ax +2y +6=0和l 2：x +(a -1)y +a -1=0．若l 1⊥l 2，求实数a 的值．
2
()
【分析】（1）充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和
l 2，l 1//l 2⇔k 1=k 2，l 1⊥l 2⇔k 1⋅k 2=-1．若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少
一定要特别注意．
（2）①若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1：y =k 1x +b 1，l 2：y =k 2x +b 2，则l 1⊥l 2
⇔k 1⋅k 2=-1．
②设l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0．则：l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0． 【解答】（1）方法一：①当m =0时，l 1：x +6=0，l 2：x =0，l 1//l 2；
162-m 2
②当m ≠0时， l 1：y =-2x -2， l 2：y =x -，
m m 3m 3
12-m 62由-2=且-2≠-，
m 3m m 3∴m =-1．
故所求实数m 的值为0或-1．
方法二:直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0平行的等价条件是：
A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0或AC 12-A 2C 1≠0，由所给直线方程可得：
1⨯3m -m 2(m -2)=0且1⨯2m -6(m -2)≠0⇒m (m 2-2m -3)=0且m ≠3
⇒m =0或-1，故所求实数m 的值为0或-1．
a
（2） 方法一：由直线l 1的方程知其斜率为-，
2
当a =1时，直线l 2的斜率不存在，l 1与l 2不垂直；
1
当a ≠1时，直线l 2的斜率为-，
a -1
a ⎛1⎫2由-⋅ -． =-1⇒a =⎪
2⎝a -1⎭3
2
故所求实数a 的值为．
3
方法二: 直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0垂直的等价条件是A 1A 2+B 1B 2=0．
22
由所给直线方程可得：a ⋅1+2⋅(a -1)=0⇒a =，故所求实数a 的值为．
33
【点评】掌握两直线平行或垂直的充要条件是关键，注意转化与化归思想的应用．
变式训练:已知两直线l 1：mx +8y +n =0和l 2：2x +my -1=0．试确定m 、n 的值，使
（1） l 1与l 2相交于点P (m , -1)； （2） l 1//l 2； （3） l 1⊥l 2，且l 1在
y 轴上的截距为-1．
⎧m 2-8+n =0
答案：（1）由题意得：⎨，解得m =1, n =7．
⎩2m -m -1=0
（2）当m =0时，显然l 1不平行于l 2；
2
m 8n ⎧⎪m -8⨯2=0
当m ≠0时，由得⎨， =≠
8⨯-1-mn ≠02m -1⎪()⎩
⎧m =4⎧m =-4∴⎨，或⎨．
n ≠-2n ≠2⎩⎩
即m =4, n ≠-2时或m =-4, n ≠2时，l 1//l 2．
（3）当且仅当m ⋅2+8⋅m =0，即m =0时，l 1⊥l 2，又-即m =0，n =8时，l 1⊥l 2且l 1在
n
=-1，∴n =8． 8
y 轴上的截距为-1．
例4．求经过直线l 1：3x +2y -1=0和l 2：5x +2y +1=0的交点，且垂直于直线l 3：3x -5y +6=0的直线l 的方程．
【分析】运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：（1）与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是：Ax +By +m =0(m ∈R 且m ≠C ) ；（2）与直线Ax +By +C =0垂直的直线系方程是
Bx -Ay +m =0(m ∈R ) ；（3）过直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0与l 2：A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系
方程为A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(λ∈R )，但不包括l 2．
⎧3x +2y -1=03
，得l 1、l 2的交点坐标为(-1, 2)，再由l 3的斜率求出l 的斜
5⎩5x +2y +1=0
55
率为-，于是由直线的点斜式方程求出l ：y -2=-(x +1)，即5x +3y -1=0.
33
方法二： 由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x +3y +C =0中的一条，而l 过l 1、l 2的交点(-1, 2)，故
【解答】方法一：先解方程组⎨
5⨯(-1)+3⨯2+C =0，由此求出C =-1，故l 的方程为5x +3y -1=0.
方法三： 由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x +2y -1+λ(5x +2y +1)=0中的一条，将其整理，得
(3+5λ)x +(2+2λ)y +(-1+λ)=0，其斜率-
为5x +3y -1=0.
