高中数学常用公式及常用结论20161102
10. 一元二次方程的实根分布
依据：若f (m ) f (n )
⎧p 2-4q ≥0⎪
（1）方程f (x ) =0在区间(m , +∞) 内有根的充要条件为f (m ) =0或⎨p ；
⎪->m ⎩2
⎧f (m ) >0⎪f (n ) >0⎪⎪
（2）方程f (x ) =0在区间(m , n ) 内有根的充要条件为f (m ) f (n )
⎪
⎪m
⎧f (m ) =0⎧f (n ) =0
或⎨； ⎨
af (n ) >0af (m ) >0⎩⎩
⎧p 2-4q ≥0⎪
（3）方程f (x ) =0在区间(-∞, n ) 内有根的充要条件为f (m )
⎪-
11. 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间(-∞, +∞) 的子区间L （形如[α, β]，(-∞, β]，[α, +∞)不同）上含参数的二次不等式f (x , t ) ≥0(t 为参数) 恒成立的充要条件是f (x , t ) min ≥0(x ∉L ) .
(2)在给定区间(-∞, +∞) 的子区间上含参数的二次不等式f (x , t ) ≥0(t 为参数) 恒成立的充要条件是f (x , t ) man ≤0(x ∉L ) .
⎧a ≥0
⎧a
b ≥0(3)f (x ) =ax +bx +c >0恒成立的充要条件是⎨或⎨2.
b -4ac 0⎩
⎩
12.
13.
14. 四种命题的相互关系
15. 充要条件
（1）充分条件：若p ⇒q ，则p 是q 充分条件.
（2）必要条件：若q ⇒p ，则p 是q 必要条件.
（3）充要条件：若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
30. 分数指数幂 (1)a (2)a
m n
=
=
-
m n
1
m n
a >0, m , n ∈N *，且n >1）. （a >0, m , n ∈N *，且n >1）.
a
31．根式的性质 （1）n =a .
（2）当n =a ； 33. 指数式与对数式的互化式
log a N =b ⇔a b =N (a >0, a ≠1, N >0) .
34. 对数的换底公式
log m N
(a >0, 且a ≠1, m >0, 且m ≠1, N >0).
log m a
n n
推论 log a m b =log a b (a >0, 且a >1, m , n >0, 且m ≠1, n ≠1, N >0).
m log a N =
35．对数的四则运算法则
若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log a (MN ) =log a M +log a N ;
M
=log a M -log a N ; N
(3)log a M n =n log a M (n ∈R ) .
(2) log a
2
36. 设函数f (x ) =log m (ax 2+bx +c )(a ≠0) , 记∆=b -4ac . 若f (x ) 的定义域为R , 则
a >0，且∆0，且∆≥0. 对于a =0的情形, 需要单独检验.
38. 平均增长率的问题
x
如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有y =N (1+p ) .
39. 数列的同项公式与前n 项的和的关系
n =1⎧s 1,
( 数列{a n }的前n 项的和为s n =a 1+a 2+ +a n ). a n =⎨
⎩s n -s n -1, n ≥2
40. 等差数列的通项公式
a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ；
其前n 项和公式为
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d 22d 1
=n 2+(a 1-d ) n . 22s n =
41. 等比数列的通项公式
a n =a 1q n -1=
a 1n
⋅q (n ∈N *) ； q
其前n 项的和公式为
⎧a 1(1-q n )
, q ≠1⎪
s n =⎨1-q
⎪na , q =1⎩1
⎧a 1-a n q
, q ≠1⎪
或s n =⎨1-q .
⎪na , q =1⎩1
42. 等比差数列{a n }:a n +1=qa n +d , a 1=b (q ≠0) 的通项公式为
⎧b +(n -1) d , q =1⎪
a n =⎨bq n +(d -b ) q n -1-d ；
, q ≠1⎪q -1⎩
其前n 项和公式为
⎧nb +n (n -1) d ,(q =1)
⎪s n =⎨. d 1-q n d
(b -) +n ,(q ≠1) ⎪1-q q -11-q ⎩
43. 分期付款(按揭贷款)
ab (1+b ) n
每次还款x =元(贷款a 元, n 次还清, 每期利率为b ). n
(1+b ) -1
d
A , B =|AB |=
64. 平面两点间的距离公式
=(x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ).
