关于连接物体运动的合成与分解问题讨论
吴明辉 赵中泽 杨国平
（云南省昆明市云南大学附属中学 650000）
电子邮箱：[email protected]；电话：[1**********]
摘要：连接物体运动的合成与分解问题在中学里经常遇到，解决这类问题主要用“微元法”和“速度分解法”，两种方法的使用各有其特点，我们通过实例对其加以说明。同时，对使用“速度分解法”时学生容易犯的错误进行讨论。
关键词：连接物体、运动的合成与分解、“微元法”、“速度分解法”。
在连接物体运动的合成与分解问题中，我们经常遇到两个物体通过一根绳子跨过定滑轮连接在一起时，已知一个物体的速度，求解某一条件下另一物体的速度。对于这样的问题，我们通常使用“微元法”和“速度分解法”进行求解。如下面这一个我们十分常见的例子。 实例1、如图1所示，在水平面上放一个物体，一辆小车通过不可伸长的细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动。若车以大小不变的速度v 运动，当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多少？ 解析：方法一、“微元法”
物体以质点表示，在很短的时间∆t 内，物体由位置A 向前运动到B 点，绳与滑轮的接触点记为O 点，在OA 上取OB 的等长OC ，连接BC 。
设∆t 时间内物体的位移为∆s '，小车的位移为∆s 。
图
1
图2
则AC =∆s ，AB =∆s '，如图2所示。由于时间很短，绳子OA 旋转到OB 的角度也很小，而
AC ∆s
，而AC =∆s ，AB =∆s '，所以cos θ=，AB ∆s '
∆s '∆s , v =设物体的速度为v 物，又由于时间∆t 很短，平均速度等于瞬时速度，v 物=，所∆t ∆t
cos θ=OC =OB ，则可近似∠OCB =90，得：
以cos θ=
v v ∆t v
=，v 物=。
cos θv 物∆t v 物
方法二、“速度分解法”
物体在前进的过程中，它的合速度v 物水平向左，相对于O 点，其运动达到了两个效果，
即：沿绳子方向靠近O 点和绕O 点旋转，根据其效果，把合速度v 物分解到沿绳子方向的v 1和垂直于绳子方向的v 2，分别叫径向速度和切向速度，描述物体靠近O 点和绕O 点旋转的快慢。如图3所示。
可得：v 物=
v 1v
，而v 1=v ，即：v 物=。 cos θcos θ
图3
由以上的分析可知，在这类题目中，用“微元法”一般
2
会比较麻烦，用“速度分解法”则显得比较简单。但是，用“速度分解法”则必须注意分速度与其它已知的速度之间是否有直接的关系，如下一题的情况。
实例2、如图4所示，两定滑轮间距离为2d ，质量相等的小球A 和B 通过绕过定滑轮的绳子带动小球C 上升，在某一时刻连接C 球两绳夹角为2α时，A 、B 两球下落的速度为v ，不计滑轮摩擦和绳子的质量，绳子也不可伸长。求此时C 球上升的速度是多大？ 解析：法一、“微元法”
如图5所示，C 球此时所在的位置记为C 点，设C 球的速度为v C ，其方向向上。经过很短的一段时间∆t ，到达其上方D 点，在OC 上取与OD 等长的一段OE ，连接DE ，设在该段时间内A 的位移为∆s ，C 的位移为∆s '，CD =∆s '，CE =∆s 。由于∆t 很短，则∠ODE =∠OED ，近似取900，那么DE 垂直于OC ，得：cos α=度等于瞬时速度。
有v =
图4
图5
CE ∆s
，即：cos α=，又由于时间∆t 很短，平均速
'CD ∆s
∆s ∆s 'v ∆t v v
, v C =，可得：cos α=。 =⇒v C =∆t ∆t v C ∆t v C cos α
方法二、“速度分解法”
此题在运用“速度分解法”时，学生特别容易出现如图6所示的分解方法。把v C 分解到两根绳子的方向，分别为v 1和v 2。根据对称性，得到v 1=v 2。在合速度v C 和分速度v 1、v 2所构成的矢量三角形中，根据正弦定理，有：