3+5λ51
=-，解得λ=，代入直线系方程即得l 的方程
2+2λ35
【点评】准确定位直线的各个要素才能快速求出直线方程，常规方法及直线系方程的恰当使用能够起到事半功倍的效果．
变式训练：直线l 被两条直线l 1：4x +y +3=0和l 2：3x -5y -5=0截得的线段的中点为P (-1, 2)，
求直线l 的方程．
答案：设直线l 与l 1的交点为A (x 0, y 0)，由已知条件，得直线l 与l 2的交点为B (-2-x 0, 4-y 0)，并且满足
4x 0+y 0+3=0⎧⎧4x 0+y 0+3=0⎧x 0=-2
，即⎨，解得：⎨，因此直线l 的方程为： ⎨
3-2-x -54-y -5=03x -5y +31=0y =5()()000⎩0⎩0⎩
y -2x -(-1)=，即3x +y +1=0． 5-2-2--1 四、【解法小结】 1．斜率的求法
（1） 定义法：已知倾斜角α，可根据k =tan α求解；
（2）公式法：已知直线上两点A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)(x 1≠x 2)，可根据斜率公式k =
y 2-y 1
（该公
x 2-x 1
式与两点顺序无关）求解．
2．求直线方程．直线方程的五种形式是从不同侧面对直线几何特征的描述，具体使用时要根据题意选择最简单、适当的形式；同时结合参数的几何意义，注意方程形式的局限性．
（1）直接法：当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程．
（1）待定系数法：当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所求的直线方程，建立方程（组），待定出其中的系数，从而求得直线方程．
3．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1、l 2，
l 1//l 2⇔k 1=k 2，l 1⊥l 2⇔k 1⋅k 2=-1．若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什
么一定要特别注意．
4
．在运用两平行直线间的距离公式d =相等的系数．
x ，y 项系数化为分别
五、【布置作业】 必做题：
1．已知a >0，若平面内三点A (1,-a ), B (2,a ), C (3,a ) 共线，则a =． 2．经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，求直线的方程．
3. 已知直线l 1：(k -3)x +(4-k )y +1=0与l 2：2(k -3)x -2y +3=0平行，则k 的值是 ． 4．若直线l 1：y =k (x -4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点是 ． 5．已知2x +y +5=
02
3
6．设直线l 经过点(-1,1)，则当点(2, -1)与直线l 的距离最大时，直线l 的方程为
答案：
1
．1 2．2x +y -6=0 3．3或5；4．(0, 2)；5
6．3x -2y +5=0 选做题：
1．已知直线l :kx -y +1+2k =0(k ∈R )． （1）证明直线l 过定点；
（2）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；
（3）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，求使
2. 已知直线l ：2x -3y +1=0，点A (-1, -2)．求：
（1）点A 关于直线l 的对称点A '的坐标；
（2）直线m ：3x -2y -6=0关于直线l 的对称直线m '的方程；
AOB 面积最小时直线l 的方程．
（3）直线l 关于点A (-1, -2)对称的直线l '的方程． 答案：
1．（1）定点(-2,1)；（2）0, +∞)；（3）x -2y +4=0．
[
33y +22⎧⎧
x =-⨯=-1⎪⎪⎪⎪13x +13
2. 【解答】（1）设A '(x , y )，由已知⎨，解得：⎨，
⎪2⨯x -1-3⨯y -2+1=0⎪y =4⎪⎪13⎩22⎩
⎛334⎫
, ⎪ ∴A ' -1313⎭⎝
（2）在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0) 关于直线l 的对称点M '必在直线m '上．设对称点
⎧⎛a +2⎫⎛b +0⎫2⨯-3⨯ ⎪ ⎪+1=0⎪⎪⎝2⎭2⎛630⎫⎝⎭M '(a , b )，则⎨，得M ' , ⎪，
1313b -02⎝⎭⎪⨯=-1
⎪a -23⎩
⎧2x -3y +1=0
设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎨得N (4,3)．
⎩3x -2y -6=0
又∵m '经过点N (4,3)，，∴由两点式得直线m '的方程为9x -46y +102=0．
（3）方法一 在l ：2x -3y +1=0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M , N 关于点A (-1, -2) 的对称点M ', N '均在直线l '上，易得M '(-3, -5)，N '(-6, -7)，再由两点式可得l '的方程为
