[实变函数]作业参考答案

《实变函数》作业参考答案

一．判断题

1．对； 2．错； 3．对；4．对； 5．错； 6．对； 7．错； 8．对； 9．对； 10. 对； 11. 对； 12. 错。 13、错 14、对 15、错16、错 17、对 18、对 二．

1．证明：(

α∈I

A α) -B = (A α-B ).

α∈I

证明：直接的用定义，证明左边包含右边，右边包含左边。 2．试找出使(0, 1) 和[0, 1]之间一一对应的一种方法。 证明：令{x 1, x 2, x 3,...}⊂(0, 1) ，做f (x ) ，使得

⎧1⎪f (x ) =⎨0

⎪x ⎩n +2

其它处，f (x ) =x .

x =x 1

x =x 2， x =x n , n >2

3令{r 1, r 2,...}表示（0,1）上的全体有理数，则{0, 1, r 1, r 2,...}是[0,1]上的全体有理数，且有

(0, 1) \{r 1, r 2,...}=[0, 1]\{0, 1, r 1, r 2,...}

如下定义一个函数f (x )

⎧x ⎪0⎪⎪1⎪f (x ) =⎨r 1

⎪... ⎪⎪r n -2⎪... ⎩

则这是满足条件的一一对应。

4）(

∞

∞

∞

x ∈(0, 1) \{r 1, r 2,...}

x =r 1

x =r 2x =r 3... x =r n ...

∞

，

A ) -B =( A ) ⋂B

i

i

i =1

i =1

c

= (A i ⋂B = (A i -B ).

c

i =1

i =1

三．证明题

1. 设f n (x ) 是E 上几乎处处有限的可测函数列，mE 0，存在常数c 与可测集E 0⊂E ，m (E \E 0)

证明：直接利用鲁津定理。

2. 证明：证明CG ={x |f (x ) >a }是开集，事实上，对任意x ∈CG ，则f (x ) >a ，由连续函数的局部保号性，存在δ>0，使得对一切的t ∈B (x , δ) ，有f (t ) >a ，即B (x , δ) ⊂CG ，所以x 是内点，从而

CG ={x |f (x ) >a }是开集。

3. 设f (x ) 在E =[a , b ]可积，则对任何ε>0，必存在E 上的连续函数g (x ) ，使得

⎰

证明：教材第121页例1。

b a

|f (x ) -g (x ) |dx

4. 设在E 上f n (x ) ⇒f (x ) ，且f n (x ) ≤g (x ) 几乎处处于E 上成立，n =1, 2,..., 试证f (x ) ≤g (x ) 在E 上几乎处处成立。

证明：利用黎次定理，由在E 上f n (x ) ⇒f (x ) ，得到存在子列f n i (x ) 使得lim f n i (x ) =f (x ) 几乎处处

i

成立，在利用控制性f n (x ) ≤g (x ) ，所以f (x ) ≤g (x ) 在E 上几乎处处成立。

5. 设E 1, E 2,..., E n 是[0, 1]的n 可测子集，假定[0, 1]中的任一点至少属于这n 个集合中的q 个，证明：必有

q

一个集，它的测度不小于

n

n

。

1

1

证明：令f (x ) =

∑χE ，则⎰f (x ) dx ≥q ，同时q ≤⎰f (x ) dx =mE 1+mE 2+... +mE n , 在利用反证

i =1

i

00

法，若对所有i =1, 2,..., n ，有mE i

q

，则q ≤mE 1+mE 2+... +mE n

1

的构成区间上定义n 3

6. 设在Cantor 集P 0上定义函数f (x ) =0，而在P 0的余集中长为

f (x ) =n , (n =1, 2,...) 。试证f (x ) 在[0, 1]上可积，并求出积分值。

证明：先说明函数的可积性（简单函数的极限），

⎰

1

2n

f (x ) dx =∑n n =3.