图6
v C v 1
=⇒v C =2v 1cos α。又由于v 1沿绳子的方向，所以v 1=v ，则：0
sin αsin(180-2α)
v C =2v cos α。而这一结果是错误的，那问题出在哪里呢？那是因为想当然的认为v 1等于
v 了。v 等于绳子缩短的速度，但v 1不等于绳子缩短的速度，因为v 2还会影响到绳子缩短的速度。
关于这一点，我们可做如下讨论以证明。
'把v 2分解到到绳子OC 方向和其垂直方向，分别为v 2
''，如图7所示。此时可看出，v 1和v 2'在绳子OC 方向，和v 2
''与该方方向垂直，绳子OC 方向的运动和垂直绳子OC 而v 2
方向的运动具有独立性，互不影响，绳子OC 方向的速度体'，垂直绳子OC 现了绳子OC 的缩短快慢，其大小为v 1+v 2
图7
''反映了绳子OC 绕O 点旋转的快慢。绳子OC 的缩短等于A 的下降速度，即方向的速度v 2'。 v =v 1+v 2
学生出现这一错误，主要是如下原因：想当然的把力的分解应用到速度分解中，而对运动的特点及各方向运动的互相影响不加以考虑。
当然，把v C 沿OC 和O 'C 分解为v 1和v 2的这种分解方式是正确的，只是但所得到的分速度与已知的速度v 之间没有直接的关系，所以代入v 1=v 计算就出错了！
可以根据运动的效果对v C 进行分解，C 物体向上运动的同时使得绳子缩短，也就是在径向向O 运动，同时绕O 转动，那么把v C 分解到沿OC 方
向和垂直于OC 方向，得到v 1和v 2，如图8所示。同时，v 1和v 2也使得绳子CO '在缩短和旋转。此时在合速度和分速度所构成的矢量三角形中，可得v 1=v C cos α，由于v 1为径
向速度，与切向速度v 2无关，故v 1=v ，所以v =v C cos α，即v C =
图8
v
。 cos α
对于此题，我们还可以借用下面这一道十分常见的题的思想，这对学生的理解十分有帮助。
实例：如图9所示，套在竖直细杆上的环A 由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B 相连。由于B 的质量比较大，故在释放B 后，A 将沿杆上升，当A 上升到与竖直杆成θ角的位置时，B 的速度为v ，此时A 环上升的速度v A 为多少？
解析：该题当然也可以用“微元法”求解，但如果用“速度分解法”求解此题，A 物体的分速度能够很好的反映其运动的实际效果。v A 沿杆竖直向上，这一运动达到两个效果：AO 绳的缩短快慢和AO 绳绕O 点的旋转快慢。这两个运动是互相独立的。把v A 沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解得到v 1和v 2，如图10所示。
在速度的矢量三角形中，v 1=v A cos θ，由于绳AO 的缩短和绳OB 的伸长速度是相同的，故v 1=v ，可得：v A =
A
图9
v
2
图10
v
。 cos θ
讨论完实例，对于例2，我们可以把C 物体想象为套在一光滑竖直杆上，同时去掉右边的B 物体，这时A 、C 的运动情况是相同的，再把v C 用例3的方法进行分解，可得如图11所示的情况。可以很容易得到v C =
v
。其实，在例2中，绳cos θ
OC 和绳O 'C 对球是分别互相束缚，一边使小球运动，另一边把小球的运动约束在竖直方向。
图11
在类似的连接体问题中，合速度的判断特别重要，对于初学这一内容的同学而言，容易犯错误，需要强调物体实际运动的速度为合速度。当学生对“微元法”十分熟悉时，在对分解有疑问的情况下，用“微元法”进行求解，一般不会出错。当然，运用“速度分解法”解决问题，可以使解答过程变得十分简洁，但在分解时，要注意根据运动的效果进行分解，使得分速度能够完全的描述物体的物理意义，或者分速度与已知的条件存在明显的直接关系，以利于计算。
参 考 文 献
张志峰，《巧用速度投影定理解决绳杆连接体速度问题》，CN61-1033/G4，《中学物理教学参考》，2008年第4期，P27