2x -3y -9=0．
方法二 ∵l //l '，∴设l '的方程为2x -3y +C =0(C ≠1)，
∵点A (-1, -2)到两直线l ，l '
的距离相等，∴由点到直线的距离公式得：
=
，解得
C =-9，∴l '的方程为2x -3y -9=0．
方法三 设P (x , y )为l '上任意一点，则P (x , y )关于点A (-1, -2)的对称点为P '(-2-x , -4-y )，
∵点P '在直线l 上，∴2(-2-x )-3(-4-y )+1=0，即2x -3y -9=0． 【点评】（1）点关于线对称，转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题．
（2）线关于线对称，转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，转化为点关于点的对称问题．
六、【教后反思】
1．本教案的亮点是：直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程的特殊形式，都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，如点斜式方程的使用要求直线存在斜率；截距式方程的使用要求横纵截距都存在且均不为零；两点式方程的使用要求直线不与坐标轴垂直．因此要启发学生在应用时关注它们各自适用的范围，以免漏解. 对两直线的位置关系选题典型，特别强化了基本运算的转化，涉及了中点问题，为后续复习做好了铺垫．让学生在课堂中提出问题、讨论、讲解，问题的解决非常好．
2．本教案的弱项是：因为课堂时间的问题没有能在例题中凸显距离问题的计算，课堂实际中学生展现的做法很多，没能一一给出详解．
复习课: 第三章 直线与方程
教学目标
重点：掌握直线方程的五种形式，两条直线的位置关系．
难点：点关于直线的对称、直线关于点的对称、直线关于直线的对称这类问题的解决．
能力点：培养学生通过对直线位置关系的分析研究进一步提高数形结合以及分析问题、解决问题的能力． 教育点：培养学生转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用． 自主探究点：1．由直线方程的各种形式去判断两直线的位置关系；
2．能根据直线之间的位置关系准确的求出直线方程；
3．能够深入研究对称问题的实质，利用对称性解决相关问题．
考试点:两直线的位置关系判断在高考中经常出现，直线与圆锥曲线结合是高考的常见题目． 易错点：判断两条直线的平行与垂直忽略斜率问题导致出错． 易混点：用一般式判断两直线的位置关系时平行与垂直的条件．
拓展点:中点问题、对称问题、距离问题中涵盖的直线位置关系的分析研究．
学法与教具
1．学法：讲练结合，自主探究 2．教具：多媒体课件，三角板 一、【知识结构】
二、【知识梳理】
1．直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角
①定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴________与直线l ________方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________． ②倾斜角α的范围为______________． （2）直线的斜率
①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即
α
k =________，倾斜角是90︒的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式：
经过两点P 1(x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2) 的直线的斜率公式为k =______________________．当
x 1≠x 2时，直线的斜率__________．
（3）直线的倾斜角α与斜率k 的关系
当α为锐角时，α越大⇔k 越____；当α为钝角时，α越大⇔k 越____；
︒
答案：1．（1） ①正向，向上，0 ；②0︒≤α
2．y -y 0=k (x -x 0) ，y =kx +b ，
y 2-y 1
．不
x 2-x 1
y -y 1x -x 1x y 22
=，+=1，Ax +By +C =0(A +B ≠0) ．
y 2-y 1x 2-x 1a b
垂直于x 轴；垂直于x 轴；垂直于坐标轴；垂直于坐标轴、过原点． 3．两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1//l 2的斜率l 1、l 2都不存在时，l 1与l 2________．
（2）两条直线垂直
如果两条直线斜率l 1、l 2存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2一条直线斜率不存在时，两直线________．
4．两直线相交
交点：直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0和l 2：A 2x +B 2y +C 2=0的公共点的坐标与方程组
⇔____________．特别地，当直线
⇔____________，当一条直线斜率为零，另
⎧A 1x +B 1y +C 1=0
的解一一对应． ⎨
⎩A 2x +B 2y +C 2=0