71. 常用不等式：
22
（1）a , b ∈R ⇒a +b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“=”号) ． （2）a , b ∈
R ⇒
+
a +b
≥当且仅当a ＝b 时取“=”号) ． 2
（3）a 3+b 3+c 3≥3abc (a >0, b >0, c >0). （4）柯西不等式
(a 2+b 2)(c 2+d 2) ≥(ac +bd ) 2, a , b , c , d ∈R .
（5）a -≤a +b ≤a +b . 72. 极值定理
已知x , y 都是正数，则有
（1）若积xy 是定值p ，则当x =y 时和x +y 有最小值2p ； （2）若和x +y 是定值s ，则当x =y 时积xy 有最大值
12s . 4
推广 已知x , y ∈R ，则有(x +y ) 2=(x -y ) 2+2xy （1）若积xy 是定值, 则当|x -y |最大时, |x +y |最大； 当|x -y |最小时, |x +y |最小.
（2）若和|x +y |是定值, 则当|x -y |最大时, |xy |最小； 当|x -y |最小时, |xy |最大.
73. 一元二次不等式ax 2+bx +c >0(或0) ，如果a 与ax +bx +c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax +bx +c 异号，则其解集在两根之间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间.
x 1
2
2
x x 2⇔(x -x 1)(x -x 2) >0(x 1
74. 含有绝对值的不等式 当a> 0时，有
x
2
x >a ⇔x 2>a 2⇔x >a 或x
77. 斜率公式
k =
y 2-y 1
（P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) ）.
x 2-x 1
78. 直线的五种方程
k （1）点斜式 y -y 1=k (x -x 1) (直线l 过点P 1(x 1, y 1) ，且斜率为) ． （2）斜截式 y =kx +b (b为直线l 在y 轴上的截距).
y -y 1x -x 1
(y 1≠y 2)(P =1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2)).
y 2-y 1x 2-x 1x y
(4)截距式 +=1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，a 、b ≠0)
a b
（5）一般式 Ax +By +C =0(其中A 、B 不同时为0).
（3）两点式
79. 两条直线的平行和垂直
(1)若l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2 ①l 1||l 2⇔k 1=k 2, b 1≠b 2; ②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.
(2)若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, 且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,
A 1B 1C 1
； =≠
A 2B 2C 2
②l 1⊥l 2⇔A ； 1A 2+B 1B 2=0
①l 1||l 2⇔
83. 点到直线的距离
d =
(点P (x 0, y 0) , 直线l ：Ax +By +C =0).
84. Ax +By +C >0或
设直线l :Ax +By +C =0，则Ax +By +C >0或
若B ≠0，当B 与Ax +By +C 同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax +By +C 异号时，表示直线l 的下方的区域. 简言之, 同号在上, 异号在下. 若B =0，当A 与Ax +By +C 同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax +By +C 异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之, 同号在右, 异号在左. 86. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 (x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2.
（2）圆的一般方程 x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D +E -4F ＞0).
（4）圆的直径式方程 (x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0(圆的直径的端点是A (x 1, y 1) 、
2
2
B (x 2, y 2) ).
88. 点与圆的位置关系
点P (x 0, y 0) 与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的位置关系有三种
若d =
d >r ⇔点P 在圆外; d =r ⇔点P 在圆上; d
89. 直线与圆的位置关系
直线Ax +By +C =0与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的位置关系有三种:
d >r ⇔相离⇔∆0.
Aa +Bb +C
其中d =.