关于连接物体运动的合成与分解问题讨论
吴明辉 赵中泽 杨国平
（云南省昆明市云南大学附属中学 650000）
电子邮箱：[email protected]；电话：[1**********]
摘要：连接物体运动的合成与分解问题在中学里经常遇到，解决这类问题主要用“微元法”和“速度分解法”，两种方法的使用各有其特点，我们通过实例对其加以说明。同时，对使用“速度分解法”时学生容易犯的错误进行讨论。
关键词：连接物体、运动的合成与分解、“微元法”、“速度分解法”。
在连接物体运动的合成与分解问题中，我们经常遇到两个物体通过一根绳子跨过定滑轮连接在一起时，已知一个物体的速度，求解某一条件下另一物体的速度。对于这样的问题，我们通常使用“微元法”和“速度分解法”进行求解。如下面这一个我们十分常见的例子。 实例1、如图1所示，在水平面上放一个物体，一辆小车通过不可伸长的细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动。若车以大小不变的速度v 运动，当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多少？ 解析：方法一、“微元法”
物体以质点表示，在很短的时间∆t 内，物体由位置A 向前运动到B 点，绳与滑轮的接触点记为O 点，在OA 上取OB 的等长OC ，连接BC 。
设∆t 时间内物体的位移为∆s '，小车的位移为∆s 。
图
1
图2
则AC =∆s ，AB =∆s '，如图2所示。由于时间很短，绳子OA 旋转到OB 的角度也很小，而
AC ∆s
，而AC =∆s ，AB =∆s '，所以cos θ=，AB ∆s '
∆s '∆s , v =设物体的速度为v 物，又由于时间∆t 很短，平均速度等于瞬时速度，v 物=，所∆t ∆t
cos θ=OC =OB ，则可近似∠OCB =90，得：
以cos θ=
v v ∆t v
=，v 物=。
cos θv 物∆t v 物
方法二、“速度分解法”
物体在前进的过程中，它的合速度v 物水平向左，相对于O 点，其运动达到了两个效果，
即：沿绳子方向靠近O 点和绕O 点旋转，根据其效果，把合速度v 物分解到沿绳子方向的v 1和垂直于绳子方向的v 2，分别叫径向速度和切向速度，描述物体靠近O 点和绕O 点旋转的快慢。如图3所示。
可得：v 物=
v 1v
，而v 1=v ，即：v 物=。 cos θcos θ
图3
由以上的分析可知，在这类题目中，用“微元法”一般
2
会比较麻烦，用“速度分解法”则显得比较简单。但是，用“速度分解法”则必须注意分速度与其它已知的速度之间是否有直接的关系，如下一题的情况。
实例2、如图4所示，两定滑轮间距离为2d ，质量相等的小球A 和B 通过绕过定滑轮的绳子带动小球C 上升，在某一时刻连接C 球两绳夹角为2α时，A 、B 两球下落的速度为v ，不计滑轮摩擦和绳子的质量，绳子也不可伸长。求此时C 球上升的速度是多大？ 解析：法一、“微元法”
如图5所示，C 球此时所在的位置记为C 点，设C 球的速度为v C ，其方向向上。经过很短的一段时间∆t ，到达其上方D 点，在OC 上取与OD 等长的一段OE ，连接DE ，设在该段时间内A 的位移为∆s ，C 的位移为∆s '，CD =∆s '，CE =∆s 。由于∆t 很短，则∠ODE =∠OED ，近似取900，那么DE 垂直于OC ，得：cos α=度等于瞬时速度。
有v =
图4
图5
CE ∆s
，即：cos α=，又由于时间∆t 很短，平均速
'CD ∆s
∆s ∆s 'v ∆t v v
, v C =，可得：cos α=。 =⇒v C =∆t ∆t v C ∆t v C cos α
方法二、“速度分解法”
此题在运用“速度分解法”时，学生特别容易出现如图6所示的分解方法。把v C 分解到两根绳子的方向，分别为v 1和v 2。根据对称性，得到v 1=v 2。在合速度v C 和分速度v 1、v 2所构成的矢量三角形中，根据正弦定理，有：