相交⇔方程组有__________，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组________；
重合⇔方程组有______________．
5．三种距离公式
（1）点A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)间的距离：
AB =．
（2）点P (x 0, y 0)到直线l ：Ax +By +C
=0的距离：
d =
（3）两平行直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0与l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 （C 1≠C 2）间的距离为d =______________．
6．直线中的对称问题有哪些？（学生讨论）如何求一个点关于直线的对称点？如何求直线关于点的对称直
线以及直线关于点的对称直线呢？
三、【范例导航】
例1 已知直线l :mx -y +m +2=0与以A (-2, -3)、B (3,0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率k 的取值范围．
【分析】可用两点式写出直线AB 的方程，联立直线l 和AB 的方程，解出交点的坐标M ，利用-2≤x M ≤3，解出m 的取值范围，由m 与斜率k 的关系，即得斜率k 的取值范围．这样求解，显然非常繁琐，不宜采用．既然直线l 的方程中含有参数m ，可以得到直线l 必过一定点P ，将直线l 绕定点P 转动，寻找与线段AB 相交的位置．由“直线l 与线段AB 相交”展开联想．
（1）结合图形，运用运动变化的观点，考虑直线斜率与倾斜角的变化关系，可求出符合条件的直线斜率的取值范围．
（2）直线l 与线段AB 相交于点M ，则点A 、B 分别在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上，可考虑利用不等式表示的平面区域求解．
【解答】直线l 的方程可以化为(-y +2)+m (x +1)=0，它表示经过直线-y +2=0和x +1=0的交
点的直线方程，由⎨
⎧-y +2=0, ⎧x =-1,
解得⎨所以直线l 必过定点P (-1,2) ．
⎩x +1=0, ⎩y =2,
法一：设PA 与PB 的倾斜角分别为α，β．k PA =5，k PB =-
1
．如图，当直线l 由PA 变化到与y 2
轴平行的位置PC 时，其倾斜角由α增至90，斜率k 的变化范围是[5, +∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，其倾斜角由90增至β，斜率k 的变化范围是 -∞, ⎥．
2
⎛⎝
1⎤⎦
故斜率k 的取值范围是 -∞, ⎥ [5, +∞)．
2
⎛⎝
1⎤⎦
法二：设直线l 的方程为y -2=k (x +1)，即kx -y +k +2=0．
∵点A 、B 分别在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上，∴(-2k +3+k +2)(3k -0+k +2)≤0， 解得k ≥5或k ≤-
1⎤1⎛
．故斜率k 的取值范围是 -∞, ⎥ [5, +∞)．
2⎦2⎝
【点评】（1）求直线过定点的步骤是：①将直线方程整理为f (x , y )+mg (x , y )=0（其中m 为参数）；
⎧⎪f (x , y )=0,
②解方程组⎨即得定点坐标．
⎪⎩g (x , y )=0,
（2）本题确定直线斜率k 的取值范围用了以下两种方法：
①数形结合法：根据直线的变化规律，借助直线的倾斜角α与斜率k 的关系：“当α为锐角时，α越大⇔k 越大(k >0)；当α为钝角时，α越大⇔k 越大(k
②利用不等式表示的平面区域：当A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)在直线Ax +By +C =0的异侧时，则
(Ax 1+By 1+C )(Ax 2+By 2+C )0．
变式训练：在上述条件中，若P 点坐标为(-3, 2)，则直线l 的斜率的取值范围有何变化？ 解 当P 点坐标为(-3, 2)时，k PA =-5，k PB =-率始终是存在的，故斜率k 的取值范围是⎢-5, -⎥．
3
1
．直线l 由PA 转动到PB 的过程中，直线l 的斜3
⎡⎣
1⎤⎦
例2 求适合下列条件的直线方程：
（1） 过点A (-1, -3) ，斜率是直线y =3x 的斜率的-（2） 经过点P (3,2) ，且在两坐标轴上的截距相等；
（3） 过点A (1,-1) 与已知直线l 1:2x +y -6=0相交于B 点且AB =5．
【分析】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件． 【解答】（1） 设所求直线的斜率为k ，依题意k =-由点斜式, 得直线方程为y +3=-
1
； 4
13
⨯3=-．又直线经过点A (-1, -3) ， 44
3
(x +1) ，即3x +4y +15=0． 4
（2）法一：设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ．
①若a =0，则l 过点(0,0)和(3,2) ，由点斜式，得l 的方程为y =②若a ≠0，则设l 的方程为∴l 的方程为x +y -5=0．