3n =1

∞

7. 设在E 上f n (x ) ⇒f (x ) ，且f n (x ) ≤f n +1(x ) 几乎处处成立，n =1, 2,..., 则几乎处处有f n (x ) 收敛于

f (x ) 。

证明：利用黎次定理，由在E 上f n (x ) ⇒f (x ) ，得到存在子列f n i (x ) 使得lim f n i (x ) =f (x ) 几乎处处成

i

立，在利用单调性f n (x ) ≤f n +1(x ) ，所以几乎处处有f n (x ) 收敛于f (x ) 。

111123

=(1-x ) +(x -x ) +... ，0

2341+x

证明：先验证逐项积分的条件成立，所以

∞11∞dx 2n 2n +1

ln 2=⎰=⎰∑(x -x ) dx =∑⎰(x 2n -x 2n +1) dx

01+x 00

n =0n =0

1

=∑(

n =0

∞

11111-) =1-+-+... 2n +12n 234

9. 证明：n →∞

lim ⎰

dt

=1. 1 (0, +∞)

t n n

(1+) t

n

∞dx dx

证明：验证Lebesgue 控制定理的条件成立，所以lim ⎰=⎰x =1. t n 0e n (1+) t (0, ∞)

10．设mE ≠0，f (x ) 在E 上可积。如果对于任何有界可测函数ϕ(x ) ，都有

⎰

⎧+1

证明：取ϕ(x ) =⎨

⎩-1

E

f (x ) ϕ(x ) dx =0,

证明：f (x ) =0在E 上几乎处处成立。

f (x ) >0

，则有⎰|f (x ) |dx =0, 所以|f (x ) |=0在E 上几乎处处成立，从而

E f (x ) ≤0

f (x ) =0在E 上几乎处处成立。

11. 设{f n }为E 上非负可积函数列，若

lim ⎰f n (x ) dx =0,

n →∞E

证明：f n (x ) ⇒0。

证明：反证法，先写出f n (x ) ⇒0的否定定义，再证明结论成立。 12. 证明：

E

E

x p 1

ln ⎰01-x x dx =

1

1

∑2

n =1(p +n )

∞

(p >-1) 。

证明：利用

1

=1+x +x 2+... ，验证逐项积分的条件成立，所以 1-x

x p 1

ln ⎰01-x x dx =

1

⎰

1

∑x n +p n

n =1

∞

∞

1

x

=

∑⎰

n =1

∞

1

x n +p ln

1

=x

1

∑2n =1(p +n )

13．设E 是直线上的一个有界集合，m *E >0，则对任意小于m *E 的正数ε，存在E 的子集E 1，使得

m *E 1=c .

证明：令f (x ) =m *(E ⋂[a , x ])，则f (x ) 连续单调，且f (a ) =0. f (b ) =m *E ，由连续函数的介值性，存在x ∈[a , b ]，使得对任意小于m *E 的正数c ，存在E 的子集E 1，使得f (x ) =m *E 1=c . 14对任意的x ，有x ∈(

A )

i i =1

∞

c

当且仅当x 不属于所有的A i (i =1, 2,..., )

当且仅当x 属于所有的A (i =1, 2,..., ) ，当且仅当x ∈

c i

A

i =1

∞

c i

，所以，(

A ) = A

c i i =1

i =1

∞∞

c i

。

15 任取x 0属于E {x |f (x ) ≥a }'，则存在一个数列{x n },x n ∈E {x |f (x ) ≥a }，且满足lim x n =x 0，因为

n →∞

f (x n ) ≥a ，

所以有

f (x 0) ≥a ，

从而x 0属于E {x |f (x ) ≥a }，即E ={x |f (x ) ≥a }是一个闭集 16因为S 1, S 2,..., S n 是一些互不交的可测集，所以

m *(E 1⋃E 2⋃... ⋃E n )

=m *[(E 1⋃E 2⋃... ⋃E n ) ⋂S 1]+m *[(E 1⋃E 2⋃... ⋃E n ) ⋂S 1c ]=m *E 1+m *(E 2⋃... ⋃E n )

c

=m *E 1+m *[(E 2⋃... ⋃E n ) ⋂S 2]+m *[(E 2⋃... ⋃E n ) ⋂S 2]

=m *E 1+m *E 2+m *(E 3⋃... ⋃E n ) =......

=m *E 1+m *E 2... +m *E n .

17任取x 0属于E {x |f (x ) ≤a }'，则存在一个数列{x n },x n ∈E {x |f (x ) ≤a }，且满足lim x n =x 0，因为

n →∞

f (x n ) ≤a ，

所以有

f (x 0) ≤a ，.