图6
v C v 1
=⇒v C =2v 1cos α。又由于v 1沿绳子的方向，所以v 1=v ，则：0
sin αsin(180-2α)
v C =2v cos α。而这一结果是错误的，那问题出在哪里呢？那是因为想当然的认为v 1等于
v 了。v 等于绳子缩短的速度，但v 1不等于绳子缩短的速度，因为v 2还会影响到绳子缩短的速度。
关于这一点，我们可做如下讨论以证明。
'把v 2分解到到绳子OC 方向和其垂直方向，分别为v 2
''，如图7所示。此时可看出，v 1和v 2'在绳子OC 方向，和v 2
''与该方方向垂直，绳子OC 方向的运动和垂直绳子OC 而v 2
方向的运动具有独立性，互不影响，绳子OC 方向的速度体'，垂直绳子OC 现了绳子OC 的缩短快慢，其大小为v 1+v 2
图7
''反映了绳子OC 绕O 点旋转的快慢。绳子OC 的缩短等于A 的下降速度，即方向的速度v 2'。 v =v 1+v 2
学生出现这一错误，主要是如下原因：想当然的把力的分解应用到速度分解中，而对运动的特点及各方向运动的互相影响不加以考虑。
当然，把v C 沿OC 和O 'C 分解为v 1和v 2的这种分解方式是正确的，只是但所得到的分速度与已知的速度v 之间没有直接的关系，所以代入v 1=v 计算就出错了！
可以根据运动的效果对v C 进行分解，C 物体向上运动的同时使得绳子缩短，也就是在径向向O 运动，同时绕O 转动，那么把v C 分解到沿OC 方
向和垂直于OC 方向，得到v 1和v 2，如图8所示。同时，v 1和v 2也使得绳子CO '在缩短和旋转。此时在合速度和分速度所构成的矢量三角形中，可得v 1=v C cos α，由于v 1为径
向速度，与切向速度v 2无关，故v 1=v ，所以v =v C cos α，即v C =
图8
v
。 cos α
对于此题，我们还可以借用下面这一道十分常见的题的思想，这对学生的理解十分有帮助。
实例：如图9所示，套在竖直细杆上的环A 由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B 相连。由于B 的质量比较大，故在释放B 后，A 将沿杆上升，当A 上升到与竖直杆成θ角的位置时，B 的速度为v ，此时A 环上升的速度v A 为多少？
解析：该题当然也可以用“微元法”求解，但如果用“速度分解法”求解此题，A 物体的分速度能够很好的反映其运动的实际效果。v A 沿杆竖直向上，这一运动达到两个效果：AO 绳的缩短快慢和AO 绳绕O 点的旋转快慢。这两个运动是互相独立的。把v A 沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解得到v 1和v 2，如图10所示。
在速度的矢量三角形中，v 1=v A cos θ，由于绳AO 的缩短和绳OB 的伸长速度是相同的，故v 1=v ，可得：v A =
A
图9
v
2
图10
v
。 cos θ
讨论完实例，对于例2，我们可以把C 物体想象为套在一光滑竖直杆上，同时去掉右边的B 物体，这时A 、C 的运动情况是相同的，再把v C 用例3的方法进行分解，可得如图11所示的情况。可以很容易得到v C =
v
。其实，在例2中，绳cos θ
OC 和绳O 'C 对球是分别互相束缚，一边使小球运动，另一边把小球的运动约束在竖直方向。
图11
在类似的连接体问题中，合速度的判断特别重要，对于初学这一内容的同学而言，容易犯错误，需要强调物体实际运动的速度为合速度。当学生对“微元法”十分熟悉时，在对分解有疑问的情况下，用“微元法”进行求解，一般不会出错。当然，运用“速度分解法”解决问题，可以使解答过程变得十分简洁，但在分解时，要注意根据运动的效果进行分解，使得分速度能够完全的描述物体的物理意义，或者分速度与已知的条件存在明显的直接关系，以利于计算。
参 考 文 献
张志峰，《巧用速度投影定理解决绳杆连接体速度问题》，CN61-1033/G4，《中学物理教学参考》，2008年第4期，P27