综上可知，直线l 的方程为2x -3y =0或x +y -5=0．
法二：由题意，所求直线的斜率必定存在．设所求直线方程为y -3=k (x -2)，它在x 轴、y 轴上的截距分别为2-
2
x ，即2x -3y =0． 3
x y 32
+=1，∵l 过点(3,2) ，∴+=1，解得a =5， a a a a
333
、3-2k ，于是2-=3-2k ，解得k =或k =-1，所以直线方程为
k 2k
y -3=
3
(x -2)或y -3=-(x -2)，即2x -3y =0或x +y -5=0． 2
⎧x =1
（3）法一：过点A (1,-1) 与y 轴平行的直线为x =1．解方程组⎨，求得B 点坐标为
2x +y -6=0⎩
(1,4) ，此时AB =5，即x =1为所求．
⎧2x +y -6=0,
设过A (1,-1) 且与y 轴不平行的直线为y +1=k (x -1) ，解方程组⎨得两直线交点为
y +1=k (x -1), ⎩
k +7⎧
x =, ⎪⎪k +2
（k ≠-2，否则与已知直线平行），则B 点坐标为(k +7, 4k -2) ． ⎨
k +2k +2⎪y =4k -2,
⎪k +2⎩
由已知(
3k +724k -223
) +() =52，解得k =-，∴y +1=-(x -1) ，即3x +4y +1=0．
4k +2k +24
综上可知，所求直线的方程为x =1或3x +4y +1=0．
2
法二：设B (a ,6-2a )，由AB =5，得(a -1)+(7-2a )=25，整理，得a -6a +5=0，解得a =1
2
2
或a =5．由两点式，得直线的方程为x =1或3x +4y +1=0．
【点评】（1）用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
（2）求直线方程需要两个条件．当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程，如第（1）题；当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所求的直线方程，建立方程（组），待定出其中的系数，从而求得直线方程，如第（2）和第（3）题．
（3）对于直线上的点，我们往往运用直线方程，将该点的坐标一元化，从而简化运算过程，如第（3）题的法二，若设B (a , b )，则需列方程组求解，过程较为繁琐．
变式训练： 求满足下列条件的直线l 的方程： （1） 过点A (0,2) ，它的倾斜角的正弦值是
3； 5
（2） 过点A (2,1)，它的倾斜角是直线l 1:3x +4y +5=0的倾斜角的一半； （3） 过点A (2,1)和直线x -2y -3=0与2x -3y -2=0的交点． 答案（1） 3x -4y +8=0或3x +4y -8=0．（2） 3x -y -5=0．
⎧x -2y -3=0, （3） 法一：由⎨解得交点坐标为(-5, -4)，由两点式，得所求直线方程为
⎩2x -3y -2=0,
5x -7y -3=0．
法二：设所求直线方程为(x -2y -3)+m (2x -3y -2)=0（其中m ∈R ），将点A (2,1)代入，解得
m =-3，从而所求直线方程为5x -7y -3=0．
例3. （1）已知两直线l 1：x +m y +6=0，l 2：(m -2)x +3my +2m =0，若l 1//l 2，求实数m 的值；
2
（2）已知两直线l 1：ax +2y +6=0和l 2：x +(a -1)y +a -1=0．若l 1⊥l 2，求实数a 的值．
2
()
【分析】（1）充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和
l 2，l 1//l 2⇔k 1=k 2，l 1⊥l 2⇔k 1⋅k 2=-1．若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少
一定要特别注意．
（2）①若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1：y =k 1x +b 1，l 2：y =k 2x +b 2，则l 1⊥l 2
⇔k 1⋅k 2=-1．
②设l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0．则：l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0． 【解答】（1）方法一：①当m =0时，l 1：x +6=0，l 2：x =0，l 1//l 2；
162-m 2
②当m ≠0时， l 1：y =-2x -2， l 2：y =x -，
m m 3m 3
12-m 62由-2=且-2≠-，
m 3m m 3∴m =-1．
故所求实数m 的值为0或-1．
方法二:直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0平行的等价条件是：
A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0或AC 12-A 2C 1≠0，由所给直线方程可得：
1⨯3m -m 2(m -2)=0且1⨯2m -6(m -2)≠0⇒m (m 2-2m -3)=0且m ≠3
⇒m =0或-1，故所求实数m 的值为0或-1．
a