从而x 0属于E {x |f (x ) ≤a }，即E ={x |f (x ) ≤a }是一个闭集，而又因为

E {x |f (x ) >a }=(E {x |f (x ) ≤a })c ,

所以E ={x |f (x ) >a }是一个开集。

《实变函数》作业参考答案

一．判断题

1．对； 2．错； 3．对；4．对； 5．错； 6．对； 7．错； 8．对； 9．对； 10. 对； 11. 对； 12. 错。 13、错 14、对 15、错16、错 17、对 18、对 二．

1．证明：(

α∈I

A α) -B = (A α-B ).

α∈I

证明：直接的用定义，证明左边包含右边，右边包含左边。 2．试找出使(0, 1) 和[0, 1]之间一一对应的一种方法。 证明：令{x 1, x 2, x 3,...}⊂(0, 1) ，做f (x ) ，使得

⎧1⎪f (x ) =⎨0

⎪x ⎩n +2

其它处，f (x ) =x .

x =x 1

x =x 2， x =x n , n >2

3令{r 1, r 2,...}表示（0,1）上的全体有理数，则{0, 1, r 1, r 2,...}是[0,1]上的全体有理数，且有

(0, 1) \{r 1, r 2,...}=[0, 1]\{0, 1, r 1, r 2,...}

如下定义一个函数f (x )

⎧x ⎪0⎪⎪1⎪f (x ) =⎨r 1

⎪... ⎪⎪r n -2⎪... ⎩

则这是满足条件的一一对应。

4）(

∞

∞

∞

x ∈(0, 1) \{r 1, r 2,...}

x =r 1

x =r 2x =r 3... x =r n ...

∞

，

A ) -B =( A ) ⋂B

i

i

i =1

i =1

c

= (A i ⋂B = (A i -B ).

c

i =1

i =1

三．证明题

1. 设f n (x ) 是E 上几乎处处有限的可测函数列，mE 0，存在常数c 与可测集E 0⊂E ，m (E \E 0)

证明：直接利用鲁津定理。

2. 证明：证明CG ={x |f (x ) >a }是开集，事实上，对任意x ∈CG ，则f (x ) >a ，由连续函数的局部保号性，存在δ>0，使得对一切的t ∈B (x , δ) ，有f (t ) >a ，即B (x , δ) ⊂CG ，所以x 是内点，从而

CG ={x |f (x ) >a }是开集。

3. 设f (x ) 在E =[a , b ]可积，则对任何ε>0，必存在E 上的连续函数g (x ) ，使得

⎰

证明：教材第121页例1。

b a

|f (x ) -g (x ) |dx

4. 设在E 上f n (x ) ⇒f (x ) ，且f n (x ) ≤g (x ) 几乎处处于E 上成立，n =1, 2,..., 试证f (x ) ≤g (x ) 在E 上几乎处处成立。

证明：利用黎次定理，由在E 上f n (x ) ⇒f (x ) ，得到存在子列f n i (x ) 使得lim f n i (x ) =f (x ) 几乎处处

i

成立，在利用控制性f n (x ) ≤g (x ) ，所以f (x ) ≤g (x ) 在E 上几乎处处成立。

5. 设E 1, E 2,..., E n 是[0, 1]的n 可测子集，假定[0, 1]中的任一点至少属于这n 个集合中的q 个，证明：必有

q

一个集，它的测度不小于

n

n

。

1

1

证明：令f (x ) =

∑χE ，则⎰f (x ) dx ≥q ，同时q ≤⎰f (x ) dx =mE 1+mE 2+... +mE n , 在利用反证

i =1

i

00

法，若对所有i =1, 2,..., n ，有mE i

q

，则q ≤mE 1+mE 2+... +mE n

1

的构成区间上定义n 3

6. 设在Cantor 集P 0上定义函数f (x ) =0，而在P 0的余集中长为

f (x ) =n , (n =1, 2,...) 。试证f (x ) 在[0, 1]上可积，并求出积分值。

证明：先说明函数的可积性（简单函数的极限），

⎰

1

2n

f (x ) dx =∑n n =3.