22A +B
91. 圆的切线方程
(1)已知圆x +y +Dx +Ey +F =0．
①若已知切点(x 0, y 0) 在圆上，则切线只有一条，其方程是
2
2
D (x 0+x ) E (y 0+y )
++F =0. 22
D (x 0+x ) E (y 0+y )
++F =0表示过两个切点的切点弦当(x 0, y 0) 圆外时, x 0x +y 0y +
22
x 0x +y 0y +
方程．
②过圆外一点的切线方程可设为y -y 0=k (x -x 0) ，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．
③斜率为k 的切线方程可设为y =kx +b ，再利用相切条件求b ，必有两条切线．
(2)已知圆x +y =r ．
2
①过圆上的P 0(x 0, y 0) 点的切线方程为x 0x +y 0y =r ;
2
2
2
②斜率为k
的圆的切线方程为y =kx ±a 2a 2
PF 1=e (x +) ，PF 2=e (-x ) .
c c
b 24ac -b 2
102. 二次函数y =ax +bx +c =a (x +) +（1）顶点坐标(a ≠0) 的图象是抛物线：
2a 4a
b 4ac -b 2
, ) ； 为(-2a 4a
b 4ac -b 2+14ac -b 2-1, ) ；（2）焦点的坐标为(-（3）准线方程是y =. 2a 4a 4a
2
148．柱体、锥体的体积
1
V 柱体=Sh （S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.
31
V 锥体=Sh （S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.
3
151. 排列数公式
m
=n (n -1) (n -m +1) =A n
n ！*
.(n ，m ∈N ，且m ≤n ) ．
(n -m ) ！
注:规定0! =1. 152. 排列恒等式
m m -1
(1）A n ; =(n -m +1) A n
n m
A n -1; n -m m m -1
（3）A n =nA n -1;
（2）A n =
m
n n +1n （4）nA n =A n +1-A n ;
m m m -1（5）A n +1=A n +mA n .
(6) 1! +2⋅2! +3⋅3! + +n ⋅n ! =(n +1)! -1. 153. 组合数公式
C
m n =
A n m n (n -1) (n -m +1) n ！*
==(∈N ，m ∈N ，且m ≤n ). n m
1⨯2⨯ ⨯m m ！⋅(n -m ) ！A m
154. 组合数的两个性质
m n -m
(1)C n =C n ; m m -1m (2) C n +C n =C n +1.
0注:规定C n =1.
156. 排列数与组合数的关系
m m
. A n =m ！⋅C n
高中数学常用公式及常用结论20161102
10. 一元二次方程的实根分布
依据：若f (m ) f (n )
⎧p 2-4q ≥0⎪
（1）方程f (x ) =0在区间(m , +∞) 内有根的充要条件为f (m ) =0或⎨p ；
⎪->m ⎩2
⎧f (m ) >0⎪f (n ) >0⎪⎪
（2）方程f (x ) =0在区间(m , n ) 内有根的充要条件为f (m ) f (n )
⎪
⎪m
⎧f (m ) =0⎧f (n ) =0
或⎨； ⎨
af (n ) >0af (m ) >0⎩⎩
⎧p 2-4q ≥0⎪
（3）方程f (x ) =0在区间(-∞, n ) 内有根的充要条件为f (m )
⎪-
11. 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间(-∞, +∞) 的子区间L （形如[α, β]，(-∞, β]，[α, +∞)不同）上含参数的二次不等式f (x , t ) ≥0(t 为参数) 恒成立的充要条件是f (x , t ) min ≥0(x ∉L ) .
(2)在给定区间(-∞, +∞) 的子区间上含参数的二次不等式f (x , t ) ≥0(t 为参数) 恒成立的充要条件是f (x , t ) man ≤0(x ∉L ) .
⎧a ≥0
⎧a
b ≥0(3)f (x ) =ax +bx +c >0恒成立的充要条件是⎨或⎨2.
b -4ac 0⎩
⎩
12.
13.
14. 四种命题的相互关系
15. 充要条件
（1）充分条件：若p ⇒q ，则p 是q 充分条件.
（2）必要条件：若q ⇒p ，则p 是q 必要条件.
（3）充要条件：若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
30. 分数指数幂 (1)a (2)a
m n
=
=
-
m n
1
m n
a >0, m , n ∈N *，且n >1）. （a >0, m , n ∈N *，且n >1）.
a
31．根式的性质 （1）n =a .
（2）当n =a ； 33. 指数式与对数式的互化式
log a N =b ⇔a b =N (a >0, a ≠1, N >0) .