（2） 方法一：由直线l 1的方程知其斜率为-，
2
当a =1时，直线l 2的斜率不存在，l 1与l 2不垂直；
1
当a ≠1时，直线l 2的斜率为-，
a -1
a ⎛1⎫2由-⋅ -． =-1⇒a =⎪
2⎝a -1⎭3
2
故所求实数a 的值为．
3
方法二: 直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0垂直的等价条件是A 1A 2+B 1B 2=0．
22
由所给直线方程可得：a ⋅1+2⋅(a -1)=0⇒a =，故所求实数a 的值为．
33
【点评】掌握两直线平行或垂直的充要条件是关键，注意转化与化归思想的应用．
变式训练:已知两直线l 1：mx +8y +n =0和l 2：2x +my -1=0．试确定m 、n 的值，使
（1） l 1与l 2相交于点P (m , -1)； （2） l 1//l 2； （3） l 1⊥l 2，且l 1在
y 轴上的截距为-1．
⎧m 2-8+n =0
答案：（1）由题意得：⎨，解得m =1, n =7．
⎩2m -m -1=0
（2）当m =0时，显然l 1不平行于l 2；
2
m 8n ⎧⎪m -8⨯2=0
当m ≠0时，由得⎨， =≠
8⨯-1-mn ≠02m -1⎪()⎩
⎧m =4⎧m =-4∴⎨，或⎨．
n ≠-2n ≠2⎩⎩
即m =4, n ≠-2时或m =-4, n ≠2时，l 1//l 2．
（3）当且仅当m ⋅2+8⋅m =0，即m =0时，l 1⊥l 2，又-即m =0，n =8时，l 1⊥l 2且l 1在
n
=-1，∴n =8． 8
y 轴上的截距为-1．
例4．求经过直线l 1：3x +2y -1=0和l 2：5x +2y +1=0的交点，且垂直于直线l 3：3x -5y +6=0的直线l 的方程．
【分析】运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：（1）与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是：Ax +By +m =0(m ∈R 且m ≠C ) ；（2）与直线Ax +By +C =0垂直的直线系方程是
Bx -Ay +m =0(m ∈R ) ；（3）过直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0与l 2：A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系
方程为A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(λ∈R )，但不包括l 2．
⎧3x +2y -1=03
，得l 1、l 2的交点坐标为(-1, 2)，再由l 3的斜率求出l 的斜
5⎩5x +2y +1=0
55
率为-，于是由直线的点斜式方程求出l ：y -2=-(x +1)，即5x +3y -1=0.
33
方法二： 由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x +3y +C =0中的一条，而l 过l 1、l 2的交点(-1, 2)，故
【解答】方法一：先解方程组⎨
5⨯(-1)+3⨯2+C =0，由此求出C =-1，故l 的方程为5x +3y -1=0.
方法三： 由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x +2y -1+λ(5x +2y +1)=0中的一条，将其整理，得
(3+5λ)x +(2+2λ)y +(-1+λ)=0，其斜率-
为5x +3y -1=0.
3+5λ51
=-，解得λ=，代入直线系方程即得l 的方程
2+2λ35
【点评】准确定位直线的各个要素才能快速求出直线方程，常规方法及直线系方程的恰当使用能够起到事半功倍的效果．
变式训练：直线l 被两条直线l 1：4x +y +3=0和l 2：3x -5y -5=0截得的线段的中点为P (-1, 2)，
求直线l 的方程．
答案：设直线l 与l 1的交点为A (x 0, y 0)，由已知条件，得直线l 与l 2的交点为B (-2-x 0, 4-y 0)，并且满足
4x 0+y 0+3=0⎧⎧4x 0+y 0+3=0⎧x 0=-2
，即⎨，解得：⎨，因此直线l 的方程为： ⎨
3-2-x -54-y -5=03x -5y +31=0y =5()()000⎩0⎩0⎩
y -2x -(-1)=，即3x +y +1=0． 5-2-2--1 四、【解法小结】 1．斜率的求法
（1） 定义法：已知倾斜角α，可根据k =tan α求解；
（2）公式法：已知直线上两点A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)(x 1≠x 2)，可根据斜率公式k =
y 2-y 1
（该公
x 2-x 1
式与两点顺序无关）求解．
2．求直线方程．直线方程的五种形式是从不同侧面对直线几何特征的描述，具体使用时要根据题意选择最简单、适当的形式；同时结合参数的几何意义，注意方程形式的局限性．
（1）直接法：当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程．
（1）待定系数法：当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所求的直线方程，建立方程（组），待定出其中的系数，从而求得直线方程．