3n =1

∞

7. 设在E 上f n (x ) ⇒f (x ) ，且f n (x ) ≤f n +1(x ) 几乎处处成立，n =1, 2,..., 则几乎处处有f n (x ) 收敛于

f (x ) 。

证明：利用黎次定理，由在E 上f n (x ) ⇒f (x ) ，得到存在子列f n i (x ) 使得lim f n i (x ) =f (x ) 几乎处处成

i

立，在利用单调性f n (x ) ≤f n +1(x ) ，所以几乎处处有f n (x ) 收敛于f (x ) 。

111123

=(1-x ) +(x -x ) +... ，0

2341+x

证明：先验证逐项积分的条件成立，所以

∞11∞dx 2n 2n +1

ln 2=⎰=⎰∑(x -x ) dx =∑⎰(x 2n -x 2n +1) dx

01+x 00

n =0n =0

1

=∑(

n =0

∞

11111-) =1-+-+... 2n +12n 234

9. 证明：n →∞

lim ⎰

dt

=1. 1 (0, +∞)

t n n

(1+) t

n

∞dx dx

证明：验证Lebesgue 控制定理的条件成立，所以lim ⎰=⎰x =1. t n 0e n (1+) t (0, ∞)

10．设mE ≠0，f (x ) 在E 上可积。如果对于任何有界可测函数ϕ(x ) ，都有

⎰

⎧+1

证明：取ϕ(x ) =⎨

⎩-1

E

f (x ) ϕ(x ) dx =0,

证明：f (x ) =0在E 上几乎处处成立。

f (x ) >0

，则有⎰|f (x ) |dx =0, 所以|f (x ) |=0在E 上几乎处处成立，从而

E f (x ) ≤0

f (x ) =0在E 上几乎处处成立。

11. 设{f n }为E 上非负可积函数列，若

lim ⎰f n (x ) dx =0,

n →∞E

证明：f n (x ) ⇒0。

证明：反证法，先写出f n (x ) ⇒0的否定定义，再证明结论成立。 12. 证明：

E

E

x p 1

ln ⎰01-x x dx =

1

1

∑2

n =1(p +n )

∞

(p >-1) 。

证明：利用

1

=1+x +x 2+... ，验证逐项积分的条件成立，所以 1-x

x p 1

ln ⎰01-x x dx =

1

⎰

1

∑x n +p n

n =1

∞

∞

1

x

=

∑⎰

n =1

∞

1

x n +p ln

1

=x

1

∑2n =1(p +n )

13．设E 是直线上的一个有界集合，m *E >0，则对任意小于m *E 的正数ε，存在E 的子集E 1，使得

m *E 1=c .

证明：令f (x ) =m *(E ⋂[a , x ])，则f (x ) 连续单调，且f (a ) =0. f (b ) =m *E ，由连续函数的介值性，存在x ∈[a , b ]，使得对任意小于m *E 的正数c ，存在E 的子集E 1，使得f (x ) =m *E 1=c . 14对任意的x ，有x ∈(

A )

i i =1

∞

c

当且仅当x 不属于所有的A i (i =1, 2,..., )

当且仅当x 属于所有的A (i =1, 2,..., ) ，当且仅当x ∈

c i

A

i =1

∞

c i

，所以，(

A ) = A

c i i =1

i =1

∞∞

c i

。

15 任取x 0属于E {x |f (x ) ≥a }'，则存在一个数列{x n },x n ∈E {x |f (x ) ≥a }，且满足lim x n =x 0，因为

n →∞

f (x n ) ≥a ，

所以有

f (x 0) ≥a ，

从而x 0属于E {x |f (x ) ≥a }，即E ={x |f (x ) ≥a }是一个闭集 16因为S 1, S 2,..., S n 是一些互不交的可测集，所以

m *(E 1⋃E 2⋃... ⋃E n )

=m *[(E 1⋃E 2⋃... ⋃E n ) ⋂S 1]+m *[(E 1⋃E 2⋃... ⋃E n ) ⋂S 1c ]=m *E 1+m *(E 2⋃... ⋃E n )

c

=m *E 1+m *[(E 2⋃... ⋃E n ) ⋂S 2]+m *[(E 2⋃... ⋃E n ) ⋂S 2]

=m *E 1+m *E 2+m *(E 3⋃... ⋃E n ) =......

=m *E 1+m *E 2... +m *E n .

17任取x 0属于E {x |f (x ) ≤a }'，则存在一个数列{x n },x n ∈E {x |f (x ) ≤a }，且满足lim x n =x 0，因为

n →∞

f (x n ) ≤a ，

所以有

f (x 0) ≤a ，.

从而x 0属于E {x |f (x ) ≤a }，即E ={x |f (x ) ≤a }是一个闭集，而又因为

E {x |f (x ) >a }=(E {x |f (x ) ≤a })c ,

所以E ={x |f (x ) >a }是一个开集。