34. 对数的换底公式
log m N
(a >0, 且a ≠1, m >0, 且m ≠1, N >0).
log m a
n n
推论 log a m b =log a b (a >0, 且a >1, m , n >0, 且m ≠1, n ≠1, N >0).
m log a N =
35．对数的四则运算法则
若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log a (MN ) =log a M +log a N ;
M
=log a M -log a N ; N
(3)log a M n =n log a M (n ∈R ) .
(2) log a
2
36. 设函数f (x ) =log m (ax 2+bx +c )(a ≠0) , 记∆=b -4ac . 若f (x ) 的定义域为R , 则
a >0，且∆0，且∆≥0. 对于a =0的情形, 需要单独检验.
38. 平均增长率的问题
x
如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有y =N (1+p ) .
39. 数列的同项公式与前n 项的和的关系
n =1⎧s 1,
( 数列{a n }的前n 项的和为s n =a 1+a 2+ +a n ). a n =⎨
⎩s n -s n -1, n ≥2
40. 等差数列的通项公式
a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ；
其前n 项和公式为
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d 22d 1
=n 2+(a 1-d ) n . 22s n =
41. 等比数列的通项公式
a n =a 1q n -1=
a 1n
⋅q (n ∈N *) ； q
其前n 项的和公式为
⎧a 1(1-q n )
, q ≠1⎪
s n =⎨1-q
⎪na , q =1⎩1
⎧a 1-a n q
, q ≠1⎪
或s n =⎨1-q .
⎪na , q =1⎩1
42. 等比差数列{a n }:a n +1=qa n +d , a 1=b (q ≠0) 的通项公式为
⎧b +(n -1) d , q =1⎪
a n =⎨bq n +(d -b ) q n -1-d ；
, q ≠1⎪q -1⎩
其前n 项和公式为
⎧nb +n (n -1) d ,(q =1)
⎪s n =⎨. d 1-q n d
(b -) +n ,(q ≠1) ⎪1-q q -11-q ⎩
43. 分期付款(按揭贷款)
ab (1+b ) n
每次还款x =元(贷款a 元, n 次还清, 每期利率为b ). n
(1+b ) -1
d
A , B =|AB |=
64. 平面两点间的距离公式
=(x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ).
71. 常用不等式：
22
（1）a , b ∈R ⇒a +b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“=”号) ． （2）a , b ∈
R ⇒
+
a +b
≥当且仅当a ＝b 时取“=”号) ． 2
（3）a 3+b 3+c 3≥3abc (a >0, b >0, c >0). （4）柯西不等式
(a 2+b 2)(c 2+d 2) ≥(ac +bd ) 2, a , b , c , d ∈R .
（5）a -≤a +b ≤a +b . 72. 极值定理
已知x , y 都是正数，则有
（1）若积xy 是定值p ，则当x =y 时和x +y 有最小值2p ； （2）若和x +y 是定值s ，则当x =y 时积xy 有最大值
12s . 4
推广 已知x , y ∈R ，则有(x +y ) 2=(x -y ) 2+2xy （1）若积xy 是定值, 则当|x -y |最大时, |x +y |最大； 当|x -y |最小时, |x +y |最小.
（2）若和|x +y |是定值, 则当|x -y |最大时, |xy |最小； 当|x -y |最小时, |xy |最大.
73. 一元二次不等式ax 2+bx +c >0(或0) ，如果a 与ax +bx +c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax +bx +c 异号，则其解集在两根之间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间.
x 1
2
2
x x 2⇔(x -x 1)(x -x 2) >0(x 1
74. 含有绝对值的不等式 当a> 0时，有
x
2
x >a ⇔x 2>a 2⇔x >a 或x
77. 斜率公式
k =
y 2-y 1
（P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) ）.
x 2-x 1
78. 直线的五种方程
k （1）点斜式 y -y 1=k (x -x 1) (直线l 过点P 1(x 1, y 1) ，且斜率为) ． （2）斜截式 y =kx +b (b为直线l 在y 轴上的截距).
y -y 1x -x 1
(y 1≠y 2)(P =1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2)).
y 2-y 1x 2-x 1x y
(4)截距式 +=1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，a 、b ≠0)
a b
（5）一般式 Ax +By +C =0(其中A 、B 不同时为0).
（3）两点式
79. 两条直线的平行和垂直
(1)若l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2 ①l 1||l 2⇔k 1=k 2, b 1≠b 2; ②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.
(2)若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, 且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,
A 1B 1C 1
； =≠
A 2B 2C 2
②l 1⊥l 2⇔A ； 1A 2+B 1B 2=0
①l 1||l 2⇔
83. 点到直线的距离
d =
(点P (x 0, y 0) , 直线l ：Ax +By +C =0).
84. Ax +By +C >0或
设直线l :Ax +By +C =0，则Ax +By +C >0或
若B ≠0，当B 与Ax +By +C 同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax +By +C 异号时，表示直线l 的下方的区域. 简言之, 同号在上, 异号在下. 若B =0，当A 与Ax +By +C 同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax +By +C 异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之, 同号在右, 异号在左. 86. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 (x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2.
（2）圆的一般方程 x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D +E -4F ＞0).
（4）圆的直径式方程 (x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0(圆的直径的端点是A (x 1, y 1) 、
2
2
B (x 2, y 2) ).
88. 点与圆的位置关系
点P (x 0, y 0) 与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的位置关系有三种
若d =
d >r ⇔点P 在圆外; d =r ⇔点P 在圆上; d
89. 直线与圆的位置关系
直线Ax +By +C =0与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的位置关系有三种:
d >r ⇔相离⇔∆0.
Aa +Bb +C
其中d =.
22A +B
91. 圆的切线方程
(1)已知圆x +y +Dx +Ey +F =0．
①若已知切点(x 0, y 0) 在圆上，则切线只有一条，其方程是
2
2
D (x 0+x ) E (y 0+y )
++F =0. 22
D (x 0+x ) E (y 0+y )
++F =0表示过两个切点的切点弦当(x 0, y 0) 圆外时, x 0x +y 0y +
22
x 0x +y 0y +
方程．
②过圆外一点的切线方程可设为y -y 0=k (x -x 0) ，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．
③斜率为k 的切线方程可设为y =kx +b ，再利用相切条件求b ，必有两条切线．
(2)已知圆x +y =r ．
2
①过圆上的P 0(x 0, y 0) 点的切线方程为x 0x +y 0y =r ;
2
2
2
②斜率为k
的圆的切线方程为y =kx ±a 2a 2
PF 1=e (x +) ，PF 2=e (-x ) .
c c
b 24ac -b 2
102. 二次函数y =ax +bx +c =a (x +) +（1）顶点坐标(a ≠0) 的图象是抛物线：
2a 4a
b 4ac -b 2
, ) ； 为(-2a 4a
b 4ac -b 2+14ac -b 2-1, ) ；（2）焦点的坐标为(-（3）准线方程是y =. 2a 4a 4a
2
148．柱体、锥体的体积
1
V 柱体=Sh （S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.
31
V 锥体=Sh （S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.
3
151. 排列数公式
m
=n (n -1) (n -m +1) =A n
n ！*
.(n ，m ∈N ，且m ≤n ) ．
(n -m ) ！
注:规定0! =1. 152. 排列恒等式
m m -1
(1）A n ; =(n -m +1) A n
n m
A n -1; n -m m m -1
（3）A n =nA n -1;
（2）A n =
m
n n +1n （4）nA n =A n +1-A n ;
m m m -1（5）A n +1=A n +mA n .
(6) 1! +2⋅2! +3⋅3! + +n ⋅n ! =(n +1)! -1. 153. 组合数公式
C
m n =
A n m n (n -1) (n -m +1) n ！*
==(∈N ，m ∈N ，且m ≤n ). n m
1⨯2⨯ ⨯m m ！⋅(n -m ) ！A m
154. 组合数的两个性质
m n -m
(1)C n =C n ; m m -1m (2) C n +C n =C n +1.
0注:规定C n =1.
156. 排列数与组合数的关系
m m
. A n =m ！⋅C n