3．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1、l 2，
l 1//l 2⇔k 1=k 2，l 1⊥l 2⇔k 1⋅k 2=-1．若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什
么一定要特别注意．
4
．在运用两平行直线间的距离公式d =相等的系数．
x ，y 项系数化为分别
五、【布置作业】 必做题：
1．已知a >0，若平面内三点A (1,-a ), B (2,a ), C (3,a ) 共线，则a =． 2．经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，求直线的方程．
3. 已知直线l 1：(k -3)x +(4-k )y +1=0与l 2：2(k -3)x -2y +3=0平行，则k 的值是 ． 4．若直线l 1：y =k (x -4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点是 ． 5．已知2x +y +5=
02
3
6．设直线l 经过点(-1,1)，则当点(2, -1)与直线l 的距离最大时，直线l 的方程为
答案：
1
．1 2．2x +y -6=0 3．3或5；4．(0, 2)；5
6．3x -2y +5=0 选做题：
1．已知直线l :kx -y +1+2k =0(k ∈R )． （1）证明直线l 过定点；
（2）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；
（3）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，求使
2. 已知直线l ：2x -3y +1=0，点A (-1, -2)．求：
（1）点A 关于直线l 的对称点A '的坐标；
（2）直线m ：3x -2y -6=0关于直线l 的对称直线m '的方程；
AOB 面积最小时直线l 的方程．
（3）直线l 关于点A (-1, -2)对称的直线l '的方程． 答案：
1．（1）定点(-2,1)；（2）0, +∞)；（3）x -2y +4=0．
[
33y +22⎧⎧
x =-⨯=-1⎪⎪⎪⎪13x +13
2. 【解答】（1）设A '(x , y )，由已知⎨，解得：⎨，
⎪2⨯x -1-3⨯y -2+1=0⎪y =4⎪⎪13⎩22⎩
⎛334⎫
, ⎪ ∴A ' -1313⎭⎝
（2）在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0) 关于直线l 的对称点M '必在直线m '上．设对称点
⎧⎛a +2⎫⎛b +0⎫2⨯-3⨯ ⎪ ⎪+1=0⎪⎪⎝2⎭2⎛630⎫⎝⎭M '(a , b )，则⎨，得M ' , ⎪，
1313b -02⎝⎭⎪⨯=-1
⎪a -23⎩
⎧2x -3y +1=0
设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎨得N (4,3)．
⎩3x -2y -6=0
又∵m '经过点N (4,3)，，∴由两点式得直线m '的方程为9x -46y +102=0．
（3）方法一 在l ：2x -3y +1=0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M , N 关于点A (-1, -2) 的对称点M ', N '均在直线l '上，易得M '(-3, -5)，N '(-6, -7)，再由两点式可得l '的方程为
2x -3y -9=0．
方法二 ∵l //l '，∴设l '的方程为2x -3y +C =0(C ≠1)，
∵点A (-1, -2)到两直线l ，l '
的距离相等，∴由点到直线的距离公式得：
=
，解得
C =-9，∴l '的方程为2x -3y -9=0．
方法三 设P (x , y )为l '上任意一点，则P (x , y )关于点A (-1, -2)的对称点为P '(-2-x , -4-y )，
∵点P '在直线l 上，∴2(-2-x )-3(-4-y )+1=0，即2x -3y -9=0． 【点评】（1）点关于线对称，转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题．
（2）线关于线对称，转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，转化为点关于点的对称问题．
六、【教后反思】
1．本教案的亮点是：直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程的特殊形式，都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，如点斜式方程的使用要求直线存在斜率；截距式方程的使用要求横纵截距都存在且均不为零；两点式方程的使用要求直线不与坐标轴垂直．因此要启发学生在应用时关注它们各自适用的范围，以免漏解. 对两直线的位置关系选题典型，特别强化了基本运算的转化，涉及了中点问题，为后续复习做好了铺垫．让学生在课堂中提出问题、讨论、讲解，问题的解决非常好．
2．本教案的弱项是：因为课堂时间的问题没有能在例题中凸显距离问题的计算，课堂实际中学生展现的做法很多，没能一一给出